Svarlykill

Kafli 6

Stöðumat

6.1.

Samleitnibilið er $[−1, 1) .$ Samleitnigeislinn er $R = 1 .$

6.2.

Myndin sýnir graf y = 1/(1-x^2), feril sem er kúptur upp og samhverfur um y-ásinn. Á grafinu eru einnig þrjár hlutsummur fallsins, S með vísi 6, S með vísi 4 og S með vísi 2. Þessir ferlar verða smám saman flatari í þessari röð.

6.3.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n + 3}}{2^{n + 1}}$ með samleitnibilið $(−2, 2)$

6.4.

Samleitnibilið er $(−2, 2) .$

6.5.

$\sum_{n = 0}^{\infty} (−1 + \frac{1}{2^{n + 1}}) x^{n} .$ Samleitnibilið er $(−1, 1) .$

6.6.

$f (x) = \frac{3}{3 - x} .$ Samleitnibilið er $(−3, 3) .$

6.7.

$1 + 2 x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + ⋯$

6.8.

$\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 2) (n + 1) x^{n}$

6.9.

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n} x^{n}}{n (n - 1)}$

6.10.

$p_{0} (x) = 1; p_{1} (x) = 1 - 2 (x - 1); p_{2} (x) = 1 - 2 (x - 1) + 3 {(x - 1)}^{2}; p_{3} (x) = 1 - 2 (x - 1) + 3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{3}$

6.11.

$p_{0} (x) = 1; p_{1} (x) = 1 - x; p_{2} (x) = 1 - x + x^{2}; p_{3} (x) = 1 - x + x^{2} - x^{3}; p_{n} (x) = 1 - x + x^{2} - x^{3} + ⋯ + {(−1)}^{n} x^{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(−1)}^{k} x^{k}$

6.12.

$p_{1} (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4); p_{2} (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4) - \frac{1}{64} {(x - 4)}^{2}; p_{1} (6) = 2.5; p_{2} (6) = 2.4375;$

$| R_{1} (6) | \leq 0.0625; | R_{2} (6) | \leq 0.015625$

6.13.

0.96593

6.14.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(2 - x)}^{n}}{2^{n + 1}} .$ Samleitnibilið er $(0, 4) .$

6.15.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}$

Samkvæmt kvótaprófinu er samleitnibilið $(− \infty, \infty) .$ Þar sem $| R_{n} (x) | \leq \frac{{| x |}^{n + 1}}{(n + 1)!},$ er röðin samleitin og summa hennar er $cos x$ fyrir allar rauntölur x.

6.16.

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} (n + 1) x^{n}$

6.17.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n} x^{4 n + 2}}{(2 n + 1)!}$

6.18.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{n!} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 ⋯ (2 n - 1)}{2^{n}} x^{n}$

6.19.

$y = 5 e^{2 x}$

6.20.

$y = a (1 - \frac{x^{4}}{3 \cdot 4} + \frac{x^{8}}{3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 8} - ⋯) + b (x - \frac{x^{5}}{4 \cdot 5} + \frac{x^{9}}{4 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 9} - ⋯)$

6.21.

$C + \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n (2 n - 2)!}$ Ákveðna heildið er um það bil $0.514$ með skekkju minni en $0.01 .$

6.22.

Matið er um það bil $0.3414 .$ Skekkja matsins er minni en $0.0000094 .$

Æfingar í undirkafla 6.1

Satt. Ef röð er samleitin stefna liðir hennar á núll.

Ósatt. Það myndi fela í sér að $a_{n} x^{n} \to 0$ þegar $| x | < R .$ Ef $a_{n} = n^{n},$ þá stefnir $a_{n} x^{n} = {(n x)}^{n}$ ekki á núll fyrir neitt $x \neq 0 .$

Hún verður að vera samleitin á $(0, 6]$ og því fyrir: a. $x = 1;$ b. $x = 2;$ c. $x = 3;$ d. $x = 0;$ e. $x = 5.99;$ og f. $x = 0.000001 .$

$| \frac{a_{n + 1} 2^{n + 1} x^{n + 1}}{a_{n} 2^{n} x^{n}} | = 2 | x | | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to 2 | x |$ og því $R = \frac{1}{2}$

$| \frac{a_{n + 1} {(\frac{π}{e})}^{n + 1} x^{n + 1}}{a_{n} {(\frac{π}{e})}^{n} x^{n}} | = \frac{π | x |}{e} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to \frac{π | x |}{e}$ og því $R = \frac{e}{π}$

11.

$| \frac{a_{n + 1} {(−1)}^{n + 1} x^{2 n + 2}}{a_{n} {(−1)}^{n} x^{2 n}} | = | x^{2} | | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to | x^{2} |$ og því $R = 1$

13.

