Svarlykill

Kafli 1

Stöðumat

1.1.

$\sum_{i = 3}^{6} 2^{i} = 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6} = 120$

1.2.

15,550

1.3.

440

1.4.

Nálgunin með vinstri endapunktum er 0.7595. Nálgunin með hægri endapunktum er 0.6345.

Tvö gröf hlið við hlið sýna nálgun með vinstri endapunktum og nálgun með hægri endapunktum á flatarmálinu undir ferlinum f(x) = 1/x frá 1 til 2, þar sem endapunktarnir eru jafndreifðir með 0,25 eininga millibili. Hæðir rétthyrninganna í vinstri endapunktsnálguninni ákvarðast af gildum fallsins í vinstri endapunktum og hæðir rétthyrninganna í hægri endapunktsnálguninni af gildum fallsins í hægri endapunktum.

1.5.

$Efri summa = 8.0313 .$

1.6.

$A \approx 1.125$

1.7.

1.8.

18 flatarmálseiningar

1.9.

1.10.

1.11.

$6 \int_{1}^{3} x^{3} d x - 4 \int_{1}^{3} x^{2} d x + 2 \int_{1}^{3} x d x - \int_{1}^{3} 3 d x$

1.12.

−7

1.13.

1.14.

$Meðalgildi = 1.5; c = 3$

1.15.

$c = \sqrt{3}$

1.16.

$g^{'} (r) = \sqrt{r^{2} + 4}$

1.17.

$F^{'} (x) = 3 x^{2} cos x^{3}$

1.18.

$F^{'} (x) = 2 x cos x^{2} - cos x$

1.19.

$\frac{7}{24}$

1.20.

Kathy vinnur enn, en með mun meiri yfirburðum: James skautar 24 fet á 3 sekúndum en Kathy skautar 29.3634 fet á 3 sekúndum.

1.21.

$- \frac{10}{3}$

1.22.

Nettófærsla: $\frac{e^{2} - 9}{2} \approx - 0.8055 m;$ heildarvegalengd: $4 ln 4 - 7.5 + \frac{e^{2}}{2} \approx 1.740$ m

1.23.

17.5 mílur

1.24.

$\frac{64}{5}$

1.25.

$\int 3 x^{2} {(x^{3} - 3)}^{2} d x = \frac{1}{3} {(x^{3} - 3)}^{3} + C$

1.26.

$\frac{{(x^{3} + 5)}^{10}}{30} + C$

1.27.

$- \frac{1}{sin t} + C$

1.28.

$- \frac{{cos}^{4} t}{4} + C$

1.29.

$\frac{91}{3}$

1.30.

$\frac{2}{3 π} \approx 0.2122$

1.31.

$\int x^{2} e^{−2 x^{3}} d x = - \frac{1}{6} e^{−2 x^{3}} + C$

1.32.

$\int e^{x} {(3 e^{x} - 2)}^{2} d x = \frac{1}{9} {(3 e^{x} - 2)}^{3}$

1.33.

$\int 2 x^{3} e^{x^{4}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{4}}$

1.34.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^{u} d u = \frac{1}{2} (e^{4} - 1)$

1.35.

$Q (t) = \frac{2^{t}}{ln 2} + 8.557 .$ Eftir 3 klukkustundir eru 20,099 bakteríur í skálinni.

1.36.

Flugurnar eru 116 talsins.

1.37.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} e^{4 x^{−2}} d x = \frac{1}{8} [e^{4} - e]$

1.38.

$ln | x + 2 | + C$

1.39.

$\frac{x}{ln 3} (ln x - 1) + C$

1.40.

$\frac{1}{4} {sin}^{−1} (4 x) + C$

1.41.

${sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

1.42.

$\frac{1}{10} {tan}^{−1} (\frac{2 x}{5}) + C$

1.43.

$\frac{1}{4} {tan}^{−1} (\frac{x}{4}) + C$

1.44.

$\frac{π}{8}$

Æfingar í kafla 1.1

a. Þær eru jafnar; báðar tákna summu fyrstu 10 heilu talnanna. b. Þær eru jafnar; báðar tákna summu fyrstu 10 heilu talnanna. c. Þær eru jafnar þegar $j = i - 1 .$ er sett inn. d. Þær eru jafnar; með því að taka sameiginlegan þátt út fyrir sviga í fyrri summunni fást liðir seinni summunnar.

$385 - 30 = 355$

$15 - (−12) = 27$

$5 (15) + 4 (−12) = 27$

$\sum_{j = 1}^{50} j^{2} - 2 \sum_{j = 1}^{50} j = \frac{(50) (51) (101)}{6} - \frac{2 (50) (51)}{2} = 40, 375$

11.

$4 \sum_{k = 1}^{25} k^{2} - 100 \sum_{k = 1}^{25} k = \frac{4 (25) (26) (51)}{6} - 50 (25) (26) = −10, 400$

13.

$R_{4} = -0.25$

15.

$R_{6} = 0.372$

17.

$L_{4} = 2.20$

19.

$L_{8} = 0.6875$

21.

$L_{6} = 9.000 = R_{6} .$ Graf f myndar þríhyrning með flatarmálið 9.

23.

$L_{6} = 13.12899 = R_{6} .$ Þær eru jafnar.

25.

$L_{10} = \frac{4}{10} \sum_{i = 1}^{10} \sqrt{4 - (−2 + 4 \frac{(i - 1)}{10})^{2}}$

27.

