44 Inngangur að deildajöfnum

4.1 Grunnatriði deildajafna

Námsmarkmið

4.1.1 Ákvarða stig deildajöfnu.
4.1.2 Útskýra hvað átt er við með lausn deildajöfnu.
4.1.3 Greina á milli almennrar lausnar og sérlausnar deildajöfnu.
4.1.4 Þekkja upphafsgildisverkefni.
4.1.5 Ákvarða hvort gefið fall sé lausn deildajöfnu eða upphafsgildisverkefnis.

Stærðfræðigreining fjallar um breytingar og breytingarhraði er settur fram með afleiðum. Ein algengasta leiðin til að beita stærðfræðigreiningu er því að setja fram jöfnu sem inniheldur óþekkt fall $y = f (x)$ og afleiðu þess. Slík jafna nefnist deildajafna. Lausnir slíkra jafna veita oft upplýsingar um hvernig stærðir breytast og varpa gjarnan ljósi á hvernig og hvers vegna breytingarnar verða.

Aðferðir við að leysa deildajöfnur geta verið af ýmsum toga, svo sem bein lausn, notkun grafa eða tölvureikningar. Í þessum kafla kynnum við meginhugmyndirnar og síðar í námskeiðinu verður fjallað nánar um þær. Í þessum hluta skoðum við hvað deildajöfnur eru, hvernig staðfesta má lausnir þeirra, nokkrar aðferðir við að leysa þær og dæmi um algengar og gagnlegar jöfnur.

Almennar deildajöfnur

Skoðum jöfnuna $y^{'} = 3 x^{2},$ sem er dæmi um deildajöfnu vegna þess að hún inniheldur afleiðu. Tengsl eru milli breytanna $x$ og $y : y$ er óþekkt fall af $x .$ Vinstri hlið jöfnunnar er enn fremur afleiða $y .$ Við getum því túlkað jöfnuna þannig: Byrjum með eitthvert fall $y = f (x)$ og finnum afleiðu þess. Niðurstaðan verður að vera jöfn $3 x^{2} .$ Hvaða fall hefur afleiðu sem er jöfn $3 x^{2} ?$ Eitt slíkt fall er $y = x^{3},$ og það telst því lausn deildajöfnunnar.

Nokkur dæmi um deildajöfnur og lausnir þeirra eru sýnd í töflu 4.1 .

Jafna	Lausn
y ′ = 2 x	y = x 2
y ′ + 3 y = 6 x + 11	y = e −3 x + 2 x + 3
y ′ ′ − 3 y ′ + 2 y = 24 e −2 x	y = 3 e x − 4 e 2 x + 2 e −2 x

Athugið að lausn deildajöfnu er ekki endilega einstök, einkum vegna þess að afleiða fasta er núll. Til dæmis er $y = x^{2} + 4$ einnig lausn fyrstu deildajöfnunnar í töflu 4.1 . Við snúum aftur að þessari hugmynd síðar í þessum hluta. Skoðum fyrst hvað felst í því að fall sé lausn deildajöfnu.

Dæmi 4.1

Lausnir deildajafna sannreyndar

Sannreynið að fallið $y = e^{−3 x} + 2 x + 3$ sé lausn deildajöfnunnar $y^{'} + 3 y = 6 x + 11 .$

Lausn

Til að sannreyna lausnina reiknum við fyrst $y^{'}$ með keðjureglunni fyrir afleiður. Þá fæst $y^{'} = −3 e^{−3 x} + 2 .$ Næst setjum við $y$ og $y^{'}$ inn í vinstri hlið deildajöfnunnar:

(−3 e^{−3 x} + 2) + 3 (e^{−3 x} + 2 x + 3) .

Segðina sem fæst má einfalda með því að margfalda fyrst inn í svigana:

−3 e^{−3 x} + 2 + 3 e^{−3 x} + 6 x + 9 .

Þegar samstofna liðir eru teknir saman fæst segðin $6 x + 11,$ sem er jöfn hægri hlið deildajöfnunnar. Þar með er staðfest að $y = e^{−3 x} + 2 x + 3$ sé lausn deildajöfnunnar.

