1.3 Tungumál eðlisfræðinnar: eðlisfræðilegar stærðir og einingar

1.3 Tungumál eðlisfræðinnar: eðlisfræðilegar stærðir og einingar

Lykilhugtök hlutans

Hlutverk eininga

Eðlisfræðingar, eins og aðrir vísindamenn, gera athuganir og spyrja grundvallarspurninga. Til dæmis, hversu stór er hlutur? Hversu mikinn massa hefur hann? Hversu langt ferðaðist hann? Til að svara þessum spurningum gera þeir mælingar með ýmsum tækjum (t.d. metrastokk, vog, skeiðklukku o.s.frv.).

Mælingar á eðlisfræðilegum stærðum eru settar fram með einingum, sem eru stöðluð gildi. Til dæmis er hægt að setja lengd hlaups, sem er eðlisfræðileg stærð, fram í metrum (fyrir spretthlaupara) eða kílómetrum (fyrir langhlaupara). Án staðlaðra eininga væri afar erfitt fyrir vísindamenn að tjá og bera saman mæld gildi á merkingarbæran hátt ( Mynd 1.13 ).

Allar eðlisfræðilegar stærðir í alþjóðlega einingakerfinu (SI) eru settar fram sem samsetningar af sjö grunneiningum eðlisfræðinnar, sem eru einingar fyrir: lengd, massa, tíma, rafstraum, hitastig, efnismagn og ljósstyrk.

SI-einingar: Grunn- og afleiddar einingar

Í hvaða einingakerfi sem er verður að skilgreina einingar fyrir sumar eðlisfræðilegar stærðir með mælingarferli. Þetta eru kallaðar grunnstærðir kerfisins og einingar þeirra eru grunneiningar kerfisins. Allar aðrar eðlisfræðilegar stærðir er síðan hægt að setja fram sem algebrulegar samsetningar af grunnstærðunum. Hver þessara eðlisfræðilegu stærða er þá þekkt sem afleidd stærð og hver eining er kölluð afleidd eining. Val á grunnstærðum er nokkuð handahófskennt, svo lengi sem þær eru óháðar hver annarri og hægt er að leiða allar aðrar stærðir af þeim. Yfirleitt er markmiðið að velja eðlisfræðilegar stærðir sem hægt er að mæla nákvæmlega og með miklum áreiðanleika sem grunnstærðir. Ástæðan fyrir þessu er einföld. Þar sem afleiddar einingar eru settar fram sem algebrulegar samsetningar af grunneiningunum, geta þær aðeins verið eins nákvæmar og áreiðanlegar og grunneiningarnar sem þær eru leiddar af.

Byggt á slíkum sjónarmiðum mælir Alþjóðastaðlastofnunin (ISO) með notkun sjö grunnstærða, sem mynda alþjóðlega stærðakerfið (ISQ). Þetta eru grunnstærðirnar sem notaðar eru til að skilgreina SI-grunneiningarnar. ( Tafla 1.1 ) sýnir þessar sjö ISQ-grunnstærðir og samsvarandi SI-grunneiningar.

Metrinn

SI-einingin fyrir lengd er metrinn (m). Skilgreiningin á metranum hefur breyst með tímanum til að verða nákvæmari og áreiðanlegri. Metrinn var fyrst skilgreindur árið 1791 sem 1/10.000.000 af fjarlægðinni frá miðbaug til norðurpólsins. Þessi mæling var bætt árið 1889 með því að endurskilgreina metrann sem fjarlægðina milli tveggja grafinna lína á platínu-iridíum stöng. (Stöngin er nú geymd hjá Alþjóðlegu skrifstofunni fyrir mál og vog, nálægt París). Árið 1960 var hægt að mæla sumar vegalengdir nákvæmar með því að bera þær saman við bylgjulengdir ljóss. Metrinn var endurskilgreindur sem 1.650.763,73 bylgjulengdir appelsínuguls ljóss sem krypton-atóm senda frá sér. Árið 1983 fékk metrinn núverandi skilgreiningu sína sem sú vegalengd sem ljós ferðast í tómarúmi á 1/ 299.792.458 úr sekúndu ( Mynd 1.14 ).

Kílógrammið

SI-einingin fyrir massa er kílógramm (skammstafað kg); það var áður skilgreint sem massi platínu-iridíum sívalnings sem geymdur var með gamla metra-staðlinum hjá Alþjóðlegu skrifstofunni fyrir mál og vog nálægt París. Nákvæmar eftirlíkingar af áður skilgreindu kílógrammi eru einnig geymdar hjá National Institute of Standards and Technology í Bandaríkjunum, eða NIST, sem staðsett er í Gaithersburg, Maryland utan við Washington D.C., og á öðrum stöðum um allan heim. Ákvörðun allra annarra massa mátti að lokum rekja til samanburðar við staðalmassann. Jafnvel þótt platínu-iridíum sívalningurinn væri tæringarþolinn, gátu aðskotaefni í lofti fest sig við yfirborð hans og breytt massa hans lítillega með tímanum. Í maí 2019 samþykkti vísindasamfélagið stöðugri skilgreiningu á kílógramminu. Kílógrammið er nú skilgreint út frá sekúndunni, metranum og Planck-fastanum, h (skammtafræðilegu gildi sem tengir orku ljóseindar við tíðni hennar).

