11 Föll og gröf

1.3 Hornaföll

Námsmarkmið

1.3.1 Umreikna hornamál á milli gráða og radíana.
1.3.2 Þekkja þríhyrnings- og hringskilgreiningar grunnhornafallanna.
1.3.3 Rita grunnsamsemdir hornafallanna.
1.3.4 Þekkja gröf og lotur hornafallanna.
1.3.5 Lýsa hliðrun grafs sínus- eða kósínusfalls út frá jöfnu fallsins.

Hornaföll eru notuð til að setja fram líkön af mörgum fyrirbærum, þar á meðal hljóðbylgjum, titringi strengja, riðstraumi og hreyfingu pendúla. Í raun má setja fram líkan af nánast sérhverri endurtekinni eða lotubundinni hreyfingu með einhverri samsetningu hornafalla. Í þessum undirkafla skilgreinum við grunnhornaföllin sex og skoðum nokkrar helstu samsemdir sem tengjast þessum föllum.

Bogaeiningar

Til að nota hornaföll verðum við fyrst að skilja hvernig horn eru mæld. Þótt nota megi bæði radíana og gráður eru radíanar eðlilegri mælieining þar sem þeir tengjast beint einingarhringnum, sem er hringur með radíus 1. Stærð hornsins er skilgreind á eftirfarandi hátt. Fyrir gefið horn $θ,$ látum $s$ tákna lengd samsvarandi boga á einingarhringnum (Mynd 1.30). Við segjum að hornið sem samsvarar boga af lengd 1 hafi stærðina 1.

Mynd af hring. Punktur er nákvæmlega í miðju hringsins. Frá þessum punkti liggur eitt strik lárétt til hægri að punkti á jaðri hringsins og annað strik skáhallt upp og til hægri að öðrum punkti á jaðri hringsins. Strikin eru 1 eining að lengd. Boginn á jaðri hringsins, sem tengir punktana tvo við enda strikanna, er merktur „s“. Inni í hringnum er ör sem vísar frá lárétta strikinu að skáhalla strikinu. Örin er merkt „theta = s radíanar“. — **Mynd 1.30.** Stærð hornsins $θ$ í bogaeiningum er bogalengdin $s$ á samsvarandi boga einingarhringsins.

Þar sem horn sem mælist $360 °$ samsvarar ummáli hrings, eða boga af lengdinni $2 π,$ ályktum við að horn sem mælist $360 °$ hafi stærðina $2 π .$ Á sama hátt sjáum við að $180 °$ jafngildir $π$ radíönum. Tafla 1.8 sýnir sambandið milli algengra gilda í gráðum og radíönum.

Gráður	Radíanar	Gráður	Radíanar
0	0	120	2 ⁢ 𝜋 / 3 2 ⁢ π / 3
30	𝜋 / 6 π / 6	135	3 ⁢ 𝜋 / 4 3 ⁢ π / 4
45	𝜋 / 4 π / 4	150	5 ⁢ 𝜋 / 6 5 ⁢ π / 6
60	𝜋 / 3 π / 3	180	𝜋 π
90	𝜋 / 2 π / 2

Dæmi 1.22

Umreikningur milli radíana og gráða

Umreiknið $225 °$ í radíana.
Umreiknið $5 π / 3$ rad í gráður.

Lausn

Notið þá staðreynd að $180 °$ jafngildir $π$ radíönum sem umreikningsstuðul: $1 = \frac{π rad}{180 °} = \frac{180 °}{π rad} .$

$225 ° = 225 ° \cdot \frac{π}{180 °} = \frac{5 π}{4}$ rad
5⁢𝜋3 $\frac{5 π}{3}$ rad = 5⁢𝜋3·180°𝜋=300° $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{180 °}{π} = 300 °$

Grunnhornaföllin sex

Hornaföll gera okkur kleift að nota hornamál, í radíönum eða gráðum, til að finna hnit punkts á hvaða hring sem er — ekki aðeins á einingarhring — eða til að finna horn út frá gefnum punkti á hring. Þau skilgreina einnig sambandið milli hliða og horna þríhyrnings.

Til að skilgreina hornaföllin skulum við fyrst líta á einingarhring með miðju í upphafspunktinum og punkt $P = (x, y)$ á einingarhringnum. Látum $θ$ vera horn með upphafsarm sem liggur eftir jákvæða hluta $x$ -ássins og lokaarm sem er línustrikið $O P .$ Horn í þessari stöðu er sagt vera í staðalstöðu (Mynd 1.31). Þá getum við skilgreint gildi hornfallanna sex fyrir $θ$ með hnitunum $x$ og $y .$

Mynd af grafi. Hringur er teiknaður á grafið og miðja hans er í upphafspunkti, þar sem punktur er merktur. Frá þessum punkti liggur eitt línustrik lárétt til hægri eftir x-ásnum að punkti á hringferlinum. Annað línustrik liggur á ská upp og til hægri að öðrum punkti á hringferlinum. Sá punktur er merktur „P = (x, y)“. Línustrikin hafa lengdina 1 einingu. Frá punktinum „P“ liggur lóðrétt punktalína niður að x-ásnum og þar með að lárétta línustrikinu. Inni í hringnum er ör sem vísar frá lárétta línustrikinu að skálínustrikinu. Örin er merkt „theta“. — **Mynd 1.31.** Hornið $θ$ er í staðalstöðu. Gildi hornafallanna fyrir $θ$ eru skilgreind með hnitunum $x$ og $y .$

Við sjáum að fyrir punkt $P = (x, y)$ á hring með radíus $r$ og samsvarandi horn $θ,$ uppfylla hnitin $x$ og $y$ eftirfarandi skilyrði

\begin{matrix} cos θ = \frac{x}{r} \\ x = r cos θ \end{matrix}

\begin{matrix} sin θ = \frac{y}{r} \\ y = r sin θ . \end{matrix}

Gildi hinna hornafallanna má setja fram með $x, y,$ og $r$ (mynd 1.32).

