22.2 Ritun jöfnuhneppa

2.2.3 Gröf jöfnuhneppa

Verkefni

Nú þegar þú hefur skrifað jöfnur út frá töflum er komið að því að skrifa jöfnuhneppi út frá gröfum.

Hluti 1: Að skrifa jöfnuhneppi út frá gefnu grafi

Notaðu grafið sem gefið er til að svara spurningum 1-8.

A graph with two lines: a solid orange line rising steeply from left to right and a dashed green line falling from left to right. Both lines intersect near the center of the coordinate grid.

Hvert er gildi skurðpunkts grænu stikluðu línunnar við y-ás?

[Sýna/fela lausn]

Hver er hallatala grænu stikluðu línunnar?

[Sýna/fela lausn]

−1

Hver er jafna grænu stikluðu línunnar á hallatöluformi?

[Sýna/fela lausn]

y = −x + 9

Hvert er gildi skurðpunkts óslitnu appelsínugulu línunnar við y-ás?

[Sýna/fela lausn]

Hver er hallatala óslitnu appelsínugulu línunnar?

[Sýna/fela lausn]

Hver er jafna óslitnu appelsínugulu línunnar á hallatöluformi?

[Sýna/fela lausn]

y = 3x + 5

Skrifaðu jöfnurnar tvær sem línulegt jöfnuhneppi.

[Sýna/fela lausn]

y = −x + 9 | y = 3x + 5

Hver er lausn jöfnuhneppisins?

[Sýna/fela lausn]

(1, 8)

Viltu reyna meira?

Að víkka hugsunina

Teiknaðu graf eftirfarandi jöfnuhneppis í hnitakerfi og finndu lausnina. Vísbending: Einangraðu fyrst y í seinni jöfnunni.

y = 2x + 5 | 4x − 2y = −10

[Sýna/fela lausn]

Óendanlega margar lausnir. Þegar seinni jafnan er leyst fyrir y fæst sama jafna og sú fyrri.

4x − 2y = −10 | −2y = −4x − 10 | y = 2x + 5

Línurnar falla því hvor ofan á aðra og allir punktar á línunni eru lausnir jöfnuhneppisins.

Myndband: að teikna graf jöfnuhneppis

Horfið á eftirfarandi myndband til að læra meira um að skrifa jöfnuhneppi út frá gröfum.

Hluti 2: Að nota graf til að leysa gefið jöfnuhneppi

Nú þegar þú hefur skrifað jöfnuhneppi út frá gefnu grafi skaltu vinna í hina áttina: teikna graf gefins jöfnuhneppis í höndunum. Ræddu aðferðina við félaga.

Notaðu þetta jöfnuhneppi fyrir spurningar 1 og 2:

y = 4x − 4 | y = −2x + 8

Teiknaðu gröfin fyrir jöfnurnar tvær í sama hnitakerfi í höndunum.

[Sýna/fela lausn]

A graph with two lines: a solid orange line with positive slope and a dashed green line with negative slope, both crossing the y-axis near the origin. The grid shows labeled x and y axes.

Hver er lausn jöfnuhneppisins?

[Sýna/fela lausn]

(2, 4)

Skoðaðu þetta jöfnuhneppi fyrir spurningar 3 og 4:

y = −3/4x + 5 | y = 1/2x − 5

Teiknaðu graf jöfnuhneppisins í sama hnitakerfi í höndunum.

[Sýna/fela lausn]

A graph with a solid orange line increasing and a dashed blue line decreasing. The x- and y-axes are labeled, with a visible grid.

Hver er lausn jöfnuhneppisins?

[Sýna/fela lausn]

(8, −1)

Ítarefni

Að leysa jöfnuhneppi með gröfum

Graf línulegrar jöfnu er lína. Hver punktur á línunni er lausn jöfnunnar. Fyrir jöfnuhneppi tveggja jafna teiknum við tvær línur. Þá sjáum við alla punkta sem eru lausnir hvorrar jöfnu. Með því að finna það sem línurnar eiga sameiginlegt finnum við lausn jöfnuhneppisins.

Flestar línulegar jöfnur með einni breytu hafa eina lausn. Sumar jöfnur, sem kallast mótsagnir, hafa enga lausn, en í samsemdum eru allar tölur lausnir.

Three graphs of linear equations: the first shows intersecting lines (one solution), the second parallel lines (no solution), and the third overlapping lines (infinitely many solutions), each labeled with a brief explanation.

Að skrifa línulegt jöfnuhneppi út frá gröfum

Finndu hallatölu og skurðpunkt fyrri línunnar við y-ás.
Finndu hallatölu og skurðpunkt seinni línunnar við y-ás.
Skrifaðu jöfnurnar tvær sem jöfnuhneppi.

Dæmi 1: Skrifaðu jöfnuhneppi út frá grafinu.

A graph with a solid blue line sloping upward and a dashed red line with a gentler upward slope. The blue line crosses the y-axis at negative 3; the red line crosses at negative 3. Gridlines and labeled axes are shown.

Fyrir rauðu stikluðu línuna:

m | = (0 − (−3))/(6 − 0) | = 3/6 | = 1/2

(0, −3)

Skurðpunkturinn við y-ás er (0, −3), svo jafna rauðu stikluðu línunnar er:

y = 1/2x − 3

Fyrir óslitnu bláu línuna:

m | = (3 − (−3))/(3 − 0) | = 6/3 | = 2

(0, −3)

Skurðpunkturinn við y-ás er (0, −3), svo jafna óslitnu bláu línunnar er:

y = 2x − 3

Jöfnuhneppið er:

y = 1/2x − 3 | y = 2x − 3

Að leysa línulegt jöfnuhneppi með gröfum

Finndu hallatölu og skurðpunkt fyrri jöfnunnar við y-ás.
Finndu hallatölu og skurðpunkt seinni jöfnunnar við y-ás.
Teiknaðu gröf jafnanna tveggja í sama hnitakerfi.
Áætlaðu lausn jöfnuhneppisins.

Ef línurnar skerast, áætlaðu skurðpunktinn og athugaðu að hann sé lausn beggja jafna. Það er lausn jöfnuhneppisins.

Ef línurnar eru samsíða hefur jöfnuhneppið enga lausn.
Ef línurnar eru sama lína hefur jöfnuhneppið óendanlega margar lausnir.

Dæmi 2: Leystu jöfnuhneppið með því að teikna graf.

y = 2x + 1 | y = 4x − 1

Fyrri jafnan er á hallatöluformi með hallatölu 2 og skurðpunkt við y-ás 1. Seinni jafnan er á hallatöluformi með hallatölu 4 og skurðpunkt við y-ás −1.

A graph showing a solid orange line and a dashed teal line intersecting near point (1, 3), which is marked with a black dot and labeled. The x- and y-axes are visible with gridlines.

Punkturinn þar sem línurnar skerast er:

(1, 3)

Athugaðu punktinn (1, 3) með því að setja x = 1 og y = 3 inn í báðar jöfnurnar.

3 | = 2(1) + 1 | = 3

3 | = 4(1) − 1 | = 3

Því er (1, 3) lausn beggja jafna og lausn jöfnuhneppisins.