55 Runur og raðir

5.3 Sundurleitniprófið og heildisprófið

Námsmarkmið

5.3.1 Nota sundurleitniprófið til að sýna að röð sé ósamleitin.
5.3.2 Nota heildisprófið til að ákvarða samleitni raðar.
5.3.3 Meta gildi raðar með því að finna efri og neðri mörk fyrir skekkju hlutsummu.

Í fyrri hlutanum ákvörðuðum við samleitni eða sundurleitni nokkurra raða með því að reikna beint markgildi runu hlutsummanna ${S_{k}} .$ Í framkvæmd getur verið erfitt eða ómögulegt að reikna þetta markgildi beint. Sem betur fer eru til ýmis próf sem gera okkur kleift að ákvarða samleitni eða sundurleitni margra tegunda raða. Í þessum hluta fjöllum við um tvö þeirra: sundurleitniprófið og heildisprófið. Í því sem eftir er af kaflanum skoðum við nokkur önnur próf og tökum síðan saman hvernig og hvenær skuli nota þau.

Sundurleitniprófið

Að röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin jafngildir því að runa hlutsummanna ( $S_{k}$ ) sé samleitin þegar $k \to \infty .$

Til að sannreyna þetta tökum við eftir, samkvæmt algebrureglunum, að

lim_{k \to \infty} a_{k} = lim_{k \to \infty} (S_{k} - S_{k - 1}) = lim_{k \to \infty} S_{k} - lim_{k \to \infty} S_{k - 1} = S - S = 0 .

Ef $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ er samleitin, þá gildir um $n -ta$ liðinn að $a_{n} \to 0$ þegar $n \to \infty .$ Mikilvæg afleiðing þessarar staðreyndar er eftirfarandi setning:

Ef a_{n} ↛ 0 þegar n \to \infty, \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} er ósamleitin .

(5.8)

Þetta próf kallast sundurleitniprófið vegna þess að það gefur leið til að sanna að röð sé ósamleitin.

Mikilvægt er að hafa í huga að andhverfa þessarar setningar er ekki sönn. Ef $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0,$ getum við sem sagt ekki dregið neina ályktun um samleitni $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ Til dæmis er $lim_{n \to \infty} (1 / n) = 0,$ en harmoníska röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ er ósamleitin. Í þessum hluta og þeim sem eftir eru af kaflanum sjáum við mörg fleiri dæmi um slíkar raðir. Þótt nota megi sundurleitniprófið til að sýna að röð sé ósamleitin er því ekki hægt að nota það til að sanna að röð sé samleitin. Nánar tiltekið, ef $a_{n} \to 0,$ gefur sundurleitniprófið enga niðurstöðu.

Dæmi 5.13

Sundurleitniprófið notað

Beitið sundurleitniprófinu á hverja eftirfarandi röð. Ef prófið sýnir að röðin er ósamleitin, takið það fram. Annars skal tilgreina að prófið gefi enga niðurstöðu.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3 n - 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} e^{1 / n^{2}}$

Lausn

Þar sem $n / (3 n - 1) \to 1 / 3 \neq 0,$ getum við samkvæmt sundurleitniprófinu ályktað að
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3 n - 1}$

sé ósamleitin.
Þar sem $1 / n^{3} \to 0,$ gefur sundurleitniprófið enga niðurstöðu.
Þar sem $e^{1 / n^{2}} \to 1 \neq 0,$ er röðin
$\sum_{n = 1}^{\infty} e^{1 / n^{2}}$

ósamleitin samkvæmt sundurleitniprófinu.

Heildisprófið

Í fyrri hlutanum sönnuðum við að harmoníska röðin væri ósamleitin með því að skoða runu hlutsummanna ${S_{k}}$ og sýna að $S_{2^{k}} > 1 + k / 2$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $k .$ Hér notum við aðra aðferð til að sanna sundurleitni harmonísku raðarinnar. Aðferðin er mikilvæg vegna þess að hún er notuð til að sanna sundurleitni eða samleitni margra annarra raða. Prófið, sem kallast heildisprófið, ber óendanlega summu saman við óeiginlegt heildi. Mikilvægt er að hafa í huga að aðeins má beita prófinu á raðir þar sem allir liðir eru jákvæðir.

