44.7 Hallatala fundin

4.7.3 Að rita línulegar jöfnur

4.7.3 • Að rita línulegar jöfnur

Verkefni

Í algebru eru jöfnur oft ritaðar á þrjú mismunandi form: hallatöluform, punkthallaform og staðalform. Þetta eru jafngildar leiðir til að rita sömu jöfnu, en hvert form hentar við ólík verkefni.

Form	Jafna	Upplýsingar
Hallatöluform	$y = m x + b$	Gefið: m er hallatala og b er skurðpunktur við y-ás.
Punkthallaform	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$	Gefið: punktur (x₁, y₁) og hallatalan m.
Staðalform	Ax + $By = C$	Hallatalan er m = −A/B. Staðalform er án brota og tugabrota og byrjar ekki á neikvæðri tölu.

Hallatöluform: $y = m x + b$ .

Punkthallaform: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ .

Staðalform: $A x + B y = C$ , þar sem hallatalan er $m = \frac{- A}{B}$ .

Í hallatöluformi þarf hallatöluna og skurðpunktinn við y-ás.

1. Ritaðu jöfnu á hallatöluformi fyrir línu með hallatöluna −2 og skurðpunkt við y-ás í punktinum $(0, 4)$ .

Lausn

$y = - 2 x + 4$

Settu hallatöluna inn fyrir m og y-gildi skurðpunktsins við y-ás inn fyrir b í formúlunni $y = m x + b$ .

Í punkthallaformi þarf hallatöluna og einn punkt á línunni.

2. Ritaðu jöfnu á punkthallaformi fyrir línu með hallatöluna $\frac{1}{2}$ sem liggur í gegnum punktinn $(3, −5)$ .

Lausn

$y + 5 = \frac{1}{2} (x - 3)$

Settu punktinn $(x_{1}, y_{1})$ og hallatöluna inn í formúluna.

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

$y - (- 5) = \frac{1}{2} (x - 3)$

$y + 5 = \frac{1}{2} (x - 3)$

Staðalform línulegrar jöfnu er oft notað til að finna skurðpunkta grafs við x-ás og y-ás.

Oft byrjar jafna á öðru formi og er síðan umrituð á staðalform.

Staðalform má ekki innihalda brot eða tugabrot. Staðalform má ekki byrja á neikvæðri tölu.

3. Hver er hallatalan í jöfnunni $y = 2 x + 3$ ?

Lausn

Hallatalan er 2.

4. Ritaðu jöfnuna $y = 2 x + 3$ á staðalformi.

Lausn

$2 x - y = - 3$

Ritaðu jöfnuna á forminu $A x + B y = C$ .

Skref 1 - Raðaðu liðum þannig að x-liðurinn og y-liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$y - 2 x = 2 x - 2 x + 3$

Skref 2 - Ritaðu x-liðinn fyrst og einfaldaðu.

$- 2 x + y = 3$

Skref 3 - Margfaldaðu báðar hliðar með −1 svo jafnan byrji ekki á neikvæðri tölu.

$- 1 (- 2 x + y = 3)$

$2 x - y = - 3$

Vinnið með félaga og ritið jöfnur á mismunandi formum.

5. Hver er hallatalan í jöfnunni $y - 3 = 2 (x + 4)$ ?

Lausn

Hallatalan er 2.

6. Ritaðu jöfnuna $y - 3 = 2 (x + 4)$ á hallatöluformi.

Lausn

$y = 2 x + 11$

$y - 3 = 2 (x + 4)$

Skref 1 - Margfaldaðu inn í svigann.

$y - 3 = 2 x + 8$

Skref 2 - Leggðu 3 við báðar hliðar til að leysa fyrir y.

$y - 3 + 3 = 2 x + 8 + 3$

Skref 3 - Einfaldaðu.

$y = 2 x + 11$

7. Ritaðu jöfnuna $y + 5 = - 3 (x - 2)$ á staðalformi.

Lausn

$3 x + y = 1$

Skref 1 - Margfaldaðu inn í svigann: $y + 5 = - 3 x + 6$ .

Skref 2 - Raðaðu liðum þannig að x-liðurinn og y-liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Leggðu 3x við báðar hliðar.

$y + 5 + 3 x = - 3 x + 3 x + 6$

Skref 3 - Færðu fastana hægra megin við jafnaðarmerkið. Dragðu 5 frá báðum hliðum.

