66 Veldaraðir

6.4 Vinna með Taylor-raðir

6.4 Hagnýting Taylor-raða

Námsmarkmið

6.4.1 Rita liði tvíliðuröðarinnar.
6.4.2 Þekkja Taylor-raðaframsetningar algengra falla.
6.4.3 Þekkja og beita aðferðum til að finna Taylor-röð falls.
6.4.4 Nota Taylor-raðir til að leysa deildajöfnur.
6.4.5 Nota Taylor-raðir til að reikna heildi án grunnstofnfalla.

Í síðasta hluta skilgreindum við Taylor-raðir og sýndum hvernig finna má Taylor-raðir nokkurra algengra falla með því að reikna stuðla Taylor-margliðanna beint. Í þessum hluta sýnum við hvernig nota má þessar Taylor-raðir til að leiða út Taylor-raðir annarra falla. Síðan kynnum við tvær algengar hagnýtingar veldaraða. Fyrst sýnum við hvernig nota má veldaraðir til að leysa deildajöfnur. Síðan sýnum við hvernig nota má veldaraðir til að reikna heildi þegar stofnfall heildisstofnsins verður ekki sett fram með grunnföllum. Í einu dæmi skoðum við $\int e^{− x^{2}} d x,$ heildi sem kemur oft fyrir í líkindafræði.

Tvíliðuröðin

Fyrsta markmið okkar í þessum hluta er að ákvarða Maclaurin-röð fallsins $f (x) = {(1 + x)}^{r}$ fyrir allar rauntölur $r .$ Maclaurin-röð þessa falls nefnist tvíliðuröð. Við byrjum á einfaldasta tilvikinu: $r$ er óneikvæð heiltala. Rifjum upp að fyrir $r = 0, 1, 2, 3, 4, f (x) = {(1 + x)}^{r}$ má rita

\begin{matrix} f (x) = {(1 + x)}^{0} = 1, \\ f (x) = {(1 + x)}^{1} = 1 + x, \\ f (x) = {(1 + x)}^{2} = 1 + 2 x + x^{2}, \\ f (x) = {(1 + x)}^{3} = 1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3}, \\ f (x) = {(1 + x)}^{4} = 1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4} . \end{matrix}

Segðirnar hægra megin nefnast tvíliðuliðanir og stuðlarnir nefnast tvíliðustuðlar. Fyrir sérhverja óneikvæða heiltölu $r,$ er tvíliðustuðull $x^{n}$ í tvíliðuliðun ${(1 + x)}^{r}$ gefinn með

(\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) = \frac{r!}{n! (r - n)!}

(6.6)

\begin{matrix} f (x) & = {(1 + x)}^{r} \\ = (\begin{matrix} r \\ 0 \end{matrix}) 1 + (\begin{matrix} r \\ 1 \end{matrix}) x + (\begin{matrix} r \\ 2 \end{matrix}) x^{2} + (\begin{matrix} r \\ 3 \end{matrix}) x^{3} + ⋯ + (\begin{matrix} r \\ r - 1 \end{matrix}) x^{r - 1} + (\begin{matrix} r \\ r \end{matrix}) x^{r} \\ = \sum_{n = 0}^{r} (\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) x^{n} . \end{matrix}

(6.7)

Til dæmis sést með þessari formúlu fyrir $r = 5,$ að

\begin{matrix} f (x) & = {(1 + x)}^{5} \\ = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) 1 + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x^{4} + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) x^{5} \\ = \frac{5!}{0! 5!} 1 + \frac{5!}{1! 4!} x + \frac{5!}{2! 3!} x^{2} + \frac{5!}{3! 2!} x^{3} + \frac{5!}{4! 1!} x^{4} + \frac{5!}{5! 0!} x^{5} \\ = 1 + 5 x + 10 x^{2} + 10 x^{3} + 5 x^{4} + x^{5} . \end{matrix}

