66 Veldaraðir

6.2 Eiginleikar veldaraða

Námsmarkmið

6.2.1 Sameina veldaraðir með samlagningu eða frádrætti.
6.2.2 Mynda nýja veldaröð með því að margfalda með veldi af breytunni eða með fasta, eða með innsetningu.
6.2.3 Margfalda saman tvær veldaraðir.
6.2.4 Deilda og heilda veldaraðir lið fyrir lið.

Í fyrri hlutanum um veldaraðir og föll sýndum við hvernig setja má tiltekin föll fram með veldaröðum. Í þessum hluta fjöllum við um hvernig sameina, deilda eða heilda má veldaraðir til að mynda nýjar veldaraðir. Þetta nýtist einkum af tveimur ástæðum. Í fyrsta lagi getum við fundið veldaraðaframsetningar tiltekinna grunnfalla með því að rita þau með föllum sem hafa þekkta veldaröð. Ef veldaraðaframsetning $f (x) = \frac{1}{1 - x},$ er þekkt getum við til dæmis fundið veldaraðaframsetningu $f^{'} (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} .$ Í öðru lagi getum við með nýjum veldaröðum skilgreint ný föll sem ekki er hægt að rita með grunnföllum. Þetta kemur sérstaklega að gagni við lausn deildajafna sem hafa enga lausn sem hægt er að setja fram með grunnföllum.

Sameining veldaraða

Ef tvær veldaraðir hafa sama samleitnibil getum við lagt þær saman eða dregið aðra frá hinni og þannig myndað nýja veldaröð með sama samleitnibil. Á sama hátt getum við margfaldað veldaröð með veldi af x eða reiknað gildi hennar í $x^{m}$ fyrir jákvæða heiltölu m og þannig myndað nýja veldaröð. Þannig má finna veldaraðaframsetningar tiltekinna falla út frá veldaraðaframsetningum annarra falla. Þar sem við þekkjum til dæmis veldaraðaframsetningu $f (x) = \frac{1}{1 - x},$ getum við fundið veldaraðaframsetningar skyldra falla, svo sem

y = \frac{3 x}{1 - x^{2}} og y = \frac{1}{(x - 1) (x - 3)} .

Í setningunni um sameiningu veldaraða setjum við fram niðurstöður um samlagningu og frádrátt veldaraða, samsetningu veldaraðar og margföldun veldaraðar með veldi af breytunni. Til einföldunar setjum við setninguna fram fyrir veldaraðir með miðju í $x = 0 .$ Sambærilegar niðurstöður gilda um veldaraðir með miðju í $x = a .$

Sönnun

Við sönnum lið i fyrir röðina $\sum_{n = 0}^{\infty} (c_{n} x^{n} + d_{n} x^{n}) .$ Gerum ráð fyrir að $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ og $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n}$ séu samleitnar að föllunum f og g, í sömu röð, á bilinu I. Látum x vera punkt í I og látum $S_{N} (x)$ og $T_{N} (x)$ tákna N-tu hlutsummur raðanna $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ og $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n},$ í sömu röð. Þá er runan ${S_{N} (x)}$ samleitin að $f (x)$ og runan ${T_{N} (x)}$ samleitin að $g (x) .$ Jafnframt er N-ta hlutsumma $\sum_{n = 0}^{\infty} (c_{n} x^{n} + d_{n} x^{n})$

\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{N} (c_{n} x^{n} + d_{n} x^{n}) & = \sum_{n = 0}^{N} c_{n} x^{n} + \sum_{n = 0}^{N} d_{n} x^{n} \\ = S_{N} (x) + T_{N} (x) . \end{matrix}

Þar sem

\begin{matrix} lim_{N \to \infty} (S_{N} (x) + T_{N} (x)) & = lim_{N \to \infty} S_{N} (x) + lim_{N \to \infty} T_{N} (x) \\ = f (x) + g (x), \end{matrix}

fæst að röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} (c_{n} x^{n} + d_{n} x^{n})$ er samleitin að $f (x) + g (x) á I .$

□

Við skoðum margfeldi veldaraða í síðari setningu. Fyrst sýnum við nokkra notkunarmöguleika setningarinnar um sameiningu veldaraða og hvernig finna má samleitnibil veldaraðar þegar samleitnibil skyldrar veldaraðar er þekkt.

