1.11.2 Tenging tveggja breytu jafna, grafa þeirra og aðstæðna

1.11.2 Að tengja jöfnur með tveimur breytum, gröf þeirra og aðstæður

1.11.2 • Að tengja jöfnur með tveimur breytum, gröf þeirra og aðstæður

Verkefni

Í þessu verkefni notið þið tvö gröf sem tákna aðstæður sem þið hafið séð í öðrum verkefnum.

Notið grafið hér fyrir neðan í spurningum 1-3. Grafið táknar jöfnuna sem lýsir tengslum milli vatnsmagns í tanki, mælt í gallonum, og tíma í mínútum.

4.

Grafið táknar jöfnu um tengsl milli punda af möndlum, punda af þurrkuðum fíkjum og upphæðarinnar í dollurum sem Clare eyddi.

$$6x+9y=75$$

Gerið ráð fyrir að bekkjarfélagi segi: „Ég er ekki viss um að grafið tákni jöfnuna 6x + 9y = 75, því ég sé hvorki 6, 9 né 75 á grafinu.“ Hvernig mynduð þið sýna bekkjarfélaganum að grafið tákni í raun þessa jöfnu?

[Sýna/fela lausn]

Svör geta verið mismunandi. Hér eru nokkrar leiðir.

Setjum 0 í stað x í jöfnunni og leysum fyrir y. Þá fæst:

$$\frac{75}{9}=8\frac{1}{3}$$

Þessi samsetning er punkturinn hér fyrir neðan, skurðpunktur grafsins við y-ás.

$$(0,8\frac{1}{3})$$

Setjum 0 í stað y í jöfnunni og leysum fyrir x. Þá fæst x = 12,5, þannig að skurðpunkturinn við x-ás er:

$$(\mathrm{12,5},0)$$

Ef x- og y-gildi hvers punkts á grafinu eru sett inn í jöfnuna helst jafnan sönn.

Einnig má umrita jöfnuna og leysa fyrir y:

$$\begin{array}{rcl}y& =& \frac{75-6x}{9}\\ y& =& 8\frac{1}{3}-\frac{2}{3}x\end{array}$$

Talan 8 1/3 passar við skurðpunktinn við y-ás og talan −2/3 passar við hallatölu grafsins. Fyrir hver 3 pund af möndlum til viðbótar sem Clare kaupir getur hún keypt 2 pundum minna af fíkjum.

Út frá grafinu má sjá sama skurðpunkt við y-ás og sömu hallatölu, svo jafna línunnar er:

$$y=8\frac{1}{3}-\frac{2}{3}x$$

Með því að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með 9, sem er leyfileg aðgerð, fæst jafngild jafna:

$$9y=75-6x$$

Þessa jöfnu má umrita þannig:

$$6x+9y=75$$

Ítarefni

Að finna skurðpunkta út frá gröfum og jöfnum

Punktarnir þar sem lína sker x-ásinn og y-ásinn kallast skurðpunktar línunnar við ásana.

Skoðum gröf línanna.

Takið fyrst eftir hvar hver lína sker x-ásinn. Skoðið síðan punktana þar sem línurnar skera y-ásinn.

Skurðpunktar línu við x-ás og y-ás

Skurðpunkturinn við x-ás er punkturinn þar sem línan sker x-ásinn:

Skurðpunkturinn við y-ás er punkturinn þar sem línan sker y-ásinn:

Að finna skurðpunkta út frá jöfnu línu

Notið jöfnu línunnar.

• Til að finna skurðpunkt línunnar við x-ás, setjið y = 0 og leysið fyrir x.

• Til að finna skurðpunkt línunnar við y-ás, setjið x = 0 og leysið fyrir y.

Dæmi

Finnið skurðpunkta línunnar:

Til að finna skurðpunktinn við x-ás setjum við y = 0.

Skurðpunkturinn við x-ás er:

Til að finna skurðpunktinn við y-ás setjum við x = 0.

Skurðpunkturinn við y-ás er: