1616 Speglar og linsur

16.2 Ljósbrot

Í lok þessa kafla muntu geta gert eftirfarandi:

Útskýrt ljósbrot við skil miðla, spáð fyrir um feril ljóss eftir að það fer í gegnum skil með lögmáli Snells, lýst brotstuðli efna, útskýrt alspeglun og lýst notkun ljósbrots og alspeglunar.
Framkvæmt útreikninga með lögmáli ljósbrots, lögmáli Snells og skilyrðum fyrir alspeglun.

Ljósbrot og brotstuðull

Þegar horft er í fiskabúr má stundum sjá sama fiskinn virðast vera á tveimur stöðum. Ástæðan er að ljós frá fiskinum breytir um stefnu þegar það fer úr vatni í loft, og tveir ljósgeislar eftir ólíkum leiðum geta báðir náð til augans. Slík stefnubreyting ljósgeisla við skil miðla kallast ljósbrot.

Maður horfir á horn fiskabúrs og sér sama fiskinn virðast birtast bæði hægra og vinstra megin við hornið vegna ljósbrots. — **Mynd 16.16.** Ljós sem berst frá fiski breytir um stefnu þegar það fer úr vatni í loft. Þar sem ljósgeislar geta farið eftir tveimur leiðum til augans virðist sami fiskurinn vera á tveimur stöðum.

Ljós breytir um stefnu þegar það fer úr einum miðli í annan vegna þess að hraði ljóss breytist. Ljóshraði í tómarúmi, c, er ein af grunnstærðum eðlisfræðinnar og er um það bil 3,00 $\times ⁠$ 10⁸ m/s:

c = 2,99792458 \times 10^{8} m/s \approx 3,00 \times 10^{8} m/s

Í efni er ljóshraðinn minni en í tómarúmi. Brotstuðull efnis, n, er skilgreindur sem hlutfall ljóshraða í tómarúmi og hraða ljóss í efninu:

n = \frac{c}{v},

Þar sem v er hraði ljóss í efninu er brotstuðull alltaf stærri en eða jafn og einn. Nokkur dæmigerð gildi eru:

Gastegundir við 0 °C og 1 atm: loft 1,000293; koldíoxíð 1,00045; vetni 1,000139; súrefni 1,000271.
Vökvar við 20 °C: bensen 1,501; koldísúlfíð 1,628; koltetraklóríð 1,461; etanól 1,361; glýserín 1,473; ferskvatn 1,333.
Föst efni við 20 °C: demantur 2,419; flúorít 1,434; króngler 1,52; flintgler 1,66; ís við 0 °C 1,309; plexígler 1,51; pólýstýren 1,49; kristallaður kvars 1,544; bræddur kvars 1,458; natríumklóríð 1,544; zirkon 1,923.

Mynd 16.17 sýnir hvernig geisli breytir um stefnu þegar hann fer milli miðla. Ef geislinn hægir á sér beygir hann að lóðlínu. Ef hann hraðar á sér beygir hann frá lóðlínu. Ferillinn er afturkræfur.

Tvær myndir bera saman sláttuvél sem fer af gangstétt yfir á gras og af grasi yfir á gangstétt; ferillinn beygir að eða frá lóðlínu líkt og ljósgeisli. — **Mynd 16.17.** Ljósgeisli beygir að lóðlínu þegar hann fer í miðil þar sem hann hægir á sér, en frá lóðlínu þegar hann fer í miðil þar sem hann hraðar á sér. Sláttuvél sem fer milli gangstéttar og grass sýnir hliðstæða stefnubreytingu.

Beygður blýantur

Klassísk athugun á ljósbroti er að setja blýant í glas sem er hálffyllt af vatni. Þegar horft er á blýantinn frá hlið virðist hann bogna eða brotna þar sem ljós fer milli vatns, glers og lofts.

Blýantur í fullri lengd.
Glas sem er hálffyllt af vatni.

Settu blýantinn í vatnsglasið.
Skoðaðu blýantinn frá hlið.
Útskýrðu athuganir þínar.

Lögmál Snells og ljóstvístrun

Hversu mikið ljósgeisli breytir um stefnu ræðst bæði af innfallshorninu og hraðabreytingunni milli miðla. Stærðfræðilega sambandið kallast lögmál ljósbrots eða lögmál Snells:

n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2} eða \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{sin θ_{2}}{sin θ_{1}} .