$a_{n} = \frac{2^{n}}{n}$ Þá er $\frac{a_{n + 1} x}{a_{n}} \to 2 x .$ Þá er $R = \frac{1}{2} .$ Þegar $x = \frac{1}{2}$ er röðin harmonísk og ósamleitin. Þegar $x = - \frac{1}{2}$ er röðin víxlmerkt harmonísk röð og samleitin. Samleitnibilið er $I = [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) .$

15.

$a_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ og því $\frac{a_{n + 1} x}{a_{n}} \to \frac{x}{2}$ og því $R = 2 .$ Þegar $x = ± 2$ er röðin ósamleitin samkvæmt sundurleitniprófinu. Samleitnibilið er $I = (−2, 2) .$

17.

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$ og því $R = 2 .$ Þegar $x = ± 2$ er röðin ósamleitin samkvæmt sundurleitniprófinu. Samleitnibilið er $I = (−2, 2) .$

19.

$a_{k} = \frac{π^{k}}{k^{π}}$ og því $R = \frac{1}{π} .$ Þegar $x = ± \frac{1}{π}$ er röðin alsamleitin p-röð. Samleitnibilið er $I = [- \frac{1}{π}, \frac{1}{π}] .$

21.

$a_{n} = \frac{10^{n}}{n!}, \frac{a_{n + 1} x}{a_{n}} = \frac{10 x}{n + 1} \to 0 < 1$ og því er röðin samleitin fyrir öll x samkvæmt kvótaprófinu og $I = (− \infty, \infty) .$

23.

$a_{k} = \frac{{(k!)}^{2}}{(2 k)!}$ og því $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \frac{{(k + 1)}^{2}}{(2 k + 2) (2 k + 1)} \to \frac{1}{4}$ og því $R = 4$

25.

$a_{k} = \frac{k!}{1 \cdot 3 \cdot 5 ⋯ (2 k - 1)}$ og því $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \frac{k + 1}{2 k + 1} \to \frac{1}{2}$ og því $R = 2$

27.

$a_{n} = \frac{1}{(\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix})}$ og því $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{{((n + 1)!)}^{2}}{(2 n + 2)!} \frac{2 n!}{{(n!)}^{2}} = \frac{{(n + 1)}^{2}}{(2 n + 2) (2 n + 1)} \to \frac{1}{4}$ og því $R = 4$

29.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{{(n + 1)}^{3}}{(3 n + 3) (3 n + 2) (3 n + 1)} \to \frac{1}{27}$ og því $R = 27$

31.

$a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$ og því $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n + 1)!}{n!} \frac{n^{n}}{{(n + 1)}^{n + 1}} = {(\frac{n}{n + 1})}^{n} \to \frac{1}{e}$ og því $R = e$

33.

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(1 - x)}^{n}$ á $I = (0, 2)$

35.

$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1}$ á $I = (−1, 1)$

37.

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} x^{2 n + 2}$ á $I = (−1, 1)$

39.

$\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n}$ á $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

41.

$\sum_{n = 0}^{\infty} 4^{n} x^{2 n + 2}$ á $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

43.

${| a_{n} x^{n} |}^{1 / n} = {| a_{n} |}^{1 / n} | x | \to | x | r$ þegar $n \to \infty$ og $| x | r < 1$ þegar $| x | < \frac{1}{r} .$ Því er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ samleitin þegar $| x | < \frac{1}{r}$ samkvæmt n-tu rótarprófi.

45.

$a_{k} = {(\frac{k - 1}{2 k + 3})}^{k}$ og því ${(a_{k})}^{1 / k} \to \frac{1}{2} < 1$ og því $R = 2$

47.

$a_{n} = {(n^{1 / n} - 1)}^{n}$ og því ${(a_{n})}^{1 / n} \to 0$ og því $R = \infty$

49.

Endurrita má $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{2 n + 1} x^{2 n + 1}$ og $p (x) = p (− x)$ . Þar sem aðeins slétt veldi af $x$ standa eftir er $p (x)$ jafnstætt fall, en samkvæmt skilgreiningu gildir þá $p (x) = p (–x)$ .

51.

Ef $x \in [0, 1],$ þá er $y = 2 x - 1 \in [−1, 1]$ og því er $p (2 x - 1) = p (y) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} y^{n}$ samleitin.

53.

Samleitin á $(−1, 1)$ samkvæmt kvótaprófinu

55.

Skoðum röðina $\sum b_{k} x^{k}$ , þar sem $b_{k} = a_{k}$ ef $k = n^{2}$ og $b_{k} = 0$ annars. Þá er $b_{k} \leq a_{k}$ og því er röðin samleitin á $(−1, 1)$ samkvæmt samanburðarprófinu.

