77.7 Skilgreiningarmengi, myndmengi, topppunktur og núllstöðvar annars stigs falla

7.7.3 Skilgreiningarmengi, topppunktur og núllstöð annars stigs falla

Verkefni

Opnaðu Desmos-leiðbeiningarnar ef þú þarft að rifja upp hvernig grafreiknivélin er notuð.

Hér eru þrjár lýsingar og jöfnur sem tákna kunnugleg annars stigs föll. Gröfin sýna það sem grafteikniverkfæri gæti birt þegar jöfnurnar eru teiknaðar. Til að fá nákvæmara svar skaltu nota grafteikniverkfæri eða annað stafrænt verkfæri.

Fyrir hverjar aðstæður skaltu lýsa skilgreiningarmengi sem á við. Hugsaðu um efri og neðri mörk inntaksins og hvort allar tölur séu skynsamleg inntaksgildi. Ritaðu skilgreiningarmengið sem ójöfnu og lýstu hvernig breyta ætti grafinu til að sýna það.

Lýstu líka myndmengi sem á við. Hugsaðu um hvaða úttaksgildi eru möguleg, ritaðu myndmengið sem ójöfnu og útskýrðu hvað það merkir í aðstæðunum.

Finndu eða áætlaðu topppunkt grafsins og lýstu því hvað hann merkir. Finndu eða áætlaðu núllstöðvar fallsins og lýstu því hvað þær merkja.

Spurningar 1-4

Flatarmál rétthyrnings með $25$ metra ummál og hliðarlengdina $x$ er gefið með fallinu $A(x)=x(25-2x)/2$

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn sýnir hliðarlengd rétthyrnings í metrum og y-ásinn sýnir flatarmál hans í fermetrum. x-ásinn nær frá 0 til 15 með kvarðanum 2,5 og y-ásinn frá 0 til 40 með kvarðanum 10.

1. Hvaða ójafna lýsir skilgreiningarmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $0 < x < 12.5$

Allar jákvæðar ræðar tölur geta verið inntaksgildi. Sá hluti grafsins sem er fyrir neðan lárétta ásinn á ekki við hér: neikvæðar lengdir eða lengdir stærri en $12,5$ gefa neikvætt flatarmál.

2. Hvaða ójafna lýsir myndmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $0 < y < 39.06$

Öll jákvæð ræð úttaksgildi koma til greina upp að hágildi grafsins, um það bil $39,06$ . Neikvætt flatarmál á ekki við og flatarmál $0$ á heldur ekki við. Myndmengið sýnir minnstu og mestu mögulegu flatarmálin þegar ummál rétthyrningsins er $25$ metrar.

3. Hver er topppunktur grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Topppunkturinn er punkturinn á grafinu þar sem inntakið er $6,25$ . Hann er um það bil $(6.25; 39.063)$ .

Hann merkir að þá hefur rétthyrningurinn mest flatarmál.

4. Hverjar eru núllstöðvar grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Núllstöðvarnar eru $x=0, x=12.5$ .

Þær merkja að þegar hliðarlengd rétthyrningsins er $0$ eða $12,5$ metrar hefur rétthyrningurinn ekkert flatarmál.

Spurningar 5-8

Fjöldi ferninga sem fall af skrefnúmerinu $n$ er gefinn með $f(n)=n^2+4$

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn sýnir skrefnúmer mynsturs og y-ásinn sýnir fjölda ferninga í hverju skrefi. x-ásinn nær frá -12 til 12 með kvarðanum 3 og y-ásinn frá -40 til 200 með kvarðanum 20.

5. Hvaða ójafna lýsir skilgreiningarmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $= 0"> n \geq 0$

$n$ er heil tala sem er ekki neikvæð. Neikvæð skrefnúmer eða tugabrot eiga ekki við. Grafið ætti að sýna punkta fyrir heiltölugildi sem eru ekki neikvæð, en ekki samfelldan feril. Allt vinstra megin við lóðrétta ásinn á ekki við.

6. Hvaða ójafna lýsir myndmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $= 4"> f (n) \geq 4$

Fjöldi ferninga byrjar í $4$ og eykst síðan.

