7Yfirlit og undirbúningur fyrir kafla 7

Samanburður línulegra falla og vísisfalla: stutt upprifjun

Í þessari upprifjun er skoðað hvernig greina má hvort gildistafla lýsir línulegu falli eða vísisfalli.

Spurning úr stuttri upprifjun

Spurning 3: Samanburður línulegra falla og vísisfalla

Hvaða fullyrðing lýsir töflunum best?

Tafla A

$x$	$y$
1	3
2	6
3	9
4	12
5	15

Tafla B

$x$	$y$
1	3
2	6
3	12
4	24
5	48

Tafla A táknar vísisfall með föstum mismun 3; Tafla B táknar línulegt fall með vaxtarstuðulinn 2.
Tafla A táknar línulegt fall með vaxtarstuðulinn 2; Tafla B táknar vísisfall með föstum mismun 3.
Tafla A táknar vísisfall með vaxtarstuðulinn 2; Tafla B táknar línulegt fall með föstum mismun 3.
Tafla A táknar línulegt fall með föstum mismun 3; Tafla B táknar vísisfall með vaxtarstuðulinn 2.

Samanburður línulegra falla og vísisfalla

Skoðaðu mynstrin í töflunum tveimur.

Fyrri taflan

$x$	$y$
1	4
2	8
3	12
4	16
5	20

Seinni taflan

$x$	$y$
1	4
2	8
3	16
4	32
5	64

Í báðum töflum hækkar x-gildið um einn frá einni röð til þeirrar næstu. Slík gildi kallast samliggjandi liðir.

Ef mismunurinn á samliggjandi y-gildum er alltaf sami fastinn má lýsa gildunum með línulegu falli. Fastinn er hallatalan, eða breytingarhraðinn.
Ef kvóti samliggjandi y-gilda er alltaf sami fastinn má lýsa gildunum með vísisfalli. Fastinn er vaxtarstuðullinn.
Sumar gildistöflur fylgja hvorugu þessara mynstra.

Í fyrri töflunni er mismunur samliggjandi y-gilda alltaf sá sami: $8 - 4 = 4$ , $12 - 8 = 4$ , $16 - 12 = 4$ , $20 - 16 = 4$ . Mismunurinn er fastur, svo fyrri taflan táknar línulegt fall.

Í seinni töflunni er kvóti samliggjandi y-gilda alltaf sá sami: $\frac{8}{4} = 2$ , $\frac{16}{8} = 2$ , $\frac{32}{16} = 2$ , $\frac{64}{32} = 2$ . Kvótinn er fastur, svo seinni taflan táknar vísisfall.

Línulegur vöxtur gerist með föstum hraða. Í fyrri töflunni er breytingarhraðinn, eða hallatalan, 4. Línulegt fall er á forminu: $y = m x + b$ . Hér táknar m hallatöluna.

Veldisvöxtur gerist ekki með föstum hraða. Vaxtarstuðullinn er fastur, en vaxtarhraðinn breytist þegar óháða breytan x breytist. Vísisfall er á forminu: $y = a b^{x}$ . Hér táknar b vaxtarstuðulinn.

Reyndu þetta

Samanburður línulegra falla og vísisfalla

Skoðaðu mynstrin í töflunum tveimur.

Tafla A

$x$	$y$
1	5
2	15
3	45
4	135
5	405

Tafla B

$x$	$y$
1	5
2	15
3	25
4	35
5	45

Hvor taflan sýnir línulegan vöxt og hvor sýnir veldisvöxt? Gættu þess að geta sýnt rökstuðninginn.

[Sýna/fela lausn]

Til að ákvarða það skaltu bera saman samliggjandi liði.

Í töflu A virðast fyrstu tvö y-gildin í fyrstu geta passað við bæði mynstur: $5 + 10 = 15$ og $5 \cdot 3 = 15$ . Þess vegna þarf að skoða næstu tvö gildi: $15 + 10 \neq 45$ en $15 \cdot 3 = 45$ . Tafla A fylgir því vísisvexti. Til að staðfesta það má skoða öll hin gildin í töflunni.
Í töflu B gefa fyrstu tvö y-gildin aftur báða möguleika: $5 + 10 = 15$ og $5 \cdot 3 = 15$ . Næsta par sker úr um mynstrið: $15 + 10 = 25$ en $15 \cdot 3 \neq 25$ . Tafla B fylgir því línulegum vexti. Til að staðfesta það má skoða öll hin gildin í töflunni.

Kannaðu skilning þinn

Hvaða fullyrðing lýsir eftirfarandi töflum best?

Tafla A

$x$	$y$
1	2
2	6
3	18
4	54
5	162

Tafla B

$x$	$y$
1	2
2	6
3	10
4	14
5	18

Tafla A táknar vísisfall með vaxtarstuðulinn 3; Tafla B táknar línulegt fall með föstum mismun 4.
Tafla A táknar línulegt fall með föstum mismun 4; Tafla B táknar vísisfall með vaxtarstuðulinn 3.
Tafla A táknar línulegt fall með vaxtarstuðulinn 3; Tafla B táknar vísisfall með föstum mismun 4.
Tafla A táknar vísisfall með föstum mismun 4; Tafla B táknar línulegt fall með vaxtarstuðulinn 3.

[Sýna/fela lausn]

Rétta lýsingin er: Tafla A táknar vísisfall með vaxtarstuðulinn 3; Tafla B táknar línulegt fall með föstum mismun 4.

Í töflu A hækka x-gildin alltaf um 1. Mismunurinn á y-gildunum er ekki fastur: frá 2 í 6 er mismunurinn 4, frá 6 í 18 er mismunurinn 12 o.s.frv. Þegar kvótar samliggjandi y-gilda eru bornir saman fæst $\frac{6}{2} = 3$ , $\frac{18}{6} = 3$ , $\frac{54}{18} = 3$ , $\frac{162}{54} = 3$ . Allir kvótarnir einfaldast í 3. Þetta má líka sjá af því að 2 sinnum 3 er 6, 6 sinnum 3 er 18 og 18 sinnum 3 er 54. Tafla A er því vísisfall með vaxtarstuðulinn 3.

Í töflu B hækka x-gildin einnig alltaf um 1. Þegar mismunur samliggjandi y-gilda er borinn saman fæst: $6 - 2 = 4$ ; $10 - 6 = 4$ ; $14 - 10 = 4$ ; $18 - 14 = 4$ . Mismunurinn er fastur, svo tafla B táknar línulegt fall með föstum mismun 4.

Myndband

Horfðu á myndbandið til að læra meira um línulegan vöxt og veldisvöxt.

Khan Academy: Línulegur vöxtur og veldisvöxtur