57.

Myndin sýnir graf y = 1/(1-x), vaxandi feril með lóðrétta aðfellu við 1.

Nálgunin er nákvæmari nálægt $x = −1 .$ Hlutsummurnar fylgja $\frac{1}{1 - x}$ því betur sem N stækkar en verða aldrei nákvæmar nálægt $x = 1$ þar sem röðin er ósamleitin.

59.

Myndin sýnir graf y = -ln(1-x), vaxandi feril sem fer um upphafspunktinn.

Nálgunin virðist verða fljótt stöðug nálægt báðum $x = ± 1 .$

61.

Myndin sýnir gröf hlutsummanna af (−1)^n x^(2n+1)/(2n+1)! fyrir n = 3, 5 og 10. Ferlarnir nálgast sínusferilinn nærri upphafspunktinum en víkja frá honum eftir því sem fjarlægðin frá upphafspunktinum eykst.

Margliðuferlarnir hafa núllstöðvar nálægt núllstöðvum $sin x$ upp að stigi sínu, en síðan víkja margliðurnar frá $sin x .$

Æfingar í undirkafla 6.2

63.

$\frac{1}{2} (f (x) + g (x)) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ og $\frac{1}{2} (f (x) - g (x)) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} .$

65.

$\frac{4}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 1} = - \frac{1}{3 (1 - \frac{x}{3})} - \frac{1}{1 - (− x)} = - \frac{1}{3} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{x}{3})}^{n} - \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} ({(−1)}^{n + 1} - \frac{1}{3^{n + 1}}) x^{n}$

67.

$\frac{5}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 1)} = \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{1}{4} \frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} = − \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n} - \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} {(\frac{x}{2})}^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1 + (−1) \cdot^{n + 1} \frac{1}{2^{n + 2}}) x^{2 n}$

69.

$\frac{1}{x} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{x^{n}} = \frac{1}{x} \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{x - 1}$

71.

$\frac{1}{x - 3} \frac{1}{1 - \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}} = \frac{x - 3}{{(x - 3)}^{2} - 1}$

73.

$P = P_{1} + ⋯ + P_{20}$ , þar sem $P_{k} = 10,000 \frac{1}{{(1 + r)}^{k}} .$ Þá er $P = 10,000 \sum_{k = 1}^{20} \frac{1}{{(1 + r)}^{k}} = 10,000 \frac{1 - {(1 + r)}^{−20}}{r} .$ Þegar $r = 0.03, P \approx 10,000 \times 14.8775 = 148,775 .$ Þegar $r = 0.05, P \approx 10,000 \times 12.4622 = 124,622 .$ Þegar $r = 0.07, P \approx 105,940 .$

75.

Almennt er $P = \frac{C (1 - {(1 + r)}^{− N})}{r}$ fyrir N greiðsluár, eða $C = \frac{P r}{1 - {(1 + r)}^{− N}} .$ Fyrir $N = 20$ og $P = 100,000,$ er $C = 6721.57$ þegar $r = 0.03; C = 8024.26$ , þegar $r = 0.05;$ og $C \approx 9439.29$ þegar $r = 0.07 .$

77.

Almennt er $P = \frac{C}{r} .$ Því er $r = \frac{C}{P} = 5 \times \frac{10^{4}}{10^{6}} = 0.05 .$

79.

$(x + x^{2} - x^{3}) (1 + x^{3} + x^{6} + ⋯) = \frac{x + x^{2} - x^{3}}{1 - x^{3}}$

81.

$(x - x^{2} - x^{3}) (1 + x^{3} + x^{6} + ⋯) = \frac{x - x^{2} - x^{3}}{1 - x^{3}}$

83.

$a_{n} = 2, b_{n} = n$ og því $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} a_{n - k} = 2 \sum_{k = 0}^{n} k = (n) (n + 1)$ og $f (x) g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n (n + 1) x^{n}$

85.

$a_{n} = b_{n} = 2^{− n}$ og því $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k} a_{n - k} = 2^{− n} \sum_{k = 1}^{n - 1} 1 = \frac{n - 1}{2^{n}}$ og $f (x) g (x) = \sum_{n = 2}^{\infty} (n - 1) {(\frac{x}{2})}^{n}$

87.

Afleiða $f$ er $- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} = − \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} (n + 1) x^{n} .$

89.

Óákveðið heildi $f$ er $- \frac{1}{1 + x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} x^{2 n} .$

91.

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}; f^{'} (\frac{1}{2}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n - 1}} = {\frac{d}{d x} {(1 - x)}^{−1} |}_{x = 1 / 2} = {\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} |}_{x = 1 / 2} = 4$ og því $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} = 2 .$

93.