Skoðum nú tilvikið þegar veldisvísirinn $r$ er hvaða rauntala sem er, ekki endilega óneikvæð heiltala. Ef $r$ er ekki óneikvæð heiltala er ekki hægt að rita $f (x) = {(1 + x)}^{r}$ sem endanlega margliðu. Við getum hins vegar fundið veldaröð fyrir $f .$ Nánar tiltekið leitum við að Maclaurin-röð $f .$ Til þess finnum við afleiður $f$ og reiknum gildi þeirra við $x = 0 .$

\begin{matrix} f (x) & = & {(1 + x)}^{r} & f (0) & = & 1 \\ f^{'} (x) & = & r {(1 + x)}^{r - 1} & f' (0) & = & r \\ f^{″} (x) & = & r (r - 1) {(1 + x)}^{r - 2} & f^{″} (0) & = & r (r - 1) \\ f ‴ (x) & = & r (r - 1) (r - 2) {(1 + x)}^{r - 3} & f ‴ (0) & = & r (r - 1) (r - 2) \\ f^{(n)} (x) & = & r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n + 1) {(1 + x)}^{r - n} & f^{(n)} (0) & = & r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n + 1) \end{matrix}

Við ályktum að stuðlarnir í tvíliðuröðinni séu gefnir með

\frac{f^{(n)} (0)}{n!} = \frac{r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n + 1)}{n!} .

(6.8)

Athugum að ef $r$ er óneikvæð heiltala, er $(r + 1) st$ afleiðan $f^{(r + 1)}$ núllfallið og röðin endar. Ef $r$ er óneikvæð heiltala, er formúlan í jöfnu 6.8 fyrir stuðlana jafnframt í samræmi við jöfnu 6.6 og formúlan fyrir tvíliðuröðina í samræmi við jöfnu 6.7 fyrir endanlegu tvíliðuliðunina. Til að tákna tvíliðustuðla með hvaða rauntölu sem er í stað $r,$ notum við eftirfarandi táknmál.

(\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) = \frac{r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n + 1)}{n!} .

Með þessu táknmáli getum við ritað tvíliðuröð ${(1 + x)}^{r}$ sem

\sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) x^{n} = 1 + r x + \frac{r (r - 1)}{2!} x^{2} + ⋯ + \frac{r (r - 1) ⋯ (r - n + 1)}{n!} x^{n} + ⋯ .

(6.9)

Nú þurfum við að ákvarða samleitnibil tvíliðuraðarinnar í jöfnu 6.9. Við beitum kvótaprófinu og skoðum því

\begin{matrix} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} & = \frac{| r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n) | {| x |}^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{| r (r - 1) (r - 2) ⋯ (r - n + 1) | {| x |}^{n}} \\ = \frac{| r - n | | x |}{| n + 1 |} . \end{matrix}

Þar sem

lim_{n \to \infty} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = | x | < 1

þá og því aðeins að $| x | < 1,$ ályktum við að samleitnibil tvíliðuraðarinnar sé $(−1, 1) .$ Hegðunin í endapunktunum veltur á $r .$ Hægt er að sýna að fyrir $r \geq 0$ sé röðin samleitin í báðum endapunktum; fyrir $−1 < r < 0,$ sé hún samleitin við $x = 1$ en ósamleitin við $x = −1;$ og fyrir $r < −1,$ sé hún ósamleitin í báðum endapunktum. Tvíliðuröðin er samleitin að ${(1 + x)}^{r}$ á $(−1, 1)$ fyrir allar rauntölur $r,$ en erfitt er að sanna það með því að sýna að skekkjan $R_{n} (x) \to 0$ .

Við getum notað þessa skilgreiningu til að finna tvíliðuröð $f (x) = \sqrt{1 + x}$ og notað röðina til að nálga $\sqrt{1.5} .$

Dæmi 6.17

Tvíliðuröð fundin

Finnið tvíliðuröð $f (x) = \sqrt{1 + x} .$
Notið þriðja stigs Maclaurin-margliðuna $p_{3} (x)$ til að meta $\sqrt{1.5} .$ Notið setningu Taylors til að finna efra mark á skekkjuna. Notið teikniforrit til að bera saman gröf $f$ og $p_{3} .$

Lausn

Hér er $r = \frac{1}{2} .$ Með skilgreiningu tvíliðuraðarinnar fæst
$\begin{matrix} \sqrt{1 + x} & = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{(1 / 2) (− 1 / 2)}{2!} x^{2} + \frac{(1 / 2) (− 1 / 2) (− 3 / 2)}{3!} x^{3} + ⋯ \\ = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2!} \frac{1}{2^{2}} x^{2} + \frac{1}{3!} \frac{1 \cdot 3}{2^{3}} x^{3} - ⋯ + \frac{{(−1)}^{n + 1}}{n!} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 ⋯ (2 n - 3)}{2^{n}} x^{n} + ⋯ \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n + 1}}{n!} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 ⋯ (2 n - 3)}{2^{n}} x^{n} . \end{matrix}$
Af niðurstöðunni í a-lið er þriðja stigs Maclaurin-margliðan
$p_{3} (x) = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{16} x^{3} .$

