Umbreytingar: Upprifjun úr smákennslu

Spurning úr smákennslu

Spurning 3: Umbreytingar

Nefndu umbreytingarnar sem færa $f(x)$ yfir í $g(x)=f(x-3)+4$.

1. A. 3 til hægri, 4 niður
2. B. 4 til hægri, 3 niður
3. C. 3 til vinstri, 4 upp
4. D. 3 til hægri, 4 upp

Umbreytingar falla

Umbreyting breytir grunnfalli, eða upprunalegu falli. Þrjár algengar umbreytingar eru lóðrétt hliðrun, lárétt hliðrun og speglun um $x$-ás eða $y$-ás.

Lóðrétt hliðrun

Ef gefið er fall $f(x)$, þá er nýja fallið $g(x)=f(x)+k$ lóðrétt hliðrun á fallinu $f(x)$, þar sem $k$ er fasti.

Öll úttaksgildi breytast um $k$ einingar. Ef $k$ er jákvæð tala hliðrast grafið upp; ef $k$ er neikvæð tala hliðrast grafið niður.

Lárétt hliðrun

Ef gefið er fall $f$, þá er nýja fallið $g(x)=f(x-h)$ lárétt hliðrun á fallinu $f$, þar sem $h$ er fasti.

Ef $h$ er jákvæð tala hliðrast grafið til hægri. Ef $h$ er neikvæð tala hliðrast grafið til vinstri.

Að teikna graf með lóðréttri og láréttri hliðrun

1. Finndu lóðréttu og láréttu hliðrunina út frá formúlunni.

2. Lóðrétt hliðrun kemur frá fasta sem bætt er við úttakið. Færðu grafið upp fyrir jákvæðan fasta og niður fyrir neikvæðan fasta.

3. Lárétt hliðrun kemur frá fasta sem dreginn er frá inntakinu. Færðu grafið til hægri fyrir jákvæðan fasta og til vinstri fyrir neikvæðan fasta.

4. Beittu hliðrununum á grafið í hvorri röðinni sem er.

Speglanir

Ef gefið er fall $f(x)$, þá er nýja fallið $g(x)=-f(x)$ lóðrétt speglun á fallinu $f(x)$. Þetta er líka kallað speglun um $x$-ás.

Ef gefið er fall $f(x)$, þá er nýja fallið $g(x)=f(-x)$ lárétt speglun á fallinu $f(x)$. Þetta er líka kallað speglun um $y$-ás.

Dæmi

Nefndu umbreytingarnar sem færa $f(x)$ yfir í $g(x)=-f(x+4)-8$.

• • Lárétt hliðrun: 4 til vinstri
• • Lóðrétt hliðrun: 8 niður
• • Speglun: Já, um $x$-ás.

Prófaðu

Umbreytingar falla

Nefndu umbreytingarnar sem færa $f(x)$ yfir í $g(x)=-f(x+3)-2$.

Lausn

Hér eru umbreytingarnar sem færa $f(x)$ yfir í $g(x)$:

• • Lárétt hliðrun: 3 til vinstri
• • Lóðrétt hliðrun: 2 niður
• • Speglun: Já, um $x$-ás.

Athugaðu skilning þinn

Nefndu allar umbreytingarnar sem færa $f(x)$ yfir í $g(x)=-f(x+5)-1$.

1. A. 1 til vinstri, 5 upp, speglun um $x$-ás
2. B. 5 til vinstri, 1 niður, speglun um $x$-ás
3. C. 5 til vinstri, 1 niður, speglun um $y$-ás
4. D. 5 til hægri, 1 niður, speglun um $x$-ás

Lausn

Rétt svar er B: 5 til vinstri, 1 niður, speglun um $x$-ás.

Athugaðu svarið: Mínusmerkið fyrir framan fallið veldur speglun um $x$-ás. Fastinn í $f(x+5)$ veldur hliðrun um 5 til vinstri og fastinn −1 veldur hliðrun um 1 niður.

Myndskeið: Að bera kennsl á umbreytingar

Horfðu á eftirfarandi myndskeið til að sjá hvernig má bera kennsl á umbreytingar falla, þar á meðal hliðranir.

Khan Academy: Shifting Functions Introduction