55 Runur og raðir

5.1 Runur

Námsmarkmið

5.1.1 Finna formúlu fyrir almenna lið runu.
5.1.2 Reikna markgildi runu ef það er til.
5.1.3 Ákvarða hvort tiltekin runa sé samleitin eða ósamleitin.

Í þessum hluta kynnum við runur og skilgreinum hvað það merkir að runa sé samleitin eða ósamleitin. Við sýnum hvernig finna má markgildi samleitinna runa, oft með því að nota eiginleika markgilda falla sem fjallað var um fyrr. Að lokum setjum við fram setninguna um einhalla runur, sem nota má til að sanna að tilteknar gerðir runa séu samleitnar.

Hugtök um runur

Til að fjalla um þetta nýja viðfangsefni þurfum við nokkur ný hugtök og skilgreiningar. Óendanleg runa er í fyrsta lagi röðuð upptalning talna á forminu

a_{1}, a_{2}, a_{3},…, a_{n},… .

Sérhver tala í rununni kallast liður. Táknið $n$ kallast vísibreyta rununnar. Við notum ritháttinn

{a_{n}}_{n = 1}^{\infty}, or simply {a_{n}},

til að tákna þessa runu. Svipaður ritháttur er notaður fyrir mengi, en ólíkt mengi er runa röðuð upptalning. Þar sem til er tiltekin tala $a_{n}$ fyrir hverja jákvæða heiltölu $n,$ má einnig skilgreina runu sem fall með mengi jákvæðra heiltalna sem skilgreiningarmengi.

Skoðum óendanlegu, röðuðu upptalninguna

2, 4, 8, 16, 32,… .

Þetta er runa þar sem fyrstu þrír liðirnir eru $a_{1} = 2,$ $a_{2} = 4,$ og $a_{3} = 8 .$ Líklega sést að liðir rununnar fylgja þessu mynstri:

a_{1} = 2^{1}, a_{2} = 2^{2}, a_{3} = 2^{3}, a_{4} = 2^{4}, og a_{5} = 2^{5} .

Ef gert er ráð fyrir að mynstrið haldi áfram má rita $n -ta$ lið rununnar á lokaða forminu $a_{n} = 2^{n} .$ Með þessum rithætti má rita rununa sem

{2^{n}}_{n = 1}^{\infty} or {2^{n}} .

Einnig má lýsa rununni með öðrum hætti. Þar sem hver liður er tvöfaldur liðurinn á undan má skilgreina rununa með rakningarvenslum og setja $n -ta$ liðinn $a_{n}$ fram út frá liðnum á undan, $a_{n - 1} .$ Nánar tiltekið má skilgreina rununa sem ${a_{n}}$ þar sem $a_{1} = 2$ og fyrir öll $n \geq 2,$ þá er hver liður $a_{n}$ skilgreindur með rakningarvenslunum $a_{n} = 2 a_{n - 1} .$

Athugið að vísirinn þarf ekki að hefjast á $n = 1$ heldur getur hann byrjað í öðrum heiltölum. Runa sem gefin er á lokaða forminu $a_{n} = f (n)$ gæti til dæmis hafist á $n = 0,$ og þá væri runan

a_{0}, a_{1}, a_{2},… .

Á sama hátt má gefa liðinn $a_{0}$ beint fyrir runu sem skilgreind er með rakningarvenslum og skilgreina liðina $a_{n}$ fyrir $n \geq 1$ út frá $a_{n - 1} .$ Þar sem runa ${a_{n}}$ hefur nákvæmlega eitt gildi fyrir hverja jákvæða heiltölu $n,$ má lýsa henni sem falli með mengi jákvæðra heiltalna sem skilgreiningarmengi. Því er eðlilegt að fjalla um graf runu. Graf rununnar ${a_{n}}$ samanstendur af öllum punktum $(n, a_{n})$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n .$ Mynd 5.2 sýnir graf ${2^{n}} .$

Graf í fyrsta fjórðungi með eftirfarandi punktum: (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16). — **Mynd 5.2.** Punktarnir sem sýndir eru mynda graf rununnar ${2^{n}} .$

Tvær gerðir runa koma oft fyrir og hafa sérstök heiti: jafnmunarunur og kvótarunur. Í jafnmunarunu er mismunur sérhverra tveggja samliggjandi liða sá sami. Skoðum til dæmis rununa

3, 7, 11, 15, 19,… .

Sjá má að mismunur sérhverra tveggja samliggjandi liða er $4 .$ Ef gert er ráð fyrir að mynstrið haldi áfram er þetta jafnmunaruna. Lýsa má henni með rakningarvenslunum

{\begin{matrix} a_{1} = 3 \\ a_{n} = a_{n - 1} + 4 fyrir n \geq 2 . \end{matrix}

Athugið að

\begin{array}{l} a_{2} = 3 + 4 \\ a_{3} = 3 + 4 + 4 = 3 + 2 \cdot 4 \\ a_{4} = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3 \cdot 4 . \end{array}

Því má einnig lýsa rununni með lokaða forminu

\begin{matrix} a_{n} & = 3 + 4 (n - 1) \\ = 4 n - 1 . \end{matrix}

Almennt er jafnmunaruna sérhver runa af gerðinni $a_{n} = c n + b .$

Í kvótarunu er hlutfall sérhverra tveggja samliggjandi liða hið sama. Skoðum til dæmis rununa

2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, - \frac{2}{27}, \frac{2}{81},… .

Sjá má að hlutfall sérhvers liðar og liðarins á undan er $- \frac{1}{3} .$ Ef gert er ráð fyrir að mynstrið haldi áfram er þetta kvótaruna. Skilgreina má hana með rakningarvenslunum

\begin{matrix} a_{1} = 2 \\ a_{n} = - \frac{1}{3} \cdot a_{n - 1} fyrir n \geq 2 . \end{matrix}

Einnig gildir að

\begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{3} \cdot 2 \\ a_{3} = (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{3}) (2) = {(- \frac{1}{3})}^{2} \cdot 2 \\ a_{4} = (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{3}) (2) = {(- \frac{1}{3})}^{3} \cdot 2, \end{matrix}

og því má lýsa rununni með lokaða forminu

a_{n} = 2 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1} .

Runan ${2^{n}}$ sem fjallað var um fyrr er kvótaruna, þar sem hlutfall sérhvers liðar og liðarins á undan er $2 .$ Almennt er kvótaruna sérhver runa af gerðinni $a_{n} = c r^{n} .$

Dæmi 5.1

Lokað form fundið

Finnið fyrir hverja eftirfarandi runu lokað form $n -ta$ liðar rununnar.