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}; f^{″} (\frac{1}{2}) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{2^{n - 2}} = {\frac{d^{2}}{d x^{2}} {(1 - x)}^{−1} |}_{x = 1 / 2} = {\frac{2}{{(1 - x)}^{3}} |}_{x = 1 / 2} = 16$ og því $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{2^{n}} = 4 .$

95.

$\int \sum {(1 - x)}^{n} d x = \int \sum {(−1)}^{n} {(x - 1)}^{n} d x = \sum \frac{{(−1)}^{n} {(x - 1)}^{n + 1}}{n + 1}$

97.

$− \int_{t = 0}^{x^{2}} \frac{1}{1 - t} d t = − \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{x^{2}} t^{n} d x - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 (n + 1)}}{n + 1} = − \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n}$

99.

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{d t}{1 + t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \int_{0}^{x^{2}} t^{2 n} d t = {\sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{t^{2 n + 1}}{2 n + 1} |}_{t = 0}^{x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{4 n + 2}}{2 n + 1}$

101.

Heildun lið fyrir lið gefur $\int_{0}^{x} ln t d t = \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n - 1} \frac{{(x - 1)}^{n + 1}}{n (n + 1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n - 1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) {(x - 1)}^{n + 1} = (x - 1) ln x + \sum_{n = 2}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{{(x - 1)}^{n}}{n} = x ln x - x .$

103.

Gildir $ln (1 - x) = − \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ og því $ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} .$ Þar með er $ln (\frac{1 + x}{1 - x}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 + {(−1)}^{n - 1}) \frac{x^{n}}{n} = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n - 1}}{2 n - 1} .$ Þegar $x = \frac{1}{3}$ fæst $ln (2) = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{2 n - 1} (2 n - 1)} .$ Gildir $2 \sum_{n = 1}^{3} \frac{1}{3^{2 n - 1} (2 n - 1)} = 0.69300 …,$ en jafnframt $2 \sum_{n = 1}^{4} \frac{1}{3^{2 n - 1} (2 n - 1)} = 0.69313 …$ og $ln (2) = 0.69314 …;$ og því er $N = 4 .$

105.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k} = − ln (1 - x)$ og því $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{3 k}}{6 k} = - \frac{1}{6} ln (1 - x^{3}) .$ Samkvæmt kvótaprófinu er samleitnigeislinn 1.

107.

Ef $y = 2^{− x},$ þá er $\sum_{k = 1}^{\infty} y^{k} = \frac{y}{1 - y} = \frac{2^{− x}}{1 - 2^{− x}} = \frac{1}{2^{x} - 1} .$ Ef $a_{k} = 2^{− k x},$ þá er $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = 2^{− x} < 1$ þegar $x > 0 .$ Því er röðin samleitin fyrir öll $x > 0 .$

109.

Svör geta verið mismunandi.

111.

Þetta er graf þriggja ferla. Þeir eru allir vaxandi og verða mjög nálægir þegar þeir nálgast x = 0. Síðan skiljast þeir að þegar x fjarlægist 0.

Samfelldi ferillinn er S₅. Strikaði ferillinn er S₂, punktalínan er S₃ og punktastrikaði ferillinn er S₄.

113.

Þegar $x = - \frac{1}{2}, − ln (2) = ln (\frac{1}{2}) = − \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} .$ Þar sem $\sum_{n = 11}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} < \sum_{n = 11}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{10}},$ fæst $\sum_{n = 1}^{10} \frac{1}{n 2^{n}} = 0.69306 …$ en $ln (2) = 0.69314 …;$ Því er $N = 10 .$

115.

$6 S_{N} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \sqrt{3} \sum_{n = 0}^{N} {(−1)}^{n} \frac{1}{3^{n} (2 n + 1)} .$ Gildir $π - 6 S_{4} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0.00101 …$ og $π - 6 S_{5} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0.00028 …$ og því er $N = 5$ lægsta gildi N sem gefur skekkju minni en 0.001. Einnig er $π - 6 S_{7} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0.00002 …$ en $π - 6 S_{8} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = −0.000007 …$ og því er $N = 8$ lægsta gildi N sem gefur skekkju minni en 0.00001.

Æfingar í undirkafla 6.3

117.

$f (−1) = 1; f^{'} (−1) = −1; f^{″} (−1) = 2; f (x) = 1 - (x + 1) + {(x + 1)}^{2}$

119.

$f^{'} (x) = 2 cos (2 x); f^{″} (x) = −4 sin (2 x); p_{2} (x) = −2 (x - \frac{π}{2})$

121.

$f^{'} (x) = \frac{1}{x}; f^{″} (x) = - \frac{1}{x^{2}}; p_{2} (x) = 0 + (x - 1) - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}$

123.

$p_{2} (x) = e + e (x - 1) + \frac{e}{2} {(x - 1)}^{2}$

125.

