22.7 Línuleg jöfnuhneppi og lausnir þeirra

2.7.2 Línuleg jöfnuhneppi án lausnar

2.7.2 Línuleg jöfnuhneppi sem hafa enga lausn

Verkefni

Íþróttamiðstöð býður sérstök sumarverð á sundkortum og líkamsræktarkortum. Fyrsta dag tilboðsins greiddi fjölskylda 96 dollara fyrir 4 sundkort og 2 líkamsræktarkort. Síðar sama dag keypti kona sundkort fyrir sig, sundkort fyrir vinkonu sína og 1 líkamsræktarkort. Hún greiddi 72 dollara.

Skrifaðu jöfnuhneppi sem táknar sambandið milli sundkorta, líkamsræktarkorta og kostnaðar. Taktu fram hvað hver breyta táknar.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

{4p+2g=96; 2p+g=72}

Hér táknar p verð á einu sundkorti og g verð á líkamsræktarkorti fyrir einn einstakling.

Finndu verð á sundkorti og verð á líkamsræktarkorti með því að leysa jöfnuhneppið með algebru. Gættu þess að geta sýnt rökstuðninginn þinn.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt: Jöfnuhneppið hefur enga lausn. Til dæmis leiðir lausn með því að fella út breytu eða nota innsetningu til ósannrar jöfnu eins og:

0=24

Notaðu Desmos-grafreiknitækið eða annað grafreiknitæki. Teiknaðu gröf jafnanna í jöfnuhneppinu.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt:

Graf af jöfnuhneppi með tveimur línulegum jöfnum í fyrsta fjórðungi. y-ásinn sýnir verð á líkamsræktarkorti og x-ásinn verð á sundkorti. Tvær línur eru teiknaðar.

Skráðu síðan eina til tvær athuganir um gröfin.

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi.

Gröfin eru tvær samsíða línur sem skerast ekki.

Línurnar hafa sömu hallatölu en mismunandi skurðpunkta við y-ás.

Hvernig tengjast athuganir þínar á grafi þessa jöfnuhneppis því að jöfnuhneppið hefur enga lausn?

[Sýna/fela lausn]

Berðu saman svarið þitt: Svör geta verið mismunandi.

Ítarefni

Að leysa ósamkvæmt jöfnuhneppi

Nú þegar þú þekkir nokkrar aðferðir til að leysa jöfnuhneppi geturðu notað þær til að bera kennsl á ósamkvæm jöfnuhneppi. Ósamkvæmt jöfnuhneppi hefur enga lausn. Í hnitakerfi birtist slíkt jöfnuhneppi sem samsíða línur með sömu hallatölu en mismunandi skurðpunkta við y-ás; þær skerast aldrei. Þegar reynt er að leysa ósamkvæmt jöfnuhneppi fæst ósönn staðhæfing, til dæmis:

12=0

Leystu eftirfarandi jöfnuhneppi.

x=9−2y

x+2y=13

Lausn

Við getum nálgast dæmið á tvo vegu. Þar sem önnur jafnan er þegar leyst fyrir x er eðlilegt að byrja á innsetningu.

x+2y=13; (9−2y)+2y=13; 9+0y=13; 9=13

Þetta er mótsögn, því:

9≠13

Þess vegna hefur jöfnuhneppið enga lausn.

Önnur leið er að umrita báðar jöfnurnar á hallatöluform. Fyrri jafnan verður:

x=9−2y

2y=−x+9

y=−1/2x+9/2

Seinni jafnan verður:

x+2y=13; 2y=−x+13; y=−1/2x+13/2

Jöfnurnar hafa sömu hallatölu en mismunandi skurðpunkta við y-ás. Þess vegna eru línurnar samsíða og skerast ekki.

y=−1/2x+9/2

y=−1/2x+13/2

Að leysa ósamkvæmt jöfnuhneppi

Leystu eftirfarandi jöfnuhneppi. Ef það hefur enga lausn skaltu útskýra hvernig þú veist það.

{9x+3y=−24; 6x+2y=14}

Berðu saman svarið þitt: Hér er ein leið til að leysa jöfnuhneppið.

Til að leysa með því að fella út breytu látum við fyrst stuðla annarrar breytunnar verða eins svo hægt sé að draga jöfnurnar hvor frá annarri.

2(9x+3y)=2(−24)

3(6x+2y)=3(14)

Eftir einföldun fæst:

18x+6y=−48

18x+6y=42

Drögum jöfnurnar hvor frá annarri:

18x+6y=−48; 18x+6y=42; 0=−90

Þar sem þessi jafna getur aldrei verið sönn hefur jöfnuhneppið enga lausn.

Með annarri aðferð má líka skrifa hvora jöfnu á hallatöluform:

y=−3x−8

y=−3x−7

Þar sem jöfnurnar hafa sömu hallatölu og mismunandi skurðpunkta við y-ás vitum við að jöfnuhneppið hefur enga lausn.