Meginatriði

Meginatriði

5.1 Runur

• Til að ákvarða samleitni runu sem gefin er með lokuðu formi $a_n=f(n),$ notum við reiknireglur markgilda falla.
• Ef $\left\{a_n\right\}$ og $\left\{b_n\right\}$ eru samleitnar runur sem stefna á $A$ og $B,$ í sömu röð, og $c$ er einhver rauntala, þá stefnir runan $\left\{c{a}_n\right\}$ á $c·A,$ runurnar $\{a_n\pm b_n\}$ stefna á $A\pm B,$ runan $\{a_n·b_n\}$ stefnir á $A·B,$ og runan $\left\{a_n\text{/}{b}_n\right\}$ stefnir á $A\text{/}B,$ að því gefnu að $B\ne 0.$
• Ef runa er takmörkuð og einhalla, er hún samleitin, en ekki eru allar samleitnar runur einhalla.
• Ef runa er ótakmörkuð, er hún ósamleitin, en ekki eru allar ósamleitnar runur ótakmarkaðar.
• Kvótarunan $\left\{r^n\right\}$ er samleitin þá og því aðeins að $\left|r\right|<1$ eða $r=1.$

5.2 Óendanlegar raðir

• Um óendanlegu röðina
  
  $${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+a_3+\text{⋯}$$
  
  og samsvarandi runu hlutsummanna $\left\{S_k\right\}$, þar sem
  
  $$S_k={\displaystyle \sum }_{n=1}^k{a}_n=a_1+a_2+a_3+\text{⋯}+a_k,$$
  
  gildir að röðin er samleitin þá og því aðeins að runan $\left\{S_k\right\}$ sé samleitin.
  $${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+a_3+\text{⋯}$$
  $$S_k={\displaystyle \sum }_{n=1}^k{a}_n=a_1+a_2+a_3+\text{⋯}+a_k,$$
• Geómetríska röðin ${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$ er samleitin ef $\left|r\right|<1$ og ósamleitin ef $\left|r\right|\ge 1.$ Fyrir $\left|r\right|<1,$
  
  $${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}=\frac{a}{1-r}.$$
  $${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}=\frac{a}{1-r}.$$
• Harmoníska röðin
  
  $${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\text{⋯}$$
  
  er ósamleitin.
  $${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\text{⋯}$$
• Röð á forminu ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }[b_n-b_{n+1}]}=[b_1-b_2]+[b_2-b_3]+[b_3-b_4]+\text{⋯}+[b_n-b_{n+1}]+\text{⋯}$
  er kíkisröð. $k\text{-ta}$ hlutsumma raðarinnar er $S_k=b_1-b_{k+1}.$ Röðin er samleitin þá og því aðeins að $\underset{k\to \infty }{\text{lim}}{b}_{k+1}$ sé til. Þá gildir
  
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }[b_n-b_{n+1}]}=b_1-\underset{k\to \infty }{\text{lim}}\left(b_{k+1}\right).$$
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }[b_n-b_{n+1}]}=b_1-\underset{k\to \infty }{\text{lim}}\left(b_{k+1}\right).$$

5.3 Sundurleitniprófið og heildisprófið

• Ef $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{a}_n\ne 0,$ þá er röðin ${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ ósamleitin.
• Ef $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{a}_n=0,$ getur röðin ${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ verið samleitin eða ósamleitin.
• Ef ${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ er röð með jákvæða liði $a_n$ og $f$ er samfellt, fallandi fall þannig að $f\left(n\right)=a_n$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n,$ þá eru
  
  $${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\text{og}{\displaystyle {\int }_1^{\infty }f\left(x\right)dx}$$
  
  annaðhvort bæði samleit eða bæði ósamleit. Ef ${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ er jafnframt samleitin, þá nálgar $N\text{-ta}$ hlutsumman $S_N$ summuna með skekkju $R_N$, þar sem ${\displaystyle {\int }_{N+1}^{\infty }f\left(x\right)dx<R_N<{\displaystyle {\int }_N^{\infty }f\left(x\right)dx}}.$
  $${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\text{og}{\displaystyle {\int }_1^{\infty }f\left(x\right)dx}$$
• p-röðin ${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }1\text{/}{n}^p$ er samleitin ef $p>1$ og ósamleitin ef $p\le 1.$

5.4 Samanburðarpróf

• Samanburðarprófin eru notuð til að ákvarða samleitni eða ósamleitni raða með jákvæða liði.
• Við notkun samanburðarprófa er röð ${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ oft borin saman við geómetríska röð eða p-röð.

5.5 Víxlmerkjaraðir

• Fyrir víxlmerkjaröð ${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\mathrm{-1}\right)}^{n+1}{b}_n,$ ef $b_{k+1}\le b_k$ fyrir öll $k$ og $b_k\to 0$ þegar $k\to \infty ,$ þá er röðin samleitin.
• Ef ${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ er samleitin, þá er ${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ samleitin.

5.6 Kvóta- og rótarpróf

• Í kvótaprófinu skoðum við
  
  $$\rho =\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.$$
  
  Ef $\rho <1,$ er röðin ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ alsamleitin. Ef $\rho >1,$ er röðin ósamleitin. Ef $\rho =1,$ gefur prófið engar upplýsingar. Prófið hentar vel fyrir raðir þar sem liðirnir innihalda aðfeldi.
  $$\rho =\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.$$
• Í rótarprófinu skoðum við
  
  $$\rho =\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}.$$
  
  Ef $\rho <1,$ er röðin ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ alsamleitin. Ef $\rho >1,$ er röðin ósamleitin. Ef $\rho =1,$ gefur prófið engar upplýsingar. Rótarprófið hentar vel fyrir raðir þar sem liðirnir innihalda veldi.
  $$\rho =\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}.$$
• Þegar röð líkist geómetrískri röð eða $p-\text{röð,}$ skal skoða annað samanburðarprófanna.