Hentugt er að skilgreina eiginleika deildajafna sem auðvelda umfjöllun um þær og flokkun þeirra. Grunneiginleiki deildajöfnu er stig hennar.

Dæmi 4.2

Stig deildajöfnu ákvarðað

Hvert er stig hverrar eftirfarandi deildajöfnu?

$y^{'} - 4 y = x^{2} - 3 x + 4$
$x^{2} y ‴ - 3 x y^{″} + x y^{'} - 3 y = sin x$
$\frac{4}{x} y^{(4)} - \frac{6}{x^{2}} y^{″} + \frac{12}{x^{4}} y = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

Lausn

Hæsta afleiðan í jöfnunni er $y^{'},$ og því er stigið $1 .$
Hæsta afleiðan í jöfnunni er $y ‴,$ og því er stigið $3 .$
Hæsta afleiðan í jöfnunni er $y^{(4)},$ og því er stigið $4 .$

Almennar lausnir og sérlausnir

Við höfum þegar séð að deildajafnan $y^{'} = 2 x$ hefur að minnsta kosti tvær lausnir: $y = x^{2}$ og $y = x^{2} + 4 .$ Eini munurinn á þessum tveimur lausnum er síðasti liðurinn, sem er fasti. Hvað gerist ef síðasti liðurinn er annar fasti? Verður segðin þá enn lausn deildajöfnunnar? Raunar er sérhvert fall af gerðinni $y = x^{2} + C,$ þar sem $C$ táknar einhvern fasta, einnig lausn. Ástæðan er sú að afleiða $x^{2} + C$ er $2 x,$ óháð gildi $C .$ Sýna má að sérhver lausn þessarar deildajöfnu verði að vera af gerðinni $y = x^{2} + C .$ Þetta er dæmi um almenna lausn deildajöfnu. Gröf nokkurra slíkra lausna eru sýnd á mynd 4.2 . (Athugið: Á grafinu notuðum við jafnar heiltölur fyrir $C$ á bilinu frá $−4$ til $4 .$ Engin takmörkun er þó á gildi $C;$ það þarf ekki að vera heiltala.)

Graf lausnafjölskyldu deildajöfnunnar y′ = 2x. Lausnirnar eru af gerðinni y = x² + C. Fleygbogar eru teiknaðir fyrir C-gildin −4, −2, 0, 2 og 4. — **Mynd 4.2.** Lausnafjölskylda deildajöfnunnar $y^{'} = 2 x .$

Í þessu dæmi getum við valið hvaða lausn sem er. Til dæmis tilheyrir $y = x^{2} - 3$ lausnafjölskyldu deildajöfnunnar. Slík lausn nefnist sérlausn deildajöfnunnar. Oft má ákvarða sérlausn ótvírætt ef frekari upplýsingar um verkefnið eru gefnar.

Dæmi 4.3

Sérlausn fundin

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $y^{'} = 2 x$ sem fer í gegnum punktinn $(2, 7) .$

Lausn

Sérhvert fall af gerðinni $y = x^{2} + C$ er lausn þessarar deildajöfnu. Til að ákvarða gildi $C,$ setjum við gildin $x = 2$ og $y = 7$ inn í jöfnuna og leysum jöfnuna með tilliti til $C :$

\begin{matrix} y = x^{2} + C \\ 7 = 2^{2} + C = 4 + C \\ C = 3. \end{matrix}

Sérlausnin sem fer í gegnum punktinn $(2, 7)$ er því $y = x^{2} + 3 .$

Upphafsgildisverkefni

Yfirleitt hefur gefin deildajafna óendanlega margar lausnir og því er eðlilegt að spyrja hvaða lausn eigi að nota. Til að velja eina lausn þarf frekari upplýsingar. Meðal gagnlegra upplýsinga er upphafsgildi, það er röðuð tvennd sem notuð er til að finna sérlausn.

