55 Runur og raðir

5.4 Samanburðarpróf

Námsmarkmið

5.4.1 Nota samanburðarprófið til að kanna samleitni raðar.
5.4.2 Nota samanburð með markgildi til að ákvarða samleitni raðar.

Við höfum séð að heildisprófið gerir okkur kleift að ákvarða samleitni eða sundurleitni raðar með því að bera hana saman við samsvarandi óeiginlegt heildi. Í þessum hluta sýnum við hvernig samanburðarpróf eru notuð til að ákvarða samleitni eða sundurleitni raðar með því að bera hana saman við röð sem vitað er hvort sé samleitin eða ósamleitin. Yfirleitt eru þessi próf notuð til að ákvarða samleitni raða sem líkjast geómetrískum röðum eða p-röðum.

Samanburðarprófið

Í síðustu tveimur hlutum fjölluðum við um tvo stóra flokka raða: geómetrískar raðir og p-raðir. Við vitum nákvæmlega hvenær þessar raðir eru samleitnar og hvenær þær eru ósamleitnar. Hér sýnum við hvernig nota má samleitni eða sundurleitni þeirra til að sanna samleitni eða sundurleitni annarra raða með aðferð sem kallast samanburðarprófið.

Lítum til dæmis á röðina

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} .

Þessi röð líkist samleitnu röðinni

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .

Þar sem liðir beggja raðanna eru jákvæðir er runa hlutsummanna fyrir hvora röð einhalla vaxandi. Þar að auki gildir

0 < \frac{1}{n^{2} + 1} < \frac{1}{n^{2}}

fyrir allar jákvæðar heiltölur $n,$ að $k -ta$ hlutsumman $S_{k}$ í röðinni $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}$ uppfyllir

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n^{2} + 1} < \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n^{2}} < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .

(Sjá mynd 5.16 (a) og töflu 5.1.) Þar sem röðin hægra megin er samleitin er runan ${S_{k}}$ takmörkuð að ofan. Við ályktum að ${S_{k}}$ sé einhalla vaxandi runa sem er takmörkuð að ofan. Samkvæmt setningunni um einhalla runur er ${S_{k}}$ því samleitin og þar með er

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}

samleitin.

Lítum á sambærilegan hátt á röðina

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - 1 / 2} .

Þessi röð líkist ósamleitnu röðinni

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} .

Runa hlutsummanna er einhalla vaxandi fyrir hvora röð og

\frac{1}{n - 1 / 2} > \frac{1}{n} > 0

fyrir sérhverja jákvæða heiltölu $n .$ Því uppfyllir $k -ta$ hlutsumman $S_{k}$ í röðinni $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - 1 / 2}$

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n - 1 / 2} > \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} .

(Sjá mynd 5.16 (b) og töflu 5.2.) Þar sem röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n$ stefnir á óendanlegt og er því ósamleitin, er runa hlutsummanna $\sum_{n = 1}^{k} 1 / n$ ótakmörkuð. Þar af leiðandi er ${S_{k}}$ ótakmörkuð runa og því ósamleitin. Við ályktum að

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n - 1 / 2}

sé ósamleitin.

Tvö gröf standa hlið við hlið. Á fyrra grafinu eru punktar fyrir hlutsummur raðanna með liðina 1/n² og 1/(n² + 1). Sérhver hlutsumma síðarnefndu raðarinnar er minni en samsvarandi hlutsumma þeirrar fyrrnefndu. Á seinna grafinu eru punktar fyrir hlutsummur raðanna með liðina 1/(n − 0,5) og 1/n. Sérhver hlutsumma síðarnefndu raðarinnar er minni en samsvarandi hlutsumma þeirrar fyrrnefndu. — **Mynd 5.16.** (a) Sérhver hlutsumma gefnu raðarinnar er minni en samsvarandi hlutsumma samleitnu $p - röð .$ (b) Sérhver hlutsumma gefnu raðarinnar er stærri en samsvarandi hlutsumma ósamleitnu harmonísku raðarinnar.