$- \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, - \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, - \frac{5}{6},…$
$\frac{3}{4}, \frac{9}{7}, \frac{27}{10}, \frac{81}{13}, \frac{243}{16},…$

Lausn

Takið fyrst eftir að formerki liðanna víxlast á milli neikvæðs og jákvæðs. Oddatöluliðir rununnar eru neikvæðir en sléttutöluliðirnir jákvæðir. Því inniheldur $n -ta$ liðurinn þáttinn ${(−1)}^{n} .$ Skoðum næst teljararununa ${1, 2, 3,…}$ og nefnararununa ${2, 3, 4,…} .$ Báðar þessar runur eru jafnmunarunur. $n -ta$ liður teljararununnar er $n,$ og $n -ta$ liður nefnararununnar er $n + 1 .$ Því má lýsa rununni með lokaða forminu
$a_{n} = \frac{{(−1)}^{n} n}{n + 1} .$
Teljararunan $3, 9, 27, 81, 243,…$ er kvótaruna. Teljari $n -ta$ liðarins er $3^{n}$ Nefnararunan $4, 7, 10, 13, 16,…$ er jafnmunaruna. Nefnari $n -ta$ liðarins er $4 + 3 (n - 1) = 3 n + 1 .$ Því má lýsa rununni með lokaða forminu $a_{n} = \frac{3^{n}}{3 n + 1} .$

Dæmi 5.2

Skilgreint með rakningarvenslum

Finnið lokað form fyrir hverja eftirfarandi runu sem skilgreind er með rakningarvenslum.

$a_{1} = 2,$ $a_{n} = −3 a_{n - 1}$ fyrir $n \geq 2$
$a_{1} = \frac{1}{2},$ $a_{n} = a_{n - 1} + {(\frac{1}{2})}^{n}$ fyrir $n \geq 2$

Lausn

Ef fyrstu liðirnir eru skrifaðir út fæst
$\begin{matrix} a_{1} = 2 \\ a_{2} = −3 a_{1} = −3 (2) \\ a_{3} = −3 a_{2} = {(−3)}^{2} 2 \\ a_{4} = −3 a_{3} = {(−3)}^{3} 2 . \end{matrix}$

Almennt gildir
$a_{n} = 2 {(−3)}^{n - 1} .$
Skrifum fyrstu liðina út:
$\begin{matrix} a_{1} = \frac{1}{2} \\ a_{2} = a_{1} + {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \\ a_{3} = a_{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \\ a_{4} = a_{3} + {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{7}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} . \end{matrix}$

Af þessu mynstri fæst lokaða formið
$a_{n} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}} = 1 - \frac{1}{2^{n}} .$

Markgildi runu

Grundvallarspurning um óendanlegar runur er hvernig liðirnir hegða sér þegar $n$ stækkar. Þar sem runa er fall sem skilgreint er á jákvæðu heiltölunum er eðlilegt að fjalla um markgildi liðanna þegar $n \to \infty .$ Skoðum til dæmis eftirfarandi fjórar runur og mismunandi hegðun þeirra þegar $n \to \infty$ (sjá mynd 5.3):

${1 + 3 n} = {4, 7, 10, 13,…} .$ Liðirnir $1 + 3 n$ verða ótakmarkað stórir þegar $n \to \infty .$ Í þessu tilviki segjum við að $1 + 3 n \to \infty$ þegar $n \to \infty .$
${1 - {(\frac{1}{2})}^{n}} = {\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16},…} .$ Liðirnir $1 - {(\frac{1}{2})}^{n} \to 1$ þegar $n \to \infty .$
${{(−1)}^{n}} = {− 1, 1, −1, 1,…} .$ Formerki liðanna víxlast en þeir nálgast ekki eitt tiltekið gildi þegar $n \to \infty .$
${\frac{{(−1)}^{n}}{n}} = {−1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4},…} .$ Formerki liðanna í þessari runu víxlast einnig, en $\frac{{(−1)}^{n}}{n} \to 0$ þegar $n \to \infty .$

Fjögur gröf í fjórðungum 1 og 4, merkt a til d. Lárétti ásinn sýnir gildi n og lóðrétti ásinn gildi liðarins a _n. Á grafi a eru punktarnir (1, 4), (2, 7), (3, 10), (4, 13) og (5, 16). Á grafi b eru punktarnir (1, 1/2), (2, 3/4), (3, 7/8) og (4, 15/16). Á grafi c eru punktarnir (1, -1), (2, 1), (3, -1), (4, 1) og (5, -1). Á grafi d eru punktarnir (1, -1), (2, 1/2), (3, -1/3), (4, 1/4) og (5, -1/5). — **Mynd 5.3.** (a) Liðir rununnar verða ótakmarkað stórir þegar $n \to \infty .$ (b) Liðir rununnar nálgast $1$ þegar $n \to \infty .$ (c) Liðir rununnar víxlast á milli $1$ og $−1$ þegar $n \to \infty .$ (d) Liðir rununnar víxlast á milli jákvæðra og neikvæðra gilda en nálgast $0$ þegar $n \to \infty .$

Af þessum dæmum sjáum við að liðir runu geta hegðað sér á ýmsa vegu þegar $n \to \infty .$ Í tveimur runanna nálgast liðirnir endanlega tölu þegar $n \to \infty .$ Í hinum tveimur gera þeir það ekki. Ef liðir runu nálgast endanlega tölu $L$ þegar $n \to \infty,$ segjum við að runan sé samleitin og að rauntalan $L$ sé markgildi rununnar. Hér getum við gefið óformlega skilgreiningu.

Af mynd 5.3 sést að liðir rununnar ${1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}$ komast eins nálægt $1$ og óskað er þegar $n$ verður mjög stórt. Við ályktum að ${1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}$ sé samleitin runa með markgildið $1 .$ Aftur á móti sést af mynd 5.3 að liðir rununnar $1 + 3 n$ nálgast ekki endanlega tölu þegar $n$ stækkar. Við segjum að ${1 + 3 n}$ sé ósamleitin runa.

Í óformlegu skilgreiningunni á markgildi runu notuðum við orðasamböndin „eins nálægt og óskað er“ og „nægilega stórt“. Þótt þau hjálpi til við að skýra merkingu samleitinnar runu eru þau nokkuð ónákvæm. Til að vera nákvæmari setjum við nú fram formlega skilgreiningu á markgildi runu og sýnum hugmyndirnar með grafi á mynd 5.4.

Athugið að samleitin eða ósamleitin hegðun runu ${a_{n}}$ ræðst eingöngu af því hvað gerist með liðina $a_{n}$ þegar $n \to \infty .$ Ef endanlegum fjölda liða $b_{1}, b_{2},…, b_{N}$ er því skotið inn á undan $a_{1}$ og ný runa mynduð

b_{1}, b_{2},…, b_{N}, a_{1}, a_{2},…,

þá er nýja runan samleitin ef ${a_{n}}$ er samleitin og ósamleitin ef ${a_{n}}$ er ósamleitin. Ef runan ${a_{n}}$ stefnir á $L,$ stefnir nýja runan einnig á $L .$

Graf í fjórðungi 1 með ása merkta n og a_n í stað x og y. Jákvæður punktur N er merktur á n-ásinn. Á a_n-ásnum eru punktarnir L − epsílon, L og L + epsílon merktir frá minnsta til stærsta, með sama bilið epsílon frá L til hinna tveggja. Blá lína y = L er dregin ásamt rauðum punktalínum fyrir y = L + epsílon og L − epsílon. Punktar í fjórðungi 1 eru settir bæði ofan og neðan þessara lína fyrir x < N. Handan N haldast punktarnir hins vegar milli línanna y = L + epsílon og L − epsílon og stefna á L. — **Mynd 5.4.** Þegar $n$ stækkar nálgast liðirnir $a_{n}$ töluna $L .$ Þegar $n \geq N,$ er fjarlægðin milli sérhvers punkts $(n, a_{n})$ og línunnar $y = L$ minni en $ε .$