Með tilliti til hraða má rita lögmál Snells sem

\frac{\sin θ_{1}}{\sin θ_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}} .

Hér eru n₁ og n₂ brotstuðlar miðla 1 og 2, og θ1 og θ2 eru hornin milli geislanna og lóðlínunnar. Innkomandi geislinn kallast innfallsgeisli og útkomandi geislinn brotgeisli. Hornin kallast innfallshorn og brothorn.

Ljóstvístrun er dreifing hvíts ljóss í bylgjulengdirnar sem það er samsett úr. Hún verður vegna þess að brotstuðull er örlítið breytilegur eftir bylgjulengd. Glerstrendingur tvístrar hvítu ljósi í liti regnbogans.

Geislar fara í gegnum glerstrending; einlitt ljós brotnar og hvítt ljós tvístrast í liti regnbogans. — **Mynd 16.18.** Strendingur brýtur einlitt ljós við báða fleti. Hvítt ljós verður fyrir ljóstvístrun vegna þess að brotstuðullinn breytist með bylgjulengd.

Regnbogar verða til við samspil ljósbrots, endurkasts og ljóstvístrunar. Ljós fer inn í vatnsdropa, endurkastast af bakhlið hans og brotnar aftur þegar það fer út.

Sólarljós fer inn í vatnsdropa, tvístrast, endurkastast af bakhlið dropans og brotnar aftur þegar það fer út. — **Mynd 16.19.** Regnbogi myndast þegar ljós brotnar, endurkastast og tvístrast í vatnsdropa.

Litir með lengri bylgjulengd og hærri tíðni beygja mest við ljósbrot.
Litir með styttri bylgjulengd og hærri tíðni beygja mest við ljósbrot.
Litir með styttri bylgjulengd og lægri tíðni beygja mest við ljósbrot.
Litir með lengri bylgjulengd og lægri tíðni beygja mest við ljósbrot.

Alspeglun og markhorn

Þegar ljós fer úr miðli með hærri brotstuðul í miðil með lægri brotstuðul beygir brotgeislinn frá lóðlínu. Ef innfallshornið stækkar getur brothornið orðið 90°. Innfallshornið sem gefur brothornið 90° kallast markhorn, θc. Ef innfallshornið er stærra en markhornið endurkastast allt ljósið aftur inn í fyrri miðilinn. Þetta kallast alspeglun.

Þrjár myndir sýna ljós á skilum tveggja miðla: venjulegt ljósbrot, markhorn og alspeglun. — **Mynd 16.20.** Þegar ljós fer úr miðli með hærri brotstuðul í miðil með lægri brotstuðul beygir brotgeislinn frá lóðlínu. Við markhornið er brothornið 90°. Fyrir stærra innfallshorn verður alspeglun.

Lögmál Snells er

n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2} .

Við markhornið er θ1 = θc og θ2 = 90°, þannig að

n_{1} \sin θ_{c} = n_{2} .

Því er markhornið

θ_{c} = \sin^{- 1} (\frac{n_{2}}{n_{1}}),

fyrir n₁ > n₂.

Alspeglun og hár brotstuðull skýra hvers vegna demantar tindra. Markhorn demants gagnvart lofti er aðeins 24,4°, þannig að ljós sem fer inn í demant á erfitt með að sleppa út aftur.

Teikning af demanti sýnir ljósgeisla fara inn í demantinn og endurkastast mörgum sinnum af flötum hans. — **Mynd 16.21.** Demantar tindra vegna þess að markhorn gagnvart lofti er lítið og ljósið verður fyrir mörgum innri alspeglunum áður en það sleppur út.

Ljósgeisli sem fellur á tvo endurkastandi fleti sem eru hornréttir hvor á annan endurkastast samsíða þeirri stefnu sem hann kom úr. Slíkur hlutur kallast hornspegill og er notaður í endurskinsmerkjum, sjónaukum og sjónpípum.

Sjónauki er sýndur með skurðmynd þar sem ljósgeisli fer inn, endurkastast af tveimur strendingum og fer út um augngler. — **Mynd 16.22.** Sjónauki notar hornspegla með alspeglun til að beina ljósinu til augans.

