1818 Stöðurafmagn

18.3 Rafsvið

Markmið kaflans

Í lok þessa kafla munt þú geta gert eftirfarandi:

Reiknað styrk rafsviðs.
Búið til og túlkað teikningar af rafsviðum.

Lykilhugtök

kraftsvið	rafsvið
rafsviðslína	prufuhleðsla
þyngdarsvið	vigursvið

Þú hefur ef til vill heyrt um kraftsvið í vísindaskáldskap, þar sem slík svið vernda geimskip eða halda einhverjum föstum á ákveðnum stað í rúminu. Í eðlisfræði er sviðshugtakið mjög gagnlegt, þó að það sé ekki alveg eins og í kvikmyndunum.

Svið er leið til að hugsa um og kortleggja kraft sem umlykur hlut og verkar á annan hlut í fjarlægð án sýnilegrar efnislegrar tengingar. Þyngdarsviðið umhverfis jörðina lýsir til dæmis þeim þyngdarkrafti sem annar massi myndi finna fyrir ef hann væri settur á tiltekinn stað í sviðinu. Michael Faraday setti fram rafsviðshugtakið á nítjándu öld. Ef rafsviðið er þekkt er hægt að reikna kraftinn sem verkar á hvaða hleðslu sem er í sviðinu.

Rafsvið myndast af rafhleðslu og segir til um kraft á hverja hleðslueiningu á öllum stöðum í rúminu kringum hleðsludreifingu. Hleðsludreifingin getur verið ein punkthleðsla, hleðsla dreifð yfir flata plötu eða flóknari dreifing. Til að skilgreina rafsviðið ímyndum við okkur litla jákvæða prufuhleðslu í sviðinu. Hleðslan er svo lítil að hún breytir ekki hleðsludreifingunni sem myndar sviðið.

Rafsviðið er skilgreint sem krafturinn á prufuhleðsluna deilt með hleðslu hennar:

\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_{test}}

18.15

Hér er aðeins átt við rafkrafta. Rafsvið er vigursvið og stefnir í sömu átt og krafturinn á jákvæða prufuhleðslu. Eining rafsviðs er N/C.

Ef rafsviðið er myndað af punkthleðslu eða kúlu með jafndreifðri hleðslu gefur lögmál Coulombs stærð kraftsins milli punkthleðslunnar Q og prufuhleðslunnar:

F = \frac{k | Q q_{test} |}{r^{2}}

18.16

Tölugildið er notað þar sem hér er aðeins verið að finna stærð kraftsins. Stærð rafsviðsins er þá

E = \frac{F}{q_{test}} = \frac{k | Q |}{r^{2}} .

18.17

Þessi jafna gefur stærð rafsviðsins frá punkthleðslu Q. Fjarlægðin r í nefnaranum er fjarlægðin frá punkthleðslunni, eða frá miðju kúlulaga hleðslu, að þeim punkti sem skoðaður er.

Ef prufuhleðslan er fjarlægð er rafsviðið samt áfram til staðar. Til að búa til þrívítt kort af rafsviði má ímynda sér að prufuhleðslan sé sett á marga staði í sviðinu. Á hverjum stað er krafturinn á hleðsluna mældur og jafnan $\vec{E} = \vec{F} / q_{test}$ notuð til að reikna rafsviðið.

This figure shows a sphere with a plus sign at its center and arrows of varying lengths pointing in every direction away from it. Between the arrows to the left of the sphere is the letter E with an arrow above the letter, indicating that E is a vector. — **Mynd 18.17.** Þrívíð mynd af rafsviði sem myndast af jákvæðri hleðslu.

Ef aðeins er teiknað plan sem sker í gegnum hleðsluna fást tvívíð rafsviðskort. Á Mynd 18.18 er vinstra megin rafsvið frá jákvæðri hleðslu og hægra megin rafsvið frá neikvæðri hleðslu.

Rafsviðslínur stefna frá jákvæðri hleðslu og að neikvæðri hleðslu. Jákvæð prufuhleðsla í rafsviði jákvæðrar hleðslu hrindist því frá henni, en jákvæð prufuhleðsla í rafsviði neikvæðrar hleðslu dregst að henni. Fyrir neikvæða prufuhleðslu snýst kraftstefnan við. Stefna rafsviðsins er því skilgreind sem stefna kraftsins á jákvæða prufuhleðslu.

Jafnan $E = k | Q | / r^{2}$ sýnir að rafsviðið verður sterkara þegar komið er nær hleðslunni sem myndar það. Til dæmis er rafsviðið í 2 cm fjarlægð frá hleðslunni Q fjórum sinnum sterkara en í 4 cm fjarlægð. Þéttleiki rafsviðslína er í réttu hlutfalli við styrk rafsviðsins.