Því er
$\begin{matrix} \sqrt{1.5} & = \sqrt{1 + 0.5} \\ \approx 1 + \frac{1}{2} (0.5) - \frac{1}{8} {(0.5)}^{2} + \frac{1}{16} {(0.5)}^{3} \\ \approx 1.2266. \end{matrix}$

Samkvæmt setningu Taylors uppfyllir skekkjan
$R_{3} (0.5) = \frac{f^{(4)} (c)}{4!} {(0.5)}^{4}$

fyrir eitthvert $c$ milli $0$ og $0.5 .$ Þar sem $f^{(4)} (x) = - \frac{15}{2^{4} {(1 + x)}^{7 / 2}},$ og hágildi $| f^{(4)} (x) |$ á bilinu $(0, 0.5)$ fæst við $x = 0,$ höfum við
$| R_{3} (0.5) | \leq \frac{15}{4! 2^{4}} {(0.5)}^{4} \approx 0.00244 .$

Fallið og Maclaurin-margliðan $p_{3}$ eru teiknuð á mynd 6.10.
Mynd 6.10 Þriðja stigs Maclaurin-margliðan $p_{3} (x)$ gefur góða nálgun á $f (x) = \sqrt{1 + x}$ fyrir $x$ nálægt núlli.

Algeng föll sett fram með Taylor-röðum

Hingað til höfum við leitt út Maclaurin-raðir fyrir vísisföll, hornaföll og lograföll, auk falla af gerðinni $f (x) = {(1 + x)}^{r} .$ Í töflu 6.1 tökum við saman niðurstöðurnar. Athugum að samleitni Maclaurin-raðarinnar fyrir $f (x) = ln (1 + x)$ í endapunktinum $x = 1$ og Maclaurin-raðarinnar fyrir $f (x) = {tan}^{−1} x$ í endapunktunum $x = 1$ og $x = −1$ styðst við ítarlegri setningu en hér er fjallað um. (Sjá setningu Abels til frekari umfjöllunar um þetta tæknilega atriði.)

Fall	Maclaurin-röð	Samleitnibil
f ( x ) = 1/1 − x	∑ n = 0 ∞ x n	−1 < x < 1
$f (x) = e x$	∑ n = 0 ∞ x n/n !	− ∞ < x < ∞
f ( x ) = sin x	∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n x 2 n + 1/( 2 n + 1 ) !	− ∞ < x < ∞
f ( x ) = cos x	∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n x 2 n/( 2 n ) !	− ∞ < x < ∞
f ( x ) = ln ( 1 + x )	∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n + 1 x n/n	−1 < x ≤ 1
f ( x ) = tan −1 x	∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n x 2 n + 1/2 n + 1	−1 ≤ x ≤ 1
f ( x ) = ( 1 + x ) r	∑ n = 0 ∞ ( r n ) x n	−1 < x < 1

Fyrr í kaflanum sýndum við hvernig sameina má veldaraðir til að mynda nýjar veldaraðir. Hér notum við þessa eiginleika ásamt Maclaurin-röðunum í töflu 6.1 til að mynda Maclaurin-raðir annarra falla.

Dæmi 6.18

Maclaurin-raðir leiddar af þekktum röðum

Finnið Maclaurin-röð hvers eftirfarandi falls með því að nota eina af röðunum í töflu 6.1.

$f (x) = cos \sqrt{x}$
$f (x) = sinh x$

Lausn

Með Maclaurin-röðinni fyrir $cos x$ sést að Maclaurin-röð $cos \sqrt{x}$ er
$\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n} {(\sqrt{x})}^{2 n}}{(2 n)!} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n} x^{n}}{(2 n)!} \\ = 1 - \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{4!} - \frac{x^{3}}{6!} + \frac{x^{4}}{8!} - ⋯ . \end{matrix}$

Þessi röð er samleitin að $cos \sqrt{x}$ fyrir öll $x$ í skilgreiningarmengi $cos \sqrt{x};$ það er fyrir öll $x \geq 0 .$
Til að finna Maclaurin-röð $sinh x,$ notum við að
$sinh x = \frac{e^{x} - e^{− x}}{2} .$