Dæmi 6.4

Sameining veldaraða

Gerum ráð fyrir að $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ sé veldaröð með samleitnibilið $(−1, 1),$ og að $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n}$ sé veldaröð með samleitnibilið $(−2, 2) .$

Finnið samleitnibil raðarinnar $\sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} x^{n} + b_{n} x^{n}) .$
Finnið samleitnibil raðarinnar $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} 3^{n} x^{n} .$

Lausn

Þar sem bilið $(−1, 1)$ er sameiginlegt samleitnibil raðanna $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ og $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n},$ er samleitnibil raðarinnar $\sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} x^{n} + b_{n} x^{n})$ jafnt $(−1, 1) .$
Þar sem $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ er veldaröð með miðju í núlli og samleitnigeisla 1 er hún samleitin fyrir öll x á bilinu $(−1, 1) .$ Samkvæmt setningunni um sameiningu veldaraða er röðin
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} 3^{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(3 x)}^{n}$

samleitin ef 3 x tilheyrir bilinu $(−1, 1) .$ Röðin er því samleitin fyrir öll x á bilinu $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) .$

Í næsta dæmi sýnum við hvernig nota má setninguna um sameiningu veldaraða og veldaröð falls f til að mynda veldaraðir fyrir föll sem tengjast f. Nánar tiltekið skoðum við föll sem tengjast fallinu $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ og notum að

\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯

fyrir $| x | < 1 .$

Dæmi 6.5

Veldaraðir myndaðar út frá þekktum veldaröðum

Notið veldaraðaframsetningu $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ ásamt setningunni um sameiningu veldaraða til að mynda veldaröð fyrir hvert eftirfarandi fall. Finnið samleitnibil veldaraðarinnar.

$f (x) = \frac{3 x}{1 + x^{2}}$
$f (x) = \frac{1}{(x - 1) (x - 3)}$

Lausn

Ritið fyrst $f (x)$ sem
$f (x) = 3 x (\frac{1}{1 - (− x^{2})}) .$

Með veldaraðaframsetningu $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ og liðum ii og iii í setningunni um sameiningu veldaraða fæst veldaraðaframsetning f sem
$\sum_{n = 0}^{\infty} 3 x {(− x^{2})}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} 3 {(−1)}^{n} x^{2 n + 1} .$

Þar sem samleitnibil raðarinnar fyrir $\frac{1}{1 - x}$ er $(−1, 1),$ er samleitnibil nýju raðarinnar mengi þeirra rauntalna x sem uppfylla $| x^{2} | < 1 .$ Samleitnibilið er því $(−1, 1) .$
Notið stofnbrotaliðun til að rita $f (x) = \frac{1}{(x - 1) (x - 3)}$ sem summu tveggja brota. Við fáum
$\begin{matrix} \frac{1}{(x - 1) (x - 3)} & = \frac{− 1 / 2}{x - 1} + \frac{1 / 2}{x - 3} \\ = \frac{1 / 2}{1 - x} - \frac{1 / 2}{3 - x} \\ = \frac{1 / 2}{1 - x} - \frac{1 / 6}{1 - \frac{x}{3}} . \end{matrix}$

Með lið ii í setningunni um sameiningu veldaraða fæst fyrst
$\frac{1 / 2}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2} x^{n} fyrir | x | < 1 .$

Með liðum ii og iii í setningunni um sameiningu veldaraða fæst síðan
$\frac{1 / 6}{1 - x / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{6} {(\frac{x}{3})}^{n} fyrir | x | < 3 .$

Þar sem þessar tvær veldaraðir eru sameinaðar verður samleitnibil mismunarins minna bilanna tveggja. Af þessari staðreynd og lið i í setningunni um sameiningu veldaraða fæst
$\frac{1}{(x - 1) (x - 3)} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{2} - \frac{1}{6 \cdot 3^{n}}) x^{n}$

þar sem samleitnibilið er $(−1, 1) .$

Í dæmi 6.5 sýndum við hvernig finna má veldaraðir fyrir tiltekin föll. Í dæmi 6.6 gerum við hið gagnstæða og finnum hvaða fall gefin veldaröð táknar.

Dæmi 6.6

Ákvörðun fallsins sem gefin veldaröð táknar

Skoðið veldaröðina $\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n} .$ Finnið fallið f sem röðin táknar. Ákvarðið samleitnibil raðarinnar.

Lausn

Ritum gefnu röðina sem

\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(2 x)}^{n},

og þekkjum hana þá sem veldaröð fyrir

f (x) = \frac{1}{1 - 2 x} .

Þar sem þetta er geómetrísk röð er röðin samleitin þá og því aðeins að $| 2 x | < 1 .$ Samleitnibilið er því $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) .$

Rifjum upp spurningarnar úr upphafi kaflans um hvaða leið sé hagstæðust til að taka við greiðslum af happdrættisvinningi. Við snúum nú aftur að þessum spurningum og sýnum hvernig nota má raðir til að bera saman verðmæti greiðslna yfir tíma og eingreiðslu í dag. Við reiknum hvers virði framtíðargreiðslur eru á verðlagi dagsins í dag, að því gefnu að hægt sé að ávaxta vinninginn. Verðmæti framtíðargreiðslna á verðlagi dagsins í dag kallast núvirði þeirra.

Dæmi 6.7

Kaflaupphaf: Núvirði framtíðarvinninga

Mynd sýnir stafla af peningaseðlum. Þar eru 100 dollara seðlar bundnir saman í knippi að verðmæti 10.000 Bandaríkjadala. — **Mynd 6.4.** (mynd: verk Robert Huffstutter á Flickr, aðlagað)

Gerum ráð fyrir að þið vinnið í happdrætti og fáið eftirfarandi þrjá valkosti: (1) fá 20 milljónir Bandaríkjadala í dag; (2) fá 1,5 milljónir Bandaríkjadala á ári næstu 20 árin; eða (3) fá 1 milljón Bandaríkjadala á ári um ókomna tíð, þannig að greiðslurnar erfast. Hvaða kostur er hagstæðastur ef ársvextir eru 5%? Við svörum því með því að leysa eftirfarandi spurningar í röð.