Til að sýna hvernig heildisprófið virkar notum við harmonísku röðina sem dæmi. Á mynd 5.12 sýnum við harmonísku röðina með runu rétthyrninga sem hafa flatarmálin $1, 1 / 2, 1 / 3, 1 / 4,…$ ásamt fallinu $f (x) = 1 / x .$ Af grafinu sést að

\sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{k} > \int_{1}^{k + 1} \frac{1}{x} d x .

Fyrir sérhvert $k,$ gildir um $k -ta$ hlutsummuna $S_{k}$ að

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} > \int_{1}^{k + 1} \frac{1}{x} d x = ln x |_{1}^{k + 1} = ln (k + 1) - ln (1) = ln (k + 1) .

Þar sem $lim_{k \to \infty} ln (k + 1) = \infty,$ sjáum við að runa hlutsummanna ${S_{k}}$ er ótakmörkuð. Því er ${S_{k}}$ ósamleitin og þar af leiðandi er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ einnig ósamleitin.

Graf í 1. fjórðungi sýnir minnkandi, kúptan feril sem stefnir á x-ásinn, f(x) = 1/x. Fimm rétthyrningar með grunnlengdina 1 eru teiknaðir yfir bilið [1, 6]. Hæð hvers rétthyrnings ræðst af fallgildinu í vinstri endapunkti grunnsins. Flatarmál þeirra eru merkt 1, 1/2, 1/3, 1/4 og 1/5. — **Mynd 5.12.** Summa flatarmála rétthyrninganna er stærri en flatarmálið milli ferilsins $f (x) = 1 / x$ og $x$ -ássins fyrir $x \geq 1 .$ Þar sem flatarmálið sem ferillinn afmarkar er óendanlegt, eins og reiknað er með óeiginlegu heildi, er summa flatarmála rétthyrninganna einnig óendanleg.

Lítum nú á röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2} .$ Við sýnum hvernig nota má heildi til að sanna að þessi röð sé samleitin. Á mynd 5.13 teiknum við runu rétthyrninga sem hafa flatarmálin $1, 1 / 2^{2}, 1 / 3^{2},…$ ásamt fallinu $f (x) = 1 / x^{2} .$ Af grafinu sést að

\sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n^{2}} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ⋯ + \frac{1}{k^{2}} < 1 + \int_{1}^{k} \frac{1}{x^{2}} d x .

Fyrir sérhvert $k,$ gildir um $k -ta$ hlutsummuna $S_{k}$ að

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n^{2}} < 1 + \int_{1}^{k} \frac{1}{x^{2}} d x = 1 - {\frac{1}{x} |}_{1}^{k} = 1 - \frac{1}{k} + 1 = 2 - \frac{1}{k} < 2 .

Við ályktum að runa hlutsummanna ${S_{k}}$ sé takmörkuð. Við sjáum einnig að ${S_{k}}$ er vaxandi runa:

S_{k} = S_{k - 1} + \frac{1}{k^{2}} fyrir k \geq 2 .

Þar sem ${S_{k}}$ er vaxandi og takmörkuð er hún samleitin samkvæmt setningunni um einhalla runur. Röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2}$ er því samleitin.

Graf í 1. fjórðungi sýnir minnkandi, kúpta ferilinn f(x) = 1/(x^2), sem stefnir á x-ásinn. Rétthyrningar með grunnlengdina 1 eru teiknaðir yfir bilið [0, 5]. Hæð hvers rétthyrnings ræðst af fallgildinu í hægri endapunkti grunnsins. Flatarmál þeirra eru merkt 1, 1/(2^2), 1/(3^2), 1/(4^2) og 1/(5^2). — **Mynd 5.13.** Summa flatarmála rétthyrninganna er minni en samanlagt flatarmál fyrsta rétthyrningsins og svæðisins milli ferilsins $f (x) = 1 / x^{2}$ og $x$ -ássins fyrir $x \geq 1 .$ Þar sem flatarmálið sem ferillinn afmarkar er endanlegt er summa flatarmála rétthyrninganna einnig endanleg.

Þessa hugmynd má útvíkka til að sanna samleitni eða sundurleitni margra ólíkra raða. Gerum ráð fyrir að $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé röð með jákvæðum liðum $a_{n}$ og að til sé samfellt, jákvætt og minnkandi fall $f$ þannig að $f (n) = a_{n}$ fyrir allar jákvæðar heiltölur. Þá gildir, eins og á mynd 5.14 (a), fyrir sérhverja heiltölu $k,$ að $k -ta$ hlutsumman $S_{k}$ uppfyllir

S_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{k} < a_{1} + \int_{1}^{k} f (x) d x < a_{1} + \int_{1}^{\infty} f (x) d x .