Deildajafna ásamt einu eða fleiri upphafsgildum nefnist upphafsgildisverkefni. Almenna reglan er sú að fjöldi upphafsgilda sem þarf í upphafsgildisverkefni sé jafn stigi deildajöfnunnar. Ef deildajafnan er til dæmis $y^{'} = 2 x,$ þá er $y (3) = 7$ upphafsgildi og saman mynda jöfnurnar upphafsgildisverkefni. Deildajafnan $y^{″} - 3 y^{'} + 2 y = 4 e^{x}$ er annars stigs og því þarf tvö upphafsgildi. Í upphafsgildisverkefnum af hærra stigi en einu skal nota sama gildi óháðu breytunnar. Dæmi um upphafsgildi fyrir þessa annars stigs jöfnu eru $y (0) = 2$ og $y^{'} (0) = −1 .$ Þessi tvö upphafsgildi ásamt deildajöfnunni mynda upphafsgildisverkefni. Heitið vísar til þess að óháða breytan í óþekkta fallinu er oft $t,$ sem táknar tíma. Gildið $t = 0$ táknar þá upphaf verkefnisins.

Dæmi 4.4

Lausn upphafsgildisverkefnis sannreynd

Sannreynið að fallið $y = 2 e^{−2 t} + e^{t}$ sé lausn upphafsgildisverkefnisins

y^{'} + 2 y = 3 e^{t}, y (0) = 3 .

Lausn

Til að fall uppfylli upphafsgildisverkefni verður það að uppfylla bæði deildajöfnuna og upphafsskilyrðið. Til að sýna að $y$ uppfylli deildajöfnuna byrjum við á að reikna $y^{'} .$ Þá fæst $y^{'} = −4 e^{−2 t} + e^{t} .$ Næst setjum við bæði $y$ og $y^{'}$ inn í vinstri hlið deildajöfnunnar og einföldum:

\begin{matrix} y^{'} + 2 y & = (−4 e^{−2 t} + e^{t}) + 2 (2 e^{−2 t} + e^{t}) \\ = −4 e^{−2 t} + e^{t} + 4 e^{−2 t} + 2 e^{t} \\ = 3 e^{t} . \end{matrix}

Þetta er jafnt hægri hlið deildajöfnunnar og því leysir $y = 2 e^{−2 t} + e^{t}$ deildajöfnuna. Næst reiknum við $y (0) :$

\begin{matrix} y (0) & = 2 e^{−2 (0)} + e^{0} \\ = 2 + 1 \\ = 3 . \end{matrix}

Niðurstaðan staðfestir upphafsgildið. Gefna fallið uppfyllir því upphafsgildisverkefnið.

Í dæmi 4.4 var upphafsgildisverkefnið tvískipt. Fyrri hlutinn var deildajafnan $y^{'} + 2 y = 3 e^{t},$ og síðari hlutinn var upphafsgildið $y (0) = 3 .$ Saman mynduðu þessar tvær jöfnur upphafsgildisverkefnið.

Þetta gildir almennt. Upphafsgildisverkefni er tvískipt: það inniheldur deildajöfnu og upphafsskilyrði. Deildajafnan hefur lausnafjölskyldu en upphafsskilyrðið ákvarðar gildi $C .$ Lausnafjölskylda deildajöfnunnar í dæmi 4.4 er gefin með $y = 2 e^{−2 t} + C e^{t} .$ Lausnafjölskyldan er sýnd á mynd 4.3 og sérlausnin $y = 2 e^{−2 t} + e^{t}$ er merkt inn á hana.

