Við höfum séð að runa er röðuð upptalning liða. Ef liðunum er lagt saman fæst röð. Í þessum hluta skilgreinum við óendanlega röð og sýnum tengsl raða og runa. Við skilgreinum einnig hvað það merkir að röð sé samleitin eða ósamleitin. Við kynnum eina mikilvægustu gerð raða, geómetrískar raðir. Í næsta kafla notum við geómetrískar raðir til að rita tiltekin föll sem margliður með óendanlega mörgum liðum. Þetta ferli er mikilvægt því með því getum við reiknað gildi flókinna falla, diffrað þau og heildað þau með hjálp margliða sem auðveldara er að vinna með. Við fjöllum einnig um harmonísku röðina, ef til vill athyglisverðustu ósamleitnu röðina, því hún nær rétt svo ekki að vera samleitin.
Summur og raðir
Óendanleg röð er summa óendanlega margra liða og er rituð á forminu
En hvað merkir þetta? Við getum ekki lagt saman óendanlega marga liði á sama hátt og endanlega marga liði. Þess í stað er gildi óendanlegrar raðar skilgreint með markgildi hlutsumma. Hlutsumma óendanlegrar raðar er endanleg summa á forminu
Til að sjá hvernig hlutsummur eru notaðar til að reikna óendanlegar raðir skulum við skoða eftirfarandi dæmi. Gerum ráð fyrir að olía leki út í stöðuvatn þannig að gallon berist í vatnið fyrstu vikuna. Í annarri viku berast gallon til viðbótar út í vatnið. Í þriðju vikunni berast gallon til viðbótar í vatnið. Gerum ráð fyrir að mynstrið haldi áfram þannig að í hverri viku berist helmingi minni olía í vatnið en vikuna á undan. Hvað getum við sagt um olíumagnið í vatninu ef þetta heldur áfram endalaust? Verður olíumagnið ótakmarkað eða getur það nálgast eitthvert endanlegt magn? Til að svara þessari spurningu skoðum við olíumagnið í vatninu eftir vikur. Látum tákna olíumagnið í vatninu (mælt í þúsundum gallona) eftir vikur. Þá fæst
Af þessu mynstri sést að olíumagnið í vatninu (í þúsundum gallona) eftir vikur er
Við viljum vita hvað gerist þegar Með táknum er olíumagnið í vatninu þegar gefið með óendanlegu röðinni
Jafnframt má reikna olíumagnið í vatninu þegar með því að finna gildi Því má ákvarða hegðun óendanlegu raðarinnar með því að skoða hegðun runu hlutsummanna Ef runa hlutsummanna er samleitin segjum við að óendanlega röðin sé samleitin og summa hennar er þá Ef runan er ósamleitin segjum við að óendanlega röðin sé ósamleitin. Nú beinum við athyglinni að því að finna markgildi rununnar
Einföldum fyrst nokkrar af þessum hlutsummum:
Þegar nokkur þessara gilda eru teiknuð á Mynd 5.10 virðist runan geta nálgast 2.
Mynd 5.10. Grafið sýnir runu hlutsummanna Runa hlutsummanna virðist nálgast gildið
Leitum að frekari sannfærandi rökum. Í eftirfarandi töflu skráum við gildi fyrir nokkur gildi á
k
5
10
15
20
S k
1.9375
1.998
1.999939
1.999998
Þessi gögn renna frekari stoðum undir að runan stefni á Síðar setjum við fram greinileg rök sem nota má til að sanna að Í bili látum við tölulegu gögnin og grafið sannfæra okkur um að runa hlutsummanna stefni í raun á Þar sem þessi runa hlutsummanna stefnir á segjum við að óendanlega röðin stefni á og ritum
Snúum okkur aftur að spurningunni um olíuna í vatninu. Þar sem óendanlega röðin stefnir á ályktum við að olíumagnið í vatninu verði eins nálægt gallonum og vera skal þegar nægilega langur tími er liðinn.
Þessi röð er dæmi um geómetríska röð. Við fjöllum nánar um geómetrískar raðir síðar í þessum hluta. Fyrst tökum við saman hvað það merkir að óendanleg röð sé samleitin.