Samkvæmt skilgreiningunni hér að framan kallast runa ósamleitin ef hún er ekki samleitin. Runurnar ${1 + 3 n}$ og ${{(−1)}^{n}}$ á mynd 5.4 eru til dæmis ósamleitnar. Ólíkar runur geta þó verið ósamleitnar á ólíkan hátt. Runan ${{(−1)}^{n}}$ er ósamleitin vegna þess að liðirnir víxlast á milli $1$ og $−1,$ en nálgast ekki eitt gildi þegar $n \to \infty .$ Runan ${1 + 3 n}$ er hins vegar ósamleitin vegna þess að liðirnir $1 + 3 n \to \infty$ þegar $n \to \infty .$ Við segjum að runan ${1 + 3 n}$ stefni á óendanlegt og ritum $lim_{n \to \infty} (1 + 3 n) = \infty .$ Mikilvægt er að átta sig á að þessi ritháttur felur ekki í sér að markgildi rununnar ${1 + 3 n}$ sé til. Runan er í raun ósamleitin. Með því að rita að markgildið sé óendanlegt er aðeins verið að gefa nánari upplýsingar um hvers vegna runan er ósamleitin. Runa getur einnig stefnt á mínus óendanlegt. Runan ${− 5 n + 2}$ stefnir til dæmis á mínus óendanlegt vegna þess að $−5 n + 2 \to − \infty$ þegar $n \to \infty .$ Við ritum það sem $lim_{n \to \infty} (−5 n + 2) = \to − \infty .$

Þar sem runa er fall með mengi jákvæðra heiltalna sem skilgreiningarmengi getum við notað eiginleika markgilda falla til að ákvarða hvort runa sé samleitin. Skoðum til dæmis runu ${a_{n}}$ og tengt fall $f$ sem skilgreint er á öllum jákvæðum rauntölum þannig að $f (n) = a_{n}$ fyrir allar heiltölur $n \geq 1 .$ Þar sem skilgreiningarmengi rununnar er hlutmengi skilgreiningarmengis $f,$ er runan samleitin og hefur sama markgildi ef $lim_{x \to \infty} f (x)$ er til. Skoðum til dæmis rununa ${\frac{1}{n}}$ og tengda fallið $f (x) = \frac{1}{x} .$ Þar sem fallið $f$ , sem skilgreint er fyrir allar rauntölur $x > 0$ , uppfyllir $f (x) = \frac{1}{x} \to 0$ þegar $x \to \infty,$ verður runan ${\frac{1}{n}}$ að uppfylla $\frac{1}{n} \to 0$ þegar $n \to \infty .$

Við getum notað þessa setningu til að reikna $lim_{n \to \infty} r^{n}$ fyrir $0 \leq r \leq 1 .$ Skoðum til dæmis rununa ${{(1 / 2)}^{n}}$ og tengda veldisfallið $f (x) = {(1 / 2)}^{x} .$ Þar sem $lim_{x \to \infty} {(1 / 2)}^{x} = 0,$ ályktum við að runan ${{(1 / 2)}^{n}}$ sé samleitin með markgildið $0 .$ Á sama hátt gildir fyrir sérhverja rauntölu $r$ þannig að $0 \leq r < 1,$ að $lim_{x \to \infty} r^{x} = 0,$ og því er runan ${r^{n}}$ samleitin. Ef $r = 1,$ þá er hins vegar $lim_{x \to \infty} r^{x} = 1,$ og því er markgildi rununnar ${1^{n}}$ jafnt $1 .$ Ef $r > 1,$ þá er $lim_{x \to \infty} r^{x} = \infty,$ og því getum við ekki beitt þessari setningu. Í því tilviki vex fallið $r^{x}$ þó án takmarka þegar $n \to \infty,$ og liðirnir $r^{n}$ í rununni verða einnig ótakmarkað stórir þegar $n \to \infty,$ við ályktum að runan ${r^{n}}$ stefni á óendanlegt ef $r > 1 .$

Við drögum saman þessar niðurstöður um kvótarununa ${r^{n}} :$

\begin{matrix} r^{n} \to 0 ef 0 < r < 1 \\ r^{n} \to 1 ef r = 1 \\ r^{n} \to \infty ef r > 1 . \end{matrix}

Síðar í þessum hluta skoðum við tilvikið þegar $r < 0 .$

Nú skoðum við aðeins flóknari runur. Skoðum til dæmis rununa ${{(2 / 3)}^{n} + {(1 / 4)}^{n}} .$ Liðir þessarar runu eru flóknari en í öðrum runum sem við höfum fjallað um, en sem betur fer ræðst markgildi hennar af markgildum runanna tveggja ${{(2 / 3)}^{n}}$ og ${{(1 / 4)}^{n}} .$ Af eftirfarandi algebrureglum um markgildi og þeirri staðreynd að bæði ${{(2 / 3)}^{n}}$ og ${{1 / 4)}^{n}}$ stefna á $0,$ má álykta að runan ${{(2 / 3)}^{n} + {(1 / 4)}^{n}}$ stefni á $0 + 0 = 0 .$ Á sama hátt og reikna má markgildi algebrulegrar samsetningar falla $f$ og $g$ út frá markgildum $f$ og $g$ (sjá Inngang að markgildum) má reikna markgildi runu þar sem liðirnir eru algebrulegar samsetningar $a_{n}$ og $b_{n}$ með því að reikna markgildi ${a_{n}}$ og ${b_{n}} .$

Sönnun

Við sönnum lið iii.

Látum $ϵ > 0 .$ Þar sem $lim_{n \to \infty} a_{n} = A,$ þá er til jákvæð heiltala $N_{1}$ þannig að $| a_{n} - A | < \frac{ε}{2}$ fyrir öll $n \geq N_{1} .$ Þar sem $lim_{n \to \infty} b_{n} = B,$ þá er til jákvæð heiltala $N_{2}$ þannig að $| b_{n} - B | < ε / 2$ fyrir öll $n \geq N_{2} .$ Látum $N$ vera stærri talnanna $N_{1}$ og $N_{2} .$ Þá gildir fyrir öll $n \geq N,$

$| (a_{n} + b_{n}) − (A + B) | \leq | a_{n} - A | + | b_{n} - B | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .$

□

Algebrureglurnar um markgildi gera okkur kleift að reikna markgildi margra runa. Skoðum til dæmis rununa ${\frac{1}{n^{2}}} .$ Eins og áður var sýnt er $lim_{n \to \infty} 1 / n = 0 .$ Á sama hátt gildir eftirfarandi fyrir sérhverja jákvæða heiltölu $k,$ nefnilega að

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0 .

Í næsta dæmi notum við þessa staðreynd ásamt markgildisreglunum til að reikna markgildi annarra runa.

Dæmi 5.3

Samleitni ákvörðuð og markgildi fundin

Ákvarðið fyrir hverja eftirfarandi runu hvort hún sé samleitin. Finnið markgildi hennar ef hún er samleitin.