Graf lausnafjölskyldu deildajöfnunnar y′ + 2y = 3e^t. Lausnirnar eru af gerðinni y = 2e^(−2t) + Ce^t. Meðal annars eru sýnd gröfin fyrir C = 1, 0,5 og −0,2. Önnur gröf eru ómerkt. Fyrir öll gildi C vex fallið hratt þegar t < 0 og t stefnir á mínus óendanlegt. Þegar C > 0 skiptir fallið um stefnu og vex eftir aflíðandi ferli þegar t stefnir á óendanlegt. Því stærra sem C er, þeim mun krappari er ferillinn, nær y-ásnum og við hærra y-gildi. Þegar C = 0 stefnir fallið á 0 þegar t stefnir á óendanlegt. Þegar C < 0 heldur fallið áfram að minnka þegar t stefnir á óendanlegt. — **Mynd 4.3.** Lausnafjölskylda deildajöfnunnar $y^{'} + 2 y = 3 e^{t} .$ Sérlausnin $y = 2 e^{−2 t} + e^{t}$ er merkt inn á myndina.

Dæmi 4.5

Upphafsgildisverkefni leyst

Leysið eftirfarandi upphafsgildisverkefni:

y^{'} = 3 e^{x} + x^{2} - 4, y (0) = 5 .

Lausn

Fyrsta skrefið við lausn upphafsgildisverkefnisins er að finna almenna lausnafjölskyldu. Til þess finnum við stofnfall beggja hliða deildajöfnunnar

\int y^{'} d x = \int (3 e^{x} + x^{2} - 4) d x,

það er

y + C_{1} = 3 e^{x} + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C_{2} .

(4.1)

Við getum heildað báðar hliðar vegna þess að y-liðurinn stendur einn. Athugið að heildunarfastarnir eru tveir: $C_{1}$ og $C_{2} .$ Þegar jafna 4.1 er leyst með tilliti til $y$ fæst

y = 3 e^{x} + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C_{2} - C_{1} .

Þar sem $C_{1}$ og $C_{2}$ eru báðir fastar er $C_{2} - C_{1}$ einnig fasti. Við getum því skilgreint $C = C_{2} - C_{1},$ og þá fæst jafnan

y = 3 e^{x} + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C .

Næst ákvarðum við gildi $C .$ Til þess setjum við $x = 0$ og $y = 5$ inn í jöfnu 4.1 og leysum jöfnuna með tilliti til $C :$

\begin{matrix} 5 & = & 3 e^{0} + \frac{1}{3} 0^{3} - 4 (0) + C \\ 5 & = & 3 + C \\ C & = & 2 . \end{matrix}

Nú setjum við gildið $C = 2$ inn í jöfnu 4.1 . Lausn upphafsgildisverkefnisins er $y = 3 e^{x} + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 2 .$

Greining

Munurinn á almennri lausn og sérlausn er sá að almenn lausn felur í sér fjölskyldu falla af óháðu breytunni, sem eru skilgreind annaðhvort beint eða óbeint. Upphafsgildið eða upphafsgildin ákvarða hvaða sérlausn í lausnafjölskyldunni uppfyllir tiltekin skilyrði.

Í hagnýtum verkefnum í eðlisfræði og verkfræði skoðum við oft kraftana sem verka á hlut og notum þær upplýsingar til að skilja hreyfinguna sem af þeim getur hlotist. Ef við byrjum til dæmis með hlut við yfirborð jarðar er þyngdarkrafturinn meginkrafturinn sem verkar á hann. Eðlisfræðingar og verkfræðingar geta notað þessar upplýsingar ásamt öðru lögmáli Newtons um hreyfingu (á jöfnuforminu $F = m a,$ þar sem $F$ táknar kraft, $m$ táknar massa og $a$ táknar hröðun) til að leiða út jöfnu sem unnt er að leysa.

Myndin sýnir hafnabolta með ör fyrir neðan sem vísar niður. Örin er merkt g = −9,8 m/s². — **Mynd 4.4.** Á hafnabolta sem fellur í lofti verkar aðeins þyngdarkrafturinn ef loftmótstaða er hunsuð.

