A | Viðauki: heiltöluveldi af 10

A | Co-Req Appendix: Integer Powers of 10

Óneikvæð heiltöluveldi af 10

Óneikvæðar heiltölur eru 0, 1, 2, 3, … Í veldinu 10⁵ er 10 grunntalan og 5 $10^{5}$ veldisvísirinn. Veldisvísirinn segir að margfalda eigi 10 með sjálfri sér fimm sinnum: 10⁵ = 10 $\times ⁠$ 10 $\times ⁠$ 10 $\times ⁠$ 10 $\times ⁠$ 10 = 100.000. Samkvæmt skilgreiningu er sérhver tala $10^{5} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100,000$ í núllta veldi jöfn 1, þannig að 10⁰ = 1. $10^{0} = 1$

Taflan sýnir nokkur óneikvæð heiltöluveldi af 10 sem margfeldi. Hærri veldisvísar gefa stærri margfeldi. Hvað tekurðu eftir við fjölda núlla í niðurstöðunni?

Veldisritháttur	Margfeldi	Fjöldi núlla í margfeldi
1 0 0 10 0	1 1	0 0
1 0 1 10 1	1 0 10	1 1
1 0 2 10 2	1 0 $\times$ 1 0 = 1 0 0 10 $\times$ 10 = 100	2 2
1 0 3 10 3	1 0 $\times$ 1 0 $\times$ 1 0 = 1 , 0 0 0 10 $\times$ 10 $\times$ 10 = 1,000	3 3
1 0 4 10 4	1 0 $\times$ 1 0 $\times$ 1 0 $\times$ 1 0 = 1 0 , 0 0 0 10 $\times$ 10 $\times$ 10 $\times$ 10 = 10,000	4 4
1 0 5 10 5	1 0 $\times$ 1 0 $\times$ 1 0 $\times$ 1 0 $\times$ 1 0 = 1 0 0 , 0 0 0 10 $\times$ 10 $\times$ 10 $\times$ 10 $\times$ 10 = 100,000	5 5

Rétt! Fjöldi núlla er alltaf jafn veldisvísinum.

Neikvæð heiltöluveldi af 10

Gagnhverfa tölu er 1 deilt með tölunni; gagnhverfa 10 er $\frac{1}{10}$ 1/10. Neikvæður veldisvísir táknar gagnhverfu: 10⁻¹ = $10^{- 1} = \frac{1}{10^{1}} = \frac{1}{10}$ 1/10. Almennt má skrifa veldi með neikvæðum veldisvísi sem gagnhverfu með jákvæðum veldisvísi. Taflan sýnir nokkur neikvæð veldi af 10. Hvað tekurðu eftir við fjölda núlla í nefnara hvers brots?

Veldisritháttur	Jafngild einfölduð stærð	Fjöldi núlla í nefnara
1 0 − 1 10 − 1	$\frac{1 1 0 1 = 1 1 0 1}{10 1} = \frac{1}{10}$	1 1
1 0 − 2 10 − 2	$\frac{1 1 0 2 = 1 1 0 × 1 0 = 1 1 0 0 1}{10 2} = \frac{1}{10 × 10 = 1/100}$	2 2
1 0 − 3 10 − 3	$\frac{1 1 0 3 = 1 1 0 × 1 0 × 1 0 = 1 1 , 0 0 0 1}{10 3} = \frac{1}{10 × 10 × 10 = 1/1,000}$	3 3
1 0 − 4 10 − 4	$\frac{1 1 0 4 = 1 1 0 × 1 0 × 1 0 × 1 0 = 1 1 0 , 0 0 0 1}{10 4} = \frac{1}{10 × 10 × 10 × 10 = 1/10,000}$	4 4

Rétt! Fjöldi núlla er alltaf jafn tölugildi veldisvísisins.

Í næstu töflu eru sömu veldi af 10 skrifuð sem tugabrot. Teldu aukastafina hægra megin við kommu. Hvað tekurðu eftir?