Ef $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ er samleitið er runa hlutsummanna ${S_{k}}$ því takmörkuð. Þar sem ${S_{k}}$ er vaxandi runa er hún samkvæmt setningunni um einhalla runur samleitin ef hún er jafnframt takmörkuð. Við ályktum að ef $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ er samleitið, þá sé röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ einnig samleitin. Hins vegar sést af mynd 5.14 (b) að fyrir sérhverja heiltölu $k,$ uppfyllir $k -ta$ hlutsumman $S_{k}$

S_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{k} > \int_{1}^{k + 1} f (x) d x .

Ef $lim_{k \to \infty} \int_{1}^{k + 1} f (x) d x = \infty,$ þá er ${S_{k}}$ ótakmörkuð runa og því ósamleitin. Röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ er þar af leiðandi einnig ósamleitin. Við ályktum að ef $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ er ósamleitið, þá sé $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ósamleitin.

Tvö gröf hlið við hlið sýna sama fallið y = f(x), minnkandi, kúptan feril sem stefnir á x-ásinn. Rétthyrningar með grunnlengdina 1 eru teiknaðir yfir bilin [0, 6] og [1, 6]. Á vinstra grafinu ræðst hæð hvers rétthyrnings af fallgildinu í hægri endapunkti grunnsins. Á hægra grafinu ræðst hæðin af fallgildinu í vinstri endapunkti grunnsins. Flatarmálin a_1 til a_6 eru merkt á vinstra grafinu og samsvarandi flatarmál a_1 til a_5 á því hægra. — **Mynd 5.14.** (a) Ef við getum innritað rétthyrninga í svæði sem afmarkast af ferlinum $y = f (x)$ og $x$ -ásnum, og flatarmálið sem þessir ferlar afmarka fyrir $x \geq 1$ er endanlegt, þá er summa flatarmála rétthyrninganna einnig endanleg. (b) Ef rétthyrningar umlykja svæðið sem afmarkast af $y = f (x)$ og $x$ -ásnum fyrir $x \geq 1$ , og flatarmál svæðisins er óendanlegt, þá er summa flatarmála rétthyrninganna einnig óendanleg.

Þótt samleitni $\int_{N}^{\infty} f (x) d x$ feli í sér samleitni samsvarandi raðar $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ felur hún ekki í sér að gildi heildisins og raðarinnar séu þau sömu. Gildin geta verið ólík og eru það oft. Til dæmis er

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{e})}^{n} = \frac{1}{e} + {(\frac{1}{e})}^{2} + {(\frac{1}{e})}^{3} + ⋯

geómetrísk röð með upphafsliðinn $a = 1 / e$ og hlutfallstöluna $r = 1 / e,$ sem stefnir á

\frac{1 / e}{1 - (1 / e)} = \frac{1 / e}{(e - 1) / e} = \frac{1}{e - 1} .

Hins vegar uppfyllir samsvarandi heildi $\int_{1}^{\infty} {(1 / e)}^{x} d x$

\int_{1}^{\infty} {(\frac{1}{e})}^{x} d x = \int_{1}^{\infty} e^{− x} d x = lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} e^{− x} d x = lim_{b \to \infty} - e^{− x} |_{1}^{b} = lim_{b \to \infty} [− e^{− b} + e^{−1}] = \frac{1}{e} .

Dæmi 5.14

Heildisprófið notað

Notið heildisprófið til að ákvarða hvort hver eftirfarandi röð sé samleitin eða ósamleitin. Gerið ráð fyrir að öll skilyrði heildisprófsins séu uppfyllt.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{3}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / \sqrt{2 n - 1}$

Lausn

Berum saman
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} og \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x .$

Við höfum
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x = lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{3}} d x = lim_{b \to \infty} [- \frac{1}{2 x^{2}} |_{1}^{b}] = lim_{b \to \infty} [- \frac{1}{2 b^{2}} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} .$

Heildið $\int_{1}^{\infty} 1 / x^{3} d x$ er því samleitið og þar með er eftirfarandi röð einnig samleitin:
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} .$
Berum saman
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n - 1}} og \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x .$