Sekúndan

SI-einingin fyrir tíma, sekúndan (s), á sér einnig langa sögu. Í mörg ár var hún skilgreind sem 1/86.400 af meðalsólardegi. Hins vegar lengist meðalsólardagurinn í raun mjög hægt vegna hægfara snúnings jarðar. Nákvæmni í grunneiningum er nauðsynleg, þar sem allar aðrar mælingar eru leiddar af þeim. Því var nýr staðall tekinn upp til að skilgreina sekúnduna með tilliti til stöðugs, eða óbreytanlegs, eðlisfræðilegs fyrirbæris. Eitt stöðugt fyrirbæri er mjög jafn titringur sesínatóma, sem hægt er að fylgjast með og telja. Þessi titringur myndar grunninn að sesín-atómklukkunni. Árið 1967 var sekúndan endurskilgreind sem sá tími sem þarf fyrir 9.192.631.770 titring sesínatóms (mynd 1.15).

Amperið

Rafstraumur er mældur í amperum (A), sem nefnd eru eftir André Ampère. Þú hefur líklega heyrt minnst á amper þegar fólk ræðir um rafstrauma eða raftæki. Skilningur á amperi krefst grunnskilnings á rafmagni og segulmagni, nokkuð sem verður skoðað ítarlega í síðari köflum þessarar bókar. Í grunninn munu tveir samsíða vírar með rafstraum sem fer um þá mynda aðdráttarkraft hvor á annan. Eitt amper er skilgreint sem sá rafstraumur sem myndar aðdráttarkraft upp á 2,7 $\times \text{⁠}$ 10⁻⁷ njúton á hvern metra fjarlægðar milli víranna tveggja (njúton er afleidd eining krafts).

Kelvin

SI-eining hitastigs er kelvin (eða kelvin, en ekki kelvingráður). Þessi kvarði er nefndur eftir eðlisfræðingnum William Thomson, lávarði Kelvin, sem var fyrstur til að kalla eftir alkulskvarða. Kelvin-kvarðinn byggir á alkuli. Þetta er sá punktur þar sem öll varmaorka hefur verið fjarlægð úr öllum atómum eða sameindum í kerfi. Þetta hitastig, 0 K, er jafnt og −273,15 °C og −459,67 °F. Til þæginda breytist Kelvin-kvarðinn á sama hátt og Celsíus-kvarðinn. Til dæmis munar 100 gráðum á frostmarki (0 °C) og suðumarki vatns (100 °C) á Celsíus-kvarðanum. Þessi tvö hitastig eru einnig með 100 kelvin á milli sín (frostmark = 273,15 K; suðumark = 373,15 K).

Forskeyti metrakerfisins

Eðlisfræðilegir hlutir eða fyrirbæri geta verið mjög breytileg. Til dæmis er stærð hluta breytileg frá einhverju mjög smáu (eins og atómi) upp í eitthvað mjög stórt (eins og stjörnu). Samt sem áður er stöðluð metra-eining lengdar metrinn. Því inniheldur metrakerfið mörg forskeyti sem hægt er að festa við einingu. Hvert forskeyti byggir á veldum af 10 (10, 100, 1.000, o.s.frv., sem og 0,1, 0,01, 0,001, o.s.frv.). Tafla 1.2 sýnir forskeyti metrakerfisins og tákn sem notuð eru til að sýna hina ýmsu þætti 10 í metrakerfinu.

Metrakerfið er þægilegt vegna þess að umbreytingar milli metra-eininga er hægt að gera einfaldlega með því að færa kommu tölunnar. Þetta er vegna þess að forskeyti metrakerfisins eru samfelld veldi af 10. Það eru 100 sentímetrar í metra, 1000 metrar í kílómetra, og svo framvegis. Í kerfum sem ekki eru metrakerfi, eins og bandarískum mælieiningum, eru samböndin ekki eins einföld—það eru 12 tommur í feti, 5.280 fet í mílu, 4 kvartar í galloni, og svo framvegis. Annar kostur við metrakerfið er að hægt er að nota sömu einingu yfir mjög stór gildissvið einfaldlega með því að skipta yfir í það forskeyti sem best hentar. Til dæmis henta fjarlægðir í metrum fyrir byggingarframkvæmdir, en kílómetrar eru notaðir til að lýsa vegagerð. Því er engin þörf á að finna upp nýjar einingar í metrakerfinu þegar mældir eru mjög smáir eða mjög stórir hlutir—þú þarft bara að færa kommuna (og nota viðeigandi forskeyti).

