77.16 Teikning grafs út frá topppunktsformi

7.16.2 Að teikna föll á topppunktsformi

Verkefni

Skoðaðu þessar tvær jöfnur sem skilgreina annars stigs föll.

p (x) = - {(x - 4)}^{2} + 10

q (x) = \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + 10

1. Graf fallsins $p$ fer um punktana $(0, -6)$ og $(4, 10)$ , eins og sýnt er í hnitakerfinu.

Graf í hnitakerfi með punktunum (0, -6) og (4, 10) merktum.

a. Finndu hnit annars punkts á grafi $p$ . Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Punkturinn $(8, -6)$ liggur á grafinu. Ef við reiknum $p (8)$ og setjum 8 í stað $x$ í stæðunni fæst

\begin{array}{rcl} p (8) & = & - (^{8 - 4) 2} + 10 \\ = & - 16 + 10 \\ = & - 6 \end{array}

b. Notaðu teikniforrit eða aðra tækni. Teiknaðu graf fallsins $p (x) = - {(x - 4)}^{2} + 10$ og merktu punktana $(0, -6)$ , $(4, 10)$ og $(8, -6)$ .

Lausn

Graf fleygboga í hnitakerfi. Fleygboginn fer um punktana (0, -6) og (4, 10), og þriðji punktur, samhverfur (0, -6), er merktur á grafinu.

Berðu saman svarið þitt: Graf annars stigs falls er samhverft um lóðréttu línuna sem fer um topppunktinn. Ef punktur á grafinu er 4 einingum vinstra megin við þessa línu og hefur y-gildið -6, þá er samsvarandi punktur hægra megin við línuna með sama y-gildi.

Línan sem fer um topppunkt fleygboga kallast samhverfuás fleygbogans.

2. Finndu x- og y-hnit topppunktsins og teiknaðu skissu af grafinu.

a. Hvert er x-hnit topppunktsins fyrir fallið $q$ ?

Lausn

Svarið er 4. x-hnit topppunktsins sést á kvaðratliðnum í topppunktsforminu; topppunktur fallsins $q$ hefur x-hnitið 4.

b. Hvert er y-hnit topppunktsins fyrir fallið $q$ ?

Lausn

Svarið er 10. Á topppunktsformi gefur fastaliðurinn y-hnit topppunktsins; topppunktur fallsins $q$ hefur y-hnitið 10.

c. Í sama hnitakerfi og þú notaðir í spurningu 1 skaltu merkja topppunkt fallsins $q$ .

Myndin sýnir tvo fleygboga í hnitakerfi. Græni fleygboginn opnast niður og fer um punktana (0, -6), (4, 10) og (8, -6). Rauði fleygboginn fer einnig um (4, 10) en opnast upp.

d. Finndu tvo aðra punkta á grafi $q$ . Reyndu að finna punkta sem eru samhverfir um samhverfuásinn.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Eitt mögulegt svar er $(2, 12)$ og $(6, 12)$ .

q (2) = \frac{1}{2} {(2 - 4)}^{2} + 10 = 12

q (6) = \frac{1}{2} {(6 - 4)}^{2} + 10 = 12

Annað mögulegt svar er $(0, 18)$ og $(8, 18)$ . Ef $q (0)$ er reiknað fæst 18, svo $(0, 18)$ er punktur á grafinu. Hann er 4 einingum til vinstri og 8 einingum fyrir ofan topppunktinn. Vegna samhverfunnar er samsvarandi punktur 4 einingum til hægri og 8 einingum fyrir ofan topppunktinn, það er $(8, 18)$ .

e. Teiknaðu skissu af grafi $q$ og merktu það. Útskýrðu eða sýndu rökstuðning þinn.

Myndin sýnir tvo fleygboga í hnitakerfi. Græni fleygboginn opnast niður og fer um punktana (0, -6), (4, 10) og (8, -6). Rauði fleygboginn fer einnig um (4, 10), opnast upp og hefur punktana (0, 18) og (8, 18) merkta.

3. Rifjaðu upp að $p (x) = - {(x - 4)}^{2} + 10$ . Pilar segir: „Þegar ég veit að topppunkturinn er $(4, 10)$ , get ég ákvarðað án þess að teikna grafið hvort topppunkturinn sé hágildi eða lággildi fallsins $p$ . Ég myndi bera hnit topppunktsins saman við hnit punkta hvorum megin við hann.“

Fylltu út töfluna með því að svara spurningum a og b.

x	3	4	5
p(x)		10

a. Reiknaðu $p (3)$ .

Lausn

\begin{array}{rcl} p (3) & = & - (^{3 - 4) 2} + 10 \\ = & - (^{- 1) 2} + 10 \\ = & - 1 + 10 \\ = & 9 \end{array}

b. Reiknaðu $p (5)$ .

Lausn

\begin{array}{rcl} p (5) & = & - (^{5 - 4) 2} + 10 \\ = & - (^{1) 2} + 10 \\ = & - 1 + 10 \\ = & 9 \end{array}

c. Útskýrðu hvernig Pilar gæti rökstutt hvort topppunkturinn sé lággildi eða hágildi.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Gildin $p (3)$ og $p (5)$ eru bæði minni en 10. Topppunktur fleygboga er annaðhvort hágildi eða lággildi fallsins. Þar sem punktarnir hvorum megin við topppunktinn hafa lægra y-gildi, hlýtur topppunkturinn að vera hágildi.