Þar sem
$\begin{matrix} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x & = lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x = lim_{b \to \infty} \sqrt{2 x - 1} |_{1}^{b} \\ = lim_{b \to \infty} [\sqrt{2 b - 1} - 1] = \infty, \end{matrix}$

er heildið $\int_{1}^{\infty} 1 / \sqrt{2 x - 1} d x$ ósamleitið og þar með er
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n - 1}}$

ósamleitin.

p-raðir

Harmoníska röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ og röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2}$ eru báðar dæmi um tegund raða sem nefnast p-raðir.

Við vitum að p-röðin er samleitin ef $p = 2$ og ósamleitin ef $p = 1 .$ En hvað um önnur gildi $p ?$ Almennt er erfitt, ef ekki ómögulegt, að reikna nákvæmt gildi flestra $p$ -raða. Hins vegar getum við notað prófin sem þegar hafa verið kynnt til að sanna hvort $p$ -röð sé samleitin eða ósamleitin.

Ef $p < 0,$ þá er $1 / n^{p} \to \infty,$ og ef $p = 0,$ þá er $1 / n^{p} \to 1 .$ Samkvæmt sundurleitniprófinu fæst því

\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p} er ósamleitin ef p \leq 0 .

Ef $p > 0,$ þá er $f (x) = 1 / x^{p}$ jákvætt, samfellt og minnkandi fall. Fyrir $p > 0,$ notum við því heildisprófið og berum saman

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} og \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x .

Við höfum þegar skoðað tilvikið $p = 1 .$ Hér skoðum við tilvikið $p > 0, p \neq 1 .$ Í því tilviki er

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x = lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{p}} d x = lim_{b \to \infty} \frac{1}{1 - p} x^{1 - p} |_{1}^{b} = lim_{b \to \infty} \frac{1}{1 - p} [b^{1 - p} - 1] .

Vegna þess að

b^{1 - p} \to 0 ef p > 1 og b^{1 - p} \to \infty ef p < 1,

ályktum við að

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x = {\begin{matrix} \frac{1}{p - 1} ef p > 1 \\ \infty ef p \leq 1 \end{matrix} .

Röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{p}$ er því samleitin ef $p > 1$ og ósamleitin ef $0 < p < 1 .$

Í stuttu máli:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} {\begin{cases} er samleitin ef p > 1 \\ er ósamleitin ef p \leq 1 \end{cases} .

(5.9)

Dæmi 5.15

Samleitni p-raða prófuð

Ákvarðið hvort hver eftirfarandi röð sé samleitin eða ósamleitin.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2 / 3}}$

Lausn

Þetta er p-röð með $p = 4 > 1,$ og því er röðin samleitin.
Þar sem $p = 2 / 3 < 1,$ er röðin ósamleitin.

Gildi raðar metið

Gerum ráð fyrir að við vitum að röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin og viljum meta summu hennar. Við getum að sjálfsögðu nálgað summuna með sérhverri endanlegri summu $\sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ , þar sem $N$ er jákvæð heiltala. Spurningin er hversu gott mat á summu samleitnu raðarinnar $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ fæst með $\sum_{n = 1}^{N} a_{n} ?$ Nánar tiltekið látum við

R_{N} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} - \sum_{n = 1}^{N} a_{n}

vera skekkjuna þegar summa óendanlegrar raðar er nálguð með $N -ta$ hlutsummunni. Hversu stór er $R_{N} ?$ Fyrir sumar raðir getum við notað hugmyndir heildisprófsins til að meta $R_{N} .$

Við sýnum skekkjumatið út frá heildisprófinu á mynd 5.15. Með því að túlka skekkjuna $R_{N} = a_{N + 1} + a_{N + 2} + a_{N + 3} + ⋯$ sem summu flatarmála rétthyrninga sjáum við sérstaklega að flatarmálið er minna en $\int_{N}^{\infty} f (x) d x$ en stærra en $\int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x .$ Með öðrum orðum er

R_{N} = a_{N + 1} + a_{N + 2} + a_{N + 3} + ⋯ > \int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x

R_{N} = a_{N + 1} + a_{N + 2} + a_{N + 3} + ⋯ < \int_{N}^{\infty} f (x) d x .