Hvert er núvirði 1,5 milljóna Bandaríkjadala sem eru greiddar árlega í 20 ár, ef ársvextir eru 5%?
Notið svarið við a-lið til að finna almenna formúlu fyrir núvirði greiðslna að fjárhæð C Bandaríkjadala sem berast árlega næstu n árin, að gefnum meðalársvöxtum r.
Finnið formúlu fyrir núvirðið ef árlegar greiðslur að fjárhæð C Bandaríkjadala halda áfram um ókomna tíð, að gefnum meðalársvöxtum r.
Notið svarið við c-lið til að ákvarða núvirði árlegrar greiðslu að fjárhæð 1 milljón Bandaríkjadala um ókomna tíð.
Notið svörin við a- og d-lið til að ákvarða hver kostanna þriggja er hagstæðastur.

Lausn

Skoðum greiðslu að fjárhæð 1,5 milljónir Bandaríkjadala sem fer fram í lok fyrsta árs. Ef hægt væri að fá greiðsluna í dag í stað eftir eitt ár mætti ávaxta féð og afla 5% vaxta. Núvirðið P₁ uppfyllir því jöfnuna $P_{1} (1 + 0.05) = 1.5 milljónir Bandaríkjadala .$ Við ályktum að
$P_{1} = \frac{1.5}{1.05} = $ 1.429 milljónir Bandaríkjadala .$

Skoðum á sama hátt greiðslu að fjárhæð 1,5 milljónir Bandaríkjadala sem fer fram í lok annars árs. Ef hægt væri að fá greiðsluna í dag mætti ávaxta féð í tvö ár, afla 5% vaxta og leggja vextina við höfuðstólinn árlega. Núvirðið P₂ uppfyllir því jöfnuna $P_{2} {(1 + 0.05)}^{2} = 1.5 milljónir Bandaríkjadala .$ Við ályktum að
$P_{2} = \frac{1.5}{{(1.05)}^{2}} = $ 1.361 milljónir Bandaríkjadala .$

Núvirði framtíðargreiðslnanna er summa núvirðisgildanna $P_{1}, P_{2}, …, P_{20}$ fyrir hverja árlega greiðslu. Núvirðið P _k uppfyllir
$P_{k} = \frac{1.5}{{(1.05)}^{k}} .$

Því er
$\begin{matrix} P & = \frac{1.5}{1.05} + \frac{1.5}{{(1.05)}^{2}} + ⋯ + \frac{1.5}{{(1.05)}^{20}} \\ = $ 18.693 milljónir Bandaríkjadala . \end{matrix}$
Af niðurstöðunni í a-lið sést að núvirði P árlegra greiðslna að fjárhæð C Bandaríkjadala í n ár, að gefnum ársvöxtum r, er
$P = \frac{C}{1 + r} + \frac{C}{{(1 + r)}^{2}} + ⋯ + \frac{C}{{(1 + r)}^{n}} Bandaríkjadalir .$
Af niðurstöðunni í b-lið sést að núvirði jafngreiðsluraðar sem heldur áfram um ókomna tíð má lýsa með óendanlegu röðinni
$P = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{C}{{(1 + r)}^{n + 1}} .$

Líta má á núvirðið sem veldaröð í r sem er samleitin svo lengi sem $| \frac{1}{1 + r} | < 1 .$ Þar sem $r > 0,$ er röðin samleitin. Þegar röðin er endurrituð sem
$P = \frac{C}{(1 + r)} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{1 + r})}^{n},$

þekkjum við hana sem veldaröð fyrir
$f (r) = \frac{1}{1 - (\frac{1}{1 + r})} = \frac{1}{(\frac{r}{1 + r})} = \frac{1 + r}{r} .$

Við ályktum að núvirði þessarar jafngreiðsluraðar sé
$P = \frac{C}{1 + r} \cdot \frac{1 + r}{r} = \frac{C}{r} .$
Af niðurstöðunni í c-lið ályktum við að núvirðið P, þegar $C = 1 milljón Bandaríkjadala$ er greidd árlega um ókomna tíð að gefnum ársvöxtum $r = 0.05,$ sé
$P = \frac{1}{0.05} = 20 milljónir Bandaríkjadala .$
Af a-lið sést að greiðslur að fjárhæð $1,5 milljónir á 20 árum hafa núvirðið $18.693 milljónir. Af d-lið sést að greiðslur að fjárhæð $1 milljón á ári um ókomna tíð hafa núvirðið $20 milljónir. Eingreiðsla að fjárhæð $20 milljónir í dag og árlegar greiðslur að fjárhæð $1 milljón um ókomna tíð hafa því sama núvirði.