${5 - \frac{3}{n^{2}}}$
${\frac{3 n^{4} - 7 n^{2} + 5}{6 - 4 n^{4}}}$
${\frac{2^{n}}{n^{2}}}$
${{(1 + \frac{4}{n})}^{n}}$

Lausn

Við vitum að $1 / n \to 0 .$ Með þessari staðreynd ályktum við að
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n}) . lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n}) = 0 .$

Því er
$lim_{n \to \infty} (5 - \frac{3}{n^{2}}) = lim_{n \to \infty} 5 - 3 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = 5 - 3 \cdot 0 = 5 .$

Runan er samleitin með markgildið $5 .$
Tökum $n^{4}$ út fyrir sviga í teljara og nefnara og notum markgildisreglurnar hér að framan. Þá fæst
$\begin{matrix} lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{4} - 7 n^{2} + 5}{6 - 4 n^{4}} & = lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{7}{n^{2}} + \frac{5}{n^{4}}}{\frac{6}{n^{4}} - 4} \\ = \frac{lim_{n \to \infty} (3 - \frac{7}{n^{2}} + \frac{5}{n^{4}})}{lim_{n \to \infty} (\frac{6}{n^{4}} - 4)} \\ = \frac{(lim_{n \to \infty} (3) − lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{4}})}{(lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^{4}} - lim_{n \to \infty} (4))} \\ = \frac{(lim_{n \to \infty} (3) − 7 \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + 5 \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{4}})}{(6 \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{4}} - lim_{n \to \infty} (4))} \\ = \frac{3 - 7 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{6 \cdot 0 - 4} = - \frac{3}{4} . \end{matrix}$

Runan er samleitin með markgildið $−3 / 4 .$
Skoðum tengda fallið $f (x) = 2^{x} / x^{2}$ sem skilgreint er fyrir allar rauntölur $x > 0 .$ Þar sem $2^{x} \to \infty$ og $x^{2} \to \infty$ þegar $x \to \infty,$ beitum við reglu l’Hôpital og ritum
$\begin{matrix} lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}} & = lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} ln 2}{2 x} & Tökum afleiður teljara og nefnara. \\ = lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} {(ln 2)}^{2}}{2} & Tökum afleiður aftur. \\ = \infty . \end{matrix}$

Við ályktum að runan sé ósamleitin.
Skoðum fallið $f (x) = {(1 + \frac{4}{x})}^{x}$ sem skilgreint er fyrir allar rauntölur $x > 0 .$ Fallið hefur óákveðið form $1^{\infty}$ þegar $x \to \infty .$ Látum
$y = lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{4}{x})}^{x} .$

Ef náttúrlegi logrinn er nú tekinn af báðum hliðum jöfnunnar fæst
$ln (y) = ln [lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{4}{x})}^{x}] .$

Þar sem fallið $f (x) = ln x$ er samfellt á skilgreiningarmengi sínu má víxla markgildinu og náttúrlega logranum. Því er
$ln (y) = lim_{x \to \infty} [ln {(1 + \frac{4}{x})}^{x}] .$

Með eiginleikum logra ritum við
$lim_{x \to \infty} [ln {(1 + \frac{4}{x})}^{x}] = lim_{x \to \infty} x ln (1 + \frac{4}{x}) .$

Þar sem hægri hlið þessarar jöfnu hefur óákveðið form $\infty \cdot 0,$ endurritum við hana sem brot til að geta beitt reglu l’Hôpital. Ritum
$lim_{x \to \infty} x ln (1 + \frac{4}{x}) = lim_{x \to \infty} \frac{ln (1 + 4 / x)}{1 / x} .$

Þar sem hægri hliðin hefur nú óákveðið form $0 / 0,$ getum við beitt reglu l’Hôpital. Við ályktum að
$lim_{x \to \infty} \frac{ln (1 + 4 / x)}{1 / x} = lim_{x \to \infty} \frac{4}{1 + 4 / x} = 4 .$

Því er $ln (y) = 4$ og $y = e^{4} .$ Þar sem $lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{4}{x})}^{x} = e^{4},$ getum við því ályktað að runan ${{(1 + \frac{4}{n})}^{n}}$ stefni á $e^{4} .$

Munum að ef $f$ er samfellt fall í gildinu $L,$ þá er $f (x) \to f (L)$ þegar $x \to L .$ Þessi hugmynd á einnig við um runur. Gerum ráð fyrir samleitinni runu $a_{n} \to L,$ og gerum jafnframt ráð fyrir að fall $f$ sé samfellt í $L .$ Þá er $f (a_{n}) \to f (L) .$ Þessi eiginleiki gerir okkur oft kleift að finna markgildi flókinna runa. Skoðum til dæmis rununa $\sqrt{5 - \frac{3}{n^{2}}} .$ Af dæmi 5.3 a vitum við að runan $5 - \frac{3}{n^{2}} \to 5 .$ Þar sem $\sqrt{x}$ er samfellt fall í $x = 5,$

lim_{n \to \infty} \sqrt{5 - \frac{3}{n^{2}}} = \sqrt{lim_{n \to \infty} (5 - \frac{3}{n^{2}})} = \sqrt{5} .

Sönnun

Látum $ϵ > 0 .$ Þar sem $f$ er samfellt í $L,$ þá er til $δ > 0$ þannig að $| f (x) - f (L) | < ε$ ef $| x - L | < δ .$ Þar sem runan ${a_{n}}$ stefnir á $L,$ þá er til $N$ þannig að $| a_{n} - L | < δ$ fyrir öll $n \geq N .$ Fyrir öll $n \geq N,$ þá er $| a_{n} - L | < δ,$ sem hefur í för með sér að $| f (a_{n}) − f (L) | < ε .$ Við ályktum að runan ${f (a_{n})}$ stefni á $f (L) .$

□

Graf í fjórðungi 1 þar sem punktarnir (a_1, f(a_1)), (a_3, f(a_3)), (L, f(L)), (a_4, f(a_4)) og (a_2, f(a_2)) eru tengdir með sléttum ferlum. — **Mynd 5.5.** Vegna samfellu $f$ nálgast inntaksgildin $a_{1}, a_{2}, a_{3},…$ töluna $L,$ og úttaksgildin $f (a_{1}), f (a_{2}), f (a_{3}),…$ nálgast $f (L) .$

Dæmi 5.4

Markgildi með samfelldum föllum skilgreindum á samleitnum runum

Ákvarðið hvort runan ${cos (3 / n^{2})}$ sé samleitin. Finnið markgildi hennar ef hún er samleitin.

Lausn

Þar sem runan ${3 / n^{2}}$ stefnir á $0$ og $cos x$ er samfellt í $x = 0,$ getum við ályktað að runan ${cos (3 / n^{2})}$ sé samleitin og að

lim_{n \to \infty} cos (\frac{3}{n^{2}}) = cos (0) = 1 .

Önnur setning um markgildi runa er útvíkkun á klemmureglunni fyrir markgildi, sem fjallað var um í Inngangi að markgildum.

Sönnun

Látum $ε > 0 .$ Þar sem runan ${a_{n}}$ stefnir á $L,$ er til heiltala $N_{1}$ þannig að $| a_{n} - L | < ε$ fyrir öll $n \geq N_{1} .$ Þar sem ${c_{n}}$ stefnir á $L,$ er á sama hátt til heiltala $N_{2}$ þannig að $| c_{n} - L | < ε$ fyrir öll $n \geq N_{2} .$ Samkvæmt forsendu er til heiltala $N$ þannig að $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ fyrir öll $n \geq N .$ Látum $M$ vera stærsta talnanna $N_{1}, N_{2},$ og $N .$ Við þurfum að sýna að $| b_{n} - L | < ε$ fyrir öll $n \geq M .$ Fyrir öll $n \geq M,$

− ε < − | a_{n} - L | \leq a_{n} - L \leq b_{n} - L \leq c_{n} - L \leq | c_{n} - L | < ε .