Við ályktum að

\int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x < R_{N} < \int_{N}^{\infty} f (x) d x .

Þar sem

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S_{N} + R_{N},

þar sem $S_{N}$ er $N -ta$ hlutsumman, ályktum við að

S_{N} + \int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x < \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} < S_{N} + \int_{N}^{\infty} f (x) d x .

Tvö gröf hlið við hlið sýna sama minnkandi, kúpta fallið y = f(x), sem stefnir á x-ásinn í 1. fjórðungi. Rétthyrningar með grunnlengdina 1 eru teiknaðir yfir bilin frá N til N + 4. Á fyrra grafinu ræðst hæð rétthyrninganna af fallgildinu í hægri endapunktum grunnanna en á því síðara af fallgildinu í vinstri endapunktunum. Flatarmál rétthyrninganna eru merkt a_(N + 1), a_(N + 2) til a_(N + 4). — **Mynd 5.15.** Gefin séu samfellt, jákvætt og minnkandi fall $f$ og runa jákvæðra liða $a_{n}$ þannig að $a_{n} = f (n)$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n,$ Þá gilda annaðhvort (a) flatarmálin $a_{N + 1} + a_{N + 2} + a_{N + 3} + ⋯ < \int_{N}^{\infty} f (x) d x,$ eða (b) flatarmálin $a_{N + 1} + a_{N + 2} + a_{N + 3} + ⋯ > \int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x .$ Heildið gefur því annaðhvort ofmat eða vanmat á skekkjunni.

Dæmi 5.16

Gildi raðar metið

Lítum á röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{3} .$

Reiknið $S_{10} = \sum_{n = 1}^{10} 1 / n^{3}$ og metið skekkjuna.
Ákvarðið minnsta gildi $N$ sem þarf til að $S_{N}$ nálgi $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{3}$ með skekkju innan $0.001 .$

Lausn

Með reiknitæki fæst
$S_{10} = 1 + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{4^{3}} + ⋯ + \frac{1}{10^{3}} \approx 1.19753 .$

Samkvæmt skekkjumatinu vitum við að
$R_{N} < \int_{N}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x .$

Við höfum
$\int_{10}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x = lim_{b \to \infty} \int_{10}^{b} \frac{1}{x^{3}} d x = lim_{b \to \infty} [- \frac{1}{2 x^{2}}]_{N}^{b} = lim_{b \to \infty} [- \frac{1}{2 b^{2}} + \frac{1}{2 N^{2}}] = \frac{1}{2 N^{2}} .$

Skekkjan er því $R_{10} < 1 / 2 {(10)}^{2} = 0.005 .$
Finnum $N$ þannig að $R_{N} < 0.001 .$ Í a-lið sýndum við að $R_{N} < 1 / (2 N^{2}) .$ Því gildir $R_{N} < 0.001$ svo framarlega sem $1 / (2 N^{2}) < 0.001 .$ Með öðrum orðum þurfum við $2 N^{2} > 1000 .$ Með því að leysa þessa ójöfnu fyrir $N,$ sjáum við að $N > 22.36 .$ Til að tryggja að skekkjan sé innan tilskilinna marka þurfum við að rúnna upp í næstu heiltölu. Minnsta nauðsynlega gildið er því $N = 23 .$

Æfingar í undirkafla 5.3

Beitið sundurleitniprófinu á hverja eftirfarandi röð. Ef það á við skal annaðhvort taka fram að $lim_{n \to \infty} a_{n}$ sé ekki til eða finna $lim_{n \to \infty} a_{n} .$ . Ef prófið á ekki við skal útskýra hvers vegna.

138.

$a_{n} = \frac{n}{n + 2}$

139.

$a_{n} = \frac{n}{5 n^{2} - 3}$

140.

$a_{n} = \frac{n}{\sqrt{3 n^{2} + 2 n + 1}}$

141.

$a_{n} = \frac{(2 n + 1) (n - 1)}{{(n + 1)}^{2}}$

142.

$a_{n} = \frac{{(2 n + 1)}^{2 n}}{{(3 n^{2} + 1)}^{n}}$

143.

$a_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n / 2}}$

144.

$a_{n} = \frac{2^{n} + 3^{n}}{10^{n / 2}}$

145.

$a_{n} = e^{−2 / n}$

146.

$a_{n} = cos n$

147.