Þekkt svið lengdar, massa og tíma

Tafla 1.3 sýnir þekktar lengdir, massa og tímamælingar. Þú getur séð að vísindamenn nota ýmis svið mælieininga. Þetta breiða svið sýnir víðáttu og flækjustig alheimsins, sem og breidd þeirra fyrirbæra sem eðlisfræðingar rannsaka. Þegar þú skoðar þessa töflu skaltu taka eftir hvernig metrakerfið gerir okkur kleift að ræða og bera saman gífurlegt svið fyrirbæra, með því að nota eitt mælikerfi (mynd 1.16 og mynd 1.17).

Notkun staðalforms við eðlisfræðilegar mælingar

Staðalform er leið til að rita tölur sem eru of stórar eða of smáar til að þægilegt sé að rita þær sem tugabrot. Skoðum til dæmis töluna 840.000.000.000.000. Það er frekar stór tala til að skrifa út. Staðalformið fyrir þessa tölu er 8,40 $\times \text{⁠}$ 10¹⁴ . Staðalform fylgir þessu almenna formi

Í þessu sniði er $\times \text{⁠}$ mæligildið þegar öllum sætisnúllum hefur verið eytt. Í dæminu hér að ofan er $\times \text{⁠}$ 8,4. x-ið er margfaldað með þætti, 10ʸ , sem gefur til kynna fjölda sætisnúlla í mælingunni. Sætisnúll eru þau sem eru í enda tölu sem er 10 eða stærri, og í byrjun tugabrots sem er minna en 1. Í dæminu hér að ofan er þátturinn 10¹⁴ . Þetta segir þér að þú eigir að færa kommuna 14 sæti til hægri og fylla inn sætisnúll eftir þörfum. Í þessu tilviki, með því að færa kommuna 14 sæti, myndast aðeins 13 sætisnúll, sem gefur til kynna að raunverulegt mæligildi sé 840.000.000.000.000.

Tölur sem eru brot má einnig tákna með vísindarithætti. Skoðum töluna 0,0000045. Vísindaritháttur hennar er 4,5 $\times \text{⁠}$ 10⁻⁶ . Vísindaritháttur hennar hefur sama snið

Hér er $\times \text{⁠}$ 4,5. Hins vegar er gildið á y í þættinum 10ʸ neikvætt, sem gefur til kynna að mælingin sé brot af 1. Þess vegna færum við kommuna til vinstri fyrir neikvætt y. Í dæminu okkar um 4,5 $\times \text{⁠}$ 10⁻⁶ , yrði komman færð til vinstri sex sinnum til að fá upprunalegu töluna, sem væri 0,0000045.

Hugtakið stærðargráða vísar til veldisins af 10 þegar tölur eru settar fram með vísindarithætti. Stærðir sem hafa sama veldi af 10 þegar þær eru settar fram með vísindarithætti, eða eru nálægt því, eru sagðar vera af sömu stærðargráðu. Til dæmis má skrifa töluna 800 sem 8 $\times \text{⁠}$ 10² , og töluna 450 má skrifa sem 4,5 $\times \text{⁠}$ 10². Báðar tölurnar hafa sama gildi fyrir y. Þess vegna eru 800 og 450 af sömu stærðargráðu. Sömuleiðis myndu 101 og 99 teljast vera af sömu stærðargráðu, 10². Líta má á stærðargráðu sem grófa áætlun um umfang gildis. Þvermál atóms er af stærðargráðunni 10⁻⁹ m, en þvermál sólarinnar er af stærðargráðunni 10⁹ m. Þessi tvö gildi eru aðskilin um 18 stærðargráður.

Vísindamenn nota vísindarithátt mikið vegna þess gríðarlega sviðs eðlisfræðilegra mælinga sem finnast í alheiminum, svo sem fjarlægðina frá jörðinni til tunglsins (mynd 1.18 ), eða til næstu stjörnu.

Einingabreytingar og víddargreining

Oft er nauðsynlegt að breyta úr einni tegund eininga í aðra. Til dæmis, ef þú ert að lesa evrópska matreiðslubók í Bandaríkjunum, gætu sumar stærðir verið gefnar upp í lítrum og þú þarft að breyta þeim í bolla. Kanadískur ferðamaður sem keyrir í gegnum Bandaríkin gæti viljað breyta mílum í kílómetra til að fá tilfinningu fyrir því hversu langt er í næsta áfangastað. Læknir í Bandaríkjunum gæti breytt þyngd sjúklings úr pundum í kílógrömm.

Skoðum einfalt dæmi um hvernig á að breyta einingum innan metrakerfisins. Hvernig getum við breytt 1 klukkustund í sekúndur?