$y + 5 - 5 + 3 x = - 3 x + 3 x + 6 - 5$

Skref 4 - Einfaldaðu. Gættu þess að x-liðurinn standi á undan y-liðnum vinstra megin.

$3 x + y = 1$

8. Ritaðu jöfnuna $y = \frac{1}{3} x - 4$ á staðalformi.

Lausn

$x - 3 y = 12$

Skref 1 - Losaðu jöfnuna við brotið. Margfaldaðu alla liði með 3.

$3 y = 3 (\frac{1}{3} x - 4)$

Skref 2 - Margfaldaðu inn í svigann og einfaldaðu.

$3 y = x - 12$

Skref 3 - Raðaðu liðum þannig að x-liðurinn og y-liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Dragðu x frá báðum hliðum.

$3 y - x = x - x - 12$

Skref 4 - Einfaldaðu.

$3 y - x = - 12$

Skref 5 - Ritaðu jöfnuna þannig að x-liðurinn komi fyrst.

$- x + 3 y = - 12$

Skref 6 - Margfaldaðu alla liði með −1 svo jafnan byrji ekki á neikvæðri tölu.

$- 1 (- x + 3 y = - 12)$

$x - 3 y = 12$

9. Hver er hallatalan í jöfnunni $3 x + 12 y = 24$ ?

Lausn

Hallatalan er $m = \frac{- A}{B}$ . $m = \frac{- 3}{12}$ , svo $m = \frac{- 1}{4}$ .

Myndband: Að rita jöfnur á mismunandi formum

Horfðu á myndbandið til að sjá fleiri dæmi um að rita jöfnur á mismunandi formum.

Ítarefni

Að rita línulegar jöfnur á mismunandi formum

Dæmi 1

Þegar jöfnur eru ritaðar á þessum formum er auðvelt að greina hallatöluna m.

Jafna	Form	Hallatala	Gildi
y = 5x − 15	$y = m x + b$	m	5
y = 6x + 8	$y = m x + b$	m	6
y − 7 = 9(x + 1)	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$	m	9
y − 20 = 3(x + 16)	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$	m	3

Dæmi 2

Finndu jöfnu línu með hallatöluna −9 og skurðpunkt við y-ás í punktinum $(0, −4)$ á hallatöluformi.

Skref 1 - Finndu m og b.

$m = - 9$

$b = - 4$

Skref 2 - Settu gildin inn í formúluna.

$y = - 9 x - 4$

Dæmi 3

Finndu jöfnu línu á punkthallaformi ef hallatalan er $\frac{- 1}{3}$ og punkturinn er $(6, −4)$ .

Skref 1 - Finndu m og $(x_{1}, y_{1})$ .

$m = \frac{- 1}{3}$

$x_{1} = 6$

$y_{1} = - 4$

Skref 2 - Settu gildin inn í formúluna.

$y - (- 4) = \frac{- 1}{3} (x - 6)$

Skref 3 - Einfaldaðu.

$y + 4 = \frac{- 1}{3} (x - 6)$

Dæmi 4

Ritaðu jöfnuna $y + 4 = \frac{- 1}{3} (x - 6)$ á staðalformi.

Skref 1 - Margfaldaðu til að losna við brotið. Mundu að staðalform má hvorki innihalda tugabrot né brot. Margfaldaðu alla liði með 3.

$3 (y + 4) = 3 (\frac{- 1}{3} (x - 6))$

$3 y + 12 = - (x - 6)$

Skref 2 - Margfaldaðu inn í svigann.

$3 y + 12 = - x + 6$

Skref 3 - Raðaðu liðum þannig að x-liðurinn og y-liðurinn séu báðir vinstra megin við jafnaðarmerkið. Leggðu x við báðar hliðar.

$3 y + 12 + x = - x + x + 6$

Skref 4 - Einfaldaðu.

$3 y + 12 + x = 6$

Skref 5 - Færðu fastana hægra megin. Dragðu 12 frá báðum hliðum.

$3 y + 12 + x - 12 = 6 - 12$

Skref 6 - Einfaldaðu.

$3 y + x = - 6$

Skref 7 - Ritaðu x-liðinn á undan y-liðnum.

$x + 3 y = - 6$