Af Maclaurin-röðinni fyrir $e^{x},$ sést að $n -ta$ liður Maclaurin-raðarinnar fyrir $sinh x$ er
$\frac{x^{n}}{n!} - \frac{{(− x)}^{n}}{n!} .$

Þegar $n$ er slétt tala er þessi liður núll. Þegar $n$ er oddatala er liðurinn $\frac{2 x^{n}}{n!} .$ Maclaurin-röð $sinh x$ hefur því aðeins liði þar sem veldisvísirinn er oddatala og er
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + ⋯ .$

Fyrr í þessum kafla sýndum við einnig hvernig deilda má veldaraðir lið fyrir lið til að mynda nýjar veldaraðir. Í dæmi 6.19 deildum við tvíliðuröð $\sqrt{1 + x}$ lið fyrir lið til að finna tvíliðuröð $\frac{1}{\sqrt{1 + x}} .$ Athugið að finna mætti tvíliðuröð $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ beint út frá skilgreiningunni, en einfaldara er að deilda eftirfarandi tvíliðuröð: $\sqrt{1 + x}$

Dæmi 6.19

Röð deilduð til að finna nýja röð

Notið tvíliðuröð $\sqrt{1 + x}$ til að finna tvíliðuröð $\frac{1}{\sqrt{1 + x}} .$

Lausn

Föllin tvö tengjast með jöfnunni

\frac{d}{d x} \sqrt{1 + x} = \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}},

og tvíliðuröð $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ er því

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} & = 2 \frac{d}{d x} \sqrt{1 + x} \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{n!} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 ⋯ (2 n - 1)}{2^{n}} x^{n} . \end{matrix}

Í þessu dæmi deildum við þekkta Taylor-röð til að mynda Taylor-röð fyrir annað fall. Sá eiginleiki að deilda megi veldaraðir lið fyrir lið gerir þær að öflugu verkfæri til að leysa deildajöfnur. Nú sýnum við hvernig það er gert.

Deildajöfnur leystar með veldaröðum

Skoðum deildajöfnuna

y^{'} (x) = y .

Rifjum upp að þetta er fyrsta stigs aðgreinanleg deildajafna og lausn hennar er $y = C e^{x} .$ Auðvelt er að leysa þessa jöfnu með aðferðum sem fjallað var um fyrr í bókinni. Fyrir flestar deildajöfnur höfum við hins vegar ekki enn aðferðir til að finna nákvæma lausn. Veldaraðir eru afar gagnlegt verkfæri til að leysa margar gerðir deildajafna. Með þessari aðferð leitum við að lausn á forminu $y = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ og ákvörðum hvaða skilyrði stuðlarnir þurfa að uppfylla. Í næsta dæmi skoðum við upphafsgildisverkefni sem felur í sér $y^{'} = y$ til að sýna aðferðina.

Dæmi 6.20

Veldaraðarlausn deildajöfnu

Notið veldaraðir til að leysa upphafsgildisverkefnið

y^{'} = y, y (0) = 3 .

Lausn

Gerum ráð fyrir að til sé veldaraðarlausn

y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + c_{4} x^{4} + ⋯ .

Með því að deilda röðina lið fyrir lið fæst

y^{'} = c_{1} + 2 c_{2} x + 3 c_{3} x^{2} + 4 c_{4} x^{3} + ⋯ .

Ef y uppfyllir deildajöfnuna, þá er

c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + ⋯ = c_{1} + 2 c_{2} x + 3 c_{3} x^{2} + 4 c_{3} x^{3} + ⋯ .