Fyrst þurfum við að ákvarða umreiknistuðul. Umreiknistuðull er hlutfall sem lýsir því hversu margar einingar af einni gerð jafngilda annarri einingu. Umreiknistuðull er einfaldlega brot sem jafngildir 1. Þú getur margfaldað hvaða tölu sem er með 1 og fengið sama gildi. Þegar þú margfaldar tölu með breytistuðli ertu einfaldlega að margfalda hana með einum. Til dæmis eru eftirfarandi umreiknistuðlar: (1 fet)/(12 tommur) = 1 til að breyta tommum í fet, (1 metri)/(100 sentimetrar) = 1 til að breyta sentimetrum í metra, (1 mínúta)/(60 sekúndur) = 1 til að breyta sekúndum í mínútur.

Nú getum við sett upp einingaumreikninginn. Við skrifum einingarnar sem við höfum og margföldum þær síðan með umreiknistuðlinum (1 km/1.000 m) = 1, þannig að við erum einfaldlega að margfalda 80 m með 1:

Þegar eining er í upprunalegu tölunni og eining er í nefnara (neðri hluta) umreiknistuðulsins, styttast einingarnar út. Í þessu tilviki styttast klukkustundir og mínútur út og gildið í sekúndum stendur eftir.

Þú getur notað þessa aðferð til að breyta á milli hvers kyns eininga, þar á meðal á milli bandaríska einingakerfisins og metrakerfisins. Taktu einnig eftir því að þótt þú getir margfaldað og deilt einingum með aðferðum algebru, getur þú ekki lagt saman eða dregið frá mismunandi einingar. Stærð eins og 10 km + 5 kg er merkingarlaus. Jafnvel að leggja saman tvær lengdir í mismunandi einingum, eins og 10 km + 20 m, gengur ekki upp. Þú verður að setja báðar lengdirnar fram í sömu einingu. Sjá uppflettitöflur fyrir ítarlegri lista yfir umreiknistuðla.

Réttmæti, nákvæmni og markverðir tölustafir

Vísindi byggja á tilraunum sem krefjast góðra mælinga. Gildi mælingar má lýsa með tilliti til réttleika hennar og nákvæmni (sjá mynd 1.19 og mynd 1.20 ). Réttleiki er hversu nálægt mæling er réttu gildi fyrir þá mælingu. Segjum til dæmis að þú sért að mæla lengd á staðlaðri örk af prentarapappír. Umbúðirnar sem þú keyptir pappírinn í segja að hann sé 11 tommur að lengd, og gerum ráð fyrir að þetta uppgefna gildi sé rétt. Þú mælir lengd pappírsins þrisvar sinnum og færð eftirfarandi mælingar: 11,1 tommur, 11,2 tommur og 10,9 tommur. Þessar mælingar eru nokkuð réttar vegna þess að þær eru mjög nálægt réttu gildi sem er 11,0 tommur. Aftur á móti, ef þú hefðir fengið mælingu upp á 12 tommur, væri mælingin þín ekki mjög rétt. Þess vegna eru mælitæki kvörðuð út frá þekktri mælingu. Ef tækið skilar stöðugt réttu gildi þekktu mælingarinnar, er óhætt að nota það til að finna óþekkt gildi.

Nákvæmni segir til um hversu vel endurteknar mælingar á einhverju gefa sömu eða svipaðar niðurstöður. Þess vegna vísar nákvæmni mælinga til þess hversu þétt saman mælingarnar liggja þegar þú mælir sama hlutinn nokkrum sinnum. Ein leið til að greina nákvæmni mælinga væri að ákvarða spönnina, eða mismuninn á lægsta og hæsta mælda gildi. Í tilviki prentarapappírsmælinganna var lægsta gildið 10,9 tommur og hæsta gildið 11,2 tommur. Þannig munaði á mæligildunum um, í mesta lagi, 0,3 tommum. Þessar mælingar voru nokkuð nákvæmar vegna þess að þær voru aðeins breytilegar um brot úr tommu. Hins vegar, ef mældu gildin hefðu verið 10,9 tommur, 11,1 tommur og 11,9 tommur, þá væru mælingarnar ekki mjög nákvæmar vegna þess að það er mikill breytileiki frá einni mælingu til annarrar.

Mælingarnar í pappírsdæminu eru bæði réttar og nákvæmar, en í sumum tilfellum eru mælingar réttar en ekki nákvæmar, eða þær eru nákvæmar en ekki réttar. Lítum á GPS-kerfi sem er að reyna að staðsetja veitingastað í borg. Hugsið ykkur að staðsetning veitingastaðarins sé í miðju skotmarks. Hugsið ykkur síðan hverja tilraun GPS-kerfisins til að staðsetja veitingastaðinn sem svartan depil á skotmarkinu.