7. Hver er topppunktur grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Topppunkturinn er $(0; 4)$ .

Hann segir okkur fjölda ferninga í skrefi $0$ .

8. Hverjar eru núllstöðvar grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Fallið hefur engar núllstöðvar. Það kemur ekki fyrir að engir ferningar séu í mynstrinu.

Spurningar 9-12

Vegalengdin sem hlutur hefur fallið, í fetum, $t$ sekúndum eftir að honum er sleppt, er gefin með $g(t)=16t^2$

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn sýnir tíma í sekúndum og y-ásinn sýnir fallna vegalengd í fetum. x-ásinn nær frá -10 til 10 með kvarðanum 2 og y-ásinn frá -200 til 1.000 með kvarðanum 100.

9. Hvaða ójafna lýsir skilgreiningarmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $= 0"> t \geq 0$

Tími getur verið $0$ eða jákvæður. Neikvæð tímagildi eiga ekki við, þannig að sá hluti grafsins sem er vinstra megin við lóðrétta ásinn hefur ekki merkingu.

10. Hvaða ójafna lýsir myndmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $= 0"> g (t) \geq 0$

Fallna vegalengdin eykst þegar tíminn líður og byrjar í $g(t)=0$ .

11. Hver er topppunktur grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Topppunkturinn er $(0; 0)$ .

Hann segir okkur fallna vegalengd við $0$ sekúndur, sem er $0$ fet.

12. Hverjar eru núllstöðvar grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Topppunkturinn sýnir líka núllstöð fallsins. Það er eina tímagildið þar sem fallna vegalengdin er $0$ fet.

Myndband: Að finna skilgreiningarmengi, topppunkt og núllstöð annars stigs falla

Horfðu á myndbandið til að læra meira um skilgreiningarmengi, topppunkt og núllstöð annars stigs falla.

Viðbótarefni

Merking einkenna annars stigs falla

Hæð hlutar í fetum, $t$ sekúndum eftir að honum er sleppt, er sýnd á grafinu hér fyrir neðan: $h(t)=576-16t^2$

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn sýnir tíma í sekúndum og y-ásinn sýnir hæð í fetum. x-ásinn nær frá -10 til 10 með kvarðanum 2 og y-ásinn frá -200 til 1.000 með kvarðanum 100.

Finndu skilgreiningarmengi fallsins.

Skilgreiningarmengið er $t$ -gildin $0 <= t <= 6$ eða allar tölur frá $0$ til og með $6$ . Neikvæð tímagildi eiga ekki við, þannig að hluti grafsins vinstra megin við lóðrétta ásinn hefur ekki merkingu. Hluturinn lendir á jörðinni $6$ sekúndum eftir að honum er sleppt.

Finndu myndmengi fallsins.

Myndmengi hæðarfallsins nær frá jörðinni að upphafshæðinni. Hér er hlutnum sleppt úr $576$ feta hæð og hann fellur til jarðar, þannig að myndmengið er $[0,576]$ .

Það merkir að hæð hlutarins er á bilinu $0$ fet, þegar hann lendir á jörðinni, til $576$ feta, þegar honum er sleppt.

Finndu topppunktinn og lýstu merkingu hans.

Topppunkturinn er hæsti punktur fleygbogans, eða hágildið, í punktinum $(0; 576)$ .

Hann segir hvenær hæðin er mest.

Finndu núllstöðina og lýstu merkingu hennar.

Núllstöð fallsins er $6$ . Hún segir að hæð hlutarins sé $0$ fet $6$ sekúndum eftir að honum er sleppt, það er þegar hluturinn lendir á jörðinni.

7.7.3 Skilgreiningarmengi, topppunktur og núllstöð annars stigs falla

Verkefni

Opnaðu Desmos-leiðbeiningarnar ef þú þarft að rifja upp hvernig grafreiknivélin er notuð.

Lýstu líka myndmengi sem á við. Hugsaðu um hvaða úttaksgildi eru möguleg, ritaðu myndmengið sem ójöfnu og útskýrðu hvað það merkir í aðstæðunum.

Finndu eða áætlaðu topppunkt grafsins og lýstu því hvað hann merkir. Finndu eða áætlaðu núllstöðvar fallsins og lýstu því hvað þær merkja.

