77.14 Gröf sem tákna aðstæður

7.14.2 Að túlka fallssamband milli tveggja stærða

Verkefni

Jafnan $h (t) = 2 + 23,7 t - 4,9 t^{2}$ lýsir hæð graskers sem er skotið upp í loftið sem fall af tíma, $t$ , í sekúndum. Hæðin er mæld í metrum yfir jörðu. Graskerinu er skotið upp með lóðréttum upphafshraða 23,7 metra á sekúndu.

1. Hvað heldur þú að talan 2 í jöfnunni $h (t) = 2 + 23,7 t - 4,9 t^{2}$ segi okkur um þessar aðstæður?

Lausn

Talan 2 segir okkur að graskerið sé 2 metra yfir jörðu áður en því er skotið á loft.

2. Hvað heldur þú að liðurinn $- 4,9 t^{2}$ í jöfnunni $h (t) = 2 + 23,7 t - 4,9 t^{2}$ segi okkur um þessar aðstæður?

Lausn

Liðurinn $- 4,9 t^{2}$ sýnir hæðartapið vegna þyngdaraflsins, líkt og $- 16 t^{2}$ í fallbyssukúluverkefninu.

3. Ef við teiknum graf jöfnunnar, opnast grafið upp eða niður? Hvers vegna?

Lausn

Grafið opnast niður. Hæðin byrjar í 2 metrum og eykst síðan þegar graskerinu er skotið upp, en að lokum minnkar hún þegar graskerið fellur aftur til jarðar.

4. Hugsaðu um hvar skurðpunkturinn við y-ásinn er. Hvert er y-gildi þess skurðpunkts?

Lausn

Skurðpunkturinn við y-ásinn er í $(0,2)$ , því þegar $t = 0$ er hæðin 2 metrar.

5. Hvað með skurðpunktana við x-ásinn?

Lausn

Það er erfitt að segja til um skurðpunktana við x-ásinn án þess að teikna grafið eða hafa jöfnuna á þáttuðu formi. Annar þeirra er nálægt $(5,0)$ , því ef $t = 5$ er sett inn fæst hæðin −2 metrar, sem er nokkuð nálægt 0.

6. Notaðu grafteikniverkfæri eða annað tæki til að teikna graf jöfnunnar $h (t) = 2 + 23,7 t - 4,9 t^{2}$ .

Lausn

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn sýnir tíma í sekúndum og y-ásinn sýnir hæð í metrum. Kvarði x-ássins er 0,5 og nær frá 0 til 6. Kvarði y-ássins er 4 og nær frá 0 til 36.

7. Skoðaðu grafið sem þú bjóst til og svaraðu eftirfarandi spurningum.

a. Hvar er skurðpunkturinn við y-ásinn? Hvað segir hann okkur um graskerið?

Lausn

Skurðpunkturinn við y-ásinn er $(0,2)$ . Hann segir okkur að graskerið sé í upphafi 2 metra yfir jörðu.

b. Hvar eru skurðpunktarnir við x-ásinn? Hvað segja þeir okkur um graskerið?

Lausn

Grafið sker x-ásinn nálægt $t = - 0,08$ og $t = 4,9$ . Jákvæði skurðpunkturinn segir okkur að graskerið lendi á jörðinni eftir um það bil 4,9 sekúndur. Neikvæði skurðpunkturinn hefur ekki raunhæfa merkingu hér, því tími getur ekki verið neikvæður í þessu samhengi.

c. Hvar er topppunkturinn? Hvað segir hann okkur um graskerið?

Lausn

Topppunkturinn er um það bil í $(2,4; 30,7)$ . Hann segir okkur að graskerið nái mestri hæð, um 30,7 metrum, um 2,4 sekúndum eftir að því er skotið á loft.

Viltu prófa meira?

Hver þyrfti lóðrétti upphafshraðinn að vera, nokkurn veginn, til að graskerið væri á lofti í um 10 sekúndur? Gerðu ráð fyrir að það sé enn skotið frá 2 metra hæð yfir jörðu og að áhrif þyngdaraflsins séu þau sömu.