Athugið að vísir raðar þarf ekki að hefjast á heldur getur hann hafist á hvaða gildi sem er. Röðina
má til dæmis einnig rita sem
Oft er hentugt að vísirinn hefjist á en ef hann hefst af einhverjum ástæðum á öðru gildi má endurvísa röðinni með breytuskiptum. Skoðum til dæmis röðina
Með því að setja þannig að má endurrita röðina sem
Dæmi 5.7
Markgildi runu hlutsumma reiknað
Notið runu hlutsummanna fyrir hverja eftirfarandi röð til að ákvarða hvort röðin sé samleitin eða ósamleitin.
Lausn
Runa hlutsummanna uppfyllir Athugið að hver liður sem bætt er við er stærri en Af því leiðir að Af þessu mynstri sést að fyrir sérhverja heiltölu Því er ótakmörkuð og þar af leiðandi ósamleitin. Óendanlega röðin er því ósamleitin.
Runa hlutsummanna uppfyllir Af þessu mynstri sést að runa hlutsummanna er Þar sem þessi runa er ósamleitin er óendanlega röðin ósamleitin.
Runa hlutsummanna uppfyllir Af þessu mynstri sést að hlutsumman er gefin með lokaða forminu Þar sem ályktum við að runa hlutsummanna sé samleitin og því stefnir óendanlega röðin á Við höfum
Harmoníska röðin
Harmoníska röðin er gagnleg röð sem er skilgreind sem
(5.5)
Þessi röð er athyglisverð því hún er ósamleitin, en sundurleitni hennar er afar hæg. Með því er átt við að liðir runu hlutsummanna stefni á óendanlegt, en geri það mjög hægt. Við sýnum að röðin er ósamleitin, en fyrst sýnum við hægan vöxt liðanna í rununni í eftirfarandi töflu.
k
10
100
1000
10,000
100,000
1,000,000
S k
2.92897
5.18738
7.48547
9.78761
12.09015
14.39273
Jafnvel eftir liði er hlutsumman enn tiltölulega lítil. Af töflunni er ekki ljóst að röðin sé í raun ósamleitin. Við getum hins vegar sýnt með greinilegum rökum að runa hlutsummanna er ósamleitin og því er röðin ósamleitin.
Til að sýna að runa hlutsummanna sé ósamleitin sýnum við að hún sé ótakmörkuð. Byrjum á að rita fyrstu hlutsummurnar:
Athugið að eftirfarandi gildir fyrir síðustu tvo liðina í
Því ályktum við að
Með sömu hugmynd fyrir fæst
Af þessu mynstri sést að og Almennt má sýna að fyrir öll Þar sem ályktum við að runan sé ótakmörkuð og því ósamleitin. Í síðasta hluta sögðum við að samleitnar runur væru takmarkaðar. Þar sem er ótakmörkuð er hún því ósamleitin. Harmoníska röðin er þar með ósamleitin.
Reiknireglur um samleitnar raðir
Þar sem summa samleitinnar óendanlegrar raðar er skilgreind sem markgildi runu leiða eftirfarandi reiknireglur um raðir beint af reiknireglum um runur.
Með reglunni um margföldun með fasta og summunum hér að ofan getum við síðan ályktað að
Geómetrískar raðir
Geómetrísk röð er sérhver röð sem rita má á forminu
(5.6)
Þar sem hlutfall sérhvers liðar raðarinnar og liðarins á undan er r kallast talan r hlutfallstala raðarinnar. Við köllum a fyrsta liðinn því hann er fyrsti liður raðarinnar. Röðin
er til dæmis geómetrísk röð með fyrsta liðinn og hlutfallstöluna
Hvenær er geómetrísk röð almennt samleitin? Skoðum geómetrísku röðina
þegar Runa hlutsummanna er gefin með
Skoðum tilvikið þegar Þá er
Þar sem vitum við að þegar Því er runa hlutsummanna ótakmörkuð og þar með ósamleitin. Óendanlega röðin er því ósamleitin fyrir Þegar finnum við markgildi með því að margfalda Jöfnu 5.6 með Þá sést að
Allir hinir liðirnir styttast út.