$a_{n} = tan n$

148.

$a_{n} = \frac{1 - {cos}^{2} (1 / n)}{{sin}^{2} (2 / n)}$

149.

$a_{n} = {(1 - \frac{1}{n})}^{2 n}$

150.

$a_{n} = \frac{ln n}{n}$

151.

$a_{n} = \frac{{(ln n)}^{2}}{\sqrt{n}}$

Segið til um hvort gefna $p$ -röðin sé samleitin.

152.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$

153.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$

154.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}$

155.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{4}}}$

156.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{e}}{n^{π}}$

157.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{π}}{n^{2 e}}$

Notið heildisprófið til að ákvarða hvort eftirfarandi summur séu samleitnar.

158.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 5}}$

159.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n + 5}}$

160.

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n ln n}$

161.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{1 + n^{2}}$

162.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n}}{1 + e^{2 n}}$

163.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n}{1 + n^{4}}$

164.

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n {ln}^{2} n}$

Ritið eftirfarandi summur sem $p$ -raðir og ákvarðið hvort hver þeirra sé samleitin.

165.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{− ln n}$ (Vísbending: $2^{− ln n} = 1 / n^{ln 2}$ .)

166.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 3^{− ln n}$ (Vísbending: $3^{− ln n} = 1 / n^{ln 3}$ .)

167.

$\sum_{n = 1}^{\infty} n 2^{−2 ln n}$

168.

$\sum_{n = 1}^{\infty} n 3^{−2 ln n}$

Notið matið $R_{N} \leq \int_{N}^{\infty} f (t) d t$ til að finna efra mark fyrir skekkjuna $R_{N} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} - \sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ , þar sem $a_{n} = f (n) .$

169.

$\sum_{n = 1}^{1000} \frac{1}{n^{2}}$

170.

$\sum_{n = 1}^{1000} \frac{1}{n^{3}}$

171.

$\sum_{n = 1}^{1000} \frac{1}{1 + n^{2}}$

172.

$\sum_{n = 1}^{100} n / 2^{n}$

[T] Finnið minnsta gildi $N$ þannig að skekkjumatið $\int_{N + 1}^{\infty} f < R_{N} < \int_{N}^{\infty} f$ tryggi að $\sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ nálgi $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ með skekkju innan gefinna marka.

173.

$a_{n} = \frac{1}{n^{2}},$ skekkja $< 10^{−4}$

174.

$a_{n} = \frac{1}{n^{1.1}},$ skekkja $< 10^{−4}$

175.

$a_{n} = \frac{1}{n^{1.01}},$ skekkja $< 10^{−4}$

176.

$a_{n} = \frac{1}{n {ln}^{2} n},$ skekkja $< 10^{−3}$

177.

$a_{n} = \frac{1}{1 + n^{2}},$ skekkja $< 10^{−3}$

Í eftirfarandi verkefnum skal finna gildi á $N$ þannig að $R_{N}$ sé minni en tilskilin skekkjumörk. Reiknið samsvarandi summu $\sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ og berið hana saman við gefið mat á summu óendanlegu raðarinnar.

178.

$a_{n} = \frac{1}{n^{11}},$ skekkja $< 10^{−4},$ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{11}} = 1.000494 …$

179.

$a_{n} = \frac{1}{e^{n}},$ skekkja $< 10^{−5},$ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{e^{n}} = \frac{1}{e - 1} = 0.581976 …$

180.

$a_{n} = \frac{n}{e^{n^{2}}},$ skekkja $< 10^{−5},$ $\sum_{n = 1}^{\infty} n / e^{n^{2}} = 0.40488139857 …$

181.

$a_{n} = 1 / n^{4},$ skekkja $< 10^{−4},$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{4} = π^{4} / 90 = 1.08232 ...$

182.

$a_{n} = 1 / n^{6},$ skekkja $< 10^{−6},$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{6} = π^{6} / 945 = 1.01734306...,$

183.

Finnið markgildið, þegar $n \to \infty$ , fyrir $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + ⋯ + \frac{1}{2 n} .$ (Vísbending: Berið saman við $\int_{n}^{2 n} \frac{1}{t} d t .)$

184.

Finnið markgildið, þegar $n \to \infty$ , fyrir $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + ⋯ + \frac{1}{3 n}$

Næstu verkefni eiga að gefa innsýn í hagnýtingardæmi þar sem hlutsummur harmonísku raðarinnar koma fyrir.

