11.2 Ritun jafna til að líkja eftir samböndum, hluti 1
1.2.2 Líkanagerð með jöfnum til að finna brúnir í platónskum rýmismyndum
1.2.2 Líkanagerð með jöfnum til að finna brúnir platónskra margflötunga
1.2.2 • Líkanagerð með jöfnum til að finna brúnir platónskra margflötunga
Verkefni
Þessar þrjár rýmismyndir eru platónskir margflötungar.
Fjórflötungur
Teningur
Tólfflötungur
fletir
horn
brúnir
fjórflötungur
4
4
6
teningur
tólfflötungur
12
20
30
Taflan sýnir fjölda flata, horna og brúna í fjórflötungi og tólfflötungi.
Ákvarðaðu eftirfarandi gildi fyrir teninginn.
1.
Fjöldi flata.
[Sýna/fela lausn]
6.
2.
Fjöldi brúna.
[Sýna/fela lausn]
8.
3.
Fjöldi horna.
[Sýna/fela lausn]
12.
Það eru nokkur áhugaverð tengsl milli fjölda flata (𝐹), brúna (𝐸) og horna (𝑉) í öllum platónskum margflötungum.
4.
Hvað tekurðu eftir um tengslin milli fjölda flata, brúna og horna í platónsku margflötungunum?
[Sýna/fela lausn]
Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi.
Ég tók eftir að allar tölurnar eru sléttar.
Ég tók eftir að fjöldi flata er minni en eða jafn fjölda horna, eða 𝐹 ≤ 𝑉.
Ég tók eftir að fjöldi brúna er alltaf meiri en fjöldi flata, eða 𝐸 > 𝐹.
5.
Hvaða spurningar vakna hjá þér um tengslin milli fjölda flata, brúna og horna í platónsku margflötungunum?
[Sýna/fela lausn]
Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi.
Ég velti fyrir mér hvort fjöldi brúna sé alltaf minni en summa fjölda flata og horna, eða 𝐸 < 𝐹 + 𝑉.
Ég velti fyrir mér hvort til sé jafna sem tengir allar breyturnar.
6.
Tengslin má setja fram með jöfnu sem notar öll þrjú gildin: 𝐹, 𝑉 og 𝐸. Ritaðu jöfnuna sem sýnir hvernig gildin þrjú tengjast.
[Sýna/fela lausn]
Berðu saman svarið þitt:
Fjöldi brúna er 2 færri en summa hinna tveggja talnanna, eða 𝑉 + 𝐹 − 2 = 𝐸.
Ertu tilbúin í meira?
Að hugsa lengra
Það eru tveir platónskir margflötungar til viðbótar: áttflötungur, sem hefur 8 fleti sem allir eru þríhyrningar, og tuttuguflötungur, sem hefur 20 fleti sem allir eru þríhyrningar.
1a.
Hversu margar brúnir hefur hvor þessara margflötunga? Hafðu í huga að hver brún er sameiginleg tveimur flötum.
Hversu margar brúnir hefur áttflötungurinn?
[Sýna/fela lausn]
Áttflötungurinn hefur 12 brúnir.
1b.
Hversu margar brúnir hefur tuttuguflötungurinn?
[Sýna/fela lausn]
Tuttuguflötungurinn hefur 30 brúnir.
2a.
Notaðu það sem þú uppgötvaðir í verkefninu til að ákvarða hversu mörg horn hvor þessara margflötunga hefur.
Hversu mörg horn hefur áttflötungurinn?
[Sýna/fela lausn]
Áttflötungurinn hefur 6 horn.
2b.
Hversu mörg horn hefur tuttuguflötungurinn?
[Sýna/fela lausn]
Tuttuguflötungurinn hefur 12 horn.
3.
Fyrir alla fimm platónsku margflötungana skaltu ákvarða hversu margir fletir mætast í hverju horni.
[Sýna/fela lausn]
Fjórflötungurinn, teningurinn og tólfflötungurinn hafa 3 fleti sem mætast í hverju horni. Áttaflötungurinn hefur 4 fleti sem mætast í hverju horni. Tuttuguflötungurinn hefur 5 fleti sem mætast í hverju horni.
Ítarefni
Að rita jöfnur með algebraískum táknum
Þegar staðhæfingar eru ritaðar með algebraískum táknum geta eftirfarandi skref verið gagnleg.
Mundu að breytur tákna gildi í dæminu sem geta breyst.
Skoðum tvö dæmi um hvernig hægt er að rita staðhæfingar með algebraískum táknum.
Dæmi 1
Við viljum setja eftirfarandi staðhæfingu fram með táknum:
Summa þriggja heiltalna í röð er 372.
Skref 1 - Lestu dæmið. Summa þriggja heiltalna í röð er 372.
Skref 2 - Greindu breyturnar og þekktu gildin. Teiknaðu mynd af aðstæðunum ef það hjálpar.
Látum 𝑥 tákna fyrstu heiltöluna. Tvær næstu tölur koma á eftir 𝑥. Hver tala er 1 hærri en talan á undan: 𝑥 + 1 og 𝑥 + 2. Summa allra þriggja talnanna er 372.
Skref 3 - Ritaðu setningu sem lýsir tengslunum milli gildanna. Summa 𝑥, 𝑥 + 1 og 𝑥 + 2 er 372.
Skref 4 - Þýddu setninguna yfir í jöfnu.
Dæmi 2
Við viljum setja eftirfarandi staðhæfingu fram með táknum: Summa þriggja oddatalna í röð er 93.
Skref 1 - Lestu dæmið. Summa þriggja oddatalna í röð er 93.
Skref 2 - Greindu breyturnar og þekktu gildin. Teiknaðu mynd af aðstæðunum ef það hjálpar.
Látum 𝑥 tákna fyrstu oddatöluna. Tvær næstu oddatölur koma á eftir 𝑥. Hver tala er 2 hærri en talan á undan: 𝑥 + 2 og 𝑥 + 4. Summa allra þriggja talnanna er 93.
Skref 3 - Ritaðu setningu sem lýsir tengslunum milli gildanna. Summa 𝑥, 𝑥 + 2 og 𝑥 + 4 er 93.