Því fæst
Af umfjölluninni í síðasta hluta vitum við að geómetríska runan uppfyllir þegar og að runan er ósamleitin ef eða Þegar gildir og þá fæst
Ef er ósamleitin og því
Geómetrískar raðir birtast stundum á örlítið öðru formi. Vísirinn hefst til dæmis stundum á öðru gildi en eða veldisvísirinn inniheldur aðra línulega segð í en Svo lengi sem unnt er að endurrita röðina á forminu í Jöfnu 5.5 er hún geómetrísk röð. Skoðum til dæmis röðina
Til að sjá að þetta er geómetrísk röð ritum við fyrstu liðina:
Við sjáum að fyrsti liðurinn er og hlutfallstalan er Því má rita röðina sem
Þar sem er röðin samleitin og summa hennar er
Dæmi 5.9
Samleitni geómetrískar raðar ákvörðuð
Ákvarðið hvort hver eftirfarandi geómetrísk röð sé samleitin eða ósamleitin. Ef hún er samleitin, finnið þá summu hennar.
Lausn
Þegar fyrstu liðir raðarinnar eru ritaðir fæst Fyrsti liðurinn er og hlutfallstalan er Þar sem stefnir röðin á
Þegar röðin er rituð sem sést að þetta er geómetrísk röð þar sem Röðin er því ósamleitin.
Nú beinum við athyglinni að skemmtilegri hagnýtingu geómetrískra raða. Við sýnum hvernig nota má þær til að rita endurtekin tugabrot sem brot tveggja heiltalna.
Dæmi 5.10
Endurtekin tugabrot rituð sem brot tveggja heiltalna
Notið geómetríska röð til að rita sem brot tveggja heiltalna.
Lausn
Þar sem ritum við fyrst
Ef liðurinn 3 er undanskilinn er afgangur segðarinnar geómetrísk röð með fyrsta liðinn og hlutfallstöluna Summa raðarinnar er því
Þar með fæst
Dæmi 5.11
Kaflaupphaf: Flatarmál Koch-snjókornsins fundið
Skilgreinum runu mynda með rakningarvenslum á eftirfarandi hátt (Mynd 5.11). Látum vera jafnhliða þríhyrning með hliðarlengd Fyrir látum við vera ferilinn sem fæst með því að fjarlægja miðþriðjung hverrar hliðar og setja í staðinn jafnhliða þríhyrning sem vísar út á við. Markamyndin þegar nefnist Koch-snjókorn.
Mynd 5.11. Fyrstu fjórar myndirnar, F0 , F1 , F2 , og F3 , í smíði Koch-snjókornsins.
Finnið lengd ummáls á Reiknið til að finna lengd ummáls Koch-snjókornsins.
Finnið flatarmál myndarinnar Reiknið til að finna flatarmál Koch-snjókornsins.
Lausn
Látum tákna fjölda hliða myndarinnar Þar sem er þríhyrningur er Látum tákna lengd hverrar hliðar Þar sem er jafnhliða þríhyrningur með hliðarlengd þurfum við nú að ákvarða og Þar sem er mynduð með því að fjarlægja miðþriðjung hverrar hliðar og setja tvö línustrik í stað hans, fást fyrir hverja hlið í fjórar hliðar í Fjöldi hliða er því Þar sem lengd hvers nýs línustriks er af lengd línustrikanna í er lengd línustrikanna í gefin með Á sama hátt, fyrir er miðþriðjungur hverrar hliðar fjarlægður og tvö línustrik sett í stað hans. Fjöldi hliða í er því gefinn með Þar sem lengd hverrar þessara hliða er af lengd hliðanna í er lengd hverrar hliðar myndarinnar gefin með Almennt fæst með því að fjarlægja miðþriðjung hverrar hliðar og setja í stað hans tvö línustrik af lengd sem mynda jafnhliða þríhyrning. Því vitum við að og Fjöldi hliða myndarinnar er því og lengd hverrar hliðar er Til að reikna ummál margföldum við fjölda hliða með lengd hverrar hliðar Við ályktum að ummál sé gefið með Lengd ummáls Koch-snjókornsins er því