Mynd af grafi. Hringur er teiknaður á grafið og miðja hans er í upphafspunkti, þar sem punktur er merktur. Frá þessum punkti liggur eitt blátt línustrik lárétt til hægri eftir x-ásnum að punkti á hringferlinum. Annað blátt línustrik liggur á ská upp og til hægri að öðrum punkti á hringferlinum. Sá punktur er merktur „P = (x, y)“. Línustrikin eru „r“ einingar að lengd. Milli línustrikanna inni í hringnum stendur „theta“, sem táknar hornið milli þeirra. Frá punktinum „P“ liggur blátt lóðrétt línustrik niður að x-ásnum og þar með að lárétta línustrikinu, í punkti merktum „x“. Þar sem lárétta og lóðrétta línustrikið skerast í punktinum x er tákn fyrir rétt horn. Frá punktinum „P“ liggur lárétt punktalína til vinstri að y-ásnum, í punkti merktum „y“. — **Mynd 1.32.** Fyrir punkt $P = (x, y)$ á hring með geisla $r,$ uppfylla hnitin $x$ og $y$ jöfnurnar $x = r cos θ$ og $y = r sin θ .$

Tafla 1.9 sýnir gildi sínuss og kósínuss fyrir helstu hornin í fyrsta fjórðungi. Út frá þessari töflu getum við ákvarðað gildi sínuss og kósínuss fyrir samsvarandi horn í hinum fjórðungunum. Gildi hinna hornafallanna má auðveldlega reikna út frá gildum $sin θ$ og $cos θ .$

𝜃 θ	𝐬 𝐢 𝐧 ⁡ 𝜃 s i n ⁡ θ	𝐜 𝐨 𝐬 ⁡ 𝜃 c o s ⁡ θ
0 0	0 0	1 1
𝜋 6 π/6	1 2 1/2	√ 3 2 3/2
𝜋 4 π/4	√ 2 2 2/2	√ 2 2 2/2
𝜋 3 π/3	√ 3 2 3/2	1 2 1/2
𝜋 2 π/2	1 1	0 0

Dæmi 1.23

Útreikningur á gildum hornafalla

Reiknið gildi eftirfarandi segða.

sin⁡(2⁢𝜋3) $sin (\frac{2 π}{3})$
cos⁡(−5⁢𝜋6) $cos (- \frac{5 π}{6})$
tan⁡(15⁢𝜋4) $tan (\frac{15 π}{4})$

Lausn

Á einingarhringnum samsvarar hornið $θ = \frac{2 π}{3}$ punktinum $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) .$ Því er $sin (\frac{2 π}{3}) = y = \frac{\sqrt{3}}{2} .$
Hornið $θ = - \frac{5 π}{6}$ samsvarar snúningi í neikvæða stefnu, eins og sýnt er. Því er $cos (- \frac{5 π}{6}) = x = - \frac{\sqrt{3}}{2} .$
Hornið $θ = \frac{15 π}{4} = 2 π + \frac{7 π}{4} .$ Því samsvarar þetta horn meira en einum heilum snúningi, eins og sýnt er. Þar sem við vitum að hornið $\frac{7 π}{4}$ samsvarar punktinum $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}),$ getum við ályktað að $tan (\frac{15 π}{4}) = \frac{y}{x} = −1 .$

Eins og áður hefur komið fram má setja hlutföll hliðarlengda rétthyrnds þríhyrnings fram með hornaföllum reiknuðum fyrir hvort hvassa horn þríhyrningsins sem er. Látum $θ$ vera annað hvassa hornið. Látum $A$ vera lengd aðlægu skammhliðarinnar, $O$ vera lengd mótlægu skammhliðarinnar og $H$ vera lengd langhliðarinnar. Með því að innrita þríhyrninginn í hring með radíus $H,$ eins og sýnt er á mynd 1.33, sjáum við að $A, H,$ og $O$ uppfylla eftirfarandi tengsl við $θ :$

\begin{matrix} sin θ = \frac{O}{H} & csc θ = \frac{H}{O} \\ cos θ = \frac{A}{H} & sec θ = \frac{H}{A} \\ tan θ = \frac{O}{A} & cot θ = \frac{A}{O} \end{matrix}

Mynd af grafi. Hringur er teiknaður á grafið og miðja hans er í upphafspunktinum, þar sem punktur er merktur. Frá þessum punkti liggur eitt línustrik lárétt til hægri eftir x-ásnum að punkti á hringferlinum. Annað línustrik, merkt með lengdinni „H“, liggur á ská upp og til hægri að öðrum punkti á hringferlinum. Frá þeim punkti liggur lóðrétt lína, merkt með lengdinni „O“, niður að x-ásnum og þar með að lárétta línustrikinu, þar sem rétt horn er merkt. Fjarlægðin frá þessum punkti að miðju hringsins er merkt „A“. Inni í hringnum er ör sem vísar frá lárétta línustrikinu að skálínustrikinu. Örin er merkt „theta“. — **Mynd 1.33.** Með því að innrita rétthyrndan þríhyrning í hring getum við sett hlutföll hliðarlengdanna fram með hornaföllum reiknuðum fyrir $θ .$

Dæmi 1.24

Smíði skábrautar úr timbri

Smíða á skábraut úr timbri þannig að annar endi hennar hvíli á jörðinni en hinn á efsta þrepi stutts stiga. Ef efsta þrep stigans er $4$ ft frá jörðu og hornið milli jarðar og skábrautarinnar á að vera $10 °,$ hversu löng þarf skábrautin þá að vera?

