77.2 Kynning á annars stigs tengslum

7.2.2 Jöfn breyting og veldisbreyting

Mynstur 1

Punktamynstur. Skref 0 hefur 1 punkt. Skref 1 hefur neðri röð með 2 punktum og 1 punkt fyrir ofan. Skref 2 hefur neðri röð með 3 punktum og 2 punkta fyrir ofan. Skref 3 hefur neðri röð með 4 punktum og 3 punkta fyrir ofan.

Mynstur 2

Punktamynstur. Skref 0 hefur engan punkt. Skref 1 hefur 1 punkt. Skref 2 hefur 2 raðir með 2 punktum í hvorri röð. Skref 3 hefur 3 raðir með 3 punktum í hverri röð.

1. Skoðaðu mynstur 1.

a. Hvernig breytist fjöldi punkta í hverju skrefi?

Lausn

Berðu saman við þetta: Í hverju skrefi eru 2 raðir af punktum. Í hvorri röð eru jafn margir punktar og skrefnúmerið segir til um, auk eins punkts til viðbótar.

b. Hversu margir punktar verða í skrefi 5 og hvernig raðast þeir?

Lausn

Berðu saman við þetta: Í skrefi 5 verða 2 raðir með 5 punktum í hvorri röð og einn punktur til viðbótar.

2. Skoðaðu mynstur 2.

a. Hvernig breytist fjöldi punkta í hverju skrefi?

Lausn

Berðu saman við þetta: Í hverju skrefi eru jafnmargar raðir og dálkar af punktum og skrefnúmerið segir til um.

b. Hversu margir punktar verða í skrefi 5 og hvernig raðast þeir?

Lausn

Berðu saman við þetta: Skref 5 er 5 sinnum 5 punktar.

Skoðaðu eftirfarandi töflu.

Skref	Fjöldi punkta í mynstri 1	Fjöldi punkta í mynstri 2
0	1	0
1	3	1
2	5	4
3	7	9
4
5
10
12
n

3. Ljúktu við töfluna með fjölda punkta í mynstri 1.

a. Í skrefi 4, hver er fjöldi punkta í mynstri 1?

Lausn

Í skrefi 4 eru 9 punktar í mynstri 1.

b. Í skrefi 5, hver er fjöldi punkta í mynstri 1?

Lausn

Í skrefi 5 eru 11 punktar í mynstri 1.

c. Í skrefi 10, hver er fjöldi punkta í mynstri 1?

Lausn

Í skrefi 10 eru 21 punktur í mynstri 1.

d. Í skrefi 12, hver er fjöldi punkta í mynstri 1?

Lausn

Í skrefi 12 eru 25 punktar í mynstri 1.

e. Í skrefi $n$ , hver er fjöldi punkta í mynstri 1?

Lausn

$2n + 1$

4. Ljúktu við töfluna með fjölda punkta í mynstri 2.

a. Í skrefi 4, hver er fjöldi punkta í mynstri 2?

Lausn

Í skrefi 4 eru 16 punktar í mynstri 2.

b. Í skrefi 5, hver er fjöldi punkta í mynstri 2?

Lausn

Í skrefi 5 eru 25 punktar í mynstri 2.

c. Í skrefi 10, hver er fjöldi punkta í mynstri 2?

Lausn

Í skrefi 10 eru 100 punktar í mynstri 2.

d. Í skrefi 12, hver er fjöldi punkta í mynstri 2?

Lausn

Í skrefi 12 eru 144 punktar í mynstri 2.

e. Í skrefi $n$ , hver er fjöldi punkta í mynstri 2?

Lausn

$n \cdot n$ eða $n^{2}$

5. Notaðu grafteikniverkfæri eða aðra tækni utan námskeiðsins. Settu punkt fyrir fjölda punkta í hverju skrefi í mynstri 1 og mynstri 2.

a. Mynstur 1

Lausn

Berðu saman við þetta:

Dreifirit punkta í hnitakerfi. x-ásinn sýnir skrefnúmer í mynstri 1 og y-ásinn sýnir fjölda punkta.

b. Mynstur 2

Lausn

Berðu saman við þetta:

Dreifirit punkta í hnitakerfi. x-ásinn sýnir skrefnúmer í mynstri 2 og y-ásinn sýnir fjölda punkta.

6. Útskýrðu hvers vegna gröf mynstranna tveggja líta svona út.

Lausn

Berðu saman við þetta: Punktarnir fyrir fyrra mynstrið liggja á línu vegna þess að alltaf bætist sami fjöldi punkta við frá einu skrefi til þess næsta, eða 2 punktar. Punktarnir fyrir seinna mynstrið liggja ekki á línu vegna þess að fjölgun punktanna frá einu skrefi til þess næsta er ekki alltaf sú sama.

Viðbótarefni

Að skrifa stæður fyrir mynstur

Dæmi 1

Ferningamynstur. Í skrefi 1 eru 3 raðir: efsta röð með 1 ferningi, miðröð með 3 ferningum og neðsta röð með 1 ferningi, þannig að myndin líkist plúsmerki. Í skrefi 2 eru 4 raðir og í skrefi 3 eru 5 raðir með samsvarandi lengingu miðraðanna.

Finndu fjölda ferninga í skrefi 5.

Byrjaðu á því að skoða mynstrið. Í hverju skrefi bætist við ein röð og einn dálkur, auk tveggja aukaferninga.

Skref 1: 1 röð með $3 + 2$ ferningum.
Skref 2: 2 raðir með $4 + 2$ ferningum í hverri röð.
Skref 3: 3 raðir með $5 + 2$ ferningum í hverri röð.

Breiddin er alltaf 1 sinnum $n$ , eða $n$ . Lengdin er $n + 2$ og síðan bætast 2 aukaferningar við.

Það má lýsa þessu svona: $1 · n = n$ og $n + 2$

Teiknaðu síðan myndir eða búðu til töflu:

Skref	Fjöldi ferninga
1	5
2	10
3	17
4	26
5	37

Í skrefi 5 eru 37 ferningar.

Dæmi 2

Finndu stæðu fyrir skref n.

Margfaldaðu lengd og breidd og bættu síðan við tveimur aukaferningum:

$n(n + 2) + 2 = n² + 2n + 2$

Reyndu þetta

Að skrifa stæður fyrir mynstur

Notaðu myndina hér að neðan til að finna fjölda ferninga í skrefi 5 og síðan í skrefi $n$ .

Lausn

Svona má ákvarða fjölda ferninga í hverju skrefi:

Taktu eftir að í hverri mynd bætist við röð og dálkur og síðan er einn ferningur dreginn frá. Fjöldi raða er alltaf 2 meiri en skrefnúmerið.

Byrjaðu á því að búa til töflu:

Skref	Fjöldi ferninga
1	8
2	15
3	24
4	35
5	48

Í skrefi 5 eru 48 ferningar.

Skref $n$ má finna með annarri hvorri þessara jafngildu stæðna: $(n + 2)(n + 2) − 1$ eða $(n + 2)² − 1$ .