k	1	2	3	4	5	6	7	8
∑ n = 1 k 1/n 2 + 1	0.5	0.7	0.8	0.8588	0.8973	0.9243	0.9443	0.9597
∑ n = 1 k 1/n 2	1	1.25	1.3611	1.4236	1.4636	1.4914	1.5118	1.5274

k	1	2	3	4	5	6	7	8
∑ n = 1 k 1/n − 1 / 2	2	2.6667	3.0667	3.3524	3.5746	3.7564	3.9103	4.0436
∑ n = 1 k 1/n	1	1.5	1.8333	2.0933	2.2833	2.45	2.5929	2.7179

Sönnun

Við sönnum i-lið. Sönnun ii-liðar er mótgilding i-liðar. Látum ${S_{k}}$ vera runu hlutsummanna sem tilheyrir $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ og látum $L = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} .$ Þar sem liðirnir $a_{n} \geq 0,$

S_{k} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{k} \leq a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{k} + a_{k + 1} = S_{k + 1} .

Runa hlutsummanna er því vaxandi. Þar að auki, þar sem $a_{n} \leq b_{n}$ fyrir öll $n \geq N,$ fæst

\sum_{n = N}^{k} a_{n} \leq \sum_{n = N}^{k} b_{n} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = L .

Því fæst fyrir öll $k \geq 1,$

S_{k} = (a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{N - 1}) + \sum_{n = N}^{k} a_{n} \leq (a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{N - 1}) + L .

Þar sem $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{N - 1}$ er endanleg tala ályktum við að runan ${S_{k}}$ sé takmörkuð að ofan. Því er ${S_{k}}$ vaxandi runa sem er takmörkuð að ofan. Samkvæmt setningunni um einhalla runur er ${S_{k}}$ samleitin og þar með er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ samleitin.

□

Til að nota samanburðarprófið til að ákvarða samleitni eða sundurleitni raðarinnar $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ þarf að finna hentuga röð til samanburðar. Þar sem við þekkjum samleitnieiginleika geómetrískra raða og p-raða eru þær oft notaðar. Ef til er heiltala $N$ þannig að fyrir öll $n \geq N,$ sé sérhver liður $a_{n}$ minni en samsvarandi liður í þekktri samleitinni röð, þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ samleitin. Á sambærilegan hátt, ef til er heiltala $N$ þannig að fyrir öll $n \geq N,$ sé sérhver liður $a_{n}$ stærri en samsvarandi liður í þekktri ósamleitinni röð, þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ósamleitin.

Dæmi 5.17

Samanburðarprófið notað

Notið samanburðarprófið til að ákvarða hvort hver eftirfarandi röð sé samleitin eða ósamleitin.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3} + 3 n + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} + 1}$
$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{ln (n)}$

Lausn

Berum saman við $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$ Þar sem $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$ er p-röð með $p = 3,$ er hún samleitin. Þar að auki gildir
$\frac{1}{n^{3} + 3 n + 1} < \frac{1}{n^{3}}$

fyrir sérhverja jákvæða heiltölu $n .$ Við getum því ályktað að $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3} + 3 n + 1}$ sé samleitin.
Berum saman við $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} .$ Þar sem $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$ er geómetrísk röð með $r = 1 / 2$ og $| 1 / 2 | < 1,$ er hún samleitin. Einnig gildir
$\frac{1}{2^{n} + 1} < \frac{1}{2^{n}}$

fyrir sérhverja jákvæða heiltölu $n .$ Því sjáum við að $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} + 1}$ er samleitin.
Berum saman við $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n} .$ Þar sem
$\frac{1}{ln (n)} > \frac{1}{n}$

fyrir sérhverja heiltölu $n \geq 2$ og $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / n$ er ósamleitin, fæst að $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{ln (n)}$ er ósamleitin.

Samanburður með markgildi

Samanburðarprófið virkar vel ef við getum fundið samanburðarröð sem uppfyllir forsendur prófsins. Stundum getur þó verið erfitt að finna hentuga röð. Lítum á röðina

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - 1} .

Eðlilegt er að bera þessa röð saman við samleitnu röðina

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .

Hún uppfyllir þó ekki þá forsendu sem þarf til að nota samanburðarprófið, því

\frac{1}{n^{2} - 1} > \frac{1}{n^{2}}

fyrir allar heiltölur $n \geq 2 .$ Við gætum leitað að annarri röð til samanburðar við $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / (n^{2} - 1),$ en sýnum þess í stað hvernig samanburður með markgildi er notaður til að bera saman

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - 1} og \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .

Skoðum hugmyndina að baki samanburði með markgildi. Lítum á tvær raðir $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} .$ Látum liði þeirra vera $a_{n} og b_{n}$ . Þá reiknum við

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} .

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = L \neq 0,

þá gildir, þegar $n$ er nægilega stórt, að $a_{n} \approx L b_{n} .$ Því eru annaðhvort báðar raðirnar samleitnar eða báðar ósamleitnar. Fyrir raðirnar $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / (n^{2} - 1)$ og $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / n^{2},$ sjáum við að

lim_{n \to \infty} \frac{1 / (n^{2} - 1)}{1 / n^{2}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{n^{2} - 1} = 1 .

Þar sem $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / n^{2}$ er samleitin ályktum við að

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - 1}

sé samleitin.

Samanburð með markgildi má nota í tveimur öðrum tilvikum. Gerum ráð fyrir að

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0 .

Í þessu tilviki er ${a_{n} / b_{n}}$ takmörkuð runa. Því er til fasti $M$ þannig að $a_{n} \leq M b_{n} .$ Ef $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ er samleitin, þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ því samleitin. Gerum hins vegar ráð fyrir að

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \infty .

Í þessu tilviki er ${a_{n} / b_{n}}$ ótakmörkuð runa. Fyrir sérhvern fasta $M$ er því til heiltala $N$ þannig að $a_{n} \geq M b_{n}$ fyrir öll $n \geq N .$ Ef $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ er ósamleitin, þá er $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ því einnig ósamleitin.

Athugið að ef $a_{n} / b_{n} \to 0$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ er ósamleitin, þá gefur samanburður með markgildi engar upplýsingar. Á sama hátt gefur prófið engar upplýsingar ef $a_{n} / b_{n} \to \infty$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ er samleitin. Lítum til dæmis á raðirnar $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / \sqrt{n}$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2} .$ Þær eru báðar p-raðir með $p = 1 / 2$ og $p = 2,$ hvor um sig. Þar sem $p = 1 / 2 < 1,$ er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / \sqrt{n}$ ósamleitin. Hins vegar, þar sem $p = 2 > 1,$ er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{2}$ samleitin. Gerum nú ráð fyrir að við reynum að beita samanburði með markgildi og notum samleitnu $p - röðina$ $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^{3}$ sem samanburðarröð. Fyrst sjáum við að

\frac{1 / \sqrt{n}}{1 / n^{3}} = \frac{n^{3}}{\sqrt{n}} = n^{5 / 2} \to \infty þegar n \to \infty .

Á sama hátt sjáum við að

\frac{1 / n^{2}}{1 / n^{3}} = n \to \infty þegar n \to \infty .

Ef $a_{n} / b_{n} \to \infty$ þegar $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ er samleitin, fáum við því engar upplýsingar um samleitni eða sundurleitni $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$

Dæmi 5.18

Samanburður með markgildi notaður

Notið samanburð með markgildi til að ákvarða hvort hver eftirfarandi röð sé samleitin eða ósamleitin. Ef prófið á ekki við skal taka það fram.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n} + 1}{3^{n}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ln (n)}{n^{2}}$

Lausn

Berum þessa röð saman við $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} .$ Reiknum
$lim_{n \to \infty} \frac{1 / (\sqrt{n} + 1)}{1 / \sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \begin{matrix} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + 1} \end{matrix} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 1 / \sqrt{n}} = 1 .$
Þar sem $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ er ósamleitin leiðir af samanburði með markgildi að $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$ er ósamleitin.
Berum þessa röð saman við $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n} .$ Við sjáum að
$lim_{n \to \infty} \frac{(2^{n} + 1) / 3^{n}}{2^{n} / 3^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} + 1}{3^{n}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} + 1}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} [1 + {(\frac{1}{2})}^{n}] = 1 .$