Veldisritháttur	Jafngild einfölduð stærð	Fjöldi aukastafa hægra megin við kommu
1 0 − 1 10 − 1	1 1 0 1 = 1 ÷ 1 0 = 0 . 1 1/10 1 = 1 ÷ 10 = 0.1	1 1
1 0 − 2 10 − 2	1 1 0 2 = 1 ÷ 1 0 0 = 0 . 0 1 1/10 2 = 1 ÷ 100 = 0.01	2 2
1 0 − 3 10 − 3	1 1 0 3 = 1 ÷ 1 , 0 0 0 = 0 . 0 0 1 1/10 3 = 1 ÷ 1,000 = 0.001	3 3
1 0 − 4 10 − 4	1 1 0 4 = 1 ÷ 1 0 , 0 0 0 = 0 . 0 0 0 1 1/10 4 = 1 ÷ 10,000 = 0.0001	4 4

Rétt! Fjöldi aukastafa hægra megin við kommu er alltaf jafn tölugildi veldisvísisins.

Heiltölur margfaldaðar með jákvæðum veldum af 10

Fjarlægðin frá sólu til jarðar er meira en 90 milljónir mílna. Töluna 90.000.000 má skrifa sem 9 $\times ⁠$ 10.000.000 $9 \times 10,000,000 = 9 \times 10^{7}$ = $9 \times 10^{7}$ , sem er styttri ritháttur. Veldisvísirinn 7 samsvarar fjölda núlla. Taflan sýnir fleiri margfeldi jákvæðra heiltalna og velda af 10. Fjöldi núlla er alls staðar jafn veldisvísinum nema í einu tilviki.

Veldisritháttur	Margfeldi	Fjöldi núlla í margfeldi
5 $\times$ 1 0 1 5 $\times$ 10 1	5 $\times$ 1 0 = 5 0 5 $\times$ 10 = 50	1 1
1 3 $\times$ 1 0 2 13 $\times$ 10 2	1 3 $\times$ 1 0 0 = 1 , 3 0 0 13 $\times$ 100 = 1,300	2 2
8 $\times$ 1 0 3 8 $\times$ 10 3	8 $\times$ 1 , 0 0 0 = 8 , 0 0 0 8 $\times$ 1,000 = 8,000	3 3
1 5 $\times$ 1 0 4 15 $\times$ 10 4	1 5 $\times$ 1 0 , 0 0 0 = 1 5 0 , 0 0 0 15 $\times$ 10,000 = 150,000	4 4
7 0 $\times$ 1 0 5 70 $\times$ 10 5	7 0 $\times$ 1 0 0 , 0 0 0 = 7 , 0 0 0 , 0 0 0 70 $\times$ 100,000 = 7,000,000	6 6

Í síðasta tilvikinu var fjöldi núlla ekki jafn veldisvísinum. Ástæðan er að margfaldað var með 70, sem hefur sjálft eitt núll. Margfeldið fékk því eitt núll frá 70 og fimm frá 10⁵, $10^{5}$ samtals sex núll í 7.000.000.

Margfaldað með neikvæðum veldum af 10

Neikvæð veldi af 10 má skrifa sem tugabrot. Taflan sýnir margfeldi jákvæðra heiltalna og neikvæðra velda af 10. Niðurstaðan er minni en upphafstalan. Fjöldi aukastafa er alls staðar jafn tölugildi veldisvísisins nema í einu tilviki.

Veldisritháttur	Margfeldi	Fjöldi aukastafa hægra megin við kommu
3 $\times$ 1 0 − 1 3 $\times$ 10 − 1	3 $\times$ 0 . 1 = 0 . 3 3 $\times$ 0.1 = 0.3	1 1
1 3 $\times$ 1 0 − 2 13 $\times$ 10 − 2	1 3 $\times$ 0 . 0 1 = 0 . 1 3 13 $\times$ 0.01 = 0.13	2 2
9 $\times$ 1 0 − 3 9 $\times$ 10 − 3	9 $\times$ 0 . 0 0 1 = 0 . 0 0 9 9 $\times$ 0.001 = 0.009	3 3
1 5 $\times$ 1 0 − 4 15 $\times$ 10 − 4	1 5 $\times$ 0 . 0 0 0 1 = 0 . 0 0 1 5 15 $\times$ 0.0001 = 0.0015	4 4
7 0 $\times$ 1 0 − 5 70 $\times$ 10 − 5	7 0 $\times$ 0 . 0 0 0 0 1 = 0 . 0 0 0 7 0 ⁢ o r ⁢ 0 . 0 0 0 7 70 $\times$ 0.00001 = 0.00070 ⁢ or ⁢ 0.0007	5 (eða 6 ef aukanúllið er haft með)

Í síðasta tilvikinu var fjöldi aukastafa ekki jafn tölugildi veldisvísisins vegna þess að margfaldað var með 70, sem endar á núlli.