Af setningunni um ótvíræðni veldaraða vitum við að raðirnar geta aðeins verið jafnar ef stuðlar þeirra eru jafnir. Því er

\begin{matrix} c_{0} = c_{1}, \\ c_{1} = 2 c_{2}, \\ c_{2} = 3 c_{3}, \\ c_{3} = 4 c_{4}, \\ ⋮ . \end{matrix}

Með upphafsskilyrðinu $y (0) = 3$ og veldaraðaframsetningunni

y (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + ⋯,

fæst $c_{0} = 3 .$ Nú getum við fundið stuðlana sem eftir eru. Með því að nota $c_{0} = 3,$ fæst

\begin{matrix} c_{1} = c_{0} = 3 = \frac{3}{1!}, \\ c_{2} = \frac{c_{1}}{2} = \frac{3}{2} = \frac{3}{2!}, \\ c_{3} = \frac{c_{2}}{3} = \frac{3}{3 \cdot 2} = \frac{3}{3!}, \\ c_{4} = \frac{c_{3}}{4} = \frac{3}{4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{3}{4!} . \end{matrix}

Því er

\begin{matrix} y & = 3 [1 + \frac{1}{1!} x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + ⋯] \\ = 3 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} . \end{matrix}

Þið kannist ef til vill við

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

sem Taylor-röð $e^{x} .$ Lausnin er því $y = 3 e^{x} .$

Nú skoðum við deildajöfnu sem ekki er hægt að leysa með aðferðunum sem fjallað hefur verið um.

y^{″} - x y = 0

Þessi deildajafna nefnist jafna Airys. Hún kemur víða við sögu í stærðfræðilegri eðlisfræði, til dæmis við líkanagerð ljósbognunar. Hér sýnum við hvernig leysa má hana með veldaröðum.

Dæmi 6.21

Veldaraðarlausn jöfnu Airys

Notið veldaraðir til að leysa

y^{″} - x y = 0

með upphafsskilyrðunum $y (0) = a$ og $y' (0) = b .$

Lausn

Við leitum að lausn á forminu

y = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + c_{4} x^{4} + ⋯ .

Með því að deilda fallið lið fyrir lið fæst

\begin{matrix} y^{'} & = & c_{1} + 2 c_{2} x + 3 c_{3} x^{2} + 4 c_{4} x^{3} + ⋯, \\ y^{″} & = & 2 \cdot 1 c_{2} + 3 \cdot 2 c_{3} x + 4 \cdot 3 c_{4} x^{2} + ⋯ . \end{matrix}

Ef y uppfyllir jöfnu $y^{″} = x y,$ þá er

2 \cdot 1 c_{2} + 3 \cdot 2 c_{3} x + 4 \cdot 3 c_{4} x^{2} + ⋯ = x (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + ⋯) .

Af setningunni um ótvíræðni veldaraða vitum við að stuðlar við sama veldi verða að vera jafnir. Því er

\begin{matrix} 2 \cdot 1 c_{2} = 0, \\ 3 \cdot 2 c_{3} = c_{0}, \\ 4 \cdot 3 c_{4} = c_{1}, \\ 5 \cdot 4 c_{5} = c_{2}, \\ ⋮ . \end{matrix}

Almennt gildir fyrir $n \geq 3,$ að $n \cdot (n - 1) c_{n} = c_{n - 3} .$ Reyndar má rita alla stuðlana með $c_{0}$ og $c_{1} .$ Til að sjá það athugum við fyrst að $c_{2} = 0 .$ Þá er

\begin{matrix} c_{3} = \frac{c_{0}}{3 \cdot 2}, \\ c_{4} = \frac{c_{1}}{4 \cdot 3} . \end{matrix}

Fyrir $c_{5}, c_{6}, c_{7},$ sést að

\begin{matrix} c_{5} = \frac{c_{2}}{5 \cdot 4} = 0, \\ c_{6} = \frac{c_{3}}{6 \cdot 5} = \frac{c_{0}}{6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}, \\ c_{7} = \frac{c_{4}}{7 \cdot 6} = \frac{c_{1}}{7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3} . \end{matrix}

Veldaraðarlausn deildajöfnunnar er því

y = c_{0} + c_{1} x + 0 \cdot x^{2} + \frac{c_{0}}{3 \cdot 2} x^{3} + \frac{c_{1}}{4 \cdot 3} x^{4} + 0 \cdot x^{5} + \frac{c_{0}}{6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2} x^{6} + \frac{c_{1}}{7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3} x^{7} + ⋯ .

Af upphafsskilyrðinu $y (0) = a$ leiðir að $c_{0} = a .$ Með því að deilda röðina lið fyrir lið og nota $y^{'} (0) = b,$ ályktum við að $c_{1} = b .$ Lausn upphafsgildisverkefnisins er því

y = a (1 + \frac{x^{3}}{3 \cdot 2} + \frac{x^{6}}{6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2} + ⋯) + b (x + \frac{x^{4}}{4 \cdot 3} + \frac{x^{7}}{7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3} + ⋯) .