$R_{100} = \frac{e - 1}{100} \sum_{i = 1}^{100} ln (1 + (e - 1) \frac{i}{100})$

29.

Graf gefna fallsins á bilinu [0, 1]. Grafið er sett upp fyrir nálgun með vinstri endapunktum, sem er vanmat þar sem fallið er vaxandi. Tíu rétthyrningar eru sýndir til glöggvunar, en sama hegðun helst þegar rétthyrningunum fjölgar.

$R_{100} = 0.33835, L_{100} = 0.32835 .$ Grafið sýnir að vinstri Riemann-summan er vanmat þar sem fallið er vaxandi. Á sama hátt er hægri Riemann-summan ofmat. Flatarmálið liggur á milli vinstri og hægri Riemann-summunnar. Tíu rétthyrningar eru sýndir til glöggvunar. Sama hegðun helst þegar rétthyrningunum fjölgar.

31.

Graf gefna fallsins á bilinu [−1,1], sett upp fyrir nálgun með vinstri endapunktum. Nálgunin er vanmat þar sem fallið er vaxandi. Tíu rétthyrningar eru sýndir til glöggvunar, en sama hegðun helst þegar rétthyrningunum fjölgar.

$L_{100} = 3.980, R_{100} = 4.020, R_{100} > L_{100} .$ Summan með vinstri endapunktum er vanmat þar sem fallið er vaxandi. Á sama hátt er nálgun með hægri endapunktum ofmat. Flatarmálið liggur á milli nálgananna með vinstri og hægri endapunktum.

33.

Graf gefna fallsins á bilinu frá −1 til 1, sett upp fyrir nálgun með vinstri endapunktum. Nálgunin er vanmat þar sem fallið er vaxandi. Tíu rétthyrningar eru sýndir til glöggvunar, en sama hegðun helst þegar rétthyrningunum fjölgar.

$L_{100} = 3.555, R_{100} = 3.670$ Grafið sýnir að vinstri Riemann-summan er vanmat þar sem fallið er vaxandi. Tíu rétthyrningar eru sýndir til glöggvunar. Sama hegðun helst þegar rétthyrningunum fjölgar.

35.

Summan táknar uppsafnaða úrkomu í janúar 2009.

37.

Heildarakstursvegalengdin er $7 \times \sum_{i = 1}^{25} (1 + \frac{(i - 1)}{10}) = 7 \times 25 + \frac{7}{10} \times 12 \times 25 = 385 mílur .$

39.

Leggið tölurnar saman og fáið 8.1 tommu nettóaukningu.

41.

309,389,957

43.

$L_{8} = 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 24$

45.

$L_{8} = 3 + 5 + 7 + 6 + 8 + 6 + 5 + 4 = 44$

47.

$L_{10} \approx 1.7604, L_{30} \approx 1.7625, L_{50} \approx 1.76265$

49.

$R_{1} = −1, L_{1} = 1, R_{10} = −0.1, L_{10} = 0.1, L_{100} = 0.01,$ og $R_{100} = −0.01 .$ Vegna samhverfu grafsins er nákvæma flatarmálið núll.

51.

$R_{1} = 0, L_{1} = 0, R_{10} = 2.4499, L_{10} = 2.4499, R_{100} = 2.1365, L_{100} = 2.1365$

53.

Ef $[c, d]$ er hlutbil af $[a, b]$ undir einum rétthyrningi summunnar með vinstri endapunktum, þá er flatarmál rétthyrningsins sem leggur til nálgunarinnar $f (c) (d - c) .$ En $f (c) \leq f (x)$ þegar $c \leq x \leq d,$ svo flatarmálið undir grafi f milli c og d er $f (c) (d - c)$ að viðbættu jákvæðu flatarmáli neðan við graf f en ofan við lárétta línustrikið í hæðinni $f (c),$ Þar sem þetta gildir á hverju hlutbili summunnar með vinstri endapunktum er vinstri Riemann-summan minni en eða jöfn flatarmálinu undir grafi f á $[a, b] .$

55.

$L_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (a + (b - a) \frac{i - 1}{N}) = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 0}^{N - 1} f (a + (b - a) \frac{i}{N})$ og $R_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (a + (b - a) \frac{i}{N}) .$ Vinstri summan hefur lið sem samsvarar $i = 0$ og hægri summan lið sem samsvarar $i = N .$ Í $R_{N} - L_{N},$ kemur sérhver liður sem samsvarar $i = 1, 2,…, N - 1$ einu sinni fyrir með plúsmerki og einu sinni með mínusmerki, svo allir slíkir liðir styttast út og eftir stendur $R_{N} - L_{N} = \frac{b - a}{N} (f (a + (b - a)) \frac{N}{N}) - (f (a) + (b - a) \frac{0}{N}) = \frac{b - a}{N} (f (b) - f (a)) .$

57.

Graf 1: a. $L (A) = 0, B (A) = 20;$ b. $U (A) = 20 .$ Graf 2: a. $L (A) = 9;$ b. $B (A) = 11, U (A) = 20 .$ Graf 3: a. $L (A) = 11.0;$ b. $B (A) = 4.5, U (A) = 15.5 .$

59.