Lausn

Látum $x$ tákna lengd skábrautarinnar. Á eftirfarandi mynd sjáum við að $x$ þarf að uppfylla jöfnuna $sin (10 °) = 4 / x .$ Þegar jafnan er leyst fyrir $x,$ fæst að $x = 4 / sin (10 °) \approx 23.035$ fet.

Hornafallasamsemdir

Hornafallasamsemd er jafna sem inniheldur hornaföll og gildir fyrir öll horn $θ$ þar sem föllin eru skilgreind. Við getum notað samsemdirnar til að leysa eða einfalda jöfnur. Helstu hornafallasamsemdirnar eru taldar upp hér á eftir.

Dæmi 1.25

Lausn hornafallajafna

Notið hornafallasamsemd til að finna allar lausnir hverrar eftirfarandi jöfnu.

1+cos⁡(2⁢𝜃)=cos⁡𝜃 $1 + cos (2 θ) = cos θ$
sin⁡(2⁢𝜃)=tan⁡𝜃 $sin (2 θ) = tan θ$

Lausn

Með því að nota tvöföldunarformúluna fyrir $cos (2 θ),$ sjáum við að $θ$ er lausn á
$1 + \cos (2) = \cos 1 + \cos (2) = \cos$

ef og aðeins ef
$1 + 2 {cos}^{2} θ - 1 = cos θ,$

sem gildir ef og aðeins ef
$2 {cos}^{2} θ - cos θ = 0 .$

Til að leysa þessa jöfnu er mikilvægt að þátta vinstri hliðina en deila ekki báðum hliðum jöfnunnar með $cos θ .$ Vandinn við að deila með $cos θ$ er sá að $cos θ$ gæti verið núll. Ef við deildum báðum hliðum jöfnunnar með $cos θ,$ myndum við raunar missa af sumum lausnum upphaflegu jöfnunnar. Með því að þátta vinstri hlið jöfnunnar sjáum við að $θ$ er lausn á þessari jöfnu ef og aðeins ef
$\cos (2 \cos - 1) = 0 \cos (2 \cos - 1) = 0$

Þar sem $cos θ = 0$ þegar
$θ = \frac{π}{2}, \frac{π}{2} \pm π, \frac{π}{2} \pm 2 π,…,$

og $cos θ = 1 / 2$ þegar
$θ = \frac{π}{3}, \frac{π}{3} \pm 2 π,… eða θ = - \frac{π}{3}, - \frac{π}{3} \pm 2 π,…,$

ályktum við að lausnamengi þessarar jöfnu sé

$θ = \frac{π}{2} + n π, θ = \frac{π}{3} + 2 n π, og θ = - \frac{π}{3} + 2 n π, n = 0, \pm 1, \pm 2, … .$
Með því að nota tvöföldunarformúluna fyrir $sin (2 θ)$ og umhverfusamsemdina fyrir $tan (θ),$ má rita jöfnuna sem
$2 sin θ cos θ = \frac{sin θ}{cos θ} .$

Til að leysa þessa jöfnu margföldum við báðar hliðar með $cos θ$ til að eyða nefnaranum og segjum að ef $θ$ uppfyllir þessa jöfnu, þá uppfyllir $θ$ jöfnuna
$2 sin θ {cos}^{2} θ - sin θ = 0 .$

Hér þurfum við þó að gæta nokkurrar varúðar. Jafnvel þótt $θ$ uppfylli þessa nýju jöfnu er ekki víst að það uppfylli upphaflegu jöfnuna, því til þess þyrftum við að geta deilt báðum hliðum jöfnunnar með $cos θ .$ Ef $cos θ = 0,$ getum við hins vegar ekki deilt báðum hliðum jöfnunnar með $cos θ .$ Því er mögulegt að fram komi aukalausnir. Að lokum er því mikilvægt að kanna hvort einhverjar lausnir séu aukalausnir. Þegar við snúum aftur að jöfnunni er mikilvægt að þátta $sin θ$ út úr báðum liðunum vinstra megin í stað þess að deila báðum hliðum jöfnunnar með $sin θ .$ Með því að þátta vinstri hlið jöfnunnar getum við endurritað hana sem
$sin θ (2 {cos}^{2} θ - 1) = 0 .$

Lausnirnar eru því þau horn $θ$ sem uppfylla $sin θ = 0$ eða ${cos}^{2} θ = 1 / 2 .$ Lausnir fyrri jöfnunnar eru $θ = 0, \pm π, \pm 2 π,….$ Lausnir síðari jöfnunnar eru $θ = π / 4, (π / 4) \pm (π / 2), (π / 4) \pm π,….$ Eftir að hafa kannað hvort um aukalausnir sé að ræða fæst eftirfarandi lausnamengi jöfnunnar:

$θ = n π og θ = \frac{π}{4} + \frac{n π}{2}, n = 0, \pm 1, \pm 2, … .$

Dæmi 1.26

Sönnun hornafallasemdar

Sannið hornafallasemdina $1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ .$

Lausn

Við byrjum á samsemdinni

{sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1 .