Lausn

Ef $h (t) = 2 + b t - 4,9 t^{2}$ tekur gildið 0 þegar $t$ er nálægt 10, þá þýðir það að $2 + 10 b - 490 \approx 0$ . Því viljum við að $b \approx 48,8$ . Graskerinu þarf að skjóta upp með hraðanum um 48,8 metra á sekúndu.

Sjálfspróf

Á mynd er graf af hæð fallbyssukúlu eftir að henni er skotið upp í loftið. Hvað er punkturinn $(10; 1600)$ og hvað þýðir hann í þessum aðstæðum?

Graf með tíma í sekúndum á x-ás og hæð yfir jörðu í fetum á y-ás.

Skurðpunktur við y-ás; hæðin sem fallbyssukúlunni var skotið úr.
Hágildi; mesta hæðin sem fallbyssukúlan nær.
Hágildi; hæðin sem fallbyssukúlunni var skotið úr.
Skurðpunktur við y-ás; mesta hæðin sem fallbyssukúlan nær.

Viðbótarefni

Merking gilda á grafi

Segjum að tennisbolta sé slegið beint upp í loftið og hæð hans í fetum yfir jörðu sé lýst með jöfnunni $f (t) = 4 + 12 t - 16 t^{2}$ , þar sem $t$ táknar tímann í sekúndum eftir að boltinn er sleginn. Hér er graf sem sýnir fallið frá því að tennisboltinn er sleginn þar til hann lendir á jörðinni.

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn sýnir tíma í sekúndum og y-ásinn sýnir hæð í fetum. Kvarði x-ássins er 0,25 og nær frá 0 til 1,25. Kvarði y-ássins er 1 og nær frá 0 til 8.

Á grafinu má sjá bæði upplýsingar sem við þekkjum nú þegar og nýjar upplýsingar:

Fastaliðurinn 4 í jöfnunni þýðir að graf fallsins sker y-ásinn í 4. Það sýnir að tennisboltinn var 4 fetum yfir jörðu þegar $t = 0$ , það er þegar hann var sleginn.
Skurðpunkturinn við x-ásinn er $(1,0)$ . Hann segir okkur að tennisboltinn lenti á jörðinni 1 sekúndu eftir að hann var sleginn.
Topppunktur grafsins er nálægt $(0,4; 6,3)$ . Það þýðir að um 0,4 sekúndum eftir að boltinn var sleginn náði hann mestri hæð, um 6,3 fetum.

Jöfnuna má rita á þáttuðu formi sem $f (t) = (- 16 t - 4) (t - 1)$ . Út frá þessu formi sjáum við að núllstöðvar fallsins eru $t = 1$ og $t = - 1 / 4$ . Neikvæða núllstöðin, t=−1/4, hefur enga merkingu í þessum aðstæðum, því tíminn áður en boltinn var sleginn skiptir ekki máli.

Reyndu þetta

Merking gilda á grafi

Hlut er kastað upp frá 5 feta hæð með hraðanum 60 fet á sekúndu. Hæð hans, $h (t)$ , í fetum eftir $t$ sekúndur er lýst með fallinu $h (t) = 5 + 60 t - 16 t^{2}$ og sýnd á grafinu hér fyrir neðan.

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn sýnir tíma í sekúndum og y-ásinn sýnir fjarlægð frá jörðu í fetum. Kvarði x-ássins er 0,5 og nær frá 0 til 4,5. Kvarði y-ássins er 20 og nær frá 0 til 80.

Hvert er gildi skurðpunktsins við y-ásinn og hvað þýðir það í fallinu?

Lausn

Svona finnur þú skurðpunktinn við y-ásinn:

Skurðpunkturinn við y-ásinn er þar sem grafið sker y-ásinn. Það gerist þegar tíminn er $t = 0$ . Einnig má finna skurðpunktinn við y-ásinn með því að skoða fastalið fallsins. Hér er $y = 5$ , svo punkturinn er $(0,5)$ . Skurðpunkturinn við y-ásinn táknar upphafshæðina: hlutnum er kastað frá 5 feta hæð yfir jörðu.