Yfirlitsverkefni

Ef $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{a}_n=0,$ þá er ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ samleitin.

Ef $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{a}_n\ne 0,$ þá er ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ ósamleitin.

Ef ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_n\right|}$ er samleitin, þá er ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ samleitin.

Ef ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{2}^n{a}_n}$ er samleitin, þá er ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left(\mathrm{-2}\right)}^n{a}_n}$ samleitin.

$a_n=\frac{3+n^2}{1-n}$

$a_n=\text{ln}\left(\frac{1}{n}\right)$

$a_n=\frac{\text{ln}\left(n+1\right)}{\sqrt{n+1}}$

$a_n=\frac{2^{n+1}}{5^n}$

$a_n=\frac{\text{ln}\left(\text{cos}n\right)}{n}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+5n+4}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\text{ln}\left(\frac{n+1}{n}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n^4}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{e^n}{n\text{!}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n}^{\text{−}\left(n+1\text{/}n\right)}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(\mathrm{-1}\right)}^n}{\sqrt{n}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(\mathrm{-1}\right)}^{n}n\text{!}}{3^n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(\mathrm{-1}\right)}^{n}n\text{!}}{n^n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\text{sin}\left(\frac{n\pi }{2}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\text{cos}\left(\pi n\right)e^{\text{−}n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^{n+4}}{7^n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)}}$

Samkvæmt indverskri þjóðsögu fann stærðfræðingur upp skák fyrir konung. Konungurinn hafði svo gaman af leiknum að hann leyfði stærðfræðingnum að velja sér hvaða laun sem hann vildi. Stærðfræðingurinn bað um eitt hrísgrjón fyrir fyrsta reit skákborðsins, tvö hrísgrjón fyrir annan reitinn, fjögur fyrir þriðja reitinn og svo framvegis. Finnið nákvæma segð fyrir heildarfjölda hrísgrjónanna sem stærðfræðingurinn fór fram á. Gerum ráð fyrir að $\mathrm{30,000}$ hrísgrjón séu í $1$ pundi og $2000$ pund í $1$ tonni. Hversu mörg tonn af hrísgrjónum reyndi stærðfræðingurinn að fá?

Finnið $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{x}_n$ ef $b>1,$ $b<1,$ og $b=1.$

Finnið segð fyrir $S_n={\displaystyle \sum _{i=0}^n{x}_i}$ sem fall af $b$ og $x_0.$ Hvað táknar segðin í þessu samhengi?

Ef $b=\frac{3}{4}$ og $x_0=100,$ finnið þá $S_{10}$ og $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{S}_n$

Fyrir hvaða gildi $b$ er röðin samleitin og fyrir hvaða gildi er hún ósamleitin? Að hvaða gildi stefnir röðin?