Með því að deila báðum hliðum þessarar jöfnu með ${cos}^{2} θ,$ fáum við

\frac{{sin}^{2} θ}{{cos}^{2} θ} + 1 = \frac{1}{{cos}^{2} θ} .

Þar sem $sin θ / cos θ = tan θ$ og $1 / cos θ = sec θ,$ ályktum við að

{tan}^{2} θ + 1 = {sec}^{2} θ .

Gröf og lotur hornafalla

Við höfum séð að þegar við förum eftir einingarhringnum endurtaka gildi hornafallanna sig. Þetta mynstur sést á gröfum fallanna. Látum $P = (x, y)$ vera punkt á einingarhringnum og látum $θ$ vera samsvarandi horn $.$ Þar sem hornin $θ$ og $θ + 2 π$ samsvara sama punktinum $P,$ eru gildi hornafallanna við $θ$ og við $θ + 2 π$ þau sömu. Hornaföllin eru því lotubundin föll. Lota falls $f$ er skilgreind sem minnsta jákvæða gildið $p$ þannig að $f (x + p) = f (x)$ fyrir öll gildi $x$ í skilgreiningarmengi $f .$ Sínus-, kósínus-, sekans- og kósekansföllin hafa lotuna $2 π .$ Þar sem tangens- og kótangensföllin endurtaka sig á bili af lengdinni $π,$ er lota þeirra $π$ (Mynd 1.34).

Mynd af sex gröfum. Á hverju grafi nær x-ásinn frá -2 pi til 2 pi og y-ásinn frá -2 til 2. Fyrsta grafið sýnir fallið „f(x) = sin(x)“, sem er bylgjulaga fall. Graf fallsins hefst í punktinum (-2 pi, 0) og vex að punktinum (-((3 pi)/2), 1). Eftir þann punkt minnkar fallið að punktinum (-(pi/2), -1). Þaðan vex fallið að punktinum ((pi/2), 1). Síðan minnkar fallið að punktinum (((3 pi)/2), -1) og tekur þar á eftir að vaxa á ný. Skurðpunktar grafsins við x-ás eru (-2 pi, 0), (-pi, 0), (0, 0), (pi, 0) og (2 pi, 0). Skurðpunkturinn við y-ás er í upphafspunktinum. Annað grafið sýnir fallið „f(x) = cos(x)“, sem er bylgjulaga fall. Graf fallsins hefst í punktinum (-2 pi, 1) og minnkar að punktinum (-pi, -1). Eftir þann punkt vex fallið að punktinum (0, 1). Þaðan minnkar fallið að punktinum (pi, -1) og vex síðan á ný. Skurðpunktar grafsins við x-ás eru (-((3 pi)/2), 0), (-(pi/2), 0), ((pi/2), 0) og (((3 pi)/2), 0). Skurðpunkturinn við y-ás er punkturinn (0, 1). Graf cos(x) er eins og graf sin(x), nema því hefur verið hliðrað til vinstri um (pi/2). Á næstu fjórum gröfum eru lóðréttar punktalínur sem tilheyra ekki föllunum en mynda mörk sem gröf fallanna snerta aldrei. Þær nefnast lóðfellur. Öll þessi föll hafa óendanlega margar lóðfellur en gröfin sýna aðeins nokkrar þeirra. Þriðja grafið sýnir fallið „f(x) = csc(x)“. Lóðfellur fallsins „f(x) = csc(x)“ á þessu grafi eru við „x = -2 pi“, „x = -pi“, „x = 0“, „x = pi“ og „x = 2 pi“. Milli lóðfellanna „x = -2 pi“ og „x = -pi“ líkist graf fallsins uppvísandi „U“ og hefur lággildi í punktinum (-((3 pi)/2), 1). Milli lóðfellanna „x = -pi“ og „x = 0“ líkist graf fallsins niðurvísandi „U“ og hefur hágildi í punktinum (-(pi/2), -1). Milli lóðfellanna „x = 0“ og „x = pi“ líkist graf fallsins uppvísandi „U“ og hefur lággildi í punktinum ((pi/2), 1). Milli lóðfellanna „x = pi“ og „x = 2 pi“ líkist graf fallsins niðurvísandi „U“ og hefur hágildi í punktinum (((3 pi)/2), -1). Fjórða grafið sýnir fallið „f(x) = sec(x)“. Lóðfellur fallsins á þessu grafi eru við „x = -((3 pi)/2)“, „x = -(pi/2)“, „x = (pi/2)“ og „x = ((3 pi)/2)“. Milli lóðfellanna „x = -((3 pi)/2)“ og „x = -(pi/2)“ líkist graf fallsins niðurvísandi „U“ og hefur hágildi í punktinum (-pi, -1). Milli lóðfellanna „x = -(pi/2)“ og „x = (pi/2)“ líkist graf fallsins uppvísandi „U“ og hefur lággildi í punktinum (0, 1). Milli lóðfellanna „x = (pi/2)“ og „x = (3pi/2)“ líkist graf fallsins niðurvísandi „U“ og hefur hágildi í punktinum (pi, -1). Graf sec(x) er eins og graf csc(x), nema því hefur verið hliðrað til vinstri um (pi/2). Fimmta grafið sýnir fallið „f(x) = tan(x)“. Lóðfellur fallsins á þessu grafi eru við „x = -((3 pi)/2)“, „x = -(pi/2)“, „x = (pi/2)“ og „x = ((3 pi)/2)“. Milli allra lóðfellanna er fallið alltaf vaxandi en graf þess snertir þær aldrei. Skurðpunktar grafsins við x-ás eru (-2 pi, 0), (-pi, 0), (0, 0), (pi, 0) og (2 pi, 0). Skurðpunkturinn við y-ás er í upphafspunktinum. Sjötta grafið sýnir fallið „f(x) = cot(x)“. Lóðfellur fallsins á þessu grafi eru við „x = -2 pi“, „x = -pi“, „x = 0“, „x = pi“ og „x = 2 pi“. Milli allra lóðfellanna er fallið alltaf minnkandi en graf þess snertir þær aldrei. Skurðpunktar grafsins við x-ás eru (-((3 pi)/2), 0), (-(pi/2), 0), ((pi/2), 0) og (((3 pi)/2), 0), en enginn skurðpunktur er við y-ás. — **Mynd 1.34.** Hornaföllin sex eru lotubundin.