Á mynd 4.4 gerum við ráð fyrir að eini krafturinn sem verkar á hafnabolta sé þyngdarkrafturinn. Með þeirri forsendu er loftmótstaða hunsuð. (Krafturinn vegna loftmótstöðu verður skoðaður síðar.) Þyngdarhröðunin við yfirborð jarðar, $g,$ er um það bil $9.8 {m/s}^{2} .$ Við veljum viðmiðunarkerfi þar sem yfirborð jarðar er í hæðinni 0 metrar. Látum $v (t)$ tákna hraða hlutarins í metrum á sekúndu. Ef $v (t) > 0,$ er boltinn á uppleið en ef $v (t) < 0,$ er hann á niðurleið (mynd 4.5 ).

Myndin sýnir hafnabolta með ör fyrir ofan sem vísar upp og ör fyrir neðan sem vísar niður. Örin upp er merkt v(t) > 0 og örin niður er merkt v(t) < 0. — **Mynd 4.5.** Mögulegir hraðar hafnabolta á upp- og niðurleið.

Markmið okkar er að finna hraðann $v (t)$ á sérhverjum tíma $t .$ Til þess setjum við upp upphafsgildisverkefni. Gerum ráð fyrir að massi boltans sé $m,$ þar sem $m$ er mælt í kílógrömmum. Við notum annað lögmál Newtons, sem segir að krafturinn sem verkar á hlut sé jafn massa hans margfölduðum með hröðun hans $(F = m a) .$ Hröðun er afleiða hraða og því er $a (t) = v^{'} (t) .$ Krafturinn sem verkar á hafnaboltann er því gefinn með $F = m v^{'} (t) .$ Þessi kraftur verður hins vegar að vera jafn þyngdarkraftinum sem verkar á hlutinn. Með öðru lögmáli Newtons er sá kraftur gefinn með $F_{g} = − m g,$ þar sem hann verkar niður á við. Við fáum því jöfnuna $F = F_{g},$ sem verður $m v^{'} (t) = − m g .$ Þegar báðum hliðum jöfnunnar er deilt með $m$ fæst jafnan

v^{'} (t) = − g .

Athugið að deildajafnan er óháð massa hlutarins.

Nú þurfum við upphafsgildi. Þar sem markmiðið er að finna hraða er eðlilegt í samhengi verkefnisins að gera ráð fyrir að upphafshraðinn sé þekktur, en það er hraðinn á tíma $t = 0 .$ Hann er táknaður með $v (0) = v_{0} .$

Dæmi 4.6

Hraði hafnabolta á hreyfingu

Hafnabolta er kastað upp frá $3$ metra hæð yfir yfirborði jarðar með upphafshraðanum $10 m/s,$ og eini krafturinn sem verkar á hann er þyngdarkrafturinn. Massi boltans er $0.15 kg$ .

Finnið hraða hafnaboltans $v (t)$ á tíma $t .$
Hver er hraði hans eftir $2$ sekúndur?

Lausn

Samkvæmt umfjölluninni hér á undan gildir eftirfarandi deildajafna í þessum aðstæðum:
$v^{'} (t) = − g,$

þar sem $g = 9.8 {m/s}^{2} .$ Upphafsskilyrðið er $v (0) = v_{0},$ þar sem $v_{0} = 10 m/s .$ Upphafsgildisverkefnið er því $v^{'} (t) = −9.8 {m/s}^{2}, v (0) = 10 m/s .$
Fyrsta skrefið við lausn þess er að finna stofnfall beggja hliða deildajöfnunnar. Þá fæst
$\begin{matrix} \int v^{'} (t) d t & = & \int −9.8 d t \\ v (t) & = & −9.8 t + C . \end{matrix}$

Næst leysum við jöfnuna með tilliti til $C .$ Til þess setjum við inn $t = 0$ og $v (0) = 10 :$

$\begin{matrix} v (t) & = & −9.8 t + C \\ v (0) & = & −9.8 (0) + C \\ 10 & = & C . \end{matrix}$

Því er $C = 10$ og hraðafallið er gefið með $v (t) = −9.8 t + 10 .$
Til að finna hraðann eftir $2$ sekúndur setjum við $t = 2$ inn í $v (t) .$

$\begin{matrix} v (t) & = & −9.8 t + 10 \\ v (2) & = & −9.8 (2) + 10 \\ v (2) & = & −9.6. \end{matrix}$