Því er
$lim_{n \to \infty} \frac{(2^{n} + 1) / 3^{n}}{2^{n} / 3^{n}} = 1 .$

Þar sem $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n}$ er samleitin ályktum við að $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n} + 1}{3^{n}}$ sé samleitin.
Þar sem $ln n < n,$ berum við saman við $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} .$ Við sjáum að
$lim_{n \to \infty} \frac{ln n / n^{2}}{1 / n} = lim_{n \to \infty} \frac{ln n}{n^{2}} \cdot \frac{n}{1} = lim_{n \to \infty} \frac{ln n}{n} .$

Til að ákvarða $lim_{n \to \infty} ln n / n,$ reiknum við, þegar $x \to \infty$ , markgildi raungilda fallsins $ln (x) / x .$ Þessi tvö markgildi eru jöfn og með því að skipta þannig yfir getum við notað reglu l’Hôpital. Við fáum
$lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 .$

Því er $lim_{n \to \infty} ln n / n = 0,$ og þar af leiðandi
$lim_{n \to \infty} \frac{ln n / n^{2}}{1 / n} = 0 .$

Þar sem markgildið er $0$ en $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ er ósamleitin, gefur samanburður með markgildi engar upplýsingar. Berum þess í stað saman við
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ . Í því tilviki er
$lim_{n \to \infty} \frac{ln n / n^{2}}{1 / n^{2}} = lim_{n \to \infty} \frac{ln n}{n^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{1} = lim_{n \to \infty} ln n = \infty .$

Þar sem markgildið er $\infty$ en $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ er samleitin, gefur prófið enn engar upplýsingar. Prófum því röð sem liggur milli þeirra tveggja sem þegar hafa verið prófaðar. Veljum röðina
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3 / 2}},$ og sjáum að
$lim_{n \to \infty} \frac{ln n / n^{2}}{1 / n^{3 / 2}} = lim_{n \to \infty} \frac{ln n}{n^{2}} \cdot \frac{n^{3 / 2}}{1} = lim_{n \to \infty} \frac{ln n}{\sqrt{n}} .$

Til að ákvarða $lim_{n \to \infty} ln n / \sqrt{n},$ reiknum við, þegar $x \to \infty$ , markgildi raungilda fallsins $ln x / \sqrt{x} .$ Með reglu l’Hôpital fæst
$lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{\sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0 .$

Þar sem markgildið er $0$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3 / 2}}$ er samleitin, getum við ályktað að $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ln n}{n^{2}}$ sé samleitin.

Æfingar í undirkafla 5.4

Notið samanburðarprófið til að ákvarða hvort eftirfarandi raðir séu samleitnar.

194.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ þar sem $a_{n} = \frac{2}{n (n + 1)}$

195.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ þar sem $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1 / 2)}$

196.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 (n + 1)}$

197.

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{2 (n - 1)}$

198.

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{{(n ln n)}^{2}}$

199.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{(n + 2)!}$

200.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!}$

201.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{sin (1 / n)}{n^{2}}$

202.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{sin}^{2} n}{n^{2}}$

203.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{sin (1 / n)}{(\sqrt{n})^{3}}$

204.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{1.2} - 1}{n^{2.3} + 1}$

205.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{n}$

206.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt[4]{n}}{\sqrt[3]{n^{4} + n^{2}}}$

Notið samanburð með markgildi til að ákvarða hvort hver eftirfarandi röð sé samleitin eða ósamleitin.

207.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{ln n}{n})}^{2}$

208.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{ln n}{n^{0.6}})}^{2}$

209.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ln (1 + \frac{1}{n})}{n}$

210.

$\sum_{n = 1}^{\infty} ln (1 + \frac{1}{n^{2}})$

211.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{4^{n} - 3^{n}}$

212.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} - n sin n}$

213.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{e^{(1.1) n} - 3^{n}}$

214.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{e^{(1.01) n} - 3^{n}}$

215.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + 1 / n}}$

216.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{1 + 1 / n} n^{1 + 1 / n}}$

217.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - sin (\frac{1}{n}))$

218.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (1 - cos (\frac{1}{n}))$

219.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} (\frac{π}{2} - {tan}^{−1} n)$

220.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{n}$ (Vísbending: ${(1 - \frac{1}{n})}^{n} \to 1 / e .)$

221.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (1 - e^{−1 / n})$ (Vísbending: $1 / e \approx {(1 - 1 / n)}^{n},$ og því $1 - e^{−1 / n} \approx 1 / n .)$

222.

