Hleð efnisyfirliti...

Efnisyfirlit

Formáli
A | Tafla yfir heildi
B | Tafla yfir afleiður
C | Upprifjun fyrir stærðfræðigreiningu
Atriðaskrá

Bókin og glærur

PowerPoint-glærur

Lykilhugtök – Stærðfræðigreining, 1. bindi (IS) | Námsgögn

Stærðfræðigreining, 1. bindi (IS)Kafli 2Lykilhugtök

22 Markgildi

Lykilhugtök

FYRRI KAFLI

2.5 Nákvæm skilgreining á markgildi

NÆSTI KAFLI

Lykiljöfnur

Lykilhugtök

meðalhraði: breyting á staðsetningu hlutar deilt með lengd tímabils; meðalhraði hlutar á tímabilinu [𝑡,𝑎] $[t, a]$ (ef 𝑡<𝑎 $t < a$ eða [𝑎,𝑡] $[a, t]$ ef 𝑡>𝑎) $t > a)$ , þar sem staðsetning hans er gefin með 𝑠⁡(𝑡), $s (t),$ er 𝑣ave=𝑠⁡(𝑡)−𝑠⁡(𝑎)𝑡−𝑎 $v_{ave} = \frac{s (t) - s (a)}{t - a}$

regla um fastamargfeldi markgildis: markgildisreglan $lim_{x \to a} c f (x) = c \cdot lim_{x \to a} f (x) = c L$

samfelldni í punkti: Fall $f (x)$ er samfellt í punkti a þá og því aðeins að eftirfarandi þrjú skilyrði séu uppfyllt: (1) $f (a)$ er skilgreint, (2) $lim_{x \to a} f (x)$ er til og (3) $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

samfelldni frá vinstri: Fall er samfellt frá vinstri í punktinum b ef lim𝑥→𝑏−⁢𝑓⁡(𝑥)=𝑓⁡(𝑏) $lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$

samfelldni frá hægri: Fall er samfellt frá hægri í punktinum a ef lim𝑥→𝑎+⁢𝑓⁡(𝑥)=𝑓⁡(𝑎) $lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$

samfelldni á bili: fall sem hægt er að teikna með blýanti án þess að lyfta honum; fall er samfellt á opnu bili ef það er samfellt í sérhverjum punkti bilsins; fall 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er samfellt á lokuðu bili af gerðinni [𝑎,𝑏] $[a, b]$ ef það er samfellt í sérhverjum punkti í (𝑎,𝑏), $(a, b),$ samfellt frá hægri í a og samfellt frá vinstri í b

mismunaregla fyrir markgildi: markgildisreglan $lim_{x \to a} (f (x) - g (x)) = lim_{x \to a} f (x) - lim_{x \to a} g (x) = L - M$

deildareikningur: sú grein stærðfræðigreiningar sem fjallar um afleiður og notkun þeirra

ósamfelldni í punkti: Fall er ósamfellt í punkti, eða hefur þar ósamfelldni, ef það er ekki samfellt í punktinum

epsílon-delta-skilgreining á markgildi: $lim_{x \to a} f (x) = L$ ef fyrir sérhvert $ε > 0,$ er til $δ > 0$ þannig að ef $0 < | x - a | < δ,$ þá er $| f (x) - L | < ε$

óendanleg ósamfelldni: Óendanleg ósamfelldni verður í punktinum a ef lim𝑥→𝑎−⁢𝑓⁡(𝑥)=±∞ $lim_{x \to a^{-}} f (x) = ± \infty$ eða lim𝑥→𝑎+⁢𝑓⁡(𝑥)=±∞ $lim_{x \to a^{+}} f (x) = ± \infty$

óendanlegt markgildi: Fall hefur óendanlegt markgildi í punktinum a ef gildi þess vex eða minnkar án takmarka þegar breytan nálgast a

augnablikshraði: Augnablikshraði hlutar með staðsetningarfallið 𝑠⁡(𝑡) $s (t)$ er það gildi sem meðalhraðarnir á bilum af gerðinni [𝑡,𝑎] $[t, a]$ og [𝑎,𝑡] $[a, t]$ nálgast þegar t nálgast 𝑎, $a,$ að því gefnu að slíkt gildi sé til

heildareikningur: sú grein stærðfræðigreiningar sem fjallar um heildi og notkun þeirra