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} x^{1 / 3} = - \frac{2}{9 x^{5 / 3}} \geq −0.00092 …$ þegar $x \geq 28$ og því gildir skekkjumatið fyrir línulegu nálgunina $x^{1 / 3} \approx p_{1} (27) = 3 + \frac{x - 27}{27},$ sem gefur ${(28)}^{1 / 3} \approx 3 + \frac{1}{27} = 3. \bar{037},$ en ${(28)}^{1 / 3} \approx 3.03658 .$

127.

Með matinu $\frac{2^{10}}{10!} < 0.000283$ má nota Taylor-liðun af stigi 9 til að meta e ^x við $x = 2 .$ Þá fæst $e^{2} \approx p_{9} (2) = 1 + 2 + \frac{2^{2}}{2} + \frac{2^{3}}{6} + ⋯ + \frac{2^{9}}{9!} = 7.3887 …$ en $e^{2} \approx 7.3891 .$

129.

Þar sem $\frac{d^{n}}{d x^{n}} (ln x) = {(−1)}^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{x^{n}}, R_{1000} \approx \frac{1}{1001} .$ Þá fæst $p_{1000} (1) = \sum_{n = 1}^{1000} \frac{{(−1)}^{n - 1}}{n} \approx 0.6936$ en $ln (2) \approx 0.6931 ⋯ .$

131.

$\int_{0}^{1} (1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{8}}{24} - \frac{x^{10}}{120} + \frac{x^{12}}{720}) d x$

$= 1 - \frac{1^{3}}{3} + \frac{1^{5}}{10} - \frac{1^{7}}{42} + \frac{1^{9}}{9 \cdot 24} - \frac{1^{11}}{120 \cdot 11} + \frac{1^{13}}{720 \cdot 13} \approx 0.74683$ en $\int_{0}^{1} e^{− x^{2}} d x \approx 0.74682 .$

133.

Þar sem $f^{(n + 1)} (z)$ er $sin z$ eða $cos z,$ er $M = 1 .$ Þar sem $| x - 0 | \leq \frac{π}{2},$ leitum við að minnsta n þannig að $\frac{π^{n + 1}}{2^{n + 1} (n + 1)!} \leq 0.001 .$ Minnsta slíka gildið er $n = 7 .$ Skekkjumatið er $R_{7} \leq 0.00092 .$

135.

Þar sem $f^{(n + 1)} (z) = ± e^{− z}$ er $M = e^{3} .$ Þar sem $| x - 0 | \leq 3,$ leitum við að minnsta n þannig að $\frac{3^{n + 1} e^{3}}{(n + 1)!} \leq 0.001 .$ Minnsta slíka gildið er $n = 14 .$ Skekkjumatið er $R_{14} \leq 0.000220 .$

137.

Grafið hefur lárétta línu við y=0.2. Þar er einnig ferill sem hefst í upphafspunktinum og er kúptur upp. Ferillinn og línan skerast í punktinum (0.5966, 0.2).

Þar sem $sin x$ er vaxandi fyrir lítil x og þar sem $si n^{″} x = − sin x,$ gildir matið þegar $R^{2} sin (R) \leq 0.2,$ það er allt að $R = 0.596 .$

139.

Grafið hefur lárétta línu við y=0.2. Þar er einnig ferill sem hefst í upphafspunktinum og er kúptur upp. Ferillinn og línan skerast í punktinum (0.44720, 0.2).

Þar sem önnur afleiða $cos x$ er $− cos x$ og þar sem $cos x$ er minnkandi þegar fjær dregur frá $x = 0,$ gildir matið þegar $R^{2} cos R \leq 0.2$ eða $R \leq 0.447 .$

141.

${(x + 1)}^{3} - 2 {(x + 1)}^{2} + 2 (x + 1)$

143.

Gildi afleiðanna eru þau sömu og fyrir $x = 0$ og því $cos x = {\sum_{n = 0}^{\infty} (−1)}^{n} \frac{{(x - 2 π)}^{2 n}}{(2 n)!}$

145.

$cos (\frac{π}{2}) = 0, − sin (\frac{π}{2}) = −1$ og því $cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{{(x - \frac{π}{2})}^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!},$ sem er einnig $− cos (x - \frac{π}{2}) .$

147.

Afleiðurnar eru $f^{(n)} (1) = e$ og því $e^{x} = e \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x - 1)}^{n}}{n!} .$

149.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{3}} = − (\frac{1}{2}) \frac{d^{2}}{d x^{2}} \frac{1}{1 - x} = − \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{(n + 2) (n + 1) x^{n}}{2})$

151.

$2 - x = 1 - (x - 1)$

153.