Látum A tákna flatarmál einingarhringsins. Hringurinn umlykur n eins þríhyrninga sem hver hefur flatarmálið $\frac{sin (\frac{2 π}{n})}{2},$ svo $\frac{n}{2} sin (\frac{2 π}{n}) \leq A .$ Á sama hátt er hringurinn innan n eins þríhyrninga sem hver hefur flatarmálið $\frac{B H}{2} = \frac{1}{2} {(\cos (\frac{π}{n}) + \sin (\frac{π}{n}) \tan (\frac{π}{n}))}^{2} \sin (\frac{2 π}{n}),$ svo $A \leq \frac{n}{2} sin (\frac{2 π}{n}) (cos (\frac{π}{n}) + sin (\frac{π}{n}) tan {(\frac{π}{n}))}^{2} .$ Þar sem $n \to \infty, \frac{n}{2} sin (\frac{2 π}{n}) = \frac{sin (\frac{2 π}{n})}{(\frac{2}{n})} Α \to π,$ ályktum við að $π \leq A .$ Þar sem einnig $n \to \infty, cos (\frac{π}{n}) + sin (\frac{π}{n}) tan (\frac{π}{n}) \to 1,$ fáum við jafnframt $A \leq π .$ Af klemmureglunni fyrir markgildi ályktum við að $A = π .$

Æfingar í kafla 1.2

61.

$\int_{0}^{2} (5 x^{2} - 3 x^{3}) d x$

63.

$\int_{0}^{1} {cos}^{2} (2 π x) d x$

65.

$\int_{0}^{1} x d x$

67.

$\int_{3}^{6} x d x$

69.

$\int_{1}^{2} x log (x^{2}) d x$

71.

$1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 14$

73.

$1 - 4 + 9 = 6$

75.

$1 - 2 π + 9 = 10 - 2 π$

77.

Heildið er flatarmál þríhyrningsins, $\frac{1}{2}$

79.

Heildið er flatarmál þríhyrningsins, 9.

81.

Heildið er flatarmálið $\frac{1}{2} π r^{2} = 2 π .$

83.

Heildið er flatarmál „stóra“ þríhyrningsins að frádregnu flatarmáli þríhyrningsins sem „vantar“, $9 - \frac{1}{2} .$

85.

$L = 2 + 0 + 10 + 5 + 4 = 21, R = 0 + 10 + 10 + 2 + 0 = 22, \frac{L + R}{2} = 21.5$

87.

$L = 0 + 4 + 0 + 4 + 2 = 10, R = 4 + 0 + 2 + 4 + 0 = 10, \frac{L + R}{2} = 10$

89.

$\int_{2}^{4} f (x) d x + \int_{2}^{4} g (x) d x = 8 - 3 = 5$

91.

$\int_{2}^{4} f (x) d x - \int_{2}^{4} g (x) d x = 8 + 3 = 11$

93.

$4 \int_{2}^{4} f (x) d x - 3 \int_{2}^{4} g (x) d x = 32 + 9 = 41$

95.

Heildisstofninn er oddstætt fall; heildið er núll.

97.

Heildisstofninn er andsamhverfur um $x = 3 .$ Heildið er núll.

99.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

101.

$\int_{0}^{1} (1 - 6 x + 12 x^{2} - 8 x^{3}) d x = (x - 3 x^{2} + 4 x^{3} - 2 x^{4}) = (1 - 3 + 4 - 2) (0 - 0 + 0 - 0) = 0$

103.

$7 - \frac{5}{4} = \frac{23}{4}$

105.

Heildisstofninn er neikvæður á $[−2, 3] .$

107.

$x \leq x^{2}$ á $[1, 2],$ svo $\sqrt{1 + x} \leq \sqrt{1 + x^{2}}$ á $[1, 2] .$

109.

$cos (t) \geq \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Margfaldið með lengd bilsins til að fá ójöfnuna.

111.

$f_{ave} = 0; c = 0$

113.

$\frac{3}{2}$ þegar $c = \pm \frac{3}{2}$

115.

$f_{ave} = 0; c = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

117.

$L_{100} = 1.294, R_{100} = 1.301;$ nákvæma meðaltalið liggur milli þessara gilda.

119.

$L_{100} \times (\frac{1}{2}) = 0.5178, R_{100} \times (\frac{1}{2}) = 0.5294$

121.

$L_{1} = 0, L_{10} \times (\frac{1}{2}) = 8.743493, L_{100} \times (\frac{1}{2}) = 12.861728 .$ Nákvæma svarið er $\approx 26.799,$ svo L₁₀₀ er ekki nægilega nákvæmt.

123.

$L_{1} \times (\frac{1}{π}) = 1.352, L_{10} \times (\frac{1}{π}) = −0.1837, L_{100} \times (\frac{1}{π}) = −0.2956 .$ Nákvæma svarið er $\approx - 0.303,$ svo L₁₀₀ er ekki nákvæmt upp á einn aukastaf.

125.

Notið ${tan}^{2} θ + 1 = {sec}^{2} θ .$ Þá fæst $B - A = \int_{− π / 4}^{π / 4} 1 d x = \frac{π}{2} .$

127.

$\int_{0}^{2 π} {cos}^{2} t d t = π,$ svo deila skal með lengdinni 2 π á bilinu. ${cos}^{2} t$ hefur lotuna π, svo fullyrðingin er sönn.

129.

Heildið verður stærst þegar notað er stærsta bilið þar sem p er ekki neikvætt. Því er $A = \frac{− b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ og $B = \frac{− b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

131.

Ef $f (t_{0}) > g (t_{0})$ fyrir eitthvert $t_{0} \in [a, b],$ þá er $f - g$ samfellt og því er til bil um t₀ þar sem $f (t) > g (t)$ á bilinu $[c, d],$ þá er $\int_{d}^{d} f (t) d t > \int_{c}^{d} g (t) d t$ á þessu bili.