Margföldun veldaraða

Einnig má mynda nýjar veldaraðir með því að margfalda veldaraðir saman. Margföldun tveggja veldaraða gefur aðra leið til að finna veldaraðaframsetningar falla.

Við margföldum þær á svipaðan hátt og margliður. Gerum til dæmis ráð fyrir að við viljum margfalda

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯

\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n} = d_{0} + d_{1} x + d_{2} x^{2} + ⋯ .

Margfeldið virðist þá uppfylla

\begin{matrix} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}) (\sum_{n = −0}^{\infty} d_{n} x^{n}) & = (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯) \cdot (d_{0} + d_{1} x + d_{2} x^{2} + ⋯) \\ = c_{0} d_{0} + (c_{1} d_{0} + c_{0} d_{1}) x + (c_{2} d_{0} + c_{1} d_{1} + c_{0} d_{2}) x^{2} + ⋯ . \end{matrix}

Í setningunni um margföldun veldaraða setjum við fram meginniðurstöðuna um margföldun veldaraða. Hún sýnir að ef $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ og $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n}$ eru samleitnar á sameiginlegu bili I má margfalda raðirnar með þessum hætti og röðin sem fæst er einnig samleitin á bilinu I.

Við sleppum sönnun þessarar setningar þar sem hún er utan efnissviðs bókarinnar og er yfirleitt tekin fyrir í framhaldsnámskeiði. Við sýnum nú dæmi um notkun setningarinnar með því að finna veldaraðaframsetningu fyrir

f (x) = \frac{1}{(1 - x) (1 - x^{2})}

með veldaraðaframsetningum fyrir

y = \frac{1}{1 - x} og y = \frac{1}{1 - x^{2}} .

Dæmi 6.8

Margföldun veldaraða

Margfaldið veldaraðaframsetninguna

\begin{matrix} \frac{1}{1 - x} & = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} \\ = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯ \end{matrix}

fyrir $| x | < 1$ með veldaraðaframsetningunni

\begin{matrix} \frac{1}{1 - x^{2}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} {(x^{2})}^{n} \\ = 1 + x^{2} + x^{4} + x^{6} + ⋯ \end{matrix}

fyrir $| x | < 1$ til að mynda veldaröð fyrir $f (x) = \frac{1}{(1 - x) (1 - x^{2})}$ á bilinu $(−1, 1) .$

Lausn

Við þurfum að margfalda

(1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯) (1 + x^{2} + x^{4} + x^{6} + ⋯) .

Þegar fyrstu liðirnir eru ritaðir út sést að margfeldið er

\begin{matrix} (1 + x^{2} + x^{4} + x^{6} + ⋯) + (x + x^{3} + x^{5} + x^{7} + ⋯) + (x^{2} + x^{4} + x^{6} + x^{8} + ⋯) + (x^{3} + x^{5} + x^{7} + x^{9} + ⋯) \\ = 1 + x + (1 + 1) x^{2} + (1 + 1) x^{3} + (1 + 1 + 1) x^{4} + (1 + 1 + 1) x^{5} + ⋯ \\ = 1 + x + 2 x^{2} + 2 x^{3} + 3 x^{4} + 3 x^{5} + ⋯ . \end{matrix}

Þar sem raðirnar fyrir $y = \frac{1}{1 - x}$ og $y = \frac{1}{1 - x^{2}}$ eru báðar samleitnar á bilinu $(−1, 1),$ er röðin fyrir margfeldið einnig samleitin á bilinu $(−1, 1) .$

Deildun og heildun veldaraða

Skoðum veldaröðina $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯$ sem er samleitin á einhverju bili I og látum $f$ vera fallið sem röðin skilgreinir. Hér fjöllum við um tvær spurningar um $f .$

Er $f$ deildanlegt og ef svo er, hvernig finnum við afleiðuna $f^{'} ?$
Hvernig reiknum við óákveðið heildi $\int f (x) d x ?$

Við vitum að fyrir margliðu með endanlega mörgum liðum má reikna afleiðuna með því að deilda hvern lið sérstaklega. Á sama hátt má reikna óákveðið heildi með því að heilda hvern lið sérstaklega. Hér sýnum við að hið sama má gera fyrir samleitnar veldaraðir. Það er, ef

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯

er samleitin á einhverju bili I, þá eru

f^{'} (x) = c_{1} + 2 c_{2} x + 3 c_{3} x^{2} + ⋯

\int f (x) d x = C + c_{0} x + c_{1} \frac{x^{2}}{2} + c_{2} \frac{x^{3}}{3} + ⋯

samleitnar á I. Eins og bent er á hér á eftir þarf að kanna hegðunina í endapunktum bilsins sérstaklega.