Því er $− ε < b_{n} - L < ε,$ og við ályktum að $| b_{n} - L | < ε$ fyrir öll $n \geq M,$ og þar með að runan ${b_{n}}$ stefni á $L .$

□

Graf í fjórðungi 1 með línunni y = L og x-ásinn merktur sem n-ás. Punktar eru settir ofan og neðan línunnar og stefna á L þegar n stefnir á óendanlegt. Punktarnir a_n, b_n og c_n eru settir við sama n-gildi. A_n og b_n eru fyrir ofan y = L en c_n fyrir neðan. — **Mynd 5.6.** Sérhver liður $b_{n}$ uppfyllir $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ og runurnar ${a_{n}}$ og ${c_{n}}$ stefna á sama markgildi. Því hlýtur runan ${b_{n}}$ einnig að stefna á þetta markgildi.

Dæmi 5.5

Klemmureglan notuð

Notið klemmuregluna til að finna markgildi hverrar eftirfarandi runu.

${\frac{cos n}{n^{2}}}$
${{(- \frac{1}{2})}^{n}}$

Lausn

Þar sem $−1 \leq cos n \leq 1$ fyrir allar heiltölur $n,$ fæst
$- \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{cos n}{n^{2}} \leq \frac{1}{n^{2}} .$

Þar sem $−1 / n^{2} \to 0$ og $1 / n^{2} \to 0,$ ályktum við að einnig sé $cos n / n^{2} \to 0$
Þar sem
$- \frac{1}{2^{n}} \leq {(- \frac{1}{2})}^{n} \leq \frac{1}{2^{n}}$

fyrir allar jákvæðar heiltölur $n,$ $−1 / 2^{n} \to 0$ og $1 / 2^{n} \to 0,$ getum við ályktað að ${(−1 / 2)}^{n} \to 0 .$

Með hugmyndinni úr dæmi 5.5 b ályktum við að $r^{n} \to 0$ fyrir sérhverja rauntölu $r$ þannig að $−1 < r < 0 .$ Ef $r < − 1,$ er runan ${r^{n}}$ ósamleitin vegna þess að liðirnir sveiflast og tölugildi þeirra verður ótakmarkað stórt. Ef $r = −1,$ er runan ${r^{n}} = {{(−1)}^{n}}$ ósamleitin, eins og áður var fjallað um. Hér er samantekt á eiginleikum kvótaruna.

r^{n} \to 0 ef | r | < 1

(5.1)

r^{n} \to 1 ef r = 1

(5.2)

r^{n} \to \infty ef r > 1

(5.3)

{r^{n}} diverges if r \leq − 1

(5.4)

Takmarkaðar runur

Nú beinum við sjónum að einni mikilvægustu setningunni um runur: setningunni um einhalla runur. Áður en við setjum hana fram þurfum við að kynna nokkur hugtök og hvatann að baki henni. Við byrjum á að skilgreina hvað það merkir að runa sé takmörkuð.

Runan ${1 / n}$ er til dæmis takmörkuð að ofan vegna þess að $1 / n \leq 1$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n .$ Hún er einnig takmörkuð að neðan vegna þess að $1 / n \geq 0$ fyrir allar jákvæðar heiltölur n. Því er ${1 / n}$ takmörkuð runa. Skoðum hins vegar rununa ${2^{n}} .$ Þar sem $2^{n} \geq 2$ fyrir öll $n \geq 1,$ er runan takmörkuð að neðan. Hún er hins vegar ekki takmörkuð að ofan. Því er ${2^{n}}$ ótakmörkuð runa.

Nú fjöllum við um samband takmörkunar og samleitni. Gerum ráð fyrir að runan ${a_{n}}$ sé ótakmörkuð. Þá er hún ekki takmörkuð að ofan, ekki takmörkuð að neðan eða hvorugt. Í öllum tilvikum eru til liðir $a_{n}$ sem verða ótakmarkað stórir að tölugildi þegar $n$ stækkar. Því getur runan ${a_{n}}$ ekki verið samleitin. Takmörkun er því nauðsynlegt skilyrði fyrir samleitni runu.

Athugið að takmörkun runu er ekki nægilegt skilyrði fyrir samleitni hennar. Runan ${{(−1)}^{n}}$ er til dæmis takmörkuð en ósamleitin, því hún sveiflast á milli $1$ og $−1$ og nálgast aldrei endanlega tölu. Nú fjöllum við um nægilegt, en ekki nauðsynlegt, skilyrði fyrir samleitni takmarkaðrar runu.

Skoðum takmarkaða runu ${a_{n}} .$ Gerum ráð fyrir að runann ${a_{n}}$ sé vaxandi, það er að $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} … .$ Þar sem runan er vaxandi sveiflast liðirnir ekki. Tveir möguleikar koma því til greina: runan getur stefnt á óendanlegt eða verið samleitin. Þar sem runan er takmörkuð er hún þó takmörkuð að ofan og getur ekki stefnt á óendanlegt. Við ályktum að ${a_{n}}$ sé samleitin. Skoðum til dæmis rununa

{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5},…} .

Þar sem þessi runa er vaxandi og takmörkuð að ofan er hún samleitin. Skoðum næst rununa

{2, 0, 3, 0, 4, 0, 1, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{4},…} .

Þótt runan sé ekki vaxandi fyrir öll gildi $n,$ sést að $−1 / 2 < − 1 / 3 < − 1 / 4 < ⋯ .$ Frá og með áttunda liðnum, $a_{8} = −1 / 2,$ er runan því vaxandi. Þá segjum við að runan sé vaxandi frá og með einhverjum lið. Þar sem hún er takmörkuð að ofan er hún samleitin. Einnig gildir að ef runa er fallandi, eða fallandi frá og með einhverjum lið, og takmörkuð að neðan þá er hún samleitin.

Nú höfum við nauðsynlegar skilgreiningar til að setja fram setninguna um einhalla runur, sem gefur nægilegt skilyrði fyrir samleitni runu.

Sönnun þessarar setningar er utan efnis þessarar bókar. Þess í stað sýnum við með grafi hvers vegna setningin er rökrétt (mynd 5.7).

Graf í fjórðungi 1 þar sem x- og y-ásarnir eru merktir n og a_n. Lárétt punktalína er dregin frá a_n-ásnum inn í fjórðung 1. Margir punktar eru settir neðan punktalínunnar; a_n-gildi þeirra fara vaxandi og stefna á punktalínuna. — **Mynd 5.7.** Þar sem runan ${a_{n}}$ er vaxandi og takmörkuð að ofan hlýtur hún að vera samleitin.

Í eftirfarandi dæmi sýnum við hvernig nota má setninguna um einhalla runur til að sanna samleitni runu.

Dæmi 5.6

Setningin um einhalla runur notuð

Notið setninguna um einhalla runur til að sýna að hver eftirfarandi runa sé samleitin og finnið markgildi hennar.

