Yfirlitsverkefni

Deildajafnan $y\prime =3x^{2}y-\text{cos}(x)y^{″}$ er línuleg.

Deildajafnan $y\prime =x-y$ er aðgreinanleg.

Leysa má allar fyrsta stigs deildajöfnur beint með aðskilnaði breytistærða eða með því að nota heildunarþátt.

Hegðun allra fyrsta stigs deildajafna má ákvarða með stefnuviðum eða aðferð Eulers.

$y^{\prime }=x^2+3e^x-2x$

$y\prime =2^x+{\text{cos}}^{\mathrm{-1}}x$

$y\prime =y\left(x^2+1\right)$

$y\prime =e^{\text{−}y}\text{sin}x$

$y\prime =3x-2y$

$y\prime =y\text{ln}y$

$y\prime =8x-\text{ln}x-3x^4,y(1)=5$

$y\prime =3x-\text{cos}x+2,y(0)=4$

$xy\prime =y\left(x-2\right),y(1)=3$

$y\prime =3y^2\left(x+\text{cos}x\right),y(0)=\mathrm{-2}$

$(x-1)y\prime =y-2,y(0)=0$

$y\prime =3y-x+6x^2,y(0)=\mathrm{-1}$

$y\prime =2y-y^2$

$y\prime =\frac{1}{x}+\text{ln}x-y,$ fyrir $x>0$

$y\prime =\mathrm{-4}yx,y(0)=1$

$y\prime =3^x-2y,y(0)=0$

Bíll ekur á hraðbraut með hröðun sem gefin er með $a=5\text{sin}(\pi t),$ þar sem $t$ táknar tíma í mínútum. Finnið hraðann á tíma $t,$ að því gefnu að upphafshraði bílsins sé $60$ mílur á klukkustund.

Kastið bolta sem hefur massann $2$ kg upp í loftið með upphafshraðanum $8$ m/s. Finnið nákvæmlega hve lengi boltinn er á lofti, að því gefnu að þyngdarhröðunin sé $g=9.8{\text{m/s}}^2.$

Sleppið bolta sem hefur massann $5$ kg úr flugvélarglugga í $5000$ m hæð. Hve langan tíma tekur það boltann að ná til jarðar?

Sleppið sama bolta sem hefur massann $5$ kg út um sama flugvélarglugga í sömu hæð. Að þessu sinni er gert ráð fyrir að loftmótstaðan sé í réttu hlutfalli við hraða boltans, þar sem hlutfallsstuðullinn er $3$, og að boltinn nái lokahraða. Finnið fallvegalengdina sem fall af tíma. Hve langan tíma tekur það boltann að ná til jarðar?

Sjúklingi er gefið lyf á $24$ klukkustunda fresti og lyfið skilst út úr líkamanum með hraða sem er í réttu hlutfalli við lyfjamagnið sem eftir er; hlutfallsstuðullinn er $0.2.$ Ef alltaf þurfa að vera að minnsta kosti $5$ mg af lyfinu í blóðrásinni, hve stór á skammturinn að vera?

Í $1000$ lítra geymi er hreint vatn. Lausn með saltstyrkinn $0.2$ kg/L er dælt í geyminn með hraðanum $1$ L/min og vökvinn látinn renna úr geyminum með sama hraða. Finnið heildarmagn salts í geyminum á tímanum $t.$

Sjóðið vatn til að laga te. Þegar vatninu er hellt í tekönnuna er hitastig þess $100\text{°C.}$ Eftir $5$ mínútur í herbergi þar sem hitinn er $15\text{°C}$ er hitastig tesins $85\text{°C.}$ Leysið jöfnuna til að ákvarða hitastig tesins á tímanum $t.$ Hve lengi þarf að bíða þar til teið nær drykkjarhæfu hitastigi $(72\text{°C})?$

Mannfjöldinn í Nevada (í þúsundum) árið $1950$ var um $160.$ Ef burðargetan er talin vera $10$ milljónir einstaklinga og gert er ráð fyrir $2\text{\%}$ árlegum vaxtarhraða, setjið fram lógistískt vaxtarlíkan og finnið mannfjöldann í Nevada á hverjum tíma (notið árið $1950$ sem viðmiðun þar sem tími = 0). Hvaða mannfjölda spáir líkanið fyrir árið $2000?$ Hve vel samræmist spáin raunverulega gildinu $\mathrm{1,998,257}?$

Endurtakið verkefnið á undan en notið Gompertz-vaxtarlíkan. Hvort líkanið er nákvæmara?