Eining hraðans er metrar á sekúndu. Þar sem svarið er neikvætt fellur hluturinn með hraðanum $9.6 m/s .$

Eftir lausn verkefnis af þessari gerð er eðlilegt að spyrja í hvaða hæð yfir yfirborði jarðar hluturinn verði á tilteknum tíma. Látum $s (t)$ tákna hæð hlutarins yfir yfirborði jarðar, mælda í metrum. Þar sem hraði er afleiða staðsetningar, í þessu tilviki hæðar, fæst jafnan $s^{'} (t) = v (t) .$ Upphafsgildi er nauðsynlegt og hér hentar upphafshæð hlutarins vel. Látum upphafshæðina vera gefna með jöfnunni $s (0) = s_{0} .$ Saman gefa þessar forsendur upphafsgildisverkefnið

s^{'} (t) = v (t), s (0) = s_{0} .

Ef hraðafallið er þekkt er einnig unnt að finna staðsetningarfallið.

Dæmi 4.7

Hæð hafnabolta á hreyfingu

Hafnabolta er kastað upp frá $3$ metra hæð yfir yfirborði jarðar með upphafshraðanum $10 m/s,$ og eini krafturinn sem verkar á hann er þyngdarkrafturinn. Massi boltans er $0.15$ kílógramm.

Finnið staðsetningu hafnaboltans $s (t)$ á tíma $t .$
Hver er hæð hans eftir $2$ sekúndur?

Lausn

Við vitum þegar að hraðafall þessa verkefnis er $v (t) = −9.8 t + 10 .$ Upphafshæð hafnaboltans er $3$ metrar og því er $s_{0} = 3 .$ Upphafsgildisverkefnið í þessu dæmi er því eftirfarandi. Til að leysa það finnum við fyrst stofnföllin:

$\begin{matrix} \int s^{'} (t) d t & = & \int −9.8 t + 10 d t \\ s (t) & = & −4.9 t^{2} + 10 t + C . \end{matrix}$

Næst setjum við inn $t = 0$ og leysum jöfnuna með tilliti til $C :$

$\begin{matrix} s (t) & = & −4.9 t^{2} + 10 t + C \\ s (0) & = & −4.9 {(0)}^{2} + 10 (0) + C \\ 3 & = & C . \end{matrix}$

Staðsetningarfallið er því $s (t) = −4.9 t^{2} + 10 t + 3 .$
Hæð hafnaboltans eftir $2 s$ er gefin með $s (2) :$

$\begin{matrix} s (2) & = −4.9 {(2)}^{2} + 10 (2) + 3 \\ = −4.9 (4) + 23 \\ = 3.4. \end{matrix}$

Hafnaboltinn er því $3.4$ metra yfir yfirborði jarðar eftir $2$ sekúndur. Athygli vekur að massaliðurinn styttist alveg út við lausn verkefnisins.

Æfingar úr hluta 4.1

Ákvarðið stig eftirfarandi deildajafna.

$y^{'} + y = 3 y^{2}$

${(y^{'})}^{2} = y^{'} + 2 y$

$y ‴ + y^{″} y^{'} = 3 x^{2}$

$y^{'} = y^{″} + 3 t^{2}$

$\frac{d y}{d t} = t$

$\frac{d y}{d x} + \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 3 x^{4}$

${(\frac{d y}{d t})}^{2} + 8 \frac{d y}{d t} + 3 y = 4 t$

Sannreynið að eftirfarandi föll séu lausnir gefnu deildajafnanna.

$y = \frac{x^{3}}{3}$ leysir $y^{'} = x^{2}$

$y = 2 e^{− x} + x - 1$ leysir $y^{'} = x - y$

10.

$y = e^{3 x} - \frac{e^{x}}{2}$ leysir $y^{'} = 3 y + e^{x}$

11.

$y = \frac{1}{1 - x}$ leysir $y^{'} = y^{2}$

12.