133.

Heildi f yfir bil er jafnt heildi meðalgildis f yfir sama bil. Því er $\begin{matrix} \int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a_{0}}^{a_{1}} f (t) d t + \int_{a_{1}}^{a_{2}} f (t) d t + ⋯ + \int_{a_{N + 1}}^{a_{N}} f (t) d t = \int_{a_{0}}^{a_{1}} 1 d t + \int_{a_{1}}^{a_{2}} 1 d t + ⋯ + \int_{a_{N + 1}}^{a_{N}} 1 d t \\ = (a_{1} - a_{0}) + (a_{2} - a_{1}) + ⋯ + (a_{N} - a_{N - 1}) = a_{N} - a_{0} = b - a . \end{matrix}$ Þegar deilt er í gegn með $b - a$ fæst umbeðin jafna.

135.

$\int_{0}^{N} f (t) d t = \sum_{i = 1}^{N} \int_{i - 1}^{i} f (t) d t = \sum_{i = 1}^{N} i^{2} = \frac{N (N + 1) (2 N + 1)}{6}$

137.

$L_{10} = 1.815, R_{10} = 1.515, \frac{L_{10} + R_{10}}{2} = 1.665,$ svo matið er nákvæmt upp á tvo aukastafi.

139.

Meðaltalið er $1 / 2,$ sem í þessu tilviki er jafnt heildinu.

141.

a. Grafið er andsamhverft um $t = \frac{1}{2}$ á $[0, 1],$ svo meðalgildið er núll. b. Fyrir sérhvert gildi á a er grafið á $[a, a + 1]$ hliðrun á grafinu á $[0, 1],$ nettóflatarmálið ofan og neðan við ásinn breytist því ekki og meðalgildið helst núll.

143.

Já, heildið er hið sama yfir sérhvert bil af lengdinni 1.

Æfingar í kafla 1.3

145.

Já. Það leiðir af meðalgildissetningunni fyrir heildi.

147.

$F^{'} (2) = −1;$ meðalgildi $F^{′}$ á $[1, 2]$ er $−1 / 2 .$

149.

$e^{cos x}$

151.

$\frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

153.

$\sqrt{x} \frac{d}{d x} \sqrt{x} = \frac{1}{2}$

155.

$− \sqrt{1 - {cos}^{2} x} \frac{d}{d x} cos x = | sin x | sin x$

157.

$2 x \frac{| x |}{1 + x^{2}}$

159.

$ln (e^{2 x}) \frac{d}{d x} e^{x} = 2 x e^{x}$

161.

a. f er jákvætt á $(1, 2)$ og $(5, 6),$ neikvætt á $(0, 1)$ og $(3, 4),$ og núll á $(2, 3)$ og $(4, 5) .$ b. Hámarksgildið er 2 og lágmarksgildið er −3. c. Meðalgildið er 0.

163.

a. ℓ er jákvætt á $(0, 1)$ og $(3, 6),$ og neikvætt á $(1, 3) .$ b. Það er vaxandi á $(0, 1)$ og $(3, 5),$ og fast á $(1, 3)$ og $(5, 6) .$ c. Meðalgildið er $\frac{1}{3} .$

165.

$T_{10} = 49.08, \int_{−4}^{3} (x^{3} + 6 x^{2} + x - 5) d x = 48$

167.

$T_{10} = 260.836, \int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x^{2}) d x = 260$

169.

$T_{10} = 3.058, \int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x = 3$

171.

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 5 x, F (3) - F (−2) = - \frac{35}{6}$

173.

$F (x) = - \frac{t^{5}}{5} + \frac{13 t^{3}}{3} - 36 t, F (3) - F (2) = \frac{62}{15}$

175.

$F (x) = \frac{x^{100}}{100}, F (1) - F (0) = \frac{1}{100}$

177.

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x}, F (4) - F (\frac{1}{4}) = \frac{1125}{64}$

179.

$F (x) = \sqrt{x}, F (4) - F (1) = 1$

181.

$F (x) = \frac{4}{3} t^{3 / 4}, F (16) - F (1) = \frac{28}{3}$

183.

$F (x) = − cos x, F (\frac{π}{2}) - F (0) = 1$

185.

$F (x) = sec x, F (\frac{π}{4}) - F (0) = \sqrt{2} - 1$

187.

$F (x) = − cot (x), F (\frac{π}{2}) - F (\frac{π}{4}) = 1$

189.

$F (t) = - \frac{1}{t} + \frac{1}{2 t^{2}}, F (−1) - F (−2) = \frac{7}{8}$

191.

$F (x) = e^{x} - e$

193.

$F (x) = 0$

195.

$\int_{−2}^{−1} (t^{2} - 2 t - 3) d t - \int_{−1}^{3} (t^{2} - 2 t - 3) d t + \int_{3}^{4} (t^{2} - 2 t - 3) d t = \frac{46}{3}$

197.

$− \int_{− π / 2}^{0} sin t d t + \int_{0}^{π / 2} sin t d t = 2$

199.

a. Meðaltalið er $11.21 \times 10^{9}$ þar sem $cos (\frac{π t}{6})$ hefur lotuna 12 og heildið 0 yfir hverja lotu. Neyslan er jöfn meðaltalinu þegar $cos (\frac{π t}{6}) = 0,$ þegar $t = 3,$ og þegar $t = 9 .$ b. Heildarneyslan er meðalhraðinn margfaldaður með tímalengdinni: $11.21 \times 12 \times 10^{9} = 1.35 \times 10^{11}$ . c. $10^{9} (11.21 - \frac{1}{6} \int_{3}^{9} cos (\frac{π t}{6}) d t) = 10^{9} (11.21 + \frac{2}{π}) = 11.84 x 10^{9}$

201.