${\frac{4^{n}}{n!}}$
${a_{n}}$ skilgreind með rakningarvenslum þannig að
$a_{1} = 2 og a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} fyrir öll n \geq 2 .$

Lausn

Þegar fyrstu liðirnir eru skrifaðir út sést að
${\frac{4^{n}}{n!}} = {4, 8, \frac{32}{3}, \frac{32}{3}, \frac{128}{15},…} .$

Í fyrstu vaxa liðirnir en eftir þriðja liðinn fara þeir að minnka. Reyndar er runan fallandi fyrir öll $n \geq 3 .$ Þetta má sýna þannig:
$a_{n + 1} = \frac{4^{n + 1}}{(n + 1)!} = \frac{4}{n + 1} \cdot \frac{4^{n}}{n!} = \frac{4}{n + 1} \cdot a_{n} \leq a_{n} i f n \geq 3 .$

Runan er því fallandi fyrir öll $n \geq 3 .$ Hún er jafnframt takmörkuð að neðan af $0$ vegna þess að $4^{n} / n! \geq 0$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n .$ Samkvæmt setningunni um einhalla runur er runan því samleitin. Til að finna markgildið notum við þá staðreynd að runan er samleitin og látum
$L = lim_{n \to \infty} a_{n} .$ Takið nú eftir þessari mikilvægu athugun. Skoðum $lim_{n \to \infty} a_{n + 1} .$ Þar sem
${a_{n + 1}} = {a_{2,} a_{3}, a_{4},…},$
er eini munurinn á rununum ${a_{n + 1}}$ og ${a_{n}}$ sá að ${a_{n + 1}}$ sleppir fyrsta liðnum. Þar sem endanlegur fjöldi liða hefur ekki áhrif á samleitni runu er
$lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = lim_{n \to \infty} a_{n} = L .$

Með því að sameina þessa staðreynd við jöfnuna
$a_{n + 1} = \frac{4}{n + 1} a_{n}$

og taka markgildi beggja hliða jöfnunnar
$lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = lim_{n \to \infty} \frac{4}{n + 1} a_{n},$

getum við ályktað að
$L = 0 \cdot L = 0 .$
Þegar fyrstu liðirnir eru skrifaðir út fæst runan
${2, \frac{5}{4}, \frac{41}{40}, \frac{3281}{3280},…} .$

Þá má setja fram þá tilgátu að runan sé fallandi og takmörkuð að neðan af $1 .$ Til að sýna að runan sé takmörkuð að neðan af $1,$ getum við sýnt að
$\frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} \geq 1 .$

Til þess endurritum við fyrst
$\frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} = \frac{a_{n}^{2} + 1}{2 a_{n}} .$

Þar sem $a_{1} > 0$ og $a_{2}$ er skilgreint sem summa jákvæðra liða er $a_{2} > 0 .$ Á sama hátt eru allir liðirnir $a_{n} > 0 .$ Því er
$\frac{a_{n}^{2} + 1}{2 a_{n}} \geq 1$

þá og því aðeins að
$a_{n}^{2} + 1 \geq 2 a_{n} .$

Með því að endurrita ójöfnuna $a_{n}^{2} + 1 \geq 2 a_{n}$ sem $a_{n}^{2} - 2 a_{n} + 1 \geq 0,$ og nota þá staðreynd að
$a_{n}^{2} - 2 a_{n} + 1 = {(a_{n} - 1)}^{2} \geq 0$

vegna þess að annað veldi sérhverrar rauntölu er ekki neikvætt getum við ályktað að
$\frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} \geq 1 .$

Til að sýna að runan sé fallandi þurfum við að sýna að $a_{n + 1} \leq a_{n}$ fyrir öll $n \geq 1 .$ Þar sem $1 \leq a_{n}^{2},$ leiðir af því að
$a_{n}^{2} + 1 \leq 2 a_{n}^{2} .$

Ef báðum hliðum er deilt með $2 a_{n},$ fæst
$\frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} \leq a_{n} .$

Af skilgreiningunni á $a_{n + 1},$ ályktum við að
$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} \leq a_{n} .$

Þar sem ${a_{n}}$ er takmörkuð að neðan og fallandi er hún samleitin samkvæmt setningunni um einhalla runur. Til að finna markgildið látum við
$L = lim_{n \to \infty} a_{n} .$ Með því að nota rakningarvenslin og þá staðreynd að $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n + 1},$ fæst
$lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = lim_{n \to \infty} (\frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}}),$

og þar með
$L = \frac{L}{2} + \frac{1}{2 L} .$

Ef báðar hliðar jöfnunnar eru margfaldaðar með $2 L,$ fæst jafnan
$2 L^{2} = L^{2} + 1 .$

Þegar jafnan er leyst fyrir $L,$ ályktum við að $L^{2} = 1,$ sem leiðir til $L = ± 1 .$ Þar sem allir liðirnir eru jákvæðir er markgildið $L = 1 .$

Nemendaverkefni

Fibonacci-tölur

Fibonacci-tölurnar eru gefnar með rakningarvenslum fyrir rununa ${F_{n}}$ þar sem $F_{0} = 0,$ $F_{1} = 1$ og fyrir $n \geq 2,$

F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2} .

Hér skoðum við eiginleika Fibonacci-talnanna.

Skrifið fyrstu tuttugu Fibonacci-tölurnar.
Finnið lokað form fyrir Fibonacci-rununa með eftirfarandi skrefum. Skoðið rununa
1. ${x_{n}}$ sem er skilgreind með rakningarvenslum þar sem $x_{o} = c$ og $x_{n + 1} = a x_{n} .$ Sýnið að lýsa megi þessari runu með lokaða forminu $x_{n} = c a^{n}$ fyrir öll $n \geq 0 .$
2. $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$
  
  á forminu $F_{n} = c λ^{n} .$ Ákvarðið fyrir hvaða tvö gildi á $λ$ fallið $F_{n}$ uppfyllir jöfnuna. Skoðið lausnirnar tvær úr b-lið:
3. $λ_{1}$ og $λ_{2} .$ Látum $F_{n} = c_{1} λ_{1}^{n} + c_{2} λ_{2}^{n} .$ Notið upphafsskilyrðin $F_{0}$ og $F_{1}$ til að ákvarða gildi fastanna $c_{1}$ og $c_{2}$ og ritið lokaða formið $F_{n} .$
Notið svarið í 2 c-lið til að sýna að
$lim_{n \to \infty} \frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

Talan $ϕ = (1 + \sqrt{5}) / 2$ kallast gullinsnið (mynd 5.8 og mynd 5.9).
Mynd 5.8 Fræin í sólblómi

mynda spíralmynstur sem sveigjast til vinstri og hægri. Fjöldi spírala í hvora átt er alltaf Fibonacci-tala — alltaf. (Mynd byggð á verki Esdras Calderan, Wikimedia Commons.) Mynd 5.9 Gullinsnið kemur fyrir í mörgum frægum dæmum úr list og byggingarlist. Forngríska hofið Parþenon virðist hafa þessi hlutföll og þau sjást einnig í mörgum smærri atriðum. (Mynd byggð á verki TravelingOtter, Flickr.)