Spurningar 1-4

Flatarmál rétthyrnings með $25$ metra ummál og hliðarlengdina $x$ er gefið með fallinu $A(x)=x(25-2x)/2$

1. Hvaða ójafna lýsir skilgreiningarmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $0 < x < 12.5$

2. Hvaða ójafna lýsir myndmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $0 < y < 39.06$

3. Hver er topppunktur grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Topppunkturinn er punkturinn á grafinu þar sem inntakið er $6,25$ . Hann er um það bil $(6.25; 39.063)$ .

Hann merkir að þá hefur rétthyrningurinn mest flatarmál.

4. Hverjar eru núllstöðvar grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Núllstöðvarnar eru $x=0, x=12.5$ .

Þær merkja að þegar hliðarlengd rétthyrningsins er $0$ eða $12,5$ metrar hefur rétthyrningurinn ekkert flatarmál.

Spurningar 5-8

Fjöldi ferninga sem fall af skrefnúmerinu $n$ er gefinn með $f(n)=n^2+4$

5. Hvaða ójafna lýsir skilgreiningarmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $= 0"> n \geq 0$

6. Hvaða ójafna lýsir myndmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $= 4"> f (n) \geq 4$

Fjöldi ferninga byrjar í $4$ og eykst síðan.

7. Hver er topppunktur grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Topppunkturinn er $(0; 4)$ .

Hann segir okkur fjölda ferninga í skrefi $0$ .

8. Hverjar eru núllstöðvar grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Fallið hefur engar núllstöðvar. Það kemur ekki fyrir að engir ferningar séu í mynstrinu.

Spurningar 9-12

Vegalengdin sem hlutur hefur fallið, í fetum, $t$ sekúndum eftir að honum er sleppt, er gefin með $g(t)=16t^2$

9. Hvaða ójafna lýsir skilgreiningarmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $= 0"> t \geq 0$

Tími getur verið $0$ eða jákvæður. Neikvæð tímagildi eiga ekki við, þannig að sá hluti grafsins sem er vinstra megin við lóðrétta ásinn hefur ekki merkingu.

10. Hvaða ójafna lýsir myndmenginu?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: $= 0"> g (t) \geq 0$

Fallna vegalengdin eykst þegar tíminn líður og byrjar í $g(t)=0$ .

11. Hver er topppunktur grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Topppunkturinn er $(0; 0)$ .

Hann segir okkur fallna vegalengd við $0$ sekúndur, sem er $0$ fet.

12. Hverjar eru núllstöðvar grafsins?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Topppunkturinn sýnir líka núllstöð fallsins. Það er eina tímagildið þar sem fallna vegalengdin er $0$ fet.

Myndband: Að finna skilgreiningarmengi, topppunkt og núllstöð annars stigs falla

Horfðu á myndbandið til að læra meira um skilgreiningarmengi, topppunkt og núllstöð annars stigs falla.

Viðbótarefni

Merking einkenna annars stigs falla

Hæð hlutar í fetum, $t$ sekúndum eftir að honum er sleppt, er sýnd á grafinu hér fyrir neðan: $h(t)=576-16t^2$

Finndu skilgreiningarmengi fallsins.

Finndu myndmengi fallsins.

Myndmengi hæðarfallsins nær frá jörðinni að upphafshæðinni. Hér er hlutnum sleppt úr $576$ feta hæð og hann fellur til jarðar, þannig að myndmengið er $[0,576]$ .

Það merkir að hæð hlutarins er á bilinu $0$ fet, þegar hann lendir á jörðinni, til $576$ feta, þegar honum er sleppt.

Finndu topppunktinn og lýstu merkingu hans.

Topppunkturinn er hæsti punktur fleygbogans, eða hágildið, í punktinum $(0; 576)$ .

Hann segir hvenær hæðin er mest.

Finndu núllstöðina og lýstu merkingu hennar.

Núllstöð fallsins er $6$ . Hún segir að hæð hlutarins sé $0$ fet $6$ sekúndum eftir að honum er sleppt, það er þegar hluturinn lendir á jörðinni.