Ef f er ekki fast fall er meðalgildi þess stranglega minna en hámarksgildið og stærra en lágmarksgildið. Samkvæmt útgildissetningunni er báðum útgildunum náð á $[a, b]$ .

203.

a. $d^{2} θ = {(a cos θ + c)}^{2} + b^{2} {sin}^{2} θ = a^{2} + c^{2} {cos}^{2} θ + 2 a c cos θ = {(a + c cos θ)}^{2};$ b. $\bar{d} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} (a + c cos θ) d θ = a$

205.

Meðalþyngdarkraftur = $\frac{G m M}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(a + 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}} cos θ)}^{2}} d θ .$

Æfingar í kafla 1.4

207.

$\int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) d x = \int x^{1 / 2} d x - \int x^{−1 / 2} d x = \frac{2}{3} x^{3 / 2} + C_{1} - 2 x^{1 / 2} + C_{2} = \frac{2}{3} x^{3 / 2} - 2 x^{1 / 2} + C$

209.

$\int \frac{d x}{2 x} = \frac{1}{2} ln | x | + C$

211.

$\int_{0}^{π} sin x d x - \int_{0}^{π} cos x d x = − cos x |_{0}^{π} - (sin x) |_{0}^{π} = (− (−1) + 1) - (0 - 0) = 2$

213.

$P (s) = 4 s,$ svo $\frac{d P}{d s} = 4$ og $\int_{2}^{4} 4 d s = 8 .$

215.

$\int_{1}^{2} N d s = N$

217.

Látum p hafa sömu merkingu og í dæminu á undan. Flatarmál hvers hinna 12 fimmhyrninga eykst úr 2 p í 4 p ferningseiningar, svo nettóaukning flatarmáls tólfflötungsins er 36 p ferningseiningar.

219.

$18 s^{2} = 6 \int_{s}^{2 s} 2 x d x$

221.

$12 π R^{2} = 8 π \int_{R}^{2 R} r d r$

223.

$d (t) = \int_{0}^{t} v (s) d s = 4 t - t^{2} .$ Heildarvegalengdin er $d (2) = 4 m .$

225.

$d (t) = \int_{0}^{t} v (s) d s .$ Þegar $t < 3, d (t) = \int_{0}^{t} (6 - 2 t) d t = 6 t - t^{2} .$ Þegar $t > 3, d (t) = d (3) + \int_{3}^{t} (2 t - 6) d t = 9 + (t^{2} - 6 t) |_{3}^{6} .$ Heildarvegalengdin er $d (6) = 18 m .$

227.

$v (t) = 40 - 9.8 t m/sec; h (t) = 1.5 + 40 t - 4.9 t^{2}$ m/s

229.

Nettóaukningin er 1 eining.

231.

Þegar $t = 5,$ er vatnshæðin $x = {(\frac{15}{π})}^{1 / 3} m . .$ Nettóbreyting hæðarinnar frá $t = 5$ til $t = 10$ er ${(\frac{30}{π})}^{1 / 3} - {(\frac{15}{π})}^{1 / 3}$ m.

233.

Heildarorkunotkun dagsins er metin sem summa aflsins á hverri klukkustund, eða 911 GW-klst.

235.

17 kJ

237.

a. 54.3%; b. 27.00%; c. Ferillinn á grafinu hér á eftir er $2.35 (t + 3) e^{−0.15 (t + 3)} .$

Graf gagna og falls sem nálgar gögnin. Fallið gefur mjög góða nálgun.

239.

Við þurrar aðstæður, með upphafshraðann $v_{0} = 30$ m/s, er $D = 64.3$ og þegar $v_{0} = 25, D = 44.64 .$ Við blautar aðstæður gildir fyrir $v_{0} = 30,$ að $D = 180$ og fyrir $v_{0} = 25, D = 125 .$

241.

225 kal

243.

$E (150) = 28, E (300) = 22, E (450) = 16$

245.

Graf gefnu gagnanna, sem lækkar eftir ferli sem er nokkurn veginn hvelft frá 600 til 2200.

b. Milli 600 og 1000 er meðalfækkun ökutækja á klukkustund á hverri akrein −0.0075. Milli 1000 og 1500 er hún −0.006 ökutæki á klukkustund á hverri akrein og milli 1500 og 2100 er hún −0.04 ökutæki á klukkustund á hverri akrein. c.

Graf gefnu gagnanna sem sýnir að mínútum á hverja mílu fjölgar hratt þegar fjöldi ökutækja á klukkustund nálgast 2000.

Grafið er ólínulegt og mínútum á hverja mílu fjölgar hratt þegar fjöldi ökutækja á klukkustund á hverri akrein nálgast 2000.

247.

$\frac{1}{37} \int_{0}^{37} p (t) d t = \frac{0.07 {(37)}^{3}}{4} + \frac{2.42 {(37)}^{2}}{3} - \frac{25.63 (37)}{2} + 521.23 \approx 2037$

249.

Meðalhröðunin er $- \frac{0.7}{3} t^{3} + \frac{1.44}{2} t^{2} + 10.44 t |_{0}^{5} = - \frac{0.7}{3} (5^{3}) + 10.44 (5) \approx 41$ mph/s

251.