Þegar afleiða og óákveðið heildi eru reiknuð með þessum hætti er það nefnt deildun veldaraðar lið fyrir lið og heildun veldaraðar lið fyrir lið. Með því að deilda og heilda veldaraðir lið fyrir lið má einnig nota þekktar veldaraðaframsetningar til að finna veldaraðaframsetningar annarra falla. Út frá veldaröðinni fyrir $f (x) = \frac{1}{1 - x},$ má til dæmis deilda lið fyrir lið til að finna veldaröðina fyrir $f^{'} (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} .$ Á sama hátt má nota veldaröðina fyrir $g (x) = \frac{1}{1 + x},$ og heilda lið fyrir lið til að finna veldaröðina fyrir $G (x) = ln (1 + x),$ sem er stofnfall g. Við sýnum hvernig þetta er gert í dæmi 6.9 og dæmi 6.10. Fyrst setjum við fram setninguna um deildun og heildun veldaraða lið fyrir lið, sem gefur meginniðurstöðuna um deildun og heildun veldaraða.

Sönnun þessarar niðurstöðu er utan efnis bókarinnar og er því sleppt. Athugið að þótt setningin um deildun og heildun veldaraða lið fyrir lið tryggi sama samleitnigeisla við deildun eða heildun veldaraðar lið fyrir lið segir hún ekkert um það sem gerist í endapunktunum. Veldaraðirnar sem fást við deildun og heildun geta hegðað sér öðruvísi í endapunktunum en upphaflega röðin. Við sjáum slíka hegðun í næstu dæmum.

Dæmi 6.9

Veldaraðir deildaðar

Notið veldaraðaframsetninguna
$\begin{matrix} f (x) & = \frac{1}{1 - x} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} \\ = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯ \end{matrix}$

fyrir $| x | < 1$ til að finna veldaraðaframsetningu fyrir
$g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

á bilinu $(−1, 1) .$ Ákvarðið hvort röðin sem fæst sé samleitin í endapunktunum.
Notið niðurstöðuna úr a-lið til að reikna summu raðarinnar $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n + 1}{4^{n}} .$

Lausn

Þar sem $g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ er afleiða $f (x) = \frac{1}{1 - x},$ getum við fundið veldaraðaframsetningu fyrir g með því að deilda veldaröðina fyrir f lið fyrir lið. Niðurstaðan er
$\begin{matrix} g (x) & = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \\ = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x}) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{d}{d x} (x^{n}) \\ = \frac{d}{d x} (1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯) \\ = 0 + 1 + 2 x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + ⋯ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n} \end{matrix}$

fyrir $| x | < 1 .$ Setningin um deildun og heildun veldaraða lið fyrir lið tryggir ekkert um hegðun þessarar raðar í endapunktunum. Þegar endapunktarnir eru prófaðir með sundurleitniprófinu kemur í ljós að röðin er ósamleitin í báðum endapunktunum $x = ± 1 .$ Athugið að þetta er sama niðurstaða og fékkst í dæmi 6.8.
Af a-lið vitum við að
$\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n} = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} .$

Því er
$\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n + 1}{4^{n}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) {(\frac{1}{4})}^{n} \\ = \frac{1}{{(1 - \frac{1}{4})}^{2}} \\ = \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2}} \\ = \frac{16}{9} . \end{matrix}$

Dæmi 6.10

Veldaraðir heildaðar

Fyrir hvert eftirfarandi fall f skuluð þið finna veldaraðaframsetningu fyrir f með því að heilda veldaröðina fyrir $f^{'}$ og ákvarða samleitnibil þess.

$f (x) = ln (1 + x)$
$f (x) = {tan}^{−1} x$

Lausn

Fyrir $f (x) = ln (1 + x),$ er afleiðan $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x} .$ Við vitum að
$\begin{matrix} \frac{1}{1 + x} & = \frac{1}{1 - (− x)} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(− x)}^{n} \\ = 1 - x + x^{2} - x^{3} + ⋯ \end{matrix}$

fyrir $| x | < 1 .$ Til að finna veldaröð fyrir $f (x) = ln (1 + x),$ heildum við röðina lið fyrir lið.
$\begin{matrix} \int f^{'} (x) d x & = \int (1 - x + x^{2} - x^{3} + ⋯) d x \\ = C + x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + ⋯ \end{matrix}$

Þar sem $f (x) = ln (1 + x)$ er stofnfall $\frac{1}{1 + x},$ á aðeins eftir að finna fastann C. Þar sem $ln (1 + 0) = 0,$ höfum við $C = 0 .$ Veldaraðaframsetning fyrir $f (x) = ln (1 + x)$ er því
$\begin{matrix} ln (1 + x) & = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + ⋯ \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n} \end{matrix}$