185.

Í sumum hagnýtingum líkindafræði, svo sem svokölluðu Watterson-mati til að spá fyrir um stökkbreytingartíðni í stofnerfðafræði, er mikilvægt að hafa nákvæmt mat á tölunni $H_{k} = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{k}) .$ Munið að $T_{k} = H_{k} - ln k$ er minnkandi. Reiknið $T = lim_{k \to \infty} T_{k}$ með fjórum aukastöfum. (Vísbending: $\frac{1}{k + 1} < \int_{k}^{k + 1} \frac{1}{x} d x$ .)

186.

[T] Úrtaka með endurvali þar til allir hlutir hafa verið valdir, stundum kölluð safnaravandamálið, er sett fram á eftirfarandi hátt: Gerum ráð fyrir að í íláti séu $N$ ólíkir hlutir. Í hverju skrefi er hlutur valinn af handahófi, auðkenndur og settur aftur í ílátið. Spurt er hver væntur fjöldi skrefa $E (N)$ sé þar til hver hlutur hefur verið valinn að minnsta kosti einu sinni. Í ljós kemur að $E (N) = N$ . $H_{N} = N (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{N})$ . Finnið $E (N)$ fyrir $N = 10, 20, og 50$ .

187.

[T] Einfaldasta leiðin til að stokka spil er að taka efsta spilið og setja það inn á handahófskenndan stað í stokknum. Þetta nefnist slembiinsetning efsta spils og ferlið er síðan endurtekið. Við teljum stokkinn nægilega slembistokkaðan þegar svo margar slembiinsetningar efsta spils hafa verið gerðar að spilið sem upphaflega var neðst hefur færst efst og síðan verið sett inn af handahófi. Ef $n$ spil eru í stokknum eru líkurnar á að spilið sé sett fyrir neðan spilið sem var neðst í upphafi (köllum það spil $B)$ , jafnar $1 / n .$ Væntur fjöldi slembiinsetninga efsta spils þar til $B$ er ekki lengur neðst er því n. Þegar eitt spil er komið fyrir neðan $B,$ eru tveir staðir fyrir neðan $B$ og líkurnar á að spil sem sett er inn af handahófi lendi fyrir neðan $B$ eru $2 / n .$ Væntur fjöldi slembiinsetninga efsta spils áður en það gerist er $n / 2 .$ Spilin tvö fyrir neðan $B$ eru nú í slembiröð. Haldið áfram á sama hátt og finnið formúlu fyrir væntan fjölda slembiinsetninga efsta spils sem þarf svo telja megi stokkinn nægilega slembistokkaðan.

188.

Gerum ráð fyrir að vespa komist $100$ km á fullum eldsneytisgeymi. Að því gefnu að flytja megi eldsneyti milli vespa, en aðeins í eldsneytisgeymum þeirra, lýsið aðferð sem gerir einni vespanna kleift að komast $100 H_{N}$ km, þar sem $H_{N} = 1 + 1 / 2 + ⋯ + 1 / N .$

189.

Sýnið að til að skekkjumatið gildi á $[N, \infty)$ nægi að $f (x)$ sé minnkandi á $[N, \infty),$ en $f$ þurfi ekki að vera minnkandi á $[1, \infty) .$

190.

[T] Notið skekkjumatið og hlutheildun til að nálga $\sum_{n = 1}^{\infty} n / e^{n}$ með skekkju minni en $0.0001 .$

191.

Er $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n {(ln n)}^{p}}$ samleitin ef gildi $p$ er nægilega stórt? Ef svo er, fyrir hvaða gildi $p ?$

192.

[T] Gerum ráð fyrir að tölva geti lagt saman eina milljón liða á sekúndu úr ósamleitinni röðinni $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n} .$ Notið heildisprófið til að meta hversu margar sekúndur það tekur að leggja saman nógu marga liði til að hlutsumman verði stærri en $100 .$

193.

[T] Öflug tölva getur lagt saman eina milljón liða á sekúndu úr ósamleitinni röðinni $\sum_{n = 2}^{N} \frac{1}{n ln n} .$ Notið heildisprófið til að meta hversu margar sekúndur það tekur að leggja saman nógu marga liði til að hlutsumman verði stærri en $100 .$