$s (t) = v (t) d t = \int (- \frac{7}{30} t^{3} + 0.72 t^{2} + 10.44 t + 23.967) d t = - \frac{7}{120} t^{4} + \frac{0.72}{3} t^{3} + \frac{10.44}{2} t^{2} + 23.967 t + C = 174.24 fet$

253.

$\frac{1}{40} \int_{0}^{40} (−0.068 t + 5.14) d t = - \frac{0.068 (40)}{2} + 5.14 = 3.78 m/sec$

Æfingar í kafla 1.5

255.

$u = h (x)$

257.

$f (u) = \frac{{(u + 1)}^{2}}{\sqrt{u}}$

259.

$d u = 8 x d x; f (u) = \frac{1}{8 \sqrt{u}}$

261.

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$

263.

$- \frac{1}{12 {(2 x - 3)}^{6}} + C$

265.

$\sqrt{x^{2} + 1} + C$

267.

$\frac{1}{8} {(x^{2} - 2 x)}^{4} + C$

269.

$sin θ - \frac{{sin}^{3} θ}{3} + C$

271.

$\frac{{(1 - x)}^{101}}{101} - \frac{{(1 - x)}^{100}}{100} + C$

273.

$\int {(11 x - 7)}^{−3} dx = - \frac{1}{22 {(11 x - 7)}^{2}} + C$

275.

$- \frac{{cos}^{4} θ}{4} + C$

277.

$- \frac{{cos}^{3} (π t)}{3 π} + C$

279.

$- \frac{1}{4} {cos}^{2} (t^{2}) + C$

281.

$- \frac{1}{3 (x^{3} - 3)} + C$

283.

$- \frac{2 (y^{3} - 2)}{3 \sqrt{1 - y^{3}}} + C$

285.

$\frac{1}{33} {(1 - {cos}^{3} θ)}^{11} + C$

287.

$\frac{1}{12} {({sin}^{3} θ - 3 {sin}^{2} θ)}^{4} + C$

289.

$L_{50} = −8.5779 .$ Nákvæma flatarmálið er $\frac{−81}{8}$

291.

$L_{50} = −0.006399$ … Nákvæma flatarmálið er 0.

293.

$u = 1 + x^{2}, d u = 2 x d x, \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{−1 / 2} d u = \sqrt{2} - 1$

295.

$u = 1 + t^{3}, d u = 3 t^{2} d t, \frac{1}{3} \int_{1}^{2} u^{−1 / 2} d u = \frac{2}{3} (\sqrt{2} - 1)$

297.

$u = cos θ, d u = − sin θ d θ, \int_{1 / \sqrt{2}}^{1} u^{−4} d u = \frac{1}{3} (2 \sqrt{2} - 1)$

299.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fallið f(x) = cos(ln(2x)) / x, sem vex hratt á nálgaða bilinu 0 < x < 0,25 og lækkar síðan smám saman að x-ásnum. Seinna grafið sýnir fallið f(x) = sin(ln(2x)), sem lækkar hratt á nálgaða bilinu 0 < x < 0,25 og vex síðan eftir aflíðandi ferli inn í fyrsta fjórðung.

Stofnfallið er $y = sin (ln (2 x)) .$ Þar sem stofnfallið er ekki samfellt í $x = 0,$ er ekki hægt að finna gildi C þannig að $y = sin (ln (2 x)) - C$ gefi gildi ákveðna heildisins.

301.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fallið f(x) = sin(x)/cos³(x) á [−5π/16, 5π/16]. Fallið er vaxandi og hvelft þegar x < 0 en vaxandi og kúpt þegar x > 0. Seinna grafið sýnir fallið f(x) = ½sec²(x) á sama bili. Ferillinn er breiður og kúptur; hann minnkar þegar x < 0 og vex þegar x > 0.

Stofnfallið er $y = \frac{1}{2} {sec}^{2} x .$ Velja skal $C = −2$ þannig að $F (- \frac{π}{3}) = 0 .$

303.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fallið f(x) = 3x²√(2x³ + 1). Ferillinn hefst í upphafspunktinum og er vaxandi og kúptur. Seinna grafið sýnir fallið f(x) = ⅓(2x³ + 1)^(1/3). Ferillinn hefst um y = 0,3 og er vaxandi og kúptur.

Stofnfallið er $y = \frac{1}{3} {(2 x^{3} + 1)}^{3 / 2} .$ Velja skal $C = - \frac{1}{3} .$

305.

Nei, því heildisstofninn er ósamfelldur í $x = 1 .$

307.

$u = sin (t^{2});$ heildið verður $\frac{1}{2} \int_{0}^{0} u d u .$

309.

$u = (1 + {(t - \frac{1}{2})}^{2});$ heildið verður $− \int_{5 / 4}^{5 / 4} \frac{1}{u} d u .$

311.

$u = 1 - t;$ heildið verður
$\begin{array}{l} \int_{1}^{−1} u cos (π (1 - u)) d u \\ = \int_{1}^{−1} u [cos π cos π u - sin π sin π u] d u \\ = − \int_{1}^{−1} u cos π u d u \\ = \int_{−1}^{1} u cos π u d u = 0 \end{array}$
, því heildisstofninn er oddstætt fall.

313.

Með því að setja $u = c x$ og $d u = c d x$ fæst $\frac{1}{\frac{b}{c} - \frac{a}{c}} \int_{a / c}^{b / c} f (c x) d x = \frac{c}{b - a} \int_{u = a}^{u = b} f (u) \frac{d u}{c} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (u) d u .$

315.