Látum tákna flatarmál hvers nýs þríhyrnings sem myndast við smíði Fyrir þá er flatarmál upphaflega jafnhliða þríhyrningsins. Því er Fyrir þá gildir að hliðarlengdir nýja þríhyrningsins eru af hliðarlengdum og því er Þar með fæst Þar sem nýr þríhyrningur myndast á hverri hlið þá er Þegar fyrstu liðirnir í eru ritaðir, sést að Almennt gildir Tökum út fyrir hvern lið innan innri sviganna og endurritum segðina sem Segðin er geómetrísk summa. Eins og áður var sýnt uppfyllir þessi summa Setjum þessa segð inn í segðina að ofan og einföldum. Þá ályktum við að Flatarmál Koch-snjókornsins er því
Greining
Koch-snjókornið er athyglisvert því flatarmál þess er endanlegt en ummálið óendanlegt. Þótt þetta virðist ef til vill ómögulegt í fyrstu skulum við rifja upp að svipuð dæmi hafa áður komið fyrir í bókinni. Skoðum til dæmis svæðið sem afmarkast af ferlinum og -ásnum á bilinu Þar sem óeiginlega heildið
er samleitið er flatarmál svæðisins endanlegt, jafnvel þótt ummálið sé óendanlegt.
Kíkisraðir
Skoðum röðina Við fjölluðum um þessa röð í Dæmi 5.7 og sýndum að hún væri samleitin með því að rita fyrstu hlutsummurnar og taka eftir að þær eru allar á forminu Hér notum við aðra aðferð til að sýna að röðin sé samleitin. Með stofnbrotaliðun má rita
Því má rita röðina sem
Þegar fyrstu liðirnir í runu hlutsummanna eru ritaðir fæst
Almennt gildir
Við tökum eftir að miðliðirnir styttast út og aðeins fyrsti og síðasti liðurinn standa eftir. Röðin dregst á vissan hátt saman eins og kíkir þar sem hólkarnir renna hver inn í annan og stytta kíkinn. Af þeirri ástæðu nefnist röð með þennan eiginleika kíkisröð. Þar sem og þegar stefnir runa hlutsummanna á og röðin stefnir því á
Sérhver röð á forminu
er til dæmis kíkisröð. Þetta sést með því að rita nokkrar hlutsummur. Nánar tiltekið fæst
Almennt er k-ta hlutsumma raðarinnar
Þar sem einfalda má k-tu hlutsummuna í mismun þessara tveggja liða er runa hlutsummanna samleitin þá og því aðeins að runan sé samleitin. Ef runan stefnir á einhverja endanlega tölu stefnir runa hlutsummanna jafnframt á og því
Í næsta dæmi sýnum við hvernig nota má þessar hugmyndir til að greina kíkisröð af þessu tagi.
Dæmi 5.12
Kíkisröð reiknuð
Ákvarðið hvort kíkisröðin
sé samleitin eða ósamleitin. Ef hún er samleitin, finnið þá summu hennar.
Lausn
Með því að rita liði runu hlutsummanna sést að
Almennt gildir
Þar sem þegar og er samfellt fall gildir Við ályktum því að Kíkisröðin er samleitin og summa hennar er
Æfingar í undirkafla 5.2
Ritið eftirfarandi segðir sem óendanlegar raðir með summutákni.
67.
68.
69.
70.
Reiknið fyrstu fjórar hlutsummurnar fyrir röðina sem hefur liðinn og byrjar á sem hér segir.
71.
72.
73.
74.
Reiknið í eftirfarandi verkefnum almenna liðinn í röðinni með gefna hlutsummu Ef runa hlutsummanna er samleitin, finnið þá markgildi hennar
75.
76.
77.
78.
Notið runu hlutsummanna fyrir hverja eftirfarandi röð til að ákvarða hvort röðin sé samleitin eða ósamleitin.
79.
80.
81.
(Vísbending: Notið stofnbrotaliðun eins og fyrir
82.
(Vísbending: Fylgið röksemdafærslunni fyrir
Gerum ráð fyrir að að að og að Finnið summu tilgreindu raðarinnar.
83.
84.