Rétt eins og á við um algebruföll getum við beitt umbreytingum á hornaföll. Skoðum sérstaklega eftirfarandi fall:

f (x) = A \cos (B (x -)) + C

(1.10)

Á mynd 1.35veldur fastinn $α$ láréttri hliðrun, eða fasahliðrun. Þátturinn $B$ breytir lotunni. Þetta ummyndaða sínusfall hefur lotuna $2 π / | B | .$ Þátturinn $A$ veldur lóðréttri teygju með stuðlinum $| A | .$ Við segjum að $| A |$ sé „útslag $f .$ “ Fastinn $C$ veldur lóðréttri hliðrun.

Mynd af grafi. Grafið sýnir fallið „f(x) = Acos(B(x - alpha)) + C“. Á y-ásnum eru 3 kvarðastrik: talið neðan frá og upp eru strikin við gildin „C - A“, „C“ og „C + A“. Fjarlægðin frá upphafspunktinum að „C“ er merkt „lóðrétt hliðrun“. Fjarlægðin frá „C - A“ að „A“ og fjarlægðin frá „A“ að „C + A“ er „A“ og er merkt „útslag“. Á x-ásnum er kvarðastrik við gildið „alpha“ og fjarlægðin milli upphafspunktsins og „alpha“ er merkt „lárétt hliðrun“. Fjarlægðin milli tveggja samliggjandi lággilda fallsins (það er milli tveggja aðliggjandi lægstu punkta bylgjunnar) er „(2 pí)/(algildi B)“ og er merkt lotan. Lotan er einnig fjarlægðin milli tveggja samliggjandi hágilda fallsins. — **Mynd 1.35.** Graf almenns kósínusfalls.

Takið eftir á mynd 1.34 að graf $y = cos x$ er graf $y = sin x$ hliðrað um $π / 2$ einingar til vinstri. Því getum við skrifað $cos x = sin (x + π / 2) .$ Á sama hátt getum við litið á graf $y = sin x$ sem graf $y = cos x$ hliðrað um $π / 2$ einingar til hægri og fullyrt að $sin x = cos (x - π / 2) .$

Hliðraður sínusferill kemur eðlilega fram þegar fjöldi birtustunda á tilteknum stað er teiknaður sem fall af degi ársins. Gerum til dæmis ráð fyrir að samkvæmt upplýsingum frá borg sé 21. júní lengsti dagur ársins með $15.7$ birtustundir og 21. desember stysti dagur ársins með $8.3$ birtustundir. Sýna má að fallið

h (t) = 3.7 sin (\frac{2 π}{365} (t - 80.5)) + 12

er líkan fyrir fjölda birtustunda $h$ sem fall af degi ársins $t$ (mynd 1.36).

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá 0 til 365 og er merktur „t, dagur ársins“. y-ásinn nær frá 0 til 20 og er merktur „h, fjöldi birtustunda“. Grafið sýnir fallið „h(t) = 3.7sin(((2 pi)/365)(t - 80.5)) + 12“, sem er bylgjulaga fall. Fallið hefst nálægt punktinum (0, 8.4) og vex þar til það nær nálægt punktinum (171.8, 15.7). Eftir þann punkt minnkar fallið þar til það nær nálægt punktinum (354.3, 8.3). Eftir þann punkt tekur fallið aftur að vaxa. — **Mynd 1.36.** Lýsa má fjölda birtustunda sem fall af degi ársins með hliðruðum sínusferli.