${((x - 1) - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2} - 2 (x - 1) + 1$

155.

$\frac{1}{1 - (1 - x)} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} {(x - 1)}^{n}$

157.

$x \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} {(1 - x)}^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} {(x - 1)}^{2 n + 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} {(x - 1)}^{2 n}$

159.

$e^{2 x} = e^{2 (x - 1) + 2} = e^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n} {(x - 1)}^{n}}{n!}$

161.

$x = e^{2}; S_{10} = \frac{34,913}{4725} \approx 7.3889947$

163.

$sin (2 π) = 0; S_{10} = 8.27 \times 10^{−5}$

165.

Grafið hefur feril sem er kúptur upp og samhverfur um y-ásinn. Lægsti punktur grafsins er upphafspunkturinn og afgangur ferilsins liggur ofan x-ássins.

Mismunurinn er lítill innan bilsins en stefnir á $1$ nálægt endapunktunum. Skekkjumatið er $| R_{4} | = \frac{π^{5}}{120} \approx 2.552 .$

167.

Grafið hefur tvo ferla. Heili ferillinn er mjög flatur og liggur nálægt x-ásnum. Hann fer um upphafspunktinn. Hinn ferillinn, brotin lína, er kúptur niður og samhverfur um y-ásinn. Hann liggur mjög nálægt x-ásnum milli -3 og 3.

Mismunurinn er af stærðargráðunni $10^{−4}$ á $[−1, 1]$ en skekkja Taylor-nálgunarinnar er um $0.1$ nálægt $\pm 1 .$ Efri ferillinn sýnir ${tan}^{2} x - {(\frac{S_{5} (x)}{C_{4} (x)})}^{2}$ og neðri strikaði ferillinn sýnir $t^{2} - {(\frac{S_{5}}{C_{4}})}^{2} .$

169.

a. Svör eru breytileg. b. Eftirfarandi eru $x_{n}$ gildin eftir $10$ ítrekanir á aðferð Newtons til að nálga núllstöð $p_{N} (x) - 2 = 0 :$ fyrir $N = 4, x = 0.6939...;$ fyrir $N = 5, x = 0.6932...;$ fyrir $N = 6, x = 0.69315...; .$ (Athugið: $ln (2) = 0.69314 ...)$ c. Svör eru breytileg.

171.

$\frac{ln (1 - x^{2})}{x^{2}} \to − 1$

173.

$\frac{cos (\sqrt{x}) - 1}{2 x} \approx \frac{(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4!} - ⋯) - 1}{2 x} \to - \frac{1}{4}$

Æfingar í undirkafla 6.4

175.

${(1 + x^{2})}^{−1 / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - \frac{1}{3} \\ n \end{matrix}) x^{2 n}$

177.

${(1 - 2 x)}^{2 / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} 2^{n} (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ n \end{matrix}) x^{n}$

179.

$\sqrt{2 + x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{(1 / 2) - n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) x^{2 n}; (| x^{2} | < 2)$

181.

$\sqrt{2 x - x^{2}} = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ og því $\sqrt{2 x - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(x - 1)}^{2 n}$

183.

$\sqrt{x} = 2 \sqrt{1 + \frac{x - 4}{4}}$ og því $\sqrt{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{1 - 2 n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(x - 4)}^{n}$

185.

$\sqrt{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} 3^{1 - 2 n} (\frac{1}{2} n) {(x - 9)}^{n}$

187.

$10 {(1 + \frac{x}{1000})}^{1 / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} 10^{1 - 3 n} (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ n \end{matrix}) x^{n} .$ Ef til dæmis fjórða stigs nálgun við $x = 1$ er notuð fæst $\begin{matrix} {(1001)}^{1 / 3} & \approx 10 (1 + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 1 \end{matrix}) 10^{−3} + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 2 \end{matrix}) 10^{−6} + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 3 \end{matrix}) 10^{−9} + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 4 \end{matrix}) 10^{−12}) \\ = 10 (1 + \frac{1}{{3.10}^{3}} - \frac{1}{{9.10}^{6}} + \frac{5}{{81.10}^{9}} - \frac{10}{{243.10}^{12}}) = 10.00333222... \end{matrix}$ en ${(1001)}^{1 / 3} = 10.00332222839093 ....$ Tveir liðir myndu nægja fyrir þriggja stafa nákvæmni.

189.

Nálgunin er $2.3152;$ gildi tölvualgebrukerfisins er $2.23 … .$

191.

Nálgunin er $2.583 …;$ gildi tölvualgebrukerfisins er $2.449 … .$

193.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{6}}{16} - \frac{5 x^{8}}{128} + ⋯ .$ Því

$\int_{−1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = x - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{5}}{40} - \frac{x^{7}}{7 \cdot 16} - \frac{5 x^{9}}{9 \cdot 128} + ⋯ |_{−1}^{1} \approx 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{20} - \frac{1}{56} - \frac{10}{9 \cdot 128} + skekkja = 1.590 ...$ en $\frac{π}{2} = 1.570 ...$

195.