85.
86.
Segið til um hvort gefna röðin sé samleitin og útskýrið hvers vegna.
87.
(Vísbending: Endurritið með vísibreytingu.)
88.
(Vísbending: Endurritið með vísibreytingu.)
89.
90.
91.
92.
Fyrir hér á eftir skal rita summuna sem geómetríska röð á forminu Segið til um hvort röðin sé samleitin og ef svo er, finnið gildi
93.
og fyrir
94.
og fyrir
95.
og fyrir
96.
og fyrir
Notið samsemdina til að setja fallið fram sem geómetríska röð í tilgreinda liðnum.
97.
í
98.
í
99.
í
100.
í
Reiknið eftirfarandi kíkisraðir eða segið til um að röðin sé ósamleitin.
101.
102.
103.
104.
Setjið eftirfarandi röð fram sem kíkissummu og reiknið n-tu hlutsummu hennar.
105.
106.
(Vísbending: Þáttið nefnarann og notið stofnbrot.)
107.
108.
(Vísbending: Skoðið
Almenn kíkisröð er röð þar sem allir liðirnir nema þeir fyrstu styttast út eftir að tilteknum fjölda samliggjandi liða hefur verið lagt saman.
109.
Látum þar sem þegar Finnið
110.
þar sem þegar Finnið
111.
Gerum ráð fyrir að þar sem þegar Finnið skilyrði fyrir stuðlana sem gera þetta að almennri kíkisröð.
112.
Reiknið (Vísbending:
113.
Reiknið
114.
Finnið formúlu fyrir þar sem er jákvæð heiltala.
115.
[T] Skilgreinið runu Notið graf til að sannreyna að sé vaxandi. Teiknið fyrir og segið til um hvort runan virðist vera samleitin.
116.
[T] Gerum ráð fyrir að einsleitir rétthyrndir kubbar af sömu stærð séu staflaðir hver ofan á annan þannig að þeir megi skaga hver fram yfir annan. Vogarlögmál Arkímedesar segir að staflinn af kubbum sé stöðugur svo lengi sem massamiðja efstu kubbanna liggur við brún neðsta kubbsins. Látum tákna staðsetningu brúnar neðsta kubbsins og hugsum staðsetninguna miðað við miðju næstneðsta kubbsins. Af þessu leiðir að eða Notið þessa segð til að reikna mesta mögulega útskotið, það er staðsetningu brúnar efsta kubbsins fram yfir brún neðsta kubbsins. Sjá eftirfarandi mynd.
Hver eftirfarandi óendanleg röð stefnir á gefið margfeldi af eða
Finnið í hverju tilviki minnsta gildi þannig að hlutsumma raðarinnar nálgi vinstri hliðina með gefnum fjölda aukastafa og gefið æskilegt nálgunargildi. Með aukastöfum er
117.
[T] skekkja
118.
[T] skekkja
119.
[T] skekkja
120.
[T] skekkja
121.
[T] Sanngjörn mynt hefur líkurnar á að lenda með skjaldarmerkið upp þegar henni er kastað.
Hverjar eru líkurnar á að sanngjörn mynt lendi sinnum í röð með fiskinn upp?
Finnið líkurnar á að mynt lendi í fyrsta sinn með skjaldarmerkið upp í síðasta kasti af sléttum fjölda kasta.
122.
[T] Finnið líkurnar á að sanngjarnri mynt sé kastað margfeldi af þremur sinnum áður en hún lendir með skjaldarmerkið upp.
123.
[T] Finnið líkurnar á að sanngjörn mynt lendi í annað sinn með skjaldarmerkið upp eftir sléttan fjölda kasta.
124.
[T] Finnið röð sem lýsir líkunum á að sanngjörn mynt lendi í annað sinn með skjaldarmerkið upp í kasti sem er margfeldi af þremur.
125.
[T] Væntur fjöldi skipta sem sanngjörn mynt lendir með skjaldarmerkið upp er skilgreindur sem summan yfir af sinnum líkunum á að myntin lendi nákvæmlega sinnum í röð með skjaldarmerkið upp, það er Reiknið væntan fjölda skipta í röð sem sanngjörn mynt lendir með skjaldarmerkið upp.
