9.3.3 Að leysa með því að fylla í ferninginn

Verkefni

Hér eru fjórar jöfnur og útreiknaðar lausnir þeirra. Í hverri lausn er að minnsta kosti ein villa.

1. Leystu jöfnuna $x^2+14x=-24$. Skoðaðu síðan eftirfarandi útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

   $$\begin{array}{rl}{x}^2+14x& =-24\\ x^2+14x+28& =4\\ (x+7{)}^2& =4\\ x+7& =2\\ x+7& =-2\\ x& =-5\text{ og }x=9\end{array}$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$x=-2\text{ og }x=-12$$

   Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

   Lausn

   Villa: Í skrefi 2 er talan sem bætt er við, 28, ekki ferningstala. Hún ætti að vera 49.

2. Leystu jöfnuna $x^2-10x+16=0$. Skoðaðu síðan eftirfarandi útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

   $$\begin{array}{rl}{x}^2-10x+16& =0\\ x^2-10x+25& =9\\ (x-5{)}^2& =9\\ x-5& =9\\ x-5& =-9\\ x& =14\text{ og }x=-4\end{array}$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$x=8\text{ og }x=2$$

   Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

   Lausn

   Villur: Í skrefi 4 ætti hægri hliðin að vera 3, ekki 9. Í skrefi 5 ætti hægri hliðin að vera -3, ekki -9.

3. Leystu jöfnuna $x^2+\mathrm{2,4}x=-\mathrm{0,8}$. Skoðaðu síðan eftirfarandi útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni.

   $$\begin{array}{rl}{x}^2+\mathrm{2,4}x& =-\mathrm{0,8}\\ x^2+\mathrm{2,4}x+\mathrm{1,44}& =\mathrm{0,64}\\ (x+\mathrm{1,2}{)}^2& =\mathrm{0,64}\\ x+\mathrm{1,2}& =\mathrm{0,8}\end{array}$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$x=-\mathrm{0,4}\text{ og }x=-2$$

   Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

   Lausn

   Villa: Í skrefi 4 er aðeins jákvæða ferningsrótin skrifuð og neikvæða ferningsrótin er vanrækt.

4. Leystu eftirfarandi jöfnu. Skoðaðu síðan útreiknaða lausn með villum og finndu og lýstu villunni eða villunum í henni. $x^2-\frac{6}{5}x+\frac{1}{5}=0$

   $$\begin{array}{rl}{x}^2-\frac{6}{5}x+\frac{1}{5}& =0\\ x^2-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}& =-\frac{1}{5}+\frac{4}{25}\\ (x-\frac{3}{5}{)}^2& =\frac{4}{25}\\ x-\frac{3}{5}& =\pm \frac{2}{5}\\ x& =1\text{ og }x=\frac{1}{5}\end{array}$$
   Lausn

   Berðu saman svarið þitt:

   $$x=1\text{ og }x=\frac{1}{5}$$

   Hvar var villan gerð í útreiknuðu lausninni hér að ofan og hver var villan?

   Lausn

   Villur: Til dæmis er mismunandi stærðum bætt við hvora hlið í skrefi 2. Aðrar skýringar geta líka verið réttar.

Sjálfspróf

Skoðaðu vinnuna sem sýnd er. Hver af eftirfarandi villum kom fram þegar jafnan var leyst með því að fylla í ferninginn?

1. Þessa jöfnu er ekki hægt að leysa með því að fylla í ferninginn.
2. Þegar fyllt var í ferninginn var röng tala fundin fyrir stæðuna ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$.
3. Þegar ferningsrótin var tekin var aðeins jákvæða lausnin tekin með.
4. Það hefði átt að draga 7 frá báðum hliðum.

Rétt svar er að aðeins jákvæða lausnin var tekin með þegar ferningsrótin var tekin.

Viðbótarefni

Að koma auga á villuna þegar annars stigs jöfnur eru leystar

Til að finna villu þegar annars stigs jafna er leyst er gagnlegt að leysa verkefnið fyrst á eigin spýtur.

Leystu annars stigs jöfnuna með því að fylla í ferninginn og finna núllstöðvar hennar. Finndu villuna í útreiknuðu lausninni hér fyrir neðan.

Finndu nú villuna með því að vinna verkefnið á eigin spýtur og bera skrefin saman:

Í skrefi 3 var 25 bætt við vinstri hlið jöfnunnar en 25 dregið frá hægri hliðinni. Jöfnur verða að haldast í jafnvægi og því hefði átt að bæta 25 við báðar hliðar.

Prófaðu

Að koma auga á villuna þegar annars stigs jöfnur eru leystar

Skoðaðu skrefin hér fyrir neðan og finndu villuna sem kom fram þegar annars stigs jafnan var leyst með því að fylla í ferninginn:

Lausn

Svona má finna villuna þegar fyllt er í ferninginn:

Vinndu skrefin á eigin spýtur og berðu saman:

$$\begin{array}{rl}{x}^2+8x& =-7\\ x^2+8x+16& =-7+16\\ (x+4{)}^2& =9\\ x+4& =\pm 3\\ x& =-1\text{ eða }x=-7\end{array}$$

Villan kom fram í skrefi 5 þegar plús-mínus merkið var ekki tekið með eftir að ferningsrót hafði verið tekin af báðum hliðum. Þess vegna var seinni mögulega jafnan ekki skrifuð.