This figure has two parts, each enclosed in a square. At the center of the square on the left is a tiny red circle from which emanate numerous arrows that end on the sides of the square. At the center of the square on the right is a tiny blue circle, and numerous arrows that start from the sides of the square point toward and end at this circle. — **Mynd 18.18.** Rafsviðslínur frá tveimur punkthleðslum. Rauði punkturinn vinstra megin ber hleðsluna +1 nC og blái punkturinn hægra megin ber hleðsluna −1 nC. Örvarnar sýna þá stefnu sem jákvæð prufuhleðsla myndi hreyfast í. Sviðslínurnar eru þéttari nær punkthleðslunni.

Hægt er að búa til rafsviðskort fyrir margar hleðslur eða flóknari hleðsludreifingar. Rafsvið frá mörgum hleðslum fæst með því að leggja saman rafsviðið frá hverri hleðslu fyrir sig. Þar sem summan hefur aðeins eina stefnu og eina stærð á hverjum stað geta rafsviðslínur ekki skarast.

Mynd 18.19(a) sýnir tvívítt rafsviðskort frá hleðslu +q og nálægri hleðslu −q. Þrívíða útgáfan fæst með því að snúa kortinu um ásinn sem liggur gegnum báðar hleðslurnar. Jákvæð prufuhleðsla í sviðinu fyndi kraft í stefnu sviðslínanna, hrindist frá jákvæðu hleðslunni og drægist að neikvæðu hleðslunni. Mynd 18.19(b) sýnir rafsviðið frá tveimur jafnstórum neikvæðum hleðslum.

This figure has two parts, each of which displays two small circles and numerous curved arrows. In Part a, the circle on the left is marked “plus q” and the one on the right is marked “minus q”. Numerous curved arrows emanate from the circle on the left, and many of them terminate on the circle on the right. In Part b, both circles are marked “minus q”. Numerous curved arrows coming from outside these circles terminate on them. Between the two circles is a gap, because the arrows terminating on the left circle do not touch those terminating on the right circle. — **Mynd 18.19.** (a) Rafsvið frá jákvæðri punkthleðslu vinstra megin og neikvæðri punkthleðslu af sömu stærð hægra megin. (b) Rafsvið frá tveimur jafnstórum neikvæðum hleðslum.

Sýndareðlisfræði: könnun rafsviðs

Í hermun með hleðslum og sviðum má setja jákvæðar og neikvæðar hleðslur á skjá, kveikja á rafsviðslínum og færa rafsviðsnema milli staða. Þannig sést hvernig stærð og stefna rafsviðsins breytist með staðsetningu og hleðsludreifingu.

Skilningstékk. Tvær jákvæðar hleðslur eru settar á skjá. Hvaða fullyrðing lýsir rafsviðinu sem þær mynda?

Það er alls staðar fast.
Það er núll nærri hvorri hleðslu.
Það er núll mitt á milli hleðslanna.
Það er sterkast mitt á milli hleðslanna.

Myndskeið um eðlisfræði: túlkun rafsviðs

Myndskeiðið sýnir hvernig reikna má rafsvið frá punkthleðslu og hvernig túlka má rafsviðskort. Fyrirlesarinn notar d fyrir fjarlægð milli agna í stað r. Punktlaga hleðslur eru hugsaðar sem óendanlega litlar, þannig að öll hleðslan er í einum punkti. Fyrir stærri hlaðna hluti þarf að mæla fjarlægð milli miðja hlutanna.

Skilningstékk. Satt eða ósatt: Ef rafsviðslínur frá punkthleðslu stefna inn að henni hlýtur hleðslan að vera jákvæð.

Satt
Ósatt

Dæmi

hver er hleðslan?

Á rafsviðskorti frá þremur hlöðnum ögnum má telja sviðslínurnar sem koma frá eða enda á hverri hleðslu. Hver er hlutfallsleg stærð og formerki hleðslanna þriggja?

Map of electric field due to three charged particles. — Mynd 18.20 Kort af rafsviði vegna þriggja hlaðinna agna.

Strategy

Rafsviðslínur koma frá jákvæðri hleðslu og enda á neikvæðri hleðslu. Fjöldi rafsviðslína sem tengjast hleðslu er í réttu hlutfalli við stærð hleðslunnar.

Lausn

Rafsviðslínurnar koma út úr hleðslu 1, svo hún er jákvæð. Þær ganga inn í hleðslur 2 og 3, svo þær eru neikvæðar. Hlutfall hleðslanna er $q_{1} : q_{2} : q_{3} = + 12 : - 6 : - 12$ .