Á mynd 1.21 má sjá að GPS-mælingarnar dreifast langt hver frá annarri, en þær eru allar tiltölulega nálægt raunverulegri staðsetningu veitingastaðarins í miðju skotmarksins. Þetta gefur til kynna mælikerfi með lítilli nákvæmni en miklum réttleika. Hins vegar, á mynd 1.22, eru GPS-mælingarnar þjappaðar nokkuð þétt saman, en þær eru langt frá staðsetningu skotmarksins. Þetta gefur til kynna mælikerfi með mikilli nákvæmni en litlum réttleika. Að lokum, á mynd 1.23, er GPS-kerfið bæði nákvæmt og rétt, sem gerir kleift að finna veitingastaðinn.

Óvissa

Þeir þættir sem stuðla að óvissu í mælingu eru meðal annars:

1. Takmarkanir mælitækisins
2. Færni þess sem framkvæmir mælinguna
3. Óregla á hlutnum sem er mældur
4. Aðrir þættir sem hafa áhrif á niðurstöðuna (mjög háð aðstæðum)

Í dæminu um prentarapappírinn gæti óvissa stafað af: þeirri staðreynd að minnsta deiling á reglustikunni er 0,1 tommur, að sá sem notar reglustikuna hefur slæma sjón, eða óvissu af völdum pappírsskurðarvélarinnar (t.d. að önnur hlið pappírsins er aðeins lengri en hin). Það er góð venja að íhuga vandlega allar mögulegar uppsprettur óvissu í mælingu og minnka þær eða útrýma þeim.

Hlutfallsleg óvissa

Óvissa í útreikningum

Það er óvissa í öllu sem reiknað er út frá mældum stærðum. Til dæmis hefur flatarmál gólfs, sem reiknað er út frá mælingum á lengd þess og breidd, óvissu vegna þess að bæði lengdin og breiddin hafa óvissu. Hversu mikil er óvissan í einhverju sem þú reiknar með margföldun eða deilingu? Ef mælingarnar í útreikningnum hafa litla óvissu (nokkur prósent eða minna), þá er hægt að nota aðferðina við að leggja saman prósentur. Þessi aðferð segir að hlutfallsleg óvissa í stærð sem reiknuð er með margföldun eða deilingu sé summa hlutfallslegra óvissuþátta í þeim stærðum sem notaðar eru til að gera útreikninginn. Til dæmis, ef gólf hefur lengdina 4,00 m og breiddina 3,00 m, með óvissu upp á 2 prósent og 1 prósent, í þessari röð, þá er flatarmál gólfsins 12,0 m² og hefur óvissu upp á 3 prósent (sett fram sem flatarmál er þetta 0,36 m² , sem við nálgum í 0,4 m² þar sem flatarmál gólfsins er gefið upp með nákvæmni upp á tíunda hluta úr fermetra).

Fyrir frekari upplýsingar um nákvæmni, nákvæmni og óvissu mælinga byggt á mælieiningum, heimsæktu þessa vefsíðu .

Nákvæmni mælitækja og markverðir stafir

Mikilvægur þáttur í réttleika og nákvæmni mælinga er nákvæmni mælitækisins. Almennt séð er nákvæmt mælitæki tæki sem getur mælt gildi í mjög smáum skrefum. Til dæmis, íhugum að mæla þykkt myntar. Venjuleg reglustika getur mælt þykkt upp á næsta millimetra, á meðan skrúfmál getur mælt þykkt upp á næsta 0,005 millimetra. Skrúfmálið er nákvæmara mælitæki vegna þess að það getur mælt afar lítinn mun á þykkt. Því nákvæmara sem mælitækið er, þeim mun nákvæmari og nákvæmari geta mælingarnar verið.

Þegar við setjum fram mæld gildi getum við aðeins skráð eins marga tölustafi og við mældum upphaflega með mælitækinu okkar (eins og reglustikurnar sem sýndar eru á mynd 1.24 ). Til dæmis, ef þú notar venjulega reglustiku til að mæla lengd spýtu, gætirðu mælt hana með desimetrastiku sem 3,6 cm. Þú gætir ekki sett þetta gildi fram sem 3,65 cm vegna þess að mælitækið þitt var ekki nógu nákvæmt til að mæla hundraðasta úr sentimetra. Það skal tekið fram að síðasti tölustafurinn í mældu gildi hefur verið áætlaður á einhvern hátt af þeim sem framkvæmir mælinguna. Til dæmis tekur sá sem mælir lengd spýtu með reglustiku eftir því að lengd spýtunnar virðist vera einhvers staðar á milli 36 mm og 37 mm. Hann eða hún verður að áætla gildi síðasta tölustafsins. Reglan er sú að síðasti tölustafurinn sem skrifaður er niður í mælingu er fyrsti tölustafurinn með einhverri óvissu. Til dæmis hefur síðasta mælda gildið 36,5 mm þrjá tölustafi, eða þrjá markverða stafi. Fjöldi markverðra stafa í mælingu gefur til kynna nákvæmni mælitækisins. Því nákvæmara sem mælitæki er, þeim mun meiri fjölda markverðra stafa getur það gefið upp.