Dæmi 1.27

Teikning grafs ummyndaðs sínusfalls

Teiknið graf fallsins $f (x) = 3 sin (2 (x - \frac{π}{4})) + 1 .$

Lausn

Þetta graf fæst með láréttri samþjöppun með stuðlinum 2, fasahliðrun til hægri um π/4 einingar, síðan lóðréttri teygju með stuðlinum 3 og loks lóðréttri hliðrun um 1 einingu. Lotulengd $f$ er $π .$

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -((3 pi)/2) til 2 pi og y-ásinn nær frá -3 til 5. Grafið sýnir fallið „f(x) = 3sin(2(x-(pi/4))) + 1“, sem er bylgjulaga fall. Fallið minnkar frá punktinum (-((3 pi)/2), 4) þar til það nær punktinum (-pi, -2). Þar tekur fallið að vaxa þar til það nær punktinum (-(pi/2), 4). Eftir þann punkt minnkar fallið þar til það nær punktinum (0, -2). Þaðan vex fallið þar til það nær punktinum ((pi/2), 4). Eftir þann punkt minnkar fallið þar til það nær punktinum (pi, -2). Þaðan vex fallið þar til það nær punktinum (((3 pi)/2), 4). Eftir þann punkt tekur fallið aftur að minnka.

Æfingar úr undirkafla 1.3

Í eftirfarandi æfingum skal breyta hverju horni úr gráðum í radíana. Skrifið svarið sem margfeldi af $π .$

113.

240° $240 °$

114.

15° $15 °$

115.

−60° $−60 °$

116.

−225° $−225 °$

117.

330° $330 °$

Í eftirfarandi æfingum skal breyta hverju horni úr radíönum í gráður.

118.

𝜋2rad $\frac{π}{2} rad$

119.

7⁢𝜋6rad $\frac{7 π}{6} rad$

120.

11⁢𝜋2rad $\frac{11 π}{2} rad$

121.

−3⁢𝜋rad $−3 π rad$

122.

5⁢𝜋12rad $\frac{5 π}{12} rad$

Reiknið eftirfarandi fallgildi.

123.

cos⁡(4⁢𝜋3) $cos (\frac{4 π}{3})$

124.

tan⁡(19⁢𝜋4) $tan (\frac{19 π}{4})$

125.

sin⁡(−3⁢𝜋4) $sin (- \frac{3 π}{4})$

126.

sec⁡(𝜋6) $sec (\frac{π}{6})$

127.

sin⁡(𝜋12) $sin (\frac{π}{12})$

128.

cos⁡(5⁢𝜋12) $cos (\frac{5 π}{12})$

Í eftirfarandi æfingum skal skoða þríhyrninginn ABC, sem er rétthyrndur þríhyrningur með rétt horn við C. a. Finnið hliðina sem vantar í þríhyrninginn. b. Finnið gildi hornafallanna sex fyrir hornið við A. Einfaldið í almennt brot eða námundið að þremur aukastöfum eftir því sem við á.

Mynd af þríhyrningi. Hornpunktar þríhyrningsins eru merktir „A“, „B“ og „C“. Milli hornpunktanna A og C er hliðin b. Milli hornpunktanna C og B er hliðin a. Milli hornpunktanna B og A er hliðin c. Hornið við C er merkt með tákni fyrir rétt horn. Hornið við A er merkt með horntákni.

129.

𝑎=4,𝑐=7 $a = 4, c = 7$

130.

𝑎=21,𝑐=29 $a = 21, c = 29$

131.

𝑎=85.3,𝑏=125.5 $a = 85.3, b = 125.5$

132.

𝑏=40,𝑐=41 $b = 40, c = 41$

133.

𝑎=84,𝑏=13 $a = 84, b = 13$

134.

𝑏=28,𝑐=35 $b = 28, c = 35$

Í eftirfarandi æfingum er $P$ punktur á einingarhringnum. a. Finnið (nákvæmt) gildi hnitsins sem vantar fyrir hvern punkt og b. finnið gildi hornafallanna sex fyrir hornið $θ$ sem hefur lokaarm sem liggur um punktinn $P .$ Gerið nefnarana ræðar.

135.

𝑃⁡(725,𝑦),𝑦>0 $P (\frac{7}{25}, y), y > 0$

136.

𝑃⁡(−1517,𝑦),𝑦<0 $P (\frac{−15}{17}, y), y < 0$

137.

𝑃⁡(𝑥,√73),𝑥<0 $P (x, \frac{\sqrt{7}}{3}), x < 0$

138.

𝑃⁡(𝑥,−√154),𝑥>0 $P (x, \frac{− \sqrt{15}}{4}), x > 0$

Í eftirfarandi æfingum skal einfalda hverja stæðu með því að skrifa hana með sínus og kósínus og einfalda hana síðan. Lokasvarið þarf ekki eingöngu að vera sett fram með sínus og kósínus.

139.

tan2⁢𝑥+sin⁡𝑥⁢csc⁡𝑥 ${tan}^{2} x + sin x csc x$

140.

sec⁡𝑥⁢sin⁡𝑥⁢cot⁡𝑥 $sec x sin x cot x$

141.

tan2⁢𝑥sec2⁢𝑥 $\frac{{tan}^{2} x}{{sec}^{2} x}$

142.

sec⁡𝑥−cos⁡𝑥 $sec x - cos x$

143.

(1+tan⁡𝜃)₂−2⁢tan⁡𝜃 ${(1 + tan θ)}^{2} - 2 tan θ$

144.

sin⁡𝑥⁢(csc⁡𝑥−sin⁡𝑥) $sin x (csc x - sin x)$

145.

cos⁡𝑡sin⁡𝑡+sin⁡𝑡1+cos⁡𝑡 $\frac{cos t}{sin t} + \frac{sin t}{1 + cos t}$

146.