Discussion

Stærð hleðslna 1 og 3 er því tvöföld stærð hleðslu 2. Þótt nákvæmt gildi hleðslunnar fáist ekki úr kortinu má lesa úr því bæði formerki, hlutfallslega stærð og hvar kraftur á prufuhleðslu yrði mestur eða minnstur.

Dæmi

rafsvið frá hurðarhúni

Hurðarhúnn, sem má líta á sem kúlulaga málmleiðara, fær stöðurafmagnshleðsluna $q = −1.5 nC.$ Hvert er rafsviðið 1,0 cm fyrir framan hurðarhúninn? Þvermál hurðarhúnsins er 5,0 cm.

Strategy

Þar sem hurðarhúnninn er leiðari dreifist öll hleðslan á ytra yfirborð málmsins. Veljum $+ x$ -stefnu út frá miðju hurðarhúnsins í átt að punktinum þar sem rafsviðið er reiknað og látum miðjuna vera í $x = 0$ .

Geisli hurðarhúnsins er 2,5 cm. Punkturinn sem skoðaður er er 1,0 cm frá yfirborðinu, svo fjarlægðin frá miðjunni er $r = 2.5 cm + 1.0 cm = 3.5 cm$ . Notum $E = \frac{k | Q |}{r^{2}}$ til að finna stærð rafsviðsins. Setjum hleðsluna $Q = −1.5 nC = −1.5 \times 10^{−9} C$ og fjarlægðina $r = 3.5 cm = 0.035 m$ inn í jöfnuna.

Lausn

Stærðin fæst með $E = \frac{k | Q |}{r^{2}}$ .

\begin{matrix} E & = & \frac{k | Q |}{r^{2}} \\ = & \frac{(8.99 \times 10^{9} N \cdot m^{2} {/C}^{2}) | - 1.5 \times 10^{- 9} C |}{{(0.035 m)}^{2}} \\ = & 1.1 \times 10^{4} N/C. \end{matrix}

18.18

Þar sem hleðslan er neikvæð stefna rafsviðslínurnar að miðju hurðarhúnsins. Rafsviðið við $x = 3.5 cm$ er því $(- 1.1 \times 10^{4} N/C) \hat{x}$ .

Discussion

Þetta virðist gríðarlega sterkt rafsvið. Til samanburðar þarf rafsvið sem er um það bil 100 sinnum sterkara, um $3 \times 10^{6} N/C$ , til að loft brotni niður og leiði rafmagn. Þú finnur þó ekki slíkan kraft á róteindirnar í hendinni þegar þú grípur í hurðarhúninn, því hleðslur í hendinni raðast til og skýla innra sviðinu.

Þyngd kraftsins á 70 kg mann er um $70 kg \times 9.8 {m/s}^{2} \approx 700 N$ .

15.

Hver er stærð rafsviðsins í 20 cm fjarlægð frá punkthleðslu með q = 33 nC?

7,4 × 10³ N/C
1,48 × 10³ N/C
7,4 × 10¹² N/C
0

16.

Hleðsla −10 nC er í upphafspunkti. Í hvaða stefnu vísar rafsviðið frá hleðslunni í punktinum x = +10 cm?

Rafsviðið vísar frá neikvæðum hleðslum.
Rafsviðið vísar að neikvæðum hleðslum.
Rafsviðið vísar að jákvæðum hleðslum.
Rafsviðið vísar frá jákvæðum hleðslum.

16. Hleðsla −10 nC er í upphafspunkti. Í hvaða stefnu vísar rafsviðið frá hleðslunni í punktinum x = +10 cm?

17.

Hvað segir það um rafsviðið þegar rafsviðslínur liggja þéttar saman?

Rafsviðið er í öfugu hlutfalli við þéttleika rafsviðslína.
Rafsviðið er í réttu hlutfalli við þéttleika rafsviðslína.
Rafsviðið tengist ekki þéttleika rafsviðslína.
Rafsviðið er í öfugu hlutfalli við kvaðratrót þéttleika rafsviðslína.

18.

Ef fimm rafsviðslínur koma frá +5 nC hleðslu, hversu margar rafsviðslínur ættu að koma frá +20 nC hleðslu?

fimm rafsviðslínur
10 rafsviðslínur
15 rafsviðslínur
20 rafsviðslínur

18. Ef fimm rafsviðslínur koma frá +5 nC hleðslu, hversu margar rafsviðslínur ættu að koma frá +20 nC hleðslu?

fimm rafsviðslínur
10 rafsviðslínur
15 rafsviðslínur
20 rafsviðslínur