Núll

Sérstakt tillit er tekið til núlla þegar markverðir stafir eru taldir. Til dæmis eru núllin í 0,053 ekki markverð því þau eru aðeins sætisgildi sem staðsetja kommu. Það eru tveir markverðir stafir í 0,053—5 og 3. Hins vegar, ef núllið kemur fyrir á milli annarra markverðra stafa, eru núllin markverð. Til dæmis eru bæði núllin í 10,053 markverð, þar sem þessi núll voru raunverulega mæld. Þess vegna hefur 10,053 fimm markverða stafi. Núllin í 1300 geta verið markverð eða ekki, eftir því hvernig tölur eru ritaðar. Þau gætu þýtt að talan sé þekkt upp að síðasta núlli, eða núllin gætu verið sætisgildi. Svo 1300 gæti haft tvo, þrjá eða fjóra markverða stafi. Til að forðast þessa óvissu skal rita 1300 á staðalformi sem 1,3 $\times \text{⁠}$ 10³ . Aðeins markverðir stafir eru gefnir upp í x-liðnum fyrir tölu á staðalformi (á forminu $\times \text{⁠}$ 10ʸ ). Þess vegna vitum við að 1 og 3 eru einu markverðu stafirnir í þessari tölu. Í stuttu máli eru núll markverð nema þegar þau þjóna eingöngu sem sætisgildi. Tafla 1.4 gefur dæmi um fjölda markverðra stafa í ýmsum tölum.

Markverðir stafir í útreikningum

Þegar mælingar með mismunandi réttleika og nákvæmni eru sameinaðar, getur fjöldi markverðra stafa í lokasvarinu ekki verið meiri en fjöldi markverðra stafa í ónákvæmustu mældu stærðinni. Það gilda tvær mismunandi reglur, ein fyrir margföldun og deilingu og önnur regla fyrir samlagningu og frádrátt, eins og rætt er hér að neðan.

1. Fyrir margföldun og deilingu: Svarið ætti að hafa sama fjölda markverðra stafa og upphafsgildið með fæsta markverða stafi. Til dæmis má reikna flatarmál hrings út frá radíus hans með A = π r² . Við skulum sjá hversu marga markverða stafi flatarmálið mun hafa ef radíusinn hefur aðeins tvo markverða stafi, til dæmis r = 2,0 m. Með því að nota reiknivél sem heldur átta markverðum stöfum, fengirðu A = π r² = ( 3,1415927... ) $\times \text{⁠}$ ( 2,0 m ) 2 = 12,5663708 m² . En þar sem radíusinn hefur aðeins tvo markverða stafi, er reiknaða flatarmálið aðeins marktækt með tveimur markverðum stöfum eða A = 13 m² jafnvel þótt gildið á π π sé marktækt með að minnsta kosti átta tölustöfum.
   $$A=\text{ π}{r}^2=\left(\mathrm{3,1415927...}\right)\times {\left(\mathrm{2,0}\text{ m}\right)}^2=\mathrm{12,5663708}{\text{ m}}^2.$$
   $$A=13{\text{ m}}^2$$
2. Fyrir samlagningu og frádrátt: svarið á að hafa sömu aukastafanákvæmni og ónákvæmasta upphafsgildið. Ef þú kaupir 7,56 kg af kartöflum á vog með nákvæmni 0,01 kg, skilur eftir 6,052 kg á rannsóknarstofu á vog með nákvæmni 0,001 kg og bætir síðan við 13,7 kg heima á vog með nákvæmni 0,1 kg, fæst 15,208 kg. Þar sem ónákvæmasta gildið er gefið upp í tíundum er svarið 15,2 kg.
   $$\mathrm{7,56}\mathrm{kg}-\mathrm{6,052}\mathrm{kg}+\mathrm{13,7}\mathrm{kg}=\mathrm{15,208}\mathrm{kg}\approx \mathrm{15,2}\mathrm{kg}$$
   $$\mathrm{7,56}\mathrm{kg}-\mathrm{6,052}\mathrm{kg}+\mathrm{13,7}\mathrm{kg}=\mathrm{15,208}\mathrm{kg}\approx \mathrm{15,2}\mathrm{kg}$$

Markverðir stafir í þessari bók

Í dæminu hér að ofan er endanlegt nálgunargildi mun hærra en fyrsta ágiskun fyrri vinarins upp á 3 tommur. Hins vegar var fyrsta ágiskun seinni vinarins upp á 10 fet (120 tommur) nokkurn veginn rétt. Hvernig stóðst nálgunin samanborið við fyrstu ágiskun þína? Hvað getur þessi æfing gefið til kynna um gildi grófra ágiskana á móti vandlega útreiknuðum nálgunum?