Komman færð

Gagnleg stytting við margföldun með veldi af 10 er að „færa kommuna“. Taflan sýnir jákvæð og neikvæð veldi af 10. Berðu staðsetningu kommunnar í upphafstölu saman við staðsetningu hennar í margfeldinu. Hvernig breyttist hún?

Veldisritháttur	Margfeldi	Breyting á staðsetningu kommu
5 $\times$ 1 0 1 5 $\times$ 10 1	5 . $\times$ 1 0 = 5 ∧ ⁢ 0 ⏝ . = 5 0 5. $\times$ 10 = 5 ∧ ⁢ 0 ⌣ . = 50	1 sæti til hægri
1 3 $\times$ 1 0 2 13 $\times$ 10 2	1 3 . $\times$ 1 0 0 = 1 3 ⁢ ∧ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ . = 1 , 3 0 0 13. $\times$ 100 = 13 ⁢ 0 ⌣ ∧ ⁢ 0 ⌣ . = 1,300	2 sæti til hægri
8 $\times$ 1 0 3 8 $\times$ 10 3	8 . $\times$ 1 , 0 0 0 = 8 ∧ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ . = 8 , 0 0 0 8. $\times$ 1,000 = 8 ∧ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ . = 8,000	3 sæti til hægri
1 5 $\times$ 1 0 4 15 $\times$ 10 4	1 5 . $\times$ 1 0 0 0 0 = 1 5 ∧ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ . = 1 5 0 , 0 0 0 15. $\times$ 10000 = 15 ∧ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ . = 150,000	4 sæti til hægri
7 0 $\times$ 1 0 5 70 $\times$ 10 5	7 0 . $\times$ 1 0 0 , 0 0 0 = 7 0 ∧ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ . = 7 , 0 0 0 , 0 0 0 70. $\times$ 100,000 = 70 ∧ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ . = 7,000,000	5 sæti til hægri
3 $\times$ 1 0 − 1 3 $\times$ 10 − 1	3 . $\times$ 0 . 1 = . 3 ⏝ ∧ = 0 . 3 3. $\times$ 0.1 = . 3 ⌣ ∧ = 0.3	1 sæti til vinstri
1 3 $\times$ 1 0 − 2 13 $\times$ 10 − 2	1 3 . $\times$ 0 . 0 1 = . 1 ⏝ ⁢ 3 ⏝ ∧ = 0 . 1 3 13. $\times$ 0.01 = . 1 ⌣ ⁢ 3 ⌣ ∧ = 0.13	2 sæti til vinstri
9 $\times$ 1 0 − 3 9 $\times$ 10 − 3	9 . $\times$ 0 . 0 0 1 = . 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 9 ⏝ ∧ = 0 . 0 0 9 9. $\times$ 0.001 = . 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 9 ⌣ ∧ = 0.009	3 sæti til vinstri
1 5 $\times$ 1 0 − 4 15 $\times$ 10 − 4	1 5 . $\times$ 0 . 0 0 0 1 = . 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 1 ⏝ ⁢ 5 ⏝ ∧ = 0 . 0 0 1 5 15. $\times$ 0.0001 = . 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 1 ⌣ ⁢ 5 ⌣ ∧ = 0.0015	4 sæti til vinstri
7 0 $\times$ 1 0 − 5 70 $\times$ 10 − 5	7 0 $\times$ 0 . 0 0 0 0 1 = . 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ⁢ 7 ⏝ ⁢ 0 ⏝ ∧ = 0 . 0 0 0 7 70 $\times$ 0.00001 = . 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ⁢ 7 ⌣ ⁢ 0 ⌣ ∧ = 0.0007	5 sæti til vinstri

Margföldun með jákvæðu veldi af 10 færir kommuna til hægri og stækkar gildið, en neikvætt veldi færir hana til vinstri og minnkar gildið. Fjöldi sæta sem komman færist er jafn tölugildi veldisvísisins.