Æfingar í undirkafla 5.1

Finnið fyrstu sex liði hverrar eftirfarandi runu og byrjið á $n = 1 .$

$a_{n} = 1 + {(−1)}^{n}$ fyrir $n \geq 1$

$a_{n} = n^{2} - 1$ fyrir $n \geq 1$

$a_{1} = 1$ og $a_{n} = a_{n - 1} + n$ fyrir $n \geq 2$

$a_{1} = 1,$ $a_{2} = 1$ og $a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}$ fyrir $n \geq 1$

Finnið lokað form fyrir $a_{n}$ þar sem $a_{1} = 1$ og $a_{n} = a_{n - 1} + n$ fyrir $n \geq 2 .$

Finnið formúlu $a_{n}$ fyrir $n -ta$ lið jafnmunarununnar sem hefur fyrsta liðinn $a_{1} = 1$ þannig að $a_{n + 1} - a_{n} = 17$ fyrir $n \geq 1 .$

Finnið formúlu $a_{n}$ fyrir $n -ta$ lið jafnmunarununnar sem hefur fyrsta liðinn $a_{1} = −3$ þannig að $a_{n + 1} - a_{n} = 4$ fyrir $n \geq 1 .$

Finnið formúlu $a_{n}$ fyrir $n -ta$ lið kvótarununnar sem hefur fyrsta liðinn $a_{1} = 1$ þannig að $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 10$ fyrir $n \geq 1 .$

Finnið formúlu $a_{n}$ fyrir $n -ta$ lið kvótarununnar sem hefur fyrsta liðinn $a_{1} = 3$ þannig að $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1 / 10$ fyrir $n \geq 1 .$

10.

Finnið lokað form fyrir $n -ta$ lið rununnar sem byrjar á ${0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99,…} .$ (Vísbending: Leggið fyrst einn við hvern lið.)

11.

Finnið lokað form fyrir $n -ta$ lið rununnar sem uppfyllir $a_{1} = 0$ og $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 1$ fyrir $n \geq 2 .$

Finnið formúlu fyrir almenna liðinn $a_{n}$ í hverri eftirfarandi runu.

12.

${1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0,…}$ (Vísbending: Finnið hvar $sin x$ tekur þessi gildi.)

13.

${1, − 1 / 3, 1 / 5, − 1 / 7,…}$

Finnið fall $f (n)$ sem gefur $n -ta$ liðinn $a_{n}$ í eftirfarandi runum, sem skilgreindar eru með rakningarvenslum, þegar $a_{n} = f (n) .$

14.

$a_{1} = 1$ og $a_{n + 1} = − a_{n}$ fyrir $n \geq 1$

15.

$a_{1} = 2$ og $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ fyrir $n \geq 1$

16.

$a_{1} = 1$ og $a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ fyrir $n \geq 1$

17.

$a_{1} = 2$ og $a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} / 2$ fyrir $n \geq 1$

18.

$a_{1} = 1$ og $a_{n + 1} = a_{n} / 2^{n}$ fyrir $n \geq 1$

Teiknið fyrstu $N$ liði hverrar runu. Segið hvort grafið bendi til þess að runan sé samleitin eða ósamleitin.

19.

[T] $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,$ og fyrir $n \geq 2,$ $a_{n} = \frac{1}{2} (a_{n - 1} + a_{n - 2});$ $N = 30$

20.

[T] $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,$ $a_{3} = 3$ og fyrir $n \geq 4,$ $a_{n} = \frac{1}{3} (a_{n - 1} + a_{n - 2} + a_{n - 3}),$ $N = 30$

21.

[T] $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,$ og fyrir $n \geq 3,$ $a_{n} = \sqrt{a_{n - 1} a_{n - 2}};$ $N = 30$

22.

[T] $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,$ $a_{3} = 3,$ og fyrir $n \geq 4,$ $a_{n} = \sqrt{a_{n - 1} a_{n - 2} a_{n - 3}};$ $N = 30$

Gerum ráð fyrir að $lim_{n \to \infty} a_{n} = 1,$ $lim_{n \to \infty} b_{n} = −1,$ og $0 < − b_{n} < a_{n}$ fyrir öll $n .$ Reiknið hvert eftirfarandi markgildi, segið að það sé ekki til eða segið að upplýsingar nægi ekki til að ákvarða hvort það sé til.

23.

$lim_{n \to \infty} (3 a_{n} - 4 b_{n})$

24.

$lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} b_{n} - \frac{1}{2} a_{n})$

25.

$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n} + b_{n}}{a_{n} - b_{n}}$

26.

$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n} - b_{n}}{a_{n} + b_{n}}$

Finnið markgildi hverrar eftirfarandi runu og notið reglu l’Hôpital þegar það á við.

27.

$\frac{n^{2}}{2^{n}}$

28.

$\frac{{(n - 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}}$

29.

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}$

30.

$n^{1 / n}$ (Vísbending: $n^{1 / n} = e^{\frac{1}{n} ln n})$

Segið fyrir hverja eftirfarandi runu, þar sem $n -ta$ liðir eru sýndir, hvort hún sé takmörkuð og hvort hún sé einhalla frá og með einhverjum lið, vaxandi eða fallandi.

31.

$n / 2^{n},$ $n \geq 2$

32.

$ln (1 + \frac{1}{n})$

33.

$sin n$

34.

$cos (n^{2})$

35.

$n^{1 / n},$ $n \geq 3$

36.

$n^{−1 / n},$ $n \geq 3$

37.

$tan n$

38.

Ákvarðið hvort runan sem skilgreind er hér á eftir hafi markgildi. Finnið markgildið ef það er til.

$a_{1} = \sqrt{2},$ $a_{2} = \sqrt{2 \sqrt{2}},$ $a_{3} = \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}$ og svo framvegis.

39.

Ákvarðið hvort runan sem skilgreind er hér á eftir hafi markgildi. Finnið markgildið ef það er til.

$a_{1} = 3,$ $a_{n} = \sqrt{2 a_{n - 1}},$ $n = 2, 3,… .$

Notið klemmuregluna til að finna markgildi hverrar eftirfarandi runu.

40.

$n sin (1 / n)$

41.

$\frac{cos (1 / n) - 1}{1 / n}$

42.

$a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$

43.

$a_{n} = sin n sin (1 / n)$

Teiknið fyrstu $25$ liði hverrar eftirfarandi runu og segið hvort grafið bendi til þess að runan sé samleitin eða ósamleitin.

44.

[T] $a_{n} = sin n$

45.

[T] $a_{n} = cos n$

Ákvarðið markgildi rununnar eða sýnið að hún sé ósamleitin. Finnið markgildi hennar ef hún er samleitin.

46.

$a_{n} = {tan}^{−1} (n^{2})$

47.

$a_{n} = {(2 n)}^{1 / n} - n^{1 / n}$

48.

$a_{n} = \frac{ln (n^{2})}{ln (2 n)}$

49.

$a_{n} = {(1 - \frac{2}{n})}^{n}$

50.

$a_{n} = ln (\frac{n + 2}{n^{2} - 3})$

51.

$a_{n} = \frac{2^{n} + 3^{n}}{4^{n}}$

52.

$a_{n} = \frac{{(1000)}^{n}}{n!}$

53.