Er $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{{(ln n)}^{p}}$ samleitin ef gildi $p$ er nægilega stórt? Ef svo er, fyrir hvaða gildi $p ?$

223.

Er $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{(ln n)}{n})}^{p}$ samleitin ef gildi $p$ er nægilega stórt? Ef svo er, fyrir hvaða gildi $p ?$

224.

Fyrir hvaða gildi $p$ er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{p n} / 3^{n}$ samleitin?

225.

Fyrir hvaða gildi $p > 0$ er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{p}}{2^{n}}$ samleitin?

226.

Fyrir hvaða gildi $r > 0$ er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{r^{n^{2}}}{2^{n}}$ samleitin?

227.

Fyrir hvaða gildi $r > 0$ er röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{r^{n^{2}}}$ samleitin?

228.

Finnið öll gildi $p$ og $q$ þannig að $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{p}}{{(n!)}^{q}}$ sé samleitin.

229.

Er $_{n = 1}^{\infty} (\frac{n π}{2})$ samleitin eða ósamleitin? Útskýrið.

230.

Sýnið að fyrir sérhvert $n,$ sé að minnsta kosti ein talnanna í ${| sin n |, | sin (n + 1) |,..., | sin n + 6 |}$ er stærri en $1 / 2 .$ Notið þessi tengsl til að kanna samleitni $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{| sin n |}{\sqrt{n}} .$

231.

Gerum ráð fyrir að $a_{n} \geq 0$ og $b_{n} \geq 0$ og að $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{2}_{n}$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} b^{2}_{n}$ séu samleitnar. Sannið að $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ sé samleitin og $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n} \leq \frac{1}{2} (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}^{2}) .$

232.

Er $\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{− ln ln n}$ samleitin? (Vísbending: Ritið $2^{ln ln n}$ sem veldi af $ln n .)$

233.

Er $\sum_{n = 1}^{\infty} {(ln n)}^{− ln n}$ samleitin? (Vísbending: Notið $n = e^{ln (n)}$ til að bera saman við $p - röð .)$

234.

Er $\sum_{n = 2}^{\infty} {(ln n)}^{− ln ln n}$ samleitin? (Vísbending: Berið $a_{n}$ saman við $1 / n .)$

235.

Sýnið að ef $a_{n} \geq 0$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ er samleitin, þá sé $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{2}_{n}$ samleitin. Ef $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{2}_{n}$ er samleitin, þarf $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ þá endilega að vera samleitin?

236.

Gerum ráð fyrir að $a_{n} > 0$ fyrir öll $n$ og að $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin. Gerum ráð fyrir að $b_{n}$ sé valfrjáls runa núlla og ása. Þarf $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ þá endilega að vera samleitin?

237.

Gerum ráð fyrir að $a_{n} > 0$ fyrir öll $n$ og að $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé ósamleitin. Gerum ráð fyrir að $b_{n}$ sé valfrjáls runa núlla og ása, með óendanlega marga liði jafna einum. Þarf $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ þá endilega að vera ósamleitin?

238.

Fyllið inn í eftirfarandi röksemdafærslu: Ef $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ hefur endanlegu summuna $s,$ þá gildir $\frac{1}{2} s = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ⋯$ og $s - \frac{1}{2} s = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ⋯ .$ Hvers vegna leiðir þetta til mótsagnar?

239.

Sýnið að ef $a_{n} \geq 0$ og $\sum_{n = 1}^{\infty} a^{2}_{n}$ er samleitin, þá sé $\sum_{n = 1}^{\infty} {sin}^{2} (a_{n})$ samleitin.

240.

Gerum ráð fyrir að $a_{n} / b_{n} \to 0$ í samanburðarprófinu, þar sem $a_{n} \geq 0$ og $b_{n} \geq 0.$ Sannið að ef $\sum b_{n}$ er samleitin, þá sé $\sum a_{n}$ samleitin.

241.

Látum $b_{n}$ vera óendanlega runu núlla og ása. Hvert er stærsta mögulega gildi $x = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} / 2^{n} ?$

242.