Milligildissetningin: Látum fallið f vera samfellt á lokuðu og takmörkuðu bili [a,b]; $[a, b];$ ef z er rauntala milli 𝑓⁡(𝑎) $f (a)$ og 𝑓⁡(𝑏), $f (b),$ þá er til tala c í [𝑎,𝑏] $[a, b]$ sem uppfyllir 𝑓⁡(𝑐)=𝑧 $a,$

innsæ skilgreining á markgildi: Ef öll gildi fallsins 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ nálgast rauntöluna L þegar 𝑥⁡(≠𝑎) $x (\neq a)$ nálgast a, nálgast 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ töluna L

stökkósamfelldni: Stökkósamfelldni verður í punktinum a ef lim𝑥→𝑎−⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ og lim𝑥→𝑎+⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ eru bæði til, en lim𝑥→𝑎−⁢𝑓⁡(𝑥)≠lim𝑥→𝑎+⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a^{-}} f (x) \neq lim_{x \to a^{+}} f (x)$

markgildi: sú aðgerð að láta x eða t stefna á a í stæðu; markgildi fallsins 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ þegar x stefnir á a er gildið sem 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ stefnir á þegar x stefnir á a

reiknireglur fyrir markgildi: einstakar reiknireglur fyrir markgildi; fyrir hverja reglu látum $f (x)$ og $g (x)$ vera skilgreind fyrir öll $x \neq a$ á einhverju opnu bili sem inniheldur a; gerum ráð fyrir að L og M séu rauntölur þannig að $lim_{x \to a} f (x) = L$ og $lim_{x \to a} g (x) = M;$ látum c vera fasta

stærðfræðigreining margra breyta: sú grein stærðfræðigreiningar sem fjallar um föll tveggja eða fleiri breyta

einhliða markgildi: Einhliða markgildi falls er markgildi þess þegar viðfang fallsins nálgast tiltekið gildi frá vinstri eða hægri

veldisregla fyrir markgildi: markgildisreglan lim𝑥→𝑎⁢(𝑓⁡(𝑥))𝑛=(lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥))𝑛=𝐿𝑛 $lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = {(lim_{x \to a} f (x))}^{n} = L^{n}$ fyrir sérhverja jákvæða heiltölu n

margfeldisregla fyrir markgildi: markgildisreglan $lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x) = L \cdot M$

deiliregla fyrir markgildi: markgildisreglan $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)} = \frac{L}{M}$ fyrir $M \neq 0$

afmáanleg ósamfelldni: Afmáanleg ósamfelldni verður í punktinum a ef 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er ósamfellt í a, en lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a} f (x)$ er til

rótarregla fyrir markgildi: markgildisreglan lim𝑥→𝑎⁢𝑛√𝑓⁡(𝑥)=𝑛√lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥)=𝑛√𝐿 $lim_{x \to a} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{lim_{x \to a} f (x)} = \sqrt[n]{L}$ fyrir öll L þegar n er oddatala og fyrir 𝐿≥0 $L \geq 0$ þegar n er slétt tala

sniðill: Sniðill við graf fallsins 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ í punktinum a er lína sem liggur gegnum punktinn (𝑎,𝑓⁡(𝑎)) $(a, f (a))$ og annan punkt á grafi fallsins; hallatala sniðilsins er gefin með 𝑚sec=𝑓⁡(𝑥)−𝑓⁡(𝑎)𝑥−𝑎 $m_{sec} = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

Klemmureglan: segir að ef $f (x) \leq g (x) \leq h (x)$ fyrir öll $x \neq a$ á opnu bili sem inniheldur a og $lim_{x \to a} f (x) = L = lim_{x \to a} h (x)$ þar sem L er rauntala, þá $lim_{x \to a} g (x) = L$

summuregla fyrir markgildi: markgildisreglan lim𝑥→𝑎⁢(𝑓⁡(𝑥)+𝑔⁡(𝑥))=lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥)+lim𝑥→𝑎⁢𝑔⁡(𝑥)=𝐿+𝑀 $lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x) = L + M$

snertill: Snertill við graf falls í punktinum (𝑎,𝑓⁡(𝑎)) $(a, f (a))$ er línan sem sniðlar gegnum (𝑎,𝑓⁡(𝑎)) $(a, f (a))$ nálgast þegar hinn punkturinn á grafi fallsins er valinn þannig að x-hnit hans nálgast a; hallatala snertilsins í a mælir breytingarhraða fallsins þar

þríhyrningsójafnan: Ef a og b eru rauntölur, þá er |𝑎+𝑏|≤|𝑎|+|𝑏| $| a + b | \leq | a | + | b |$

lóðfella: Fallið hefur lóðfelluna 𝑥=𝑎 $x = a$ ef markgildi þess þegar x nálgast a frá hægri eða vinstri er óendanlegt

Námsgögn.is þýðing á efni frá OpenStax. Frítt frumrit: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/1-introduction Leyfi upprunabókar: CC BY-NC-SA 4.0. Námsgögn er sjálfstætt verkefni; OpenStax hvorki styður né vottar þýðinguna.

FYRRI KAFLI

2.5 Nákvæm skilgreining á markgildi

NÆSTI KAFLI

Lykiljöfnur