Myndræn framsetning í eðlisfræði

Flestar niðurstöður í vísindum eru kynntar í vísindagreinum með línuritum. Línurit setja gögn fram á hátt sem auðvelt er fyrir fólk almennt að sjá fyrir sér, sérstaklega fyrir þá sem eru ókunnugir viðfangsefninu. Þau eru einnig gagnleg til að setja fram mikið magn gagna eða gögn með flókna tilhneigingu á auðlesinn hátt.

Ein algeng tegund línurita í eðlisfræði og öðrum vísindum er línurit (e. line graph), líklega vegna þess að það er besta línuritið til að sýna hvernig ein stærð breytist sem svar við annarri. Við skulum búa til línurit byggt á gögnunum í töflu 1.5 , sem sýnir mælda vegalengd sem lest ferðast frá stöð sinni miðað við tíma. Breytistærðirnar okkar tvær, eða hlutirnir sem breytast eftir línuritinu, eru tími í mínútum og fjarlægð frá stöðinni í kílómetrum. Munið að mæld gögn hafa ef til vill ekki fullkomna nákvæmni.

1. Teiknið ásana tvo. Lárétti ásinn, eða x-ásinn, sýnir óháðu breytuna (e. independent variable), sem er breytan sem er stjórnað eða breytt. Lóðrétti ásinn, eða y-ásinn, sýnir háðu breytuna (e. dependent variable), óstjórnuðu breytuna sem breytist með (eða er háð) gildi óháðu breytunnar. Í gögnunum hér að ofan er tími óháða breytan og ætti að teikna á x-ásinn. Fjarlægð frá stöðinni er háða breytan og ætti að teikna á y-ásinn.
2. Merkið hvern ás á línuritinu með heiti hverrar breytu, fylgt eftir með tákni fyrir einingar hennar innan sviga. Gætið þess að skilja eftir pláss svo hægt sé að númera hvern ás. Í þessu dæmi skal nota Tími (mín) sem merkingu fyrir x-ásinn.
3. Næst þarftu að ákvarða besta kvarðann til að nota við tölusetningu hvers áss. Þar sem tímagildin á x-ásnum eru tekin á 10 mínútna fresti, gætum við auðveldlega tölusett x-ásinn frá 0 til 70 mínútur með haki á 10 mínútna fresti. Sömuleiðis ætti kvarði y-ássins að byrja nógu lágt og halda áfram nógu hátt til að innihalda öll gildi fyrir fjarlægð frá stöð. Kvarði frá 0 km til 160 km ætti að duga, kannski með haki á 10 km fresti. Almennt viltu velja kvarða fyrir báða ása sem 1) sýnir öll gögnin þín, og 2) gerir það auðvelt að koma auga á tilhneigingar í gögnunum þínum. Ef þú hefur kvarðann of stóran verður erfiðara að sjá hvernig gögnin breytast. Sömuleiðis, því smærri og fínni sem þú hefur kvarðann, því meira pláss þarftu til að gera línuritið. Fjöldi marktækra tölustafa í ásgildunum ætti að vera grófari en fjöldi marktækra tölustafa í mælingunum.
4. Nú þegar ásarnir eru tilbúnir geturðu byrjað að teikna inn gögnin þín. Fyrir fyrsta gagnapunktinn, teldu eftir x-ásnum þar til þú finnur 10 mín hakið. Teldu síðan upp frá þeim punkti að 10 km hakinu á y-ásnum, og áætlaðu hvar 22 km er eftir y-ásnum. Settu punkt á þennan stað. Endurtaktu fyrir hina sex gagnapunktana ( Mynd 1.26 ). Mynd 1.26 Línurit af fjarlægð lestarinnar frá stöðinni sem fall af tíma úr æfingunni hér að ofan.

   

5. Bættu titli efst á línuritið til að taka fram hverju línuritið lýsir, eins og stærðin á y-ásnum á móti stærðinni á x-ásnum. Á línuritinu sem sýnt er hér er titillinn hreyfing lestar. Það gæti einnig borið titilinn fjarlægð lestar frá stöð á móti tíma.
6. Að lokum, með gagnapunktana komna á línuritið, ættirðu að teikna leitnilínu ( Mynd 1.27 ). Leitnilínan táknar sambandið sem þú telur að línuritið sýni, svo að sá sem skoðar línuritið þitt geti séð hversu nálægt það er raunverulegum gögnum. Í þessu tilviki, þar sem gagnapunktarnir líta út fyrir að eiga að falla á beina línu, myndirðu teikna beina línu sem leitnilínu. Teiknaðu hana þannig að hún komi næst öllum punktunum. Raunveruleg gögn geta haft einhverja ónákvæmni og teiknuðu punktarnir falla kannski ekki allir á leitnilínuna. Í sumum tilfellum fellur enginn af gagnapunktunum nákvæmlega á leitnilínuna. Mynd 1.27 Fullgert línuritið með leitnilínunni innifalinni.