fyrir $| x | < 1 .$ Setningin um deildun og heildun veldaraða lið fyrir lið tryggir ekkert um hegðun þessarar veldaraðar í endapunktunum. Þegar endapunktarnir eru kannaðir kemur hins vegar í ljós að við $x = 1$ er röðin víxlmerkta harmoníska röðin, sem er samleitin. Við $x = −1,$ er röðin hins vegar harmoníska röðin, sem er ósamleitin. Mikilvægt er að hafa í huga að þótt röðin sé samleitin við $x = 1,$ tryggir setningin um deildun og heildun veldaraða lið fyrir lið ekki að röðin sé í raun samleitin að $ln (2) .$ Röðin er raunar samleitin að $ln (2),$ en til að sýna það þarf þróaðri aðferðir. (Setning Abels, sem fjallað er um í lengra komnum kennslubókum, tekur á þessu tæknilega atriði.) Samleitnibilið er $(−1, 1] .$
Afleiða $f (x) = {tan}^{−1} x$ er $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} .$ Við vitum að
$\begin{matrix} \frac{1}{1 + x^{2}} & = \frac{1}{1 - (− x^{2})} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(− x^{2})}^{n} \\ = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + ⋯ \end{matrix}$

fyrir $| x | < 1 .$ Til að finna veldaröð fyrir $f (x) = {tan}^{−1} x,$ heildum við röðina lið fyrir lið.
$\begin{matrix} \int f^{'} (x) d x & = \int (1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + ⋯) d x \\ = C + x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + ⋯ \end{matrix}$

Þar sem ${tan}^{−1} (0) = 0,$ höfum við $C = 0 .$ Veldaraðaframsetning fyrir $f (x) = {tan}^{−1} x$ er því
$\begin{matrix} {tan}^{−1} x & = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + ⋯ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \end{matrix}$

fyrir $| x | < 1 .$ Setningin um deildun og heildun veldaraða lið fyrir lið tryggir heldur ekkert um samleitni þessarar raðar í endapunktunum. Þegar endapunktarnir eru kannaðir með prófinu fyrir víxlmerkjaraðir kemur hins vegar í ljós að röðin er samleitin við $x = 1$ og $x = −1 .$ Eins og rætt var í a-lið má með setningu Abels sýna að röðin er í raun samleitin að ${tan}^{−1} (1)$ og ${tan}^{−1} (−1)$ við $x = 1$ og $x = −1,$ í sömu röð. Samleitnibilið er því $[−1, 1] .$

Hingað til höfum við sýnt nokkrar aðferðir til að finna veldaraðaframsetningar falla. En hvernig vitum við að þessar veldaraðaframsetningar séu ótvíræðar? Ef gefin eru fallið f og veldaröð fyrir f með miðju í a, gæti þá verið til önnur veldaröð fyrir f með miðju í a sem við hefðum fundið með annarri aðferð? Svarið er nei. Það ætti ekki að koma á óvart ef litið er á veldaraðir sem margliður með óendanlega mörgum liðum. Ef

c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯ = d_{0} + d_{1} x + d_{2} x^{2} + ⋯

fyrir öll gildi x á einhverju opnu bili I sem inniheldur núll ættu stuðlarnir c _n að vera jafnir d _n fyrir $n \geq 0 .$ Við setjum þessa niðurstöðu nú fram formlega í setningunni um ótvíræðni veldaraða.

Sönnun

Látum

\begin{matrix} f (x) & = c_{0} + c_{1} (x - a) + c_{2} {(x - a)}^{2} + c_{3} {(x - a)}^{3} + ⋯ \\ = d_{0} + d_{1} (x - a) + d_{2} {(x - a)}^{2} + d_{3} {(x - a)}^{3} + ⋯ . \end{matrix}

Þá er $f (a) = c_{0} = d_{0} .$ Samkvæmt setningunni um deildun og heildun veldaraða lið fyrir lið má deilda báðar raðirnar lið fyrir lið. Því er

\begin{matrix} f^{'} (x) & = c_{1} + 2 c_{2} (x - a) + 3 c_{3} {(x - a)}^{2} + ⋯ \\ = d_{1} + 2 d_{2} (x - a) + 3 d_{3} {(x - a)}^{2} + ⋯, \end{matrix}

og þar með $f^{'} (a) = c_{1} = d_{1} .$ Á sama hátt

\begin{matrix} f^{″} (x) & = 2 c_{2} + 3 \cdot 2 c_{3} (x - a) + ⋯ \\ = 2 d_{2} + 3 \cdot 2 d_{3} (x - a) + ⋯ \end{matrix}

leiðir af sér að $f^{″} (a) = 2 c_{2} = 2 d_{2},$ og því $c_{2} = d_{2} .$ Almennt gildir fyrir sérhverja heiltölu $n \geq 0, f^{(n)} (a) = n! c_{n} = n! d_{n},$ og þar af leiðandi $c_{n} = d_{n}$ fyrir öll $n \geq 0 .$

□

Í þessum hluta höfum við sýnt hvernig finna má veldaraðaframsetningar tiltekinna falla með ýmsum algebruaðgerðum, deildun eða heildun. Enn sem komið er getum við þó aðeins fundið veldaraðaframsetningar fyrir takmarkaðan hóp falla. Næst sýnum við hvernig finna má veldaraðaframsetningar fyrir mun fleiri föll með því að kynna Taylor-raðir.

Æfingar í undirkafla 6.2

63.

Ef $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ og $g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{n}}{n!},$ finnið veldaraðirnar fyrir $\frac{1}{2} (f (x) + g (x))$ og $\frac{1}{2} (f (x) - g (x)) .$

64.

