55 Runur og raðir

Inngangur

Þetta er skýringarmynd af nokkrum ítrunum Koch-snjókornsins, sem er myndað með ítrunarferli. Fyrsta myndin er jafnhliða þríhyrningur. Í fimm skrefum er miðþriðjungi hvers línustriks skipt út fyrir jafnhliða þríhyrning sem vísar út á við. — **Mynd 5.1.** Koch-snjókornið er myndað með ítrunarferli. Byrjað er á jafnhliða þríhyrningi og í hverju skrefi ferlisins er miðþriðjungi hvers línustriks skipt út fyrir jafnhliða þríhyrning sem vísar út á við.

Efnisyfirlit kaflans

Inngangur

Koch-snjókornið er myndað úr óendanlega mörgum jafnhliða þríhyrningum sem skarast ekki. Því má rita flatarmál þess sem summu óendanlega margra liða. Hvernig leggjum við saman óendanlega marga liði? Getur summa óendanlega margra liða verið endanleg? Til að svara þessum spurningum þurfum við að kynna hugtakið óendanleg röð, þ.e. summu með óendanlega mörgum liðum. Þegar við höfum skilgreint nauðsynleg hugtök getum við reiknað flatarmál Koch-snjókornsins (sjá dæmi 5.8 ).

Óendanlegar raðir kunna að virðast ótengdar deildun og heildun. Raunar er óendanleg röð, þar sem liðirnir innihalda veldi breytu, öflugt verkfæri til að setja föll fram sem „óendanlegar margliður“. Nota má óendanlegar raðir til að reikna gildi flókinna falla, nálga ákveðin heildi og mynda ný föll. Auk þess eru óendanlegar raðir notaðar til að leysa deildajöfnur sem lýsa eðlisfræðilegum fyrirbærum, allt frá örsmáum rafrásum til gervitungla á braut um jörðu.