$y = e^{x^{2} / 2}$ leysir $y^{'} = x y$

13.

$y = 4 + ln x$ leysir $x y^{'} = 1$

14.

$y = 3 - x + x ln x$ leysir $y^{'} = ln x$

15.

$y = 2 e^{x} - x - 1$ leysir $y^{'} = y + x$

16.

$y = e^{x} + \frac{sin x}{2} - \frac{cos x}{2}$ leysir $y^{'} = cos x + y$

17.

$y = π e^{− cos x}$ leysir $y^{'} = y sin x$

Sannreynið eftirfarandi almennu lausnir og finnið sérlausnina.

18.

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $y^{'} = 4 x^{2}$ sem fer í gegnum $(−3, −30),$ að því gefnu að $y = C + \frac{4 x^{3}}{3}$ sé almenn lausn.

19.

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $y^{'} = 3 x^{3}$ sem fer í gegnum $(1, 4.75),$ að því gefnu að $y = C + \frac{3 x^{4}}{4}$ sé almenn lausn.

20.

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $y^{'} = 3 x^{2} y$ sem fer í gegnum $(0, 12),$ að því gefnu að $y = C e^{x^{3}}$ sé almenn lausn.

21.

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $y^{'} = 2 x y$ sem fer í gegnum $(0, \frac{1}{2}),$ að því gefnu að $y = C e^{x^{2}}$ sé almenn lausn.

22.

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $y^{'} = {(2 x y)}^{2}$ sem fer í gegnum $(1, - \frac{1}{2}),$ að því gefnu að $y = - \frac{3}{C + 4 x^{3}}$ sé almenn lausn.

23.

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $y^{'} x^{2} = y$ sem fer í gegnum $(1, \frac{2}{e}),$ að því gefnu að $y = C e^{− 1 / x}$ sé almenn lausn.

24.

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $8 \frac{d x}{d t} = −2 cos (2 t) - cos (4 t)$ sem fer í gegnum $(π, π),$ að því gefnu að $x = C - \frac{1}{8} sin (2 t) - \frac{1}{32} sin (4 t)$ sé almenn lausn.

25.

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $\frac{d u}{d t} = tan u$ sem fer í gegnum $(1, \frac{π}{2}),$ að því gefnu að $u = {sin}^{−1} (e^{C + t})$ sé almenn lausn.

26.

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $\frac{d y}{d t} = e^{(t + y)}$ sem fer í gegnum $(1, 0),$ að því gefnu að $y = − ln (C - e^{t})$ sé almenn lausn.

27.

Finnið sérlausn deildajöfnunnar $y^{'} (1 - x^{2}) = 1 + y$ sem fer í gegnum $(0, −2),$ að því gefnu að $y = C \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{1 - x}} - 1$ sé almenn lausn.

Finnið almenna lausn deildajöfnunnar í eftirfarandi verkefnum.

28.

$y^{'} = 3 x + e^{x}$

29.

$y^{'} = ln x + tan x$

30.

$y^{'} = sin x e^{cos x}$

31.

$y^{'} = 4^{x}$

32.

$y^{'} = {sin}^{−1} (2 x)$

33.

$y^{'} = 2 t \sqrt{t^{2} + 16}$

34.

$x^{'} = coth t + ln t + 3 t^{2}$

35.

$x^{'} = t \sqrt{4 + t}$

36.

$y^{'} = y$

37.

$y^{'} = \frac{y}{x}$

Leysið eftirfarandi upphafsgildisverkefni með upphafsgildunum $y (0) = 1$ og $y (0) = −1 .$ Teiknið báðar lausnirnar á sama graf.

38.

$\frac{d y}{d t} = 2 t$

39.

$\frac{d y}{d t} = − t$

40.

$\frac{d y}{d t} = 2 y$

41.

$\frac{d y}{d t} = − y$

42.

$\frac{d y}{d t} = 2$

Leysið eftirfarandi upphafsgildisverkefni með upphafsgildinu $y_{0} = 10 .$ Á hvaða tíma vex $y$ upp í $100$ eða lækkar niður í $1 ?$

43.

