2.6.3 Að finna lausnir í óröðuðum söfnum jafngildra jöfnuhneppa

2.6.3 Að finna lausnir í óröðuðum söfnum jafngildra jöfnuhneppa

Verkefni

• Kennarinn fær þér nokkra miða með jöfnuhneppum. Hvert jöfnuhneppi táknar eitt skref í lausn þessa jöfnuhneppis:

  $$\{\begin{array}{rcl}\frac{4}{5}x+6y& =& 15\\ -x+18y& =& 11\end{array}$$

  Raðaðu miðunum í þá röð sem leiðir að lausn. Gættu þess að geta lýst hvaða aðgerð færir eitt jöfnuhneppi yfir í það næsta.

• Berðu saman svarið þitt:

• Upphaflegt jöfnuhneppi

  $$\{\begin{array}{rcl}\frac{4}{5}x+6y& =& 15\\ -x+18y& =& 11\end{array}$$

• Skref 1

  $$\{\begin{array}{rcl}4x+30y& =& 75\\ -x+18y& =& 11\end{array}$$

• Skref 2

  $$\{\begin{array}{rcl}4x+30y& =& 75\\ -4x+72y& =& 44\end{array}$$

• Skref 3

  $$\{\begin{array}{rcl}4x+30y& =& 75\\ 102y& =& 119\end{array}$$

• Skref 4

  $$\{\begin{array}{rcl}4x+30y& =& 75\\ y& =& \frac{7}{6}\end{array}$$

• Skref 5

  $$\{\begin{array}{rcl}4x+35& =& 75\\ y& =& \frac{7}{6}\end{array}$$

• Skref 6

  $$\{\begin{array}{rcl}4x& =& 40\\ y& =& \frac{7}{6}\end{array}$$

• Skref 7

  $$\{\begin{array}{rcl}x& =& 10\\ y& =& \frac{7}{6}\end{array}$$

  Útskýrðu hvers vegna jöfnuhneppin eru jafngild frá upprunalega jöfnuhneppinu að skrefi 1.

• Berðu saman svarið þitt:

• Margfaldað er báðum hliðum fyrri jöfnunnar með 5.

• Útskýrðu hvers vegna jöfnuhneppin eru jafngild frá skrefi 1 að skrefi 2.

• Berðu saman svarið þitt:

• Margfaldað er báðum hliðum seinni jöfnunnar með 4.

• Útskýrðu hvers vegna jöfnuhneppin eru jafngild frá skrefi 2 að skrefi 3.

• Berðu saman svarið þitt:

• Jöfnurnar í skrefi 2 eru lagðar saman, þannig að x-breytan fellur út.

• Útskýrðu hvers vegna jöfnuhneppin eru jafngild frá skrefi 3 að skrefi 4.

• Berðu saman svarið þitt:

• Báðum hliðum jöfnunnar 102y = 119 er deilt með 102 til að leysa fyrir y.

• Útskýrðu hvers vegna jöfnuhneppin eru jafngild frá skrefi 4 að skrefi 5.

• Berðu saman svarið þitt:

• Gildið y = 7/6 er sett inn í fyrri jöfnuna og stæðan er reiknuð.

• Útskýrðu hvers vegna jöfnuhneppin eru jafngild frá skrefi 5 að skrefi 6.

• Berðu saman svarið þitt:

• 35 er dregið frá báðum hliðum fyrri jöfnunnar.

• Útskýrðu hvers vegna jöfnuhneppin eru jafngild frá skrefi 6 að skrefi 7.

• Berðu saman svarið þitt:

• Báðum hliðum jöfnunnar 4x = 40 er deilt með 4 til að leysa fyrir x.

Ertu til í meira?

Að víkka hugsunina

Þetta jöfnuhneppi hefur lausnina (5, −2):

Finndu gildið á A sem vantar. Berðu saman svarið þitt:

Finndu gildið á B sem vantar. Berðu saman svarið þitt:

Ítarefni

Að leysa jöfnuhneppi með því að fella út breytu þegar brot koma fyrir

Þú raðaðir nýlega skrefum til að leysa jöfnuhneppi með því að fella út breytu. Prófaðu sömu skref þegar jöfnurnar innihalda brot.

Þegar jöfnuhneppi inniheldur brot losum við fyrst við brotin með því að margfalda hverja jöfnu með minnsta samnefnara allra brotanna í þeirri jöfnu.

Leystu jöfnuhneppið með því að fella út breytu:

1. Athugaðu hvort hver jafna sé á staðalforminu Ax + $\text{By}=\text{C}$. Báðar jöfnurnar eru á staðalformi.
2. Til að losna við brotin skaltu margfalda hverja jöfnu með minnsta samnefnara hennar.
   $$2(x+\frac{1}{2}y=6)$$
   $$6(\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y=\frac{17}{2})$$
3. Einfaldaðu jöfnurnar.
   $$\{\begin{array}{rcl}2x+y& =& 12\\ 9x+4y& =& 51\end{array}$$
4. Margfaldaðu fyrri jöfnuna með −4 til að fá gagnstæða stuðla fyrir y.
   $$-4(2x+y=12)=-8x-4y=-48$$
5. Leggðu jöfnurnar saman til að fella út y.
   $$\begin{array}{rcl}-8x-4y& =& -48\\ 9x+4y& =& 51\\ x& =& 3\end{array}$$
6. Settu x = 3 inn í eina af jöfnunum og leystu fyrir y.
   $$\begin{array}{rcl}2x+y& =& 12\\ 2\left(3\right)+y& =& 12\\ 6+y& =& 12\\ y& =& 6\end{array}$$
7. Ritaðu lausnina sem raðaða tvennd.
   $$(3,6)$$
8. Athugaðu hvort raðaða tvenndin sé lausn beggja upprunalegu jafnanna.
   $$\begin{array}{cc}3+\frac{1}{2}\left(6\right)=6\hfill & 6=6\text{✓}\hfill \\ \frac{3}{2}\left(3\right)+\frac{2}{3}\left(6\right)=\frac{17}{2}\hfill & \frac{17}{2}=\frac{17}{2}\text{✓}\hfill \end{array}$$