Ljósleiðarar nýta alspeglun til að flytja síma-, internet- og sjónvarpsmerki. Slíkur ljósleiðari hefur kjarna með hærri brotstuðul en klæðninguna utan um hann, þannig að ljós endurkastast aftur og aftur eftir þræðinum.

Þversnið af ljósleiðara sýnir kjarna og klæðningu; ljósgeisli endurkastast eftir beinum og bognum ljósleiðara. — **Mynd 16.23.** Ljósleiðari hefur kjarna með hærri brotstuðul en klæðningin. Ljós sem fellur á mörkin við nógu stórt horn verður fyrir alspeglun og berst eftir þræðinum.

Læknisfræði: Holsjár

Holsjá er lækningatæki sem notar ljósleiðara til að flytja ljós og myndir um sveigjanlegt rör. Læknar nota holsjár til að skoða hol líffæri og líkamshol, greina innvortis vandamál og stundum framkvæma litlar skurðaðgerðir.

Teikning af holsjá sýnir augngler og ljósleiðararör. — **Mynd 16.24.** Holsjá notar sveigjanlegan ljósleiðara til að senda ljós og myndir til og frá svæðum inni í líkamanum.

Ferlið er ljósbrot.
Ferlið er ljóstvístrun.
Ferlið er alspeglun ljóss.
Ferlið er skautun ljóss.

Reiknidæmi

Reiknið brotstuðul fasts miðils þar sem hraði ljóss er 2,012 $\times ⁠$ 10⁸ m/s og greinið líklegasta efnið.

n = \frac{c}{v},

n = \frac{c}{v} = \frac{3,00 \times 10^{8} m/s}{2,012 \times 10^{8} m/s} = 1,49

Gildið 1,49 samsvarar pólýstýreni í brotstuðlatöflunni. Hraðaeiningarnar styttast út og svarið er einingarlaust.

Óþekkt, tært fast efni er í vatni. Ljós fer inn í efnið við 45,00° og brothornið mælist 40,30°. Nota þarf lögmál Snells til að finna brotstuðul efnisins.

\frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{sin θ_{2}}{sin θ_{1}}

n_{2} = \frac{n_{1} sin θ_{1}}{sin θ_{2}} .

n_{2} = \frac{(1,333) (0,7071)}{0,6468} = 1,457

Besta samsvörunin er bræddur kvars, með n = 1,458. Minna θ2 en θ1 sýnir að geislinn beygir að lóðlínu, eins og vænta má þegar nýi miðillinn hefur hærri brotstuðul en vatn.

Staðfestið að markhorn ljóss sem fer úr vatni í loft sé 48,6°.

θ_{c} = \sin^{- 1} (\frac{n_{2}}{n_{1}}), fyrir n_{1} > n_{2} .

\begin{array}{l} \frac{n_{2}}{n_{1}} = \frac{1,0003}{1,333} = 0,7504 \\ \sin^{- 1} (0,7504) = 48,63° . \end{array}

Við markhorn er leitað að horninu þar sem ljós getur ekki lengur sloppið yfir skil miðla með ljósbroti. Hér er vatn miðill 1 og loft miðill 2.

Brotstuðull etanóls er 1,36. Hver er ljóshraðinn í etanóli?

2,25 $\times ⁠$ 10⁸ m/s
2,21 $\times ⁠$ 10⁷ m/s
2,25 $\times ⁠$ 10⁹ m/s
2,21 $\times ⁠$ 10⁸ m/s

Brotstuðull lofts er 1,0003 og brotstuðull kristallaðs kvars er 1,544. Hvert er markhornið fyrir ljósgeisla sem fer úr kristölluðum kvars í loft?

49,61°
20,19°
0,6479 rad
0,7048 rad

Athugaðu skilning þinn

Hvaða lögmál er tjáð með jöfnunni n₁ sin θ1 = n₂ sin θ2?

Lögmál Ohms.
Hliðrunarlögmál Wiens.
Lögmál Snells.
Lögmál Newtons.

Útskýrðu hvers vegna brotstuðull er alltaf stærri en eða jafn og einn.

n = v/c, þar sem v > c, svo n er alltaf stærra en einn.
n = c/v, þar sem c > v í efni, svo n er alltaf stærra en eða jafnt og einn.
n = c $\times$ v, þar sem c og v eru stærri en einn, svo n er alltaf stærra en einn.
n = c + v, þannig að n er alltaf stærra en einn.