$\begin{array}{l} {(1 + 4 x)}^{4 / 3} = (1 + 4 x) {(1 + 4 x)}^{1 / 3} \\ = (1 + 4 x) (1 + \frac{4 x}{3} - \frac{16 x^{3}}{9} + \frac{320 x^{3}}{81} - \frac{2560 x^{4}}{243}) \\ = 1 + \frac{16}{3} x + \frac{32}{9} x^{2} - \frac{256}{81} x^{3} + \frac{1280}{243} x^{4} - \frac{10240}{243} x^{5} \end{array}$

197.

${(1 + {(x + 3)}^{2})}^{1 / 3} = 1 + \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} - \frac{1}{9} {(x + 3)}^{4} + \frac{5}{81} {(x + 3)}^{6} - \frac{10}{243} {(x + 3)}^{8} + ⋯$

199.

Tvöföld nálgunin er $1.260 …$ en $2^{1 / 3} = 1.2599. ...$

201.

$f^{(99)} (0) = 0$

203.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(ln (2) x)}^{n}}{n!}$

205.

Fyrir $x > 0, sin (\sqrt{x}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{(2 n + 1) / 2}}{\sqrt{x} (2 n + 1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{n}}{(2 n + 1)!} .$

207.

$e^{x^{3}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{n!}$

209.

${sin}^{2} x = − \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{k} 2^{2 k - 1} x^{2 k}}{(2 k)!}$

211.

${tan}^{−1} x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{k} x^{2 k + 1}}{2 k + 1}$

213.

${sin}^{−1} x = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) n!}$

215.

$F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{n + 1}}{(n + 1) (2 n)!}$

217.

$F (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n^{2}}$

219.

$x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + ⋯$

221.

$1 + x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{6} + ⋯$

223.

$1 + x^{2} + \frac{2 x^{4}}{3} + \frac{17 x^{6}}{45} + ⋯$

225.

Með liðunarformúlunni fyrir $tan x$ fæst $1 + \frac{x}{3} + \frac{2 x^{2}}{15} .$

227.

$\frac{1}{1 + x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} x^{2 n}$ og því $R = 1$ samkvæmt kvótaprófinu.

229.

$ln (1 + x^{2}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n - 1}}{n} x^{2 n}$ og því $R = 1$ samkvæmt kvótaprófinu.

231.

Leggið raðirnar fyrir $e^{x}$ og $e^{− x}$ saman lið fyrir lið. Liðirnir með odda veldisvísa styttast út og $cosh x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} .$

233.

Grafið hefur tvo ferla. Sá fyrri er minnkandi fall sem fer um upphafspunktinn. Hinn er brotin lína sem er vaxandi fall og fer einnig um upphafspunktinn. Ferlarnir liggja mjög nálægt hvor öðrum umhverfis upphafspunktinn.

Hlutfallið $\frac{S_{n} (x)}{C_{n} (x)}$ nálgar $tan x$ betur en $p_{7} (x) = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + \frac{17 x^{7}}{315}$ þegar $N \geq 3 .$ Strikuðu ferlarnir eru $\frac{S_{n}}{C_{n}} - tan$ þegar $n = 1, 2 .$ Punktalínan samsvarar $n = 3,$ og punktastrikaði ferillinn samsvarar $n = 4 .$ Heili ferillinn er $p_{7} - tan x .$

235.

Samkvæmt setningunni um deildun lið fyrir lið er $y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$ og því $y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1} x y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n},$ en $y^{'} = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} x^{n - 2}$ og því $x y^{″} = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} x^{n} .$

237.

Líkurnar eru $p = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{(a - μ) / σ}^{(b - μ) / σ} e^{− x^{2} / 2} d x$ , þar sem $a = 90$ og $b = 100,$ það er $p = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{−1}^{1} e^{− x^{2} / 2} d x = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{−1}^{1} \sum_{n = 0}^{5} {(−1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{2^{n} n!} d x = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \sum_{n = 0}^{5} {(−1)}^{n} \frac{1}{(2 n + 1) 2^{n} n!} \approx 0.6827 .$

239.

Grafið er bylgjuferill sem er samhverfur um upphafspunktinn. Ferillinn hefur hágildi í y = 1 fyrir ofan upphafspunktinn og lággildi í -3 og 3.

Eins og í verkefninu á undan fæst $a_{n} = 0$ ef $n$ er oddatala og $a_{n} = − (n + 2) (n + 1) a_{n + 2}$ ef $n$ er slétt tala, og því leiðir $a_{0} = 1$ til $a_{2 n} = \frac{{(−1)}^{n}}{(2 n)!} .$

241.