126.
[T] Einstaklingur leggur inn á bankareikning í upphafi hvers ársfjórðungs. Reikningurinn ber ársvexti með vaxtavöxtum ársfjórðungslega, það er fjórum sinnum á ári.
Sýnið að uppsafnaðir vextir eftir ársfjórðunga séu
Finnið fyrstu átta liði rununnar.
Hversu miklir vextir hafa safnast upp eftir ár?
127.
[T] Gerum ráð fyrir að magn lyfs í líkama sjúklings margfaldist á hverri klukkustund með stuðlinum Gerum ráð fyrir að nýr skammtur sé gefinn á klukkustunda fresti. Finnið segð fyrir magnið í líkama sjúklingsins eftir klukkustundir fyrir sérhvert sem fall af skammtinum og hlutfallinu (Vísbending: Ritið þar sem og leggið saman gildin frá mismunandi skömmtum sem gefnir voru.)
128.
[T] Tiltekið lyf verkar á meðalsjúkling aðeins ef magn þess í líkamanum er að minnsta kosti mg á hvert kg, en það er aðeins öruggt ef magnið í líkama meðalsjúklings er í mesta lagi mg á hvert kg. Gerum ráð fyrir að magnið í líkama sjúklings margfaldist á hverri klukkustund með stuðlinum eftir að skammtur er gefinn. Finnið lengsta tímabilið í klukkustundum milli skammta og samsvarandi skammt (í mg/kg) fyrir þetta þannig að lyfið sé bæði öruggt og virkt til langs tíma.
129.
Gerum ráð fyrir að sé talnaruna. Útskýrið hvers vegna runa hlutsumma raðarinnar með liðum sé vaxandi.
130.
[T] Gerum ráð fyrir að sé runa jákvæðra talna og að runa hlutsumma sé takmörkuð að ofan. Útskýrið hvers vegna sé samleitin. Gildir niðurstaðan enn ef við fellum brott forsenduna
131.
[T] Gerum ráð fyrir að . Fyrir gefnar tölur og skilgreinum við og Er samleitin? Ef svo er, hvert stefnir hún? (Vísbending: Rökstyðjið fyrst að fyrir öll og að sé vaxandi.)
132.
[T] Nota má útgáfu af vaxtarlíkani von Bertalanffys til að meta aldur einstaklings innan einsleitrar tegundar út frá lengd hans ef árleg lengdaraukning á ári uppfyllir þar sem er lengdin á ári er markalengd og er hlutfallslegur vaxtarfasti. Ef og skal meta tölulega minnsta gildi þannig að Athugið að Finnið samsvarandi þegar
133.
[T] Gerum ráð fyrir að sé samleitin röð jákvæðra liða. Útskýrið hvers vegna
134.
[T] Finnið lengd strikalaga sikk-sakk-ferilsins á eftirfarandi mynd.
135.
[T] Finnið heildarlengd strikalaga ferilsins á eftirfarandi mynd.
136.
[T]Sierpiński-þríhyrningurinn fæst úr þríhyrningi með því að fjarlægja miðfjórðunginn eins og sýnt er í fyrsta skrefi, fjarlægja miðfjórðung hvers þeirra þriggja eins þríhyrninga sem eftir standa í öðru skrefi og almennt fjarlægja miðfjórðung þríhyrninganna sem eftir standa í hverju skrefi. Gerið ráð fyrir að upphaflegi þríhyrningurinn sé sýndur á myndinni. Finnið flatarmál þeirra hluta upphaflega þríhyrningsins sem eftir standa eftir skref og heildarlengd jaðra allra þríhyrninganna eftir skref.
137.
[T] Sierpiński-teppið fæst með því að skipta einingarferningi í níu jafna undirferninga, fjarlægja miðferninginn og endurtaka síðan sama ferli á undirferningunum sem eftir standa í hverju skrefi. Myndin sýnir mengið sem stendur eftir eftir fjórar ítranir. Reiknið heildarflatarmálið sem hefur verið fjarlægt eftir skref og heildarlengd ummáls mengisins sem eftir stendur eftir skref.