1+tan2⁢𝛼1+cot2⁢𝛼 $\frac{1 + {tan}^{2} α}{1 + {cot}^{2} α}$

Í eftirfarandi æfingum skal sýna fram á að hver jafna sé samsemd.

147.

tan⁡𝜃⁢cot⁡𝜃csc⁡𝜃=sin⁡𝜃 $\frac{tan θ cot θ}{csc θ} = sin θ$

148.

sec2⁢𝜃tan⁡𝜃=sec⁡𝜃⁢csc⁡𝜃 $\frac{{sec}^{2} θ}{tan θ} = sec θ csc θ$

149.

sin⁡𝑡csc⁡𝑡+cos⁡𝑡sec⁡𝑡=1 $\frac{sin t}{csc t} + \frac{cos t}{sec t} = 1$

150.

sin⁡𝑥cos⁡𝑥+1+cos⁡𝑥−1sin⁡𝑥=0 $\frac{sin x}{cos x + 1} + \frac{cos x - 1}{sin x} = 0$

151.

cot⁡𝛾+tan⁡𝛾=sec⁡𝛾⁢csc⁡𝛾 $cot γ + tan γ = sec γ csc γ$

152.

sin2⁢𝛽+tan2⁢𝛽+cos2⁢𝛽=sec2⁢𝛽 ${sin}^{2} β + {tan}^{2} β + {cos}^{2} β = {sec}^{2} β$

153.

11−sin⁡𝛼+11+sin⁡𝛼=2⁢sec2⁢𝛼 $\frac{1}{1 - sin α} + \frac{1}{1 + sin α} = 2 {sec}^{2} α$

154.

tan⁡𝜃−cot⁡𝜃sin⁡𝜃⁢cos⁡𝜃=sec2⁢𝜃−csc2⁢𝜃 $\frac{tan θ - cot θ}{sin θ cos θ} = {sec}^{2} θ - {csc}^{2} θ$

Í eftirfarandi æfingum skal leysa hornafallajöfnurnar á bilinu $0 \leq θ < 2 π .$

155.

2⁢sin⁡𝜃−1=0 $2 sin θ - 1 = 0$

156.

1+cos⁡𝜃=12 $1 + cos θ = \frac{1}{2}$

157.

2⁢tan2⁢𝜃=2 $2 {tan}^{2} θ = 2$

158.

4⁢sin2⁢𝜃−2=0 $4 {sin}^{2} θ - 2 = 0$

159.

√3⁢cot⁡𝜃+1=0 $\sqrt{3} cot θ + 1 = 0$

160.

3⁢sec⁡𝜃−2⁢√3=0 $3 sec θ - 2 \sqrt{3} = 0$

161.

2⁢cos⁡𝜃⁢sin⁡𝜃=sin⁡𝜃 $2 cos θ sin θ = sin θ$

162.

csc2⁢𝜃+2⁢csc⁡𝜃+1=0 ${csc}^{2} θ + 2 csc θ + 1 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum er hvert graf á forminu $y = A sin B x$ eða $y = A cos B x,$ þar sem $B > 0 .$ Skrifið jöfnu grafsins.

163.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn nær frá -5 til 5. Grafið sýnir sveigt bylgjulaga fall sem hefst í punktinum (-4, 0) og minnkar að punktinum (-2, 4). Eftir þann punkt vex fallið þar til það nær punktinum (2, 4). Eftir þann punkt tekur fallið aftur að minnka. Skurðpunktar fallsins við x-ás á þessu grafi eru (-4, 0), (0, 0) og (4, 0). Skurðpunkturinn við y-ás er í upphafspunktinum.

164.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn nær frá -5 til 5. Grafið sýnir sveigt bylgjulaga fall sem hefst í punktinum (-4, -2) og vex að punktinum (-3, 2). Eftir þann punkt minnkar fallið þar til það nær punktinum (-2, -2). Síðan vex fallið þar til það nær punktinum (-1, 2). Eftir þann punkt minnkar fallið þar til það nær punktinum (0, -2). Síðan vex fallið þar til það nær punktinum (1, 2). Eftir þann punkt minnkar fallið þar til það nær punktinum (2, -2). Síðan vex fallið þar til það nær punktinum (3, 2). Eftir þann punkt tekur fallið aftur að minnka. Skurðpunktar fallsins við x-ás á þessu grafi eru (-3.5, 0), (-2.5, 0), (-1.5, 0), (-0.5, 0), (0.5, 0), (1.5, 0), (2.5, 0) og (3.5, 0). Skurðpunkturinn við y-ás er (0, -2).

165.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn nær frá -5 til 5. Grafið sýnir sveigt bylgjulaga fall. Fallið hefur margar lotur og aðeins nokkrum þeirra verður lýst. Fallið tekur að minnka í punktinum (-1, 1) og minnkar að punktinum (-0.5, -1). Eftir þann punkt vex fallið þar til það nær punktinum (0, 1). Síðan minnkar fallið þar til það nær punktinum (0.5, -1). Eftir þann punkt vex fallið þar til það nær punktinum (1, 1). Síðan minnkar fallið aftur. Skurðpunktar fallsins við x-ás á þessu grafi eru (-0.75, 0), (-0.25, 0), (0.25, 0) og (0.75, 0). Skurðpunkturinn við y-ás er (0, 1).

166.