$y^{″} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n}$ og $y^{'} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n}$ og því felur $y^{″} - y^{'} + y = 0$ í sér að $(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} - (n + 1) a_{n + 1} + a_{n} = 0$ eða $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{n} - \frac{a_{n - 2}}{n (n - 1)}$ fyrir öll $n \cdot y (0) = a_{0} = 1$ og $y^{'} (0) = a_{1} = 0,$ og því $a_{2} = \frac{1}{2}, a_{3} = \frac{1}{6}, a_{4} = 0,$ og $a_{5} = - \frac{1}{120} .$

243.

a. (Sönnun) b. Hér er $R_{s} \leq \frac{0.1}{(9)!} π^{9} \approx 0.0082 < 0.01 .$ Hér er $\int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + \frac{x^{8}}{9!}) d x = π - \frac{π^{3}}{3 \cdot 3!} + \frac{π^{5}}{5 \cdot 5!} - \frac{π^{7}}{7 \cdot 7!} + \frac{π^{9}}{9 \cdot 9!} = 1.852...,$ en $\int_{0}^{π} \frac{sin t}{t} d t = 1.85194...,$ og því er raungild skekkja um það bil $0.00006 .$

245.

Grafið hefur tvo ferla. Sá fyrri er heill ferill merktur C með vísi 50(x). Hann hefst í upphafspunktinum og er bylgja sem hefur smám saman minnkandi sveifluvídd. Hæsta gildi hans er y = 1. Hinn ferillinn er merktur S með vísi 50(x). Hann er bylgja sem hefur smám saman minnkandi sveifluvídd og hæsta gildi hans er 0.9. Hann fylgir mynstri fyrri ferilsins mjög náið en er örlítið hliðraður til hægri.

Þar sem $cos (t^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{t^{4 n}}{(2 n)!}$ og $sin (t^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{t^{4 n + 2}}{(2 n + 1)!},$ fæst $S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{4 n + 3}}{(4 n + 3) (2 n + 1)!}$ og $C (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{4 n + 1}}{(4 n + 1) (2 n)!} .$ Summur fyrstu $50$ liða sem eru ekki núll eru sýndar hér að neðan, þar sem $C_{50} (x)$ er heili ferillinn og $S_{50} (x)$ strikaði ferillinn.

247.

$\int_{0}^{1 / 4} \sqrt{x} (1 - \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x^{3}}{16} - \frac{5 x^{4}}{128} - \frac{7 x^{5}}{256}) d x$

$= \frac{2}{3} 2^{−3} - \frac{1}{2} \frac{2}{5} 2^{−5} - \frac{1}{8} \frac{2}{7} 2^{−7} - \frac{1}{16} \frac{2}{9} 2^{−9} - \frac{5}{128} \frac{2}{11} 2^{−11} - \frac{7}{256} \frac{2}{13} 2^{−13} = 0.0767732 ...$

en $\int_{0}^{1 / 4} \sqrt{x - x^{2}} d x = 0.076773 .$

249.

$T \approx 2 π \sqrt{\frac{10}{9.8}} (1 + \frac{{sin}^{2} (θ / 12)}{4}) \approx 6.453$ sekúndur. Smáhornanálgunin er $T \approx 2 π \sqrt{\frac{10}{9.8} \approx 6.347} .$ Hlutfallslega skekkjan er um $2$ prósent.

251.

$\int_{0}^{π / 2} {sin}^{4} θ d θ = \frac{3 π}{16} .$ Því er $T \approx 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} (1 + \frac{k^{2}}{4} + \frac{9}{256} k^{4}) .$

Upprifjunaræfingar

253.

Satt

255.

Satt

257.

Samleitnigeisli: $1;$ Samleitnibil: $(0, 2)$

259.

Samleitnigeisli: $12;$ Samleitnibil: $(−12, 12)$

261.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{3^{n + 1}} x^{n + 2};$ Samleitnigeisli: $3;$ Samleitnibil: $(−3, 3)$

263.

heildun: $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{2 n + 1} {(2 x)}^{2 n + 1}$

265.

$p_{4} (x) = {(x + 3)}^{3} - 11 {(x + 3)}^{2} + 39 (x + 3) - 41;$ nákvæmt

267.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n} {(3 x)}^{2 n}}{2 n!}$

269.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{(2 n)!} {(x - \frac{π}{2})}^{2 n}$

271.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{n!} x^{2 n}$

273.

$F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{(2 n + 1) (2 n + 1)!} x^{2 n + 1}$

275.

Svör geta verið mismunandi.

277.

$2.5 %$