Látum $d_{n}$ vera óendanlega runu tölustafa, það er að segja að $d_{n}$ taki gildi í ${0, 1,…, 9} .$ Hvert er stærsta mögulega gildi $x = \sum_{n = 1}^{\infty} d_{n} / 10^{n}$ þannig að röðin sé samleitin?

243.

Ef $x > 1 / 2,$ útskýrið hvers vegna ekki er hægt að rita $x$ sem $x = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{b_{n}}{2^{n}} (b_{n} = 0 eða 1, b_{1} = 0) .$

244.

[T] Evelyn hefur fullkomna jafnvægisvog, ótakmarkaðan fjölda $1 -kg$ lóða og eitt lóð af hverri stærð $1 / 2 -kg, 1 / 4 -kg, 1 / 8 -kg,$ og svo framvegis. Hún vill vega loftstein af ótilgreindum uppruna með eins mikilli nákvæmni og óskað er. Að því gefnu að vogin sé nægilega stór, getur hún það? Hvernig tengist þetta óendanlegum röðum?

245.

[T] Robert vill vita líkamsmassa sinn með eins mikilli nákvæmni og óskað er. Hann hefur stóra jafnvægisvog sem virkar fullkomlega, ótakmarkað safn $1 -kg$ lóða og níu lóð af hverri stærð $0.1 -kg,$ $0.01 -kg, 0.001 -kg,$ og svo framvegis. Að því gefnu að vogin sé nægilega stór, getur hann það? Hvernig tengist þetta óendanlegum röðum?

246.

Röðin $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n}$ er helmingur harmonísku raðarinnar og er því ósamleitin. Hún fæst úr harmonísku röðinni með því að eyða öllum liðum þar sem $n$ er oddatala. Látum $m > 1$ vera fast. Sýnið almennt að ef öllum liðum $1 / n$ , þar sem $n = m k$ fyrir einhverja heiltölu $k$ , er eytt, fæst einnig ósamleitin röð.

247.

Með hliðsjón af fyrra verkefni kann að koma á óvart að hlutröð harmonísku raðarinnar geti verið samleitin þótt um það bil fimmti hver liður sé fjarlægður. Skert harmonísk röð fæst úr $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ með því að fjarlægja sérhvern lið $1 / n$ ef tiltekinn tölustafur, til dæmis $9,$ kemur fyrir í tugakerfisframsetningu $n .$ Rökstyðjið að þessi skerta harmoníska röð sé samleitin með því að svara eftirfarandi spurningum.

Hversu margar jákvæðar heiltölur $n$ hafa $d$ tölustafi?
Ákvarðið hve margar $d -stafa$ heiltölur eru; táknið fjöldann með $h (d) .$ Fjöldinn skal aðeins ná til talna sem innihalda ekki $9$ sem tölustaf.
Hver er minnsta $d -stafa$ talan $m (d) ?$
Útskýrið hvers vegna skerta harmoníska röðin er takmörkuð að ofan af $\sum_{d = 1}^{\infty} \frac{h (d)}{m (d)} .$
Sýnið að $\sum_{d = 1}^{\infty} \frac{h (d)}{m (d)}$ sé samleitin.

248.

Gerum ráð fyrir að talnaruna $a_{n} > 0$ hafi þann eiginleika að $a_{1} = 1$ og $a_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} S_{n},$ þar sem $S_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n} .$ Er hægt að ákvarða hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin? (Vísbending: $S_{n}$ er einhalla.)

249.

Gerum ráð fyrir að talnaruna $a_{n} > 0$ hafi þann eiginleika að $a_{1} = 1$ og $a_{n + 1} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} S_{n},$ þar sem $S_{n} = a_{1} + ⋯ + a_{n} .$ Er hægt að ákvarða hvort $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ sé samleitin? (Vísbending: $S_{2} = a_{2} + a_{1} = a_{2} + S_{1} = a_{2} + 1 = 1 + 1 / 4 = (1 + 1 / 4) S_{1},$ $S_{3} = \frac{1}{3^{2}} S_{2} + S_{2} = (1 + 1 / 9) S_{2} = (1 + 1 / 9) (1 + 1 / 4) S_{1},$ og svo framvegis. Skoðið $ln (S_{n}),$ og notið $ln (1 + t) \leq t,$ $t > 0 .)$