$\int_{0}^{x} g (t) d t = \frac{1}{2} \int_{u = 1 - x^{2}}^{1} \frac{d u}{u^{a}} = \frac{1}{2 (1 - a)} u^{1 - a} |_{u = 1 - x^{2}}^{1} = \frac{1}{2 (1 - a)} (1 - {(1 - x^{2})}^{1 - a}) .$ Þegar $x \to 1$ er markgildið $\frac{1}{2 (1 - a)}$ ef $a < 1,$ en markgildið stefnir á +∞ ef $a \geq 1 .$

317.

$\int_{t = π}^{0} b \sqrt{1 - {cos}^{2} t} \times (− a sin t) d t = \int_{t = 0}^{π} a b {sin}^{2} t d t$

319.

$f (t) = 2 cos (3 t) - cos (2 t); \int_{0}^{π} (2 cos (3 t) - cos (2 t)) d t = 0$

Æfingar í kafla 1.6

321.

$\frac{−1}{3} e^{−3 x} + C$

323.

$- \frac{3^{− x}}{ln 3} + C$

325.

$2 \ln (x) + C eða \ln (x^{2}) +C$

327.

$2 \sqrt{x} + C$

329.

$- \frac{1}{ln x} + C$

331.

$ln (ln (ln x)) + C$

333.

$ln (x cos x) + C$

335.

$- \frac{1}{2} {(ln (cos (x)))}^{2} + C$

337.

$\frac{− e^{− x^{3}}}{3} + C$

339.

$e^{tan x} + C$

341.

$t + C$

343.

$\frac{2}{9} x^{3} (ln (x^{3}) - 1) + C$

345.

$2 \sqrt{x} (ln x - 2) + C$

347.

$\int_{0}^{ln x} e^{t} d t = e^{t} |_{0}^{ln x} = e^{ln x} - e^{0} = x - 1$

349.

$- \frac{1}{3} ln (sin (3 x) + cos (3 x)) +C$

351.

$- \frac{1}{2} ln | csc (x^{2}) + cot (x^{2}) | + C$

353.

$- \frac{1}{2} {(ln (csc x))}^{2} + C$

355.

$\frac{1}{3} ln (\frac{26}{7})$

357.

$ln (\sqrt{3} - 1)$

359.

$\frac{1}{2} ln \frac{3}{2}$

361.

$y - 2 ln | y + 1 | + C$

363.

$ln | sin x - cos x | + C$

365.

$- \frac{1}{3} {(1 - (ln {x)}^{2})}^{3 / 2} + C$

367.

Nákvæm lausn: $\frac{e - 1}{e}, R_{50} = 0.6258 .$ Þar sem f er minnkandi vanmetur nálgunin með hægri endapunktum flatarmálið.

369.

Nákvæm lausn: $\frac{2 ln (3) - ln (6)}{2}, R_{50} = 0.2033 .$ Þar sem f er vaxandi ofmetur nálgunin með hægri endapunktum flatarmálið.

371.

Nákvæm lausn: $- \frac{1}{ln (4)}, R_{50} = −0.7164 .$ Þar sem f er neikvætt og vaxandi á bilinu ofmetur nálgunin með hægri endapunktum gildi heildisins en vanmetur flatarmál svæðisins, það er algildi heildisins.

373.

$\frac{11}{2} ln 2$

375.

$\frac{1}{ln (65, 536)}$

377.

$\int_{N}^{N + 1} x e^{− x^{2}} d x = \frac{1}{2} (e^{− N^{2}} - e^{− {(N + 1)}^{2}}) .$ Stærðin er minni en 0.01 þegar $N = 2 .$

379.

$\int_{a}^{b} \frac{d x}{x} = ln (b) - ln (a) = ln (\frac{1}{a}) - ln (\frac{1}{b}) = \int_{1 / b}^{1 / a} \frac{d x}{x}$

381.

383.

Gera má ráð fyrir að $x > 1, því \frac{1}{x} < 1 .$ Þá er $\int_{1}^{1 / x} \frac{d t}{t} .$ Gerum nú innsetninguna $u = \frac{1}{t},$ svo $d u = - \frac{d t}{t^{2}}$ og $\frac{d u}{u} = - \frac{d t}{t},$ og breytum endapunktunum: $\int_{1}^{1 / x} \frac{d t}{t} = − \int_{1}^{x} \frac{d u}{u} = − ln x .$

385.

Svör eru breytileg.

387.

$x = E (ln (x)) .$ Þá er $1 = \frac{E' (ln x)}{x} eða x = E' (ln x) .$ Þar sem sérhverja tölu t má rita sem $t = ln x$ fyrir eitthvert x og fyrir slíkt t gildir $x = E (t),$ fæst að fyrir sérhvert $t, E' (t) = E (t) .$

389.

$R_{10} = 0.6811, R_{100} = 0.6827$

Graf fallsins f(x) = 0,5√2e^(−0,5x²)/√π. Ferillinn opnast niður, er samhverfur um y-ásinn og sker hann um það bil í (0, 0,4). Fallið stefnir á 0 þegar x stefnir á plús eða mínus óendanlegt. Milli −1 og 1 eru teiknaðir tíu rétthyrningar fyrir nálgun með hægri endapunktum á flatarmálinu undir ferlinum.

Æfingar í kafla 1.7

391.

${sin}^{−1} x |_{0}^{\sqrt{3} / 2} = \frac{π}{3}$

393.

