99.3 Að fylla í ferninginn, hluti 2

9.3.2 Að nota aðferðina að fylla í ferninginn til að leysa jöfnur

9.3.2 • Að nota aðferðina að fylla í ferninginn til að leysa jöfnur

Verkefni

Hægt er að nota aðferðina að fylla í ferninginn til að leysa annars stigs jöfnur.

Dæmi

Leystu $x^{2} + 8 x - 2 = 0$ .

Fylgdu þessum skrefum til að leysa jöfnu með því að fylla í ferninginn:

\begin{aligned} x^{2} + 8 x & = - 2 \\ {(\frac{b}{2})}^{2} & = {(\frac{8}{2})}^{2} = 16 \\ x^{2} + 8 x + 16 & = - 2 + 16 \\ (x + 4)^{2} & = 14 \\ x + 4 & = \pm \sqrt{14} \\ x & = - 4 + \sqrt{14} eða x = - 4 - \sqrt{14} \end{aligned}

Leystu hverja jöfnu með því að fylla í ferninginn. Í a-lið skaltu velja gildið á ${(\frac{b}{2})}^{2}$ sem fyllir í ferninginn. Í b-lið skaltu velja ræturnar tvær.

$(x - 3) (x + 1) = 5$

a. Hvert er rétta gildið á ${(\frac{b}{2})}^{2}$ sem fyllir í ferninginn?

Lausn
${(\frac{b}{2})}^{2} = 1$

b. Veldu tvær rætur sem leysa annars stigs jöfnuna.
1. $x = - 2$
2. $x = 1$
3. $x = 8$
4. $x = 4$
5. $x = 9$
Lausn
Réttu svörin eru: $x = - 2, x = 4$ .
$x^{2} + \frac{1}{2} x = \frac{3}{16}$

a. Hvert er rétta gildið á ${(\frac{b}{2})}^{2}$ sem fyllir í ferninginn?

Lausn
${(\frac{b}{2})}^{2} = \frac{1}{16}$

b. Veldu tvær rætur sem leysa annars stigs jöfnuna.
1. $x = \frac{1}{2}$
2. $x = \frac{1}{4}$
3. $x = - \frac{3}{4}$
4. $x = - \frac{1}{4}$
5. $x = 1$
Lausn
Réttu svörin eru: $x = \frac{1}{4}, x = - \frac{3}{4}$ .
$x^{2} + 3 x + \frac{8}{4} = 0$

a. Hvert er rétta gildið á ${(\frac{b}{2})}^{2}$ sem fyllir í ferninginn?

Lausn
${(\frac{b}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

b. Veldu tvær rætur sem leysa annars stigs jöfnuna.
1. $x = - 2$
2. $x = \frac{1}{16}$
3. $x = 9$
4. $x = \frac{1}{4}$
5. $x = - 1$
Lausn
Réttu svörin eru: $x = - 2, x = - 1$ .
$(7 - x) (3 - x) + 3 = 0$

a. Hvert er rétta gildið á ${(\frac{b}{2})}^{2}$ sem fyllir í ferninginn?

Lausn
${(\frac{b}{2})}^{2} = 25$

b. Veldu tvær rætur sem leysa annars stigs jöfnuna.
1. $x = - 2$
2. $x = 6$
3. $x = 21$
4. $x = 4$
5. $x = 9$
Lausn
Réttu svörin eru: $x = 6, x = 4$ .
$x^{2} + 1,6 x + 0,63 = 0$

a. Hvert er rétta gildið á ${(\frac{b}{2})}^{2}$ sem fyllir í ferninginn?

Lausn
${(\frac{b}{2})}^{2} = 0,64$

b. Veldu tvær rætur sem leysa annars stigs jöfnuna.
1. $x = - 0,7$
2. $x = 0,4$
3. $x = 0,27$
4. $x = 0,7$
5. $x = - 0,9$
Lausn
Réttu svörin eru: $x = - 0,7, x = - 0,9$ .

Sjálfspróf

Eftir að hafa leyst með því að fylla í ferninginn, hverjar eru núllstöðvar annars stigs jöfnunnar $x^{2} + 5 x + \frac{9}{4} = 0$ ?

$x = \frac{1}{2}$
$x = - \frac{1}{2}, x = - \frac{9}{2}$
$x = \frac{25}{4}$
$x = \frac{1}{4}, x = - \frac{19}{4}$

Viðbótarefni

Að fylla í ferninginn með brotum

Aðferðin að fylla í ferninginn getur verið gagnleg til að leysa annars stigs jöfnur þegar ekki er auðvelt að endurrita stæðu á þáttað form. Leystum til dæmis þessa jöfnu:

x^{2} + 5 x - \frac{75}{4} = 0

Fyrst leggjum við $\frac{75}{4}$ við báðar hliðar til að einfalda verkið.

\begin{aligned} x^{2} + 5 x - \frac{75}{4} + \frac{75}{4} & = 0 + \frac{75}{4} \\ x^{2} + 5 x & = \frac{75}{4} \end{aligned}

Til að fylla í ferninginn tekur þú $\frac{1}{2}$ af stuðli línulega liðarins 5, sem er $\frac{5}{2}$ , og setur það í annað veldi, sem gefur $\frac{25}{4}$ . Leggðu þetta við báðar hliðar:

\begin{aligned} x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} & = \frac{75}{4} + \frac{25}{4} \\ x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} & = \frac{100}{4} \\ x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} & = 25 \\ {(x + \frac{5}{2})}^{2} & = 25 \end{aligned}

Til að þessi jafna sé sönn þarf önnur þessara jafna að vera sönn:

\begin{aligned} x + \frac{5}{2} & = 5 eða x + \frac{5}{2} = - 5 \\ x & = 5 - \frac{5}{2} eða x = - 5 - \frac{5}{2} \\ x & = \frac{5}{2} eða x = - \frac{15}{2} \\ x & = 2 \frac{1}{2} eða x = - 7 \frac{1}{2} \end{aligned}

Það þarf nokkra æfingu til að verða öruggur í að fylla í ferninginn, en aðferðin gerir þér kleift að leysa mun fleiri jöfnur en áður var hægt með þeim aðferðum sem þú hafðir lært.

Prófaðu

Að fylla í ferninginn með brotum

Leystu $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ með því að fylla í ferninginn og finndu síðan núllstöðvar annars stigs jöfnunnar.

Lausn

Svona má finna núllstöðvarnar eftir að fyllt hefur verið í ferninginn:

\begin{aligned} x^{2} + 3 x & = 4 \\ {(\frac{3}{2})}^{2} & = \frac{9}{4} \\ x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} & = \frac{16}{4} + \frac{9}{4} \\ {(x + \frac{3}{2})}^{2} & = \frac{25}{4} \\ x + \frac{3}{2} & = \pm \frac{5}{2} \\ x + \frac{3}{2} & = \frac{5}{2} og x + \frac{3}{2} = - \frac{5}{2} \\ x & = 1 og x = - 4 \end{aligned}