11.5 Jöfnur og gröf þeirra

1.5.4 Ritun, teikning og lausn línulegrar jöfnu

1.5.4 Að rita, teikna graf og leysa línulega jöfnu

1.5.4 • Að rita, teikna graf og leysa línulega jöfnu

Verkefni

Notið eftirfarandi dæmi fyrir spurningar 1-5: Nemandi á 475 dali á sparireikningi. Hún leggur 125 dali af launum sínum inn á reikninginn í hverri viku. Markmið hennar er að safna 7.000 dölum fyrir háskólanámi.

Hve mikið verður inni á reikningnum eftir 3 vikur?

[Sýna/fela lausn]

850 dalir

Hve margar vikur líða þar til hún á 1.350 dali?

[Sýna/fela lausn]

7 vikur

Ritið jöfnu sem sýnir tengslin milli upphæðarinnar á reikningnum, í dölum, og fjölda vikna sem hún hefur sparað.

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

$a = 475 + 125 w$ , þar sem $a$ er upphæðin á reikningnum í dölum og $w$ er fjöldi sparnaðarvikna.

Teiknið graf jöfnunnar með grafreiknitækni. Merkið á grafið punktinn fyrir upphæðina eftir 3 vikur og punktinn fyrir vikuna þegar hún á 1.350 dali. Skráið hnit punktanna. Notið grafreiknitólið eða annað tæki utan námskeiðsins. Teiknið graf jöfnunnar sem lýsir þessu dæmi í Desmos-tólinu hér að ofan.

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

Línurit sem sýnir upphæð á reikningi í dölum vaxa jafnt með fjölda vikna; lárétti ásinn sýnir fjölda vikna og lóðrétti ásinn upphæð á reikningi.

Hver er skurðpunkturinn við $x$ -ás?

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

(−3,8; 0)

Hvaða aðrar upplýsingar gefur skurðpunkturinn við $x$ -ás um fallið?

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar: Skurðpunkturinn við $x$ -ás sýnir núllstöð fallsins, þar sem hann er þar sem fallgildið er núll $(a = 0)$ .

Hver er skurðpunkturinn við $y$ -ás?

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

(0, 475)

Hver er hallatalan?

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

125

Eruð þið tilbúin í meira?

Að hugsa lengra

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara spurningum 1-5. Vatnstankur rúmar 450 gallon og er fullur. Hann tæmist um 20 gallon á mínútu.

Ritið jöfnu sem sýnir tengslin milli fjölda gallona af vatni í tankinum og fjölda klukkustunda sem tankurinn hefur tæmst.

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

$a = 450 - 1.200 h$ , þar sem $h$ er tími í klukkustundum.

Ritið jöfnu sem sýnir tengslin milli fjölda gallona af vatni í tankinum og fjölda sekúndna sem tankurinn hefur tæmst.

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

$a = 450 - s / 3$ , þar sem $s$ er tími í sekúndum.

Teiknið graf hverrar nýrrar jöfnu. Notið grafreiknitólið eða annað tæki utan námskeiðsins. Teiknið graf jöfnunnar sem lýsir þessu dæmi í Desmos-tólinu hér að ofan.

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

Línurit sem sýnir vatnsmagn í tanki minnka línulega eftir tíma í klukkustundum; lárétti ásinn sýnir tíma og lóðrétti ásinn vatnsmagn í gallonum.

Að hvaða leyti eru öll gröfin eins? Að hvaða leyti eru þau ólík?

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi.

Öll hafa þau sama skurðpunkt við y-ás.
Öll eru þau minnkandi.
Hallatölurnar eru ólíkar.

Hvernig myndu þessi gröf breytast ef vatnsmagnið væri mælt í kvörtum í stað gallona? Hvað héldist óbreytt?

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi: Gröfin yrðu áfram línur með ólíkum neikvæðum hallatölum. Þau hefðu sama skurðpunkt við lárétta ásinn. Skurðpunktarnir við lóðrétta ásinn væru ólíkir, en þeir táknuðu sama vatnsmagn.