${tan}^{−1} x |_{\sqrt{3}}^{1} = - \frac{π}{12}$

395.

${sec}^{−1} |_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}} = \frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{π}{12}$

397.

${sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

399.

$\frac{1}{3} {tan}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

401.

$\frac{1}{3} {sec}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

403.

$cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ .$ Því er ${sin}^{−1} t = \frac{π}{2} - {cos}^{−1} t .$ Munurinn á þeim er fasti.

405.

$\sqrt{1 - t^{2}}$ er ekki skilgreint sem rauntala þegar $t > 1 .$

407.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fallið f(x) = 1 / sqrt(9 − x^2). Ferillinn opnast upp, er samhverfur um y-ásinn og sker hann í (0, 1/3). Seinna grafið sýnir fallið F(x) = arcsin(1/3 x). Það er vaxandi ferill sem liggur gegnum upphafspunktinn.

Stofnfallið er ${sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + C .$ Með því að velja $C = \frac{π}{2}$ fæst gildi ákveðna heildisins.

409.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fallið f(x) = cos(x)/(4 + sin²(x)), sem sveiflast á [−6, 6]. Vendipunktar þess eru um það bil (−3, −2,5), (0, 0,25) og (3, −2,5). Punkturinn (0, 0,25) er staðbundið hágildi en hinir eru staðbundin lággildi. Seinna grafið sýnir fallið F(x) = 0,5arctan(0,5sin(x)), sem sveiflast einnig á [−6, 6]. Vendipunktar þess eru um það bil (−4,5, 0,25), (−1,5, −0,25), (1,5, 0,25) og (4,5, −0,25).

Stofnfallið er $\frac{1}{2} {tan}^{−1} (\frac{sin x}{2}) + C .$ Með því að velja $C = \frac{1}{2} {tan}^{−1} (\frac{sin (6)}{2})$ fæst gildi ákveðna heildisins.

411.

$\frac{1}{2} {({sin}^{−1} t)}^{2} + C$

413.

$\frac{1}{4} {({tan}^{−1} (2 t))}^{2} + C$

415.

$\frac{1}{4} ({sec}^{−1} {(\frac{t}{2})}^{2}) + C$

417.

Graf fallsins f(x) = −0,5 * arctan(2 / (sqrt(x^2 − 4))) í fjórða fjórðungi. Ferillinn er vaxandi og hvelfdur og hefur lóðrétta aðfelluna x=2.

Stofnfallið er $\frac{1}{2} {sec}^{−1} (\frac{x}{2}) + C .$ Með því að velja $C = 0$ fæst gildi ákveðna heildisins á $[2, 6] .$

419.

Graf f(x) = arctan(x sin(x)) á [−6,6]. Grafið hefur fimm vendipunkta, um það bil í (−5, −1.5), (−2,1), (0,0), (2,1) og (5, −1.5).

Almenna stofnfallið er ${tan}^{−1} (x sin x) + C .$ Með því að velja $C = − {tan}^{−1} (6 sin (6))$ fæst gildi ákveðna heildisins.

421.

Graf fallsins f(x) = arctan(ln(x)) á (0, 2]. Ferillinn er vaxandi og sker x-ásinn í (1,0).

Almenna stofnfallið er ${tan}^{−1} (ln x) + C .$ Með því að velja $C = \frac{π}{2} = {tan}^{−1} \infty$ fæst gildi ákveðna heildisins.

423.

${sin}^{−1} (e^{t}) + C$

425.

${sin}^{−1} (ln t) + C$

427.

$- \frac{1}{4} {({cos}^{−1} (2 t))}^{2} + C$

429.

$\frac{1}{2} ln (\frac{4}{3})$

431.

$1 - \frac{2}{\sqrt{5}}$

433.

$2 {tan}^{−1} (A) \to π$ þegar $A \to \infty$

435.

Með vísbendingunni fæst $\int \frac{{csc}^{2} x}{{csc}^{2} x + {cot}^{2} x} d x = \int \frac{{csc}^{2} x}{1 + 2 {cot}^{2} x} d x .$ Setjum $u = \sqrt{2} cot x .$ Þá er $d u = − \sqrt{2} {csc}^{2} x$ og heildið er $- \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d u}{1 + u^{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{−1} u + C = \frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{−1} (\sqrt{2} cot x) + C .$ Ef samsemdin ${tan}^{−1} s + {tan}^{−1} (\frac{1}{s}) = \frac{π}{2},$ er notuð má einnig rita þetta sem $\frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{−1} (\frac{tan x}{\sqrt{2}}) + C .$

437.

$x \approx \pm 1.7321 .$ Nálgunin með vinstri endapunktum fyrir $N = 100$ er 4.781 og þessir aukastafir haldast fyrir $N = 500 .$

Upprifjunaræfingar

439.

Ósatt

441.

Satt

443.

$L_{4} = 5.25, R_{4} = 3.25,$ nákvæmt svar: 4

445.

$L_{4} = 5.364, R_{4} = 5.364,$ nákvæmt svar: 5.870

447.

$- \frac{4}{3}$

449.

451.

$- \frac{1}{2 {(x + 4)}^{2}} + C$

453.

$\frac{4}{3} {sin}^{−1} (x^{3}) + C$

455.

$\frac{sin t}{\sqrt{1 + t^{2}}}$

457.

$4 \frac{ln x}{x} + 1$

459.

$6,328,113

461.

$73.36

463.

$\frac{19117}{12} fet/sec, eða 1593 fet/sec$