Lykilatriði

Meginatriði

6.1 Veldaraðir og föll

• Fyrir veldaröð með miðju í $x=a,$ á eitt af eftirfarandi þremur tilvikum við: Veldaröðin er aðeins samleitin þegar
  $x=a.$ Í því tilviki segjum við að samleitnigeislinn sé $R=0.$ Veldaröðin er samleitin fyrir allar rauntölur x. Í því tilviki segjum við að samleitnigeislinn sé $R=\infty .$ Til er rauntala R þannig að röðin er samleitin þegar $\left|x-a\right|<R$ en ósamleitin þegar $\left|x-a\right|>R.$ Í því tilviki er samleitnigeislinn R.
  1. Veldaröðin er aðeins samleitin þegar $x=a.$ Í því tilviki segjum við að samleitnigeislinn sé $R=0.$
  2. Veldaröðin er samleitin fyrir allar rauntölur x. Í því tilviki segjum við að samleitnigeislinn sé $R=\infty .$
  3. Til er rauntala R þannig að röðin er samleitin þegar $\left|x-a\right|<R$ en ósamleitin þegar $\left|x-a\right|>R.$ Í því tilviki er samleitnigeislinn R.
• Ef veldaröð er samleitin á endanlegu bili getur hún verið samleitin eða ósamleitin í endapunktunum.
• Oft má nota kvótaprófið til að ákvarða samleitnigeislann.
• Geómetríska röðin ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{x}^n}=\frac{1}{1-x}$ fyrir $\left|x\right|<1$ gerir okkur kleift að setja tiltekin föll fram sem geómetrískar raðir.

6.2 Eiginleikar veldaraða

• Að gefnum tveimur veldaröðum ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n}$ og ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{d}_n{x}^n}$ sem eru samleitnar að föllunum f og g á sameiginlegu bili I eru summa og mismunur raðanna hvort um sig samleitin að $f\pm g,$ á I. Auk þess gildir fyrir sérhverja rauntölu b og heiltölu $m\ge 0,$ að röðin ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b{x}^m{c}_n{x}^n}$ er samleitin að $b{x}^{m}f\left(x\right)$ og röðin ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\left(b{x}^m\right)}^n}$ er samleitin að $f\left(b{x}^m\right)$ þegar bx ^m tilheyrir bilinu I.
• Að gefnum tveimur veldaröðum sem eru samleitnar á bilinu $\left(\text{−}R,R\right),$ er Cauchy-margfeldi þeirra samleitið á bilinu $\left(\text{−}R,R\right).$
• Ef veldaröð er samleitin að fallinu f á bilinu $\left(\text{−}R,R\right),$ má deilda hana lið fyrir lið og röðin sem fæst er samleitin að $f^{\prime }$ á $\left(\text{−}R,R\right).$ Einnig má heilda röðina lið fyrir lið og röðin sem fæst er samleitin að ${\displaystyle \int f\left(x\right)dx}$ á $\left(\text{−}R,R\right).$

6.3 Taylor- og Maclaurin-raðir

• Taylor-margliður eru notaðar til að nálga föll í grennd við gildið $x=a.$ Maclaurin-margliður eru Taylor-margliður með miðju í $x=0.$
• Taylor-margliður af stigi n fyrir fall $f$ eru hlutsummur Taylor-raðarinnar fyrir $f.$
• Ef fall $f$ hefur veldaraðaframsetningu með miðju í $x=a,$ þá er fallið gefið með Taylor-röð sinni með miðju í $x=a.$
• Taylor-röðin fyrir $f$ er samleitin að $f$ þá og því aðeins að $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{R}_n\left(x\right)=0$ þar sem $R_n\left(x\right)=f\left(x\right)-p_n\left(x\right).$
• Taylor-raðirnar fyrir e ^x, $\text{sin}x,$ og $\text{cos}x$ eru samleitnar að samsvarandi föllum fyrir allar rauntölur x.

6.4 Hagnýting Taylor-raða

• Tvíliðuröðin er Maclaurin-röð fallsins $f\left(x\right)={\left(1+x\right)}^r.$ Hún er samleitin þegar $\left|x\right|<1.$
• Oft má leiða Taylor-raðir falla út frá þekktri Taylor-röð með algebruaðgerðum eða með því að deilda eða heilda þekktu röðina.
• Nota má veldaraðir til að leysa deildajöfnur.
• Nota má Taylor-raðir til að nálga heildi sem ekki er unnt að reikna með öðrum aðferðum.