Ítarefni

Að rita jöfnur út frá gröfum í raunverulegum aðstæðum

Jafna sem inniheldur tvær óþekktar stærðir eða tvær breytilegar stærðir kallast jafna með tveimur breytum. Lausn slíkrar jöfnu er talnapar sem gerir jöfnuna sanna.

Gerum ráð fyrir að Tyler eyði 40 dölum í stuttermaboli og sokkapör. Stuttermabolur kostar 10 dali og sokkapar kostar 2,50 dali. Ef breytan $t$ er fjöldi stuttermabola og breytan $p$ er fjöldi sokkapara sem Tyler kaupir, hvaða jafna lýsir aðstæðunum?

Dæmi 1

Skref 1 - Búið til jöfnu með tveimur breytum. Kostnaðurinn er 10 dalir fyrir hvern stuttermabol $(10 t)$ auk 2,50 dala fyrir hvert sokkapar $(2,50 p)$ , og samtals eru það 40 dalir.

10t + 2,50p = 40

Nú þurfum við að teikna graf jöfnunnar. Við látum $t = x$ og $p = y$ .

Skref 2 - Finnið skurðpunktinn við $x$ -ás. Til að finna skurðpunktinn við $x$ -ás látum við $p = 0$ .

10t + 2,50p = 40; 10t + 2,50(0) = 40; 10t + 0 = 40; t = 4

$(4, 0)$ er skurðpunkturinn við $x$ -ás. Skurðpunktur við $x$ -ás kallast einnig lausn eða núllstöð.

Í þessu dæmi táknar 4 fjölda stuttermabola sem Tyler getur keypt ef hann kaupir engin sokkapör fyrir 40 dali.

Skref 3 - Finnið skurðpunktinn við $y$ -ás. Til að finna skurðpunktinn við $y$ -ás látum við $t = 0$ .

10t + 2,50p = 40; 10(0) + 2,50p = 40; 2,50p = 40; p = 16

$(0, 16)$ er skurðpunkturinn við $y$ -ás.

Í þessu dæmi táknar 16 fjölda sokkapara sem Tyler getur keypt ef hann kaupir enga stuttermaboli fyrir 40 dali.

Skref 4 - Teiknið línuna með því að tengja skurðpunktana.

Skoðum graf þessarar jöfnu:

Graf sem sýnir lækkandi beina línu gegnum punktana (0, 16) og (4, 0), sem eru merktir með bláum hringjum.

Hugleiðum grafið og hvað það þýðir.

Dæmi 2

Hver er hallatala grafsins?

Lausn

m = −4

Dæmi 3

Hvað merkir punkturinn $(4, 6)$ á þessu grafi?

Lausn

Berið saman svarið ykkar:

Ef Tyler keypti 4 stuttermaboli og 6 sokkapör kostaði það meira en 40 dali.

Spreytið ykkur

Að rita jöfnur út frá gröfum í raunverulegum aðstæðum

Notið Desmos eða grafreiknivél til að búa til graf fyrir $40 x + 20 y = 180$ .

Ef breytan $x$ er fjöldi skópara og breytan $y$ er fjöldi gallabuxnapara, nefnið eina samsetningu sem er lausn.

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi: $(2, 5)$ , $(1, 7)$ , $(3, 3)$ , $(4, 1)$

Hvað merkir samsetningin sem þið funduð á grafinu?

[Sýna/fela lausn]

Berið saman svarið ykkar:

Svör geta verið mismunandi, en hér er dæmi. Fyrir $(2, 5)$ þýðir það að 2 skópör og 5 gallabuxnapör kosta 180 dali.

Svona má finna lausn og ákvarða merkingu hennar:

Finnið punkt á grafi línunnar.
Punkturinn (2, 5) er á grafinu. Þar sem 2 er x-hnitið táknar það 2 skópör.
Þar sem 5 er y-hnitið táknar það 5 gallabuxnapör.
Línan sýnir allar samsetningar sem kosta samtals 180 dali.