   

Greining línurits með jöfnu þess

Ein leið til að fá fljótt yfirlit yfir gagnasafn er að skoða jöfnu leitnilínu þess. Ef línuritið myndar beina línu tekur jafna leitnilínunnar formið

b-ið í jöfnunni er skurðpunkturinn við y-ásinn en m-ið í jöfnunni er hallatalan. Skurðpunkturinn við y-ásinn segir þér við hvaða y-gildi línan sker y-ásinn. Í tilviki línuritsins hér að ofan verður skurðpunkturinn við y-ásinn við 0, alveg í byrjun línuritsins. Skurðpunkturinn við y-ásinn lætur þig því vita strax hvar á y-ásnum línan byrjar.

m-ið í jöfnunni er hallatalan. Þetta gildi lýsir því hversu mikið línan á línuritinu færist upp eða niður á y-ásnum eftir lengd línunnar. Hallatalan er fundin með því að nota eftirfarandi jöfnu

Til að leysa þessa jöfnu þarftu að velja tvo punkta á línunni (helst langt frá hvor öðrum á línunni svo hallatalan sem þú reiknar lýsi línunni nákvæmlega). Stærðirnar Y₂ og Y₁ tákna y-gildin frá punktunum tveimur á línunni (ekki gagnapunktum) sem þú valdir, en X₂ og X₁ tákna x-gildin tvo fyrir þá punkta.

Hvað getur hallatalan sagt þér um línuritið? Hallatala fullkomlega láréttrar línu verður núll, en hallatala fullkomlega lóðréttrar línu verður óskilgreind því ekki er hægt að deila með núlli. Jákvæð hallatala gefur til kynna að línan færist upp eftir y-ásnum eftir því sem x-gildið eykst, en neikvæð hallatala þýðir að línan færist niður eftir y-ásnum. Því meira neikvæð eða jákvæð sem hallatalan er, því brattari færist línan upp eða niður, í sömu röð. Hallatala línuritsins okkar á Mynd 1.26 er reiknuð hér að neðan út frá tveimur endapunktum línunnar

Jafna línu: y = ( 2,0 km/mín ) $\times$ + 0

Þar sem x-ásinn er tími í mínútum, værum við í raun líklegri til að nota tímann t sem óháðu (x-ás) breytuna og rita jöfnuna sem

fyrir einhverja tölu k, er ein sérstök tegund af öfugu sambandi. Þriðja algenga sambandið er veldisvísissamband, þar sem breyting á óháðu breytunni veldur hlutfallslegri breytingu á háðu breytunni. Þegar gildi háðu breytunnar stækkar, eykst vaxtarhraði hennar einnig. Til dæmis fjölga bakteríur sér oft með veldisvexti þegar þær eru ræktaðar við kjöraðstæður. Eftir því sem hver kynslóð líður eru fleiri og fleiri bakteríur til að fjölga sér. Fyrir vikið eykst vaxtarhraði bakteríustofnsins með hverri kynslóð ( Mynd 1.28 ).

Notkun lograkvarða við gerð línurita

Stundum getur breyta haft mjög stórt svið gilda. Þetta skapar vandamál þegar reynt er að finna besta kvarðann til að nota á ása grafsins. Einn möguleiki er að nota logaritmískan kvarða (log-kvarða). Á logaritmískum kvarða er gildið sem hvert merki táknar gildi fyrra merkis margfaldað með einhverjum fasta. Fyrir log-kvarða með grunntölu 10 táknar hvert merki gildi sem er 10 sinnum gildi merkisins á undan því. Þess vegna væri logaritmískur kvarði með grunntölu 10 númeraður: 0, 10, 100, 1.000, o.s.frv. Þú getur séð hvernig logaritmíski kvarðinn nær yfir miklu stærra svið gilda en samsvarandi línulegur kvarði, þar sem merkin myndu tákna gildin 0, 10, 20, 30, og svo framvegis.

Ef þú notar logaritmískan kvarða á öðrum ás grafsins og línulegan kvarða á hinum ásnum, ertu að nota hálf-logaritmískt línurit (semi-log plot). Richter-kvarðinn, sem mælir styrk jarðskjálfta, notar hálf-logaritmískt línurit. Stig jarðhreyfingar er teiknað á logaritmískum kvarða á móti úthlutuðu styrkleikastigi jarðskjálftans, sem spannar línulegt bil frá 1-10 ( Mynd 1.29 (a) ).

Ef graf hefur báða ása á logaritmískum kvarða, þá er talað um log-log línurit. Sambandið milli bylgjulengdar og tíðni rafsegulgeislunar, eins og ljóss, er venjulega sýnt sem log-log línurit ( Mynd 1.29 (b) ). Log-log línurit eru einnig almennt notuð til að lýsa veldisvísisföllum, eins og geislavirkri hrörnun.

Athugaðu skilning þinn