$a_{n} = \frac{{(n!)}^{2}}{(2 n)!}$

Aðferð Newtons miðar að því að nálga lausn $f (x) = 0$ með því að byrja á upphafsnálgun $x_{0}$ og skilgreina síðan liðina í rununni með formúlunni $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})} .$ Fyrir gefið val á $f$ og $x_{0},$ skulið þið rita formúluna fyrir $x_{n + 1} .$ Ef runan virðist vera samleitin skulið þið gefa nákvæma formúlu fyrir lausnina $x,$ ákvarða síðan markgildið $x$ með nákvæmni upp á fjóra aukastafi og finna minnsta $n$ þannig að $x_{n}$ og $x$ séu eins upp að fjórða aukastaf.

54.

[T] $f (x) = x^{2} - 2,$ $x_{0} = 1$

55.

[T] $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2,$ $x_{0} = 2$

56.

[T] $f (x) = e^{x} - 2,$ $x_{0} = 1$

57.

[T] $f (x) = ln x - 1,$ $x_{0} = 2$

58.

[T] Gerum ráð fyrir að byrjað sé með einn lítra af ediki og síðan sé magn, sem nemur $0.1 L,$ tekið ítrekað úr blöndunni, vatn sett í staðinn, blandað og ferlið endurtekið.

Finnið formúlu fyrir styrkinn eftir $n$ skref.
Eftir hve mörg skref inniheldur blandan minna en $10 %$ edik?

59.

[T] Í stöðuvatni eru í upphafi $2000$ fiskar. Gerum ráð fyrir að fiskistofninn stækki um $6 %$ á mánuði ef engin rándýr eða aðrar orsakir brottfalls eru til staðar. Þegar allar orsakir eru teknar með tapast hins vegar $150$ fiskar á mánuði.

Útskýrið hvers vegna líkja má fiskistofninum eftir $n$ mánuði með $P_{n} = 1.06 P_{n - 1} - 150$ þar sem $P_{0} = 2000 .$
Hve margir fiskar verða í vatninu eftir eitt ár?

60.

[T] Bankareikningur ber $5 %$ vexti með mánaðarlegri vaxtavöxtun. Gerum ráð fyrir að $$ 1000$ sé lagt inn á reikninginn í upphafi en $$ 10$ tekið út mánaðarlega.

Sýnið að innstæða reikningsins eftir $n$ mánuði sé $A_{n} = (1 + .05 / 12) A_{n - 1} - 10;$ $A_{0} = 1000 .$
Hve mikið verður á reikningnum eftir $1$ ár?
Fer innstæðan vaxandi eða minnkandi?
Gerum ráð fyrir að í stað $$ 10,$ sé föst upphæð, $d$ dollarar, tekin út mánaðarlega. Finnið gildi $d$ þannig að innstæða reikningsins haldist $$ 1000 .$ Skilyrðið á að gilda eftir hvern mánuð.
Hvað gerist ef $d$ er stærra en þessi upphæð?

61.

[T] Nemandi tekur $$ 10,000$ námslán með $6 %,$ ársvöxtum og mánaðarlegri vaxtavöxtun.

Ef nemandinn greiðir $$ 100$ á mánuði, hve mikið skuldar hann eftir $12$ mánuði?
Eftir hve marga mánuði verður lánið að fullu greitt?

62.

[T] Skoðið runu sem sameinar kvótarvöxt og línulega lækkun. Látum $a_{1} = 1 .$ Festum $a > 1$ og $0 < b < a .$ Setjum $a_{n + 1} = a . a_{n} - b .$ Finnið formúlu fyrir $a_{n + 1}$ með $a^{n},$ $a,$ og $b$ og samband milli $a$ og $b$ þannig að $a_{n}$ sé samleitin.

63.

[T] Tvíundarframsetning $x = 0 . b_{1} b_{2} b_{3} ...$ tölu $x$ á milli $0$ og $1$ má skilgreina þannig. Látum $b_{1} = 0$ ef $x < 1 / 2$ og $b_{1} = 1$ ef $1 / 2 \leq x < 1 .$ Látum $x_{1} = 2 x - b_{1} .$ Látum $b_{2} = 0$ ef $x_{1} < 1 / 2$ og $b_{2} = 1$ ef $1 / 2 \leq x < 1 .$ Látum $x_{2} = 2 x_{1} - b_{2}$ og almennt $x_{n} = 2 x_{n - 1} - b_{n}$ og $b_{n - 1} = 0$ ef $x_{n} < 1 / 2$ og $b_{n - 1} = 1$ ef $1 / 2 \leq x_{n} < 1 .$ Finnið tvíundarframsetningu $1 / 3 .$

64.

[T] Til að finna nálgun á $π,$ setjum við $a_{0} = \sqrt{2 + 1},$ $a_{1} = \sqrt{2 + a_{0}},$ og almennt $a_{n + 1} = \sqrt{2 + a_{n}} .$ Að lokum setjum við $p_{n} = {3.2}^{n + 1} \sqrt{2 - a_{n}} .$ Finnið fyrstu tíu liði $p_{n}$ og berið gildin saman við $π .$

Í næstu tveimur æfingum skulið þið gera ráð fyrir að þið hafið aðgang að tölvuforriti eða heimild á netinu sem getur myndað eins langan lista af núllum og ásum og óskað er. Sýndarslembitalnagjafar (PRNGs) gegna mikilvægu hlutverki við að herma eftir slembisuði í eðlisfræðilegum kerfum með því að búa til runur af núllum og ásum sem virðast vera niðurstaða endurtekinna myntkasta. Ein einfaldasta gerð PRNGs skilgreinir með rakningarvenslum runu $N$ heiltalna $a_{1}, a_{2},…, a_{N}$ sem lítur út fyrir að vera slembin. Þá eru tvær sérstakar heiltölur $K$ og $M$ festar og $a_{n + 1}$ látið vera afganginn þegar $K . a_{n}$ er deilt með $M,$ en síðan er búin til bitaruna af núllum og ásum þar sem $n -ta$ liðurinn $b_{n}$ er einn ef $a_{n}$ er oddatala og núll ef $a_{n}$ er slétt tala. Ef bitarnir $b_{n}$ eru sýndarslembnir ætti meðaltal þeirra $(b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{N}) / N$ að hegða sér svipað og meðaltöl raunverulega slembinna bita.

65.

[T] Byrjið með $K = 16,807$ og $M = 2,147,483,647,$ og notið tíu mismunandi upphafsgildi á $a_{1},$ til að reikna bitarunur $b_{n}$ upp að $n = 1000,$ Berið meðaltöl þeirra saman við meðaltöl tíu slíkra runa frá slembibitaframleiðanda.

66.

[T] Finnið fyrstu $1000$ tölustafi $π$ með tölvuforriti eða heimild á netinu. Myndið bitarunu $b_{n}$ með því að láta $b_{n} = 1$ ef $n -ta$ tölustafur $π$ er oddatala og $b_{n} = 0$ ef $n -ta$ tölustafur $π$ er slétt tala. Reiknið meðalgildi $b_{n}$ og meðalgildi $d_{n} = | b_{n + 1} - b_{n} |,$ $n = 1,..., 999 .$ Virðist runan $b_{n}$ vera slembin? Virðist mismunur samliggjandi liða $b_{n}$ vera slembinn?