Ef $C (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ og $S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!},$ finnið veldaraðirnar fyrir $C (x) + S (x)$ og $C (x) - S (x) .$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið nota stofnbrotaliðun til að finna veldaröð hvers falls.

65.

$\frac{4}{(x - 3) (x + 1)}$

66.

$\frac{3}{(x + 2) (x - 1)}$

67.

$\frac{5}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 1)}$

68.

$\frac{30}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 9)}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið setja hverja röð fram sem rætt fall.

69.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{x^{n}}$

70.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{x^{2 n}}$

71.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(x - 3)}^{2 n - 1}}$

72.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{{(x - 3)}^{2 n - 1}} - \frac{1}{{(x - 2)}^{2 n - 1}})$

Í eftirfarandi verkefnum eru skoðuð hagnýt verkefni um jafngreiðsluraðir.

73.

Reiknið núvirði P jafngreiðsluraðar þar sem $10,000 eru greiddir árlega í 20 ár, miðað við ársvextina $r = 0.03, r = 0.05,$ og $r = 0.07 .$

74.

Reiknið núvirði P jafngreiðsluraðanna þegar $9,000 eru greiddir árlega um ókomna tíð, miðað við ársvextina $r = 0.03, r = 0.05$ og $r = 0.07 .$

75.

Reiknið árlegar greiðslur C jafngreiðsluraða sem standa yfir í 20 ár og hafa núvirðið $100,000, miðað við ársvextina $r = 0.03, r = 0.05,$ og $r = 0.07 .$

76.

Reiknið árlegar greiðslur C jafngreiðsluraða sem halda áfram um ókomna tíð og hafa núvirðið $100,000, miðað við ársvextina $r = 0.03, r = 0.05,$ og $r = 0.07 .$

77.

Gerum ráð fyrir að jafngreiðsluröð hafi núvirðið $P = 1 milljón Bandaríkjadala .$ Hvaða vextir r myndu gera kleift að greiða $50,000 árlega um ókomna tíð?

78.

Gerum ráð fyrir að jafngreiðsluröð hafi núvirðið $P = 10 milljónir Bandaríkjadala .$ Hvaða vextir r myndu gera kleift að greiða $100,000 árlega um ókomna tíð?

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið setja summu hverrar veldaraðar fram með geómetrískum röðum og síðan sem rætt fall.

79.

$x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x^{5} - x^{6} + ⋯$ (Ábending: Flokkið saman veldin x^3k, $x^{3 k - 1},$ og $x^{3 k - 2} .)$

80.

$x + x^{2} - x^{3} - x^{4} + x^{5} + x^{6} - x^{7} - x^{8} + ⋯$ (Ábending: Flokkið saman veldin x^4k, $x^{4 k - 1},$ o.s.frv.)

81.

$x - x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5} - x^{6} + x^{7} - ⋯$ (Ábending: Flokkið saman veldin x^3k, $x^{3 k - 1},$ og $x^{3 k - 2} .)$

82.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{5}}{32} - \frac{x^{6}}{64} + ⋯$ (Ábending: Flokkið saman veldin ${(\frac{x}{2})}^{3 k}, {(\frac{x}{2})}^{3 k - 1},$ og ${(\frac{x}{2})}^{3 k - 2} .)$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna veldaröð $f (x) g (x)$ út frá föllunum f og g eins og þau eru skilgreind.

83.

$f (x) = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}, g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} n x^{n}$

84.

$f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n}, g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n} .$ Setjið stuðla $f (x) g (x)$ fram með $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} .$

85.

$f (x) = g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{x}{2})}^{n}$

86.

$f (x) = g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið deilda gefna raðaframsetningu f lið fyrir lið til að fá samsvarandi raðaframsetningu fyrir afleiðu f.

87.

$f (x) = \frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} x^{n}$

88.

$f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið heilda gefna raðaframsetningu $f$ lið fyrir lið frá núlli til x til að fá samsvarandi raðaframsetningu fyrir óákveðið heildi fallsins $f .$

89.

$f (x) = \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n} (2 n) x^{2 n - 1}$

90.

$f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}} = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} x^{2 n + 1}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið reikna hverja óendanlega röð með því að bera kennsl á hana sem gildi afleiðu eða heildis geómetrískrar raðar.

91.

Reiknið $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}$ sem $f^{'} (\frac{1}{2})$ þar sem $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} .$

92.

Reiknið $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}$ sem $f^{'} (\frac{1}{3})$ þar sem $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} .$

93.

Reiknið $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{2^{n}}$ sem $f^{″} (\frac{1}{2})$ þar sem $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} .$

94.

Reiknið $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{2 n + 1}$ sem $\int_{0}^{1} f (t) d t$ þar sem $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} x^{2 n} = \frac{1}{1 + x^{2}} .$

Í eftirfarandi verkefnum er gefið að $\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n},$ og nota skal deildun eða heildun lið fyrir lið til að finna veldaröð hvers falls með miðju í tilteknum punkti.