$\frac{d y}{d t} = 4 t$

44.

$\frac{d y}{d t} = 4 y$

45.

$\frac{d y}{d t} = −2 y$

46.

$\frac{d y}{d t} = e^{4 t}$

47.

$\frac{d y}{d t} = e^{−4 t}$

Munið að lausnafjölskylda inniheldur lausnir deildajöfnu sem eru ólíkar um fasta. Notið reiknivél í eftirfarandi verkefnum til að teikna lausnafjölskyldu gefinnar deildajöfnu. Notið upphafsskilyrði frá $y (t = 0) = −10$ til $y (t = 0) = 10$ með skreflengdinni $2 .$ Er einhver markpunktur þar sem hegðun lausnarinnar tekur að breytast?

48.

[T] $y^{'} = y (x)$

49.

[T] $x y^{'} = y$

50.

[T] $y^{'} = t^{3}$

51.

[T] $y^{'} = x + y$ (Ábending: $y = C e^{x} - x - 1$ er almenna lausnin)

52.

[T] $y^{'} = x ln x + sin x$

53.

Finnið almennu lausnina sem lýsir hraða bolta af massanum $1 lb$ sem kastað er upp með hraðanum $a$ ft/sec.

54.

Í verkefninu á undan er upphafshraði boltans sem kastað er upp $a = 25$ ft/s. Ritið sérlausn fyrir hraða boltans. Leysið jöfnuna til að finna hvenær boltinn lendir á jörðinni.

55.

Tveimur hlutum með ólíkan massa, $m_{1}$ og $m_{2}$ , er kastað upp með sama upphafshraða $a$ ft/s. Hver er munurinn á hraða þeirra eftir $1$ sekúndu?

56.

[T] Bolta af massanum $1$ kílógramm er kastað upp með hraðanum $a = 25$ m/s á Mars, þar sem þyngdarhröðunin er $g = −3.711$ m/s ² . Notið reiknivél til að nálga hve miklu lengur boltinn er á lofti á Mars en á jörðinni, þar sem $g = - 9.8 m / s^{2}$ .

57.

[T] Notið reiknivél í verkefninu á undan til að nálga hve miklu hærra boltinn fór á Mars, þar sem $g = - 9.8 m / s^{2}$ .

58.

[T] Bíll á hraðbraut hefur hröðunina $a = 15 cos (π t),$ þar sem $t$ er mælt í klukkustundum. Setjið upp og leysið deildajöfnuna til að ákvarða hraða bílsins ef upphafshraði hans er $50$ mílur á klukkustund. Hver er hraði ökumannsins eftir $40$ mínútna akstur?

59.

[T] Finnið segð fyrir vegalengdina sem bíllinn í verkefninu á undan hefur ekið á tímanum $t,$ að því gefnu að upphafsvegalengdin sé $0 .$ Hve lengi er bíllinn að aka $100$ mílur? Námundið svarið að klukkustundum og mínútum.

60.

[T] Finnið heildarvegalengdina sem ekin er á fyrstu klukkustundinni í verkefninu á undan.

61.

Setjið $y = B e^{3 t}$ inn í $y^{'} - y = 8 e^{3 t}$ til að finna sérlausn.

62.

Setjið $y = a cos (2 t) + b sin (2 t)$ inn í $y^{'} + y = 4 sin (2 t)$ til að finna sérlausn.

63.

Setjið $y = a + b t + c t^{2}$ inn í $y^{'} + y = 1 + t^{2}$ til að finna sérlausn.

64.

Setjið $y = a e^{t} cos t + b e^{t} sin t$ inn í $y^{'} = 2 e^{t} cos t$ til að finna sérlausn.

65.

Leysið $y^{'} = e^{k t}$ með upphafsskilyrðinu $y (0) = 0$ og leysið $y^{'} = 1$ með sama upphafsskilyrði. Þegar $k$ stefnir á $0,$ hvað takið þið þá eftir?