Ertu til í meira?

Veldu jöfnu fyrir annars stigs fall þar sem grafið hefur topppunkt í $(2, 3)$ og inniheldur punktinn $(0, -5)$ .

$y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 3$
$y = - 3 {(x - 2)}^{2} + 2$
$y = - 5 {(x - 2)}^{2}$
$y = 2 {(x - 2)}^{2} + 3$

Berðu saman svarið þitt.

Lausn

Rétta jafnan er $y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 3$ .

Notaðu teikniforrit eða aðra tækni til að teikna skissu af grafi fallsins.

Graf fleygboga í hnitakerfi. x-ásinn nær frá -8 til 8 og y-ásinn frá -14 til 14.

Sjálfspróf

Jafna annars stigs falls er $y = {(x - 1)}^{2} + 5$ og punkturinn $(3, 9)$ liggur einnig á fleygboganum. Hver er annar punktur á fleygboganum?

$(-1, 5)$
$(-1, 9)$
$(3, 1)$
$(-5, 9)$

Viðbótarefni

Að nota lykilpunkta til að teikna gröf annars stigs falla

Topppunktsform er sérstaklega gagnlegt til að finna topppunkt á grafi annars stigs falls. Til dæmis sést að fallið $p$ , sem er gefið með $p (x) = {(x - 3)}^{2} + 1$ , hefur topppunkt í $(3, 1)$ .

Graf fleygboga í hnitakerfi. x-ásinn nær frá 0 til 6 og y-ásinn frá 0 til 10. Punkturinn (3, 1) er merktur á fleygboganum.

Þegar kvaðratliðurinn ${(x - 3)}^{2}$ hefur jákvæðan stuðul opnast grafið upp. Þá má nota topppunktinn $(3, 1)$ til að sjá að lággildi fallsins er 1.

Hvers vegna tekur fallið $p$ lággildi sitt þegar $x = 3$ ?

Lausn

Þegar $x = 3$ er kvaðratliðurinn ${(x - 3)}^{2}$ jafn 0, því ${(3 - 3)}^{2} = {(0)}^{2} = 0$ . Fyrir öll önnur gildi á $x$ er kvaðratliðurinn jákvæður. Þess vegna er úttakið þegar $x \neq 3$ alltaf stærra en úttakið þegar $x = 3$ .

Taflan sýnir nokkur gildi fallsins. Úttakið er minnst þegar x = 3 og hækkar bæði þegar x stækkar og þegar x minnkar frá 3.

x	0	1	2	3	4	5	6
${(x - 3)}^{2} + 1$	10	5	2	1	2	5	10

Kvaðratliður getur líka haft neikvæðan stuðul, til dæmis $h (x) = - 2 {(x + 4)}^{2}$ . Gildið $x = - 4$ gerir ${(x + 4)}^{2}$ jafnt og 0, því ${(- 4 + 4)}^{2} = {(0)}^{2} = 0$ . Önnur x-gildi gera kvaðratliðinn stærri en 0, en margföldun með -2 gerir $- 2 {(x + 4)}^{2}$ neikvæða. Þess vegna er úttakið þegar $x \neq - 4$ alltaf minna en úttakið þegar $x = - 4$ ; fallið $h$ hefur því hágildi þegar $x = - 4$ .

Graf fleygboga í hnitakerfi. x-ásinn nær frá -7 til 0 og y-ásinn frá -8 til 2. Punkturinn (-4, 0) er merktur á fleygboganum.

Mundu að skurðpunktur grafs við y-ás fæst þegar $x = 0$ . Ef fallið $g$ er skilgreint með $g (x) = {(x + 1)}^{2} - 5$ , þá er skurðpunkturinn við y-ás $(0, -4)$ , því $g (0) = {(0 + 1)}^{2} - 5 = - 4$ . Topppunkturinn er $(-1, -5)$ . Annar punktur með sama y-hnit er í sömu láréttu fjarlægð frá topppunktinum, en hinum megin við hann.

Graf fleygboga í hnitakerfi. x-ásinn nær frá -4 til 2 og y-ásinn frá -8 til 2. Punktarnir (-2, -4), (-1, -5) og (0, -4) eru merktir.

Prófaðu

Að nota lykilpunkta til að teikna gröf annars stigs falla

Annars stigs fall er táknað með jöfnunni $y = {(x + 3)}^{2} - 5$ . Ef $(5, 61)$ er annar punktur á grafinu, finndu þriðja punktinn á ferlinum.

Lausn

Svona má finna annan punkt á ferlinum:

Ein leið er að nota samhverfu.

Topppunkturinn er $(-3, -5)$ og punkturinn $(5, 61)$ liggur á ferlinum. y-hnitið helst 61. Lárétta fjarlægðin frá -3 til 5 er 8 einingar, svo samsvarandi punktur er 8 einingum vinstra megin við -3. x-hnitið er því -11 og punkturinn er $(-11, 61)$ .