95.

$f (x) = ln x$ með miðju í $x = 1$ (Ábending: $x = 1 - (1 - x))$

96.

$ln (1 - x)$ með miðju í $x = 0$

97.

$ln (1 - x^{2})$ með miðju í $x = 0$

98.

$f (x) = \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ með miðju í $x = 0$

99.

$f (x) = {tan}^{−1} (x^{2})$ með miðju í $x = 0$

100.

$f (x) = ln (1 + x^{2})$ með miðju í $x = 0$

101.

$f (x) = \int_{0}^{x} ln t d t$ þar sem $ln (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n - 1} \frac{{(x - 1)}^{n}}{n}$

102.

[T] Reiknið veldaraðaframsetninguna $ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n - 1} \frac{x^{n}}{n}$ við $x = 1$ til að sýna að $ln (2)$ sé summa víxlmerktu harmonísku raðarinnar. Notið prófið fyrir víxlmerkjaraðir til að ákvarða hversu marga liði summunnar þarf til að nálga $ln (2)$ með skekkju minni en 0.001 og finnið slíka nálgun.

103.

[T] Dragið óendanlegu röðina fyrir $ln (1 - x)$ frá $ln (1 + x)$ til að fá veldaröð fyrir $ln (\frac{1 + x}{1 - x}) .$ Reiknið hana við $x = \frac{1}{3} .$ Hvert er minnsta N þannig að N-ta hlutsumma raðarinnar nálgi $ln (2)$ með skekkju minni en 0.001?

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið, með innsetningu ef hún er tilgreind, setja hverja röð fram með grunnföllum og finna samleitnigeisla summunnar.

104.

$\sum_{k = 0}^{\infty} (x^{k} - x^{2 k + 1})$

105.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{3 k}}{6 k}$

106.

$\sum_{k = 1}^{\infty} {(1 + x^{2})}^{− k}$ með $y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

107.

$\sum_{k = 1}^{\infty} 2^{− k x}$ með $y = 2^{− x}$

108.

Sýnið að upp að veldunum x³ og y³ uppfylli $E (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ jöfnuna $E (x + y) = E (x) E (y) .$

109.

Deildið röðina $E (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ lið fyrir lið til að sýna að $E (x)$ sé jafnt afleiðu sinni.

110.

Sýnið að ef $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ er summa sléttra velda, það er $a_{n} = 0$ þegar n er oddatala, þá sé $F = \int_{0}^{x} f (t) d t$ summa oddavelda, en að ef f er summa oddavelda þá sé F summa sléttra velda.

111.

[T] Gerum ráð fyrir að stuðlarnir a _n í röðinni $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ séu skilgreindir með rakningarvenslunum $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{n} + \frac{a_{n - 2}}{n (n - 1)} .$ Fyrir $a_{0} = 0$ og $a_{1} = 1,$ skuluð þið reikna og teikna gröf summanna $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} x^{n}$ fyrir $N = 2, 3, 4, 5$ á $[−1, 1] .$

112.

[T] Gerum ráð fyrir að stuðlarnir a _n í röðinni $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ séu skilgreindir með rakningarvenslunum $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{\sqrt{n}} - \frac{a_{n - 2}}{\sqrt{n (n - 1)}} .$ Fyrir $a_{0} = 1$ og $a_{1} = 0,$ skuluð þið reikna og teikna gröf summanna $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} x^{n}$ fyrir $N = 2, 3, 4, 5$ á $[−1, 1] .$

113.

[T] Gefin er veldaraðaframsetningin $ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n - 1} \frac{x^{n}}{n},$ sem nota skal til að ákvarða hversu marga liði N í summunni, reiknaðri við $x = −1 / 2$ , þarf til að nálga $ln (2)$ með skekkju minni en 1/1000. Reiknið samsvarandi hlutsummu $\sum_{n = 1}^{N} {(−1)}^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} .$

114.

[T] Gefin er veldaraðaframsetningin ${tan}^{−1} (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} {(−1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1},$ sem nota skal ásamt prófinu fyrir víxlmerkjaraðir til að ákvarða hversu marga liði N í summunni, reiknaðri við $x = 1$ , þarf til að nálga ${tan}^{−1} (1) = \frac{π}{4}$ með skekkju minni en 1/1000. Reiknið samsvarandi hlutsummu $\sum_{k = 0}^{N} {(−1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1} .$

115.

[T] Rifjið upp að ${tan}^{−1} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{π}{6} .$ Miðað við nákvæmt gildi $(\frac{1}{\sqrt{3}}),$ skuluð þið áætla $\frac{π}{6}$ með því að reikna hlutsummur $S_{N} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ af veldaraðaframsetningunni ${tan}^{−1} (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} {(−1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1}$ við $x = \frac{1}{\sqrt{3}} .$ Hvert er minnsta N þannig að $6 S_{N} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ nálgi π með skekkju minni en 0.001? Hversu marga liði þarf til að skekkjan verði minni en 0.00001?