Í eftirfarandi verkefnum skal finna a. útslag, b. lotulengd og c. fasahliðrun ásamt stefnu fyrir hvert fall.

167.

𝑦=sin⁡(𝑥−𝜋4) $y = sin (x - \frac{π}{4})$

168.

𝑦=3⁢cos⁡(2⁢𝑥+3) $y = 3 cos (2 x + 3)$

169.

𝑦=−12⁢sin⁡(14⁢𝑥) $y = \frac{−1}{2} sin (\frac{1}{4} x)$

170.

𝑦=2⁢cos⁡(𝑥−𝜋3) $y = 2 cos (x - \frac{π}{3})$

171.

𝑦=−3⁢sin⁡(𝜋⁢𝑥+2) $y = −3 sin (π x + 2)$

172.

𝑦=4⁢cos⁡(2⁢𝑥−𝜋2) $y = 4 cos (2 x - \frac{π}{2})$

173.

[T] Þvermál hjóls sem rúllar eftir jörðinni er 40 tommur. Ef hjólið snýst um horn sem mælist $120 °,$ hversu margar tommur færist það? Námundið að næstu heilu tommu.

174.

[T] Finnið lengd bogans sem miðhornið $θ$ spannar í hring með geisla r. Námundið að næsta hundraðshluta.

a. $r = 12.8$ cm, $θ = \frac{5 π}{6}$ rad b. $r = 4.378$ cm, $θ = \frac{7 π}{6}$ rad c. $r = 0.964$ cm, $θ = 50 °$ d. $r = 8.55$ cm, $θ = 325 °$

175.

[T] Þegar punkturinn P hreyfist eftir hring breytist stærð hornsins. Mælikvarðinn á það hversu hratt hornið breytist kallast hornhraði, $ω,$ og hann er gefinn með $ω = θ / t,$ þar sem $θ$ er mælt í radíönum og t táknar tíma. Finnið hornhraðann út frá gefnum gögnum. Námundið að næsta þúsundahluta.

a. $θ = \frac{7 π}{4} rad, t = 10$ sek. b. $θ = \frac{3 π}{5} rad, t = 8$ sek. c. $θ = \frac{2 π}{9} rad, t = 1$ mín. d. $θ = 23.76 rad, t = 14$ mín.

176.

[T] Samtals þarf 250,000 m² lands til að reisa kjarnorkuver. Gerum ráð fyrir að ákveðið sé að svæðið sem kjarnorkuverið á að rísa á skuli vera hringlaga.

Finnið geisla hringlaga landsvæðisins.
Ef landsvæðið á að mynda $45 °$ hringgeira í stað heils hrings skal finna lengd bogadregnu hliðarinnar.

177.

[T] Flatarmál jafnarma þríhyrnings með jafnlangar hliðar af lengd x er

12⁢𝑥2⁢sin⁡𝜃, $\frac{1}{2} x^{2} sin θ,$

þar sem $θ$ er hornið sem hliðarnar tvær mynda. Finnið flatarmál jafnarma þríhyrnings með jafnlangar hliðar sem eru 8 tommur að lengd og hornið $θ = 5 π / 12$ rad.

178.

[T] Ögn hreyfist eftir hringferli með föstum hornhraða $ω .$ Hornhraðanum er lýst með fallinu $ω = 9 | cos (π t - π / 12) | .$ Ákvarðið hornhraðann þegar $t = 9$ sek.

179.

[T] Spenna riðstraums í innstungum á heimili er gefin með fallinu

𝑉⁡(𝑡)=150⁢cos⁡368⁢𝑡, $V (t) = 150 cos 368 t,$

þar sem V er spennan í voltum á tímanum t, mældum í sekúndum.

Finnið lotu fallsins og túlkið merkingu hennar.
Ákvarðið fjölda lota sem hafa átt sér stað þegar 1 sekúnda er liðin.

180.

[T] Fjöldi dagsbirtustunda í borg í norðausturhluta landsins er gefinn með fallinu

N (t) = 12 + 3 sin [\frac{2 π}{365} (t - 79)],

þar sem t er fjöldi daga frá 1. janúar.

Finnið útslagið og lotuna.
Ákvarðið fjölda dagsbirtustunda á lengsta degi ársins.
Ákvarðið fjölda dagsbirtustunda á stysta degi ársins.
Ákvarðið fjölda dagsbirtustunda 90 dögum eftir 1. janúar.
Teiknið graf fallsins fyrir eina lotu frá og með 1. janúar.

181.

[T] Gerum ráð fyrir að $T = 50 + 10 sin [\frac{π}{12} (t - 8)]$ sé stærðfræðilegt líkan sem lýsir hitastiginu (í Fahrenheit-gráðum) t klukkustundum eftir miðnætti á tilteknum vikudegi.

Ákvarðið útslagið og lotuna.
Finnið hitastigið 7 klukkustundum eftir miðnætti.
Hvenær er $T = 60 ° ?$
Teiknið graf $T$ á bilinu $0 \leq t \leq 24 .$

182.

[T] Fallið $H (t) = 8 sin (\frac{π}{6} t)$ lýsir hæð sjávarfalla H (í fetum) t klukkustundum eftir miðnætti. Gerum ráð fyrir að $t = 0$ tákni miðnætti.

Finnið útslagið og lotuna.
Teiknið graf fallsins yfir eina lotu.
Hver er sjávarhæðin kl. 4:30 að morgni?