Heildi án grunnstofnfalla reiknuð

Lausn deildajafna er ein algeng hagnýting veldaraða. Nú snúum við okkur að annarri hagnýtingu og sýnum hvernig nota má veldaraðir til að reikna heildi falla sem ekki hafa stofnföll sem unnt er að setja fram með grunnföllum.

Eitt heildi sem kemur oft fyrir í líkindafræði er $\int e^{− x^{2}} d x .$ Því miður er stofnfall heildisstofnsins $e^{− x^{2}}$ ekki grunnfall. Með grunnfalli er átt við fall sem má rita með endanlega mörgum algebrulegum samsetningum eða samskeytingum vísisfalla, lografalla, hornafalla eða veldisfalla. Athugið að hugtakið „grunnfall“ er ekki samheiti við einfalt fall. Til dæmis er fallið $f (x) = \sqrt{x^{2} - 3 x} + e^{x^{3}} - sin (5 x + 4)$ grunnfall þótt það virðist ekki sérlega einfalt. Heildi af gerðinni $\int f (x) d x$ , þar sem stofnfall $f$ er ekki hægt að rita sem grunnfall, nefnist heildi án grunnstofnfalls.

Ekki er hægt að reikna heildi án grunnstofnfalla með grunnaðferðum heildunar sem fjallað var um fyrr. Ein leið til að reikna slík heildi er að setja heildisstofninn fram sem veldaröð og heilda lið fyrir lið. Við sýnum þessa aðferð með því að skoða $\int e^{− x^{2}} d x .$

Dæmi 6.22

Taylor-röð notuð til að reikna ákveðið heildi

Setjið $\int e^{− x^{2}} d x$ fram sem óendanlega röð.
Reiknið $\int_{0}^{1} e^{− x^{2}} d x$ með skekkju minni en $0.01 .$

Lausn

Maclaurin-röð $e^{− x^{2}}$ er
$\begin{matrix} e^{− x^{2}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(− x^{2})}^{n}}{n!} \\ = 1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} - \frac{x^{6}}{3!} + ⋯ + {(−1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{n!} + ⋯ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{n!} . \end{matrix}$

Því er
$\begin{matrix} \int e^{− x^{2}} d x & = \int (1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} - \frac{x^{6}}{3!} + ⋯ + {(−1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{n!} + ⋯) d x \\ = C + x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5 \cdot 2!} - \frac{x^{7}}{7 \cdot 3!} + ⋯ + {(−1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) n!} + ⋯ . \end{matrix}$
Af niðurstöðunni í a-lið fæst
$\int_{0}^{1} e^{− x^{2}} d x = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - ⋯ .$

Summa fyrstu fjögurra liðanna er um það bil $0.74 .$ Samkvæmt prófinu fyrir víxlmerkjaraðir er skekkja þessa mats minni en $\frac{1}{216} \approx 0.0046296 < 0.01 .$

Eins og áður kom fram kemur heildið $\int e^{− x^{2}} d x$ oft fyrir í líkindafræði. Nánar tiltekið er það notað við rannsókn gagnasafna með normaldreifingu, þ.e. þegar gagnagildin liggja undir bjöllulaga ferli. Ef gagnasafn er til dæmis normaldreift með meðaltali $μ$ og staðalfráviki $σ,$ eru líkurnar á að gildi sem valið er af handahófi liggi milli $x = a$ og $x = b$ gefnar með

\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{a}^{b} e^{− {(x - μ)}^{2} / (2 σ^{2})} d x .

(6.10)

(Sjá mynd 6.11.)

Grafið sýnir normaldreifingu. Ferillinn er bjöllulaga og hæsti punktur hans er fyrir ofan mú á x-ásnum. Svæðið undir ferlinum og ofan x-ássins er skyggt. Skyggða svæðið afmarkast af a til vinstri og b til hægri. — **Mynd 6.11.** Ef gagnagildi eru normaldreifð með meðaltali $μ$ og staðalfráviki $σ,$ eru líkurnar á að gagnagildi sem valið er af handahófi liggi milli $a$ og $b$ jafnar flatarmálinu undir ferlinum $y = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{− {(x - μ)}^{2} / (2 σ^{2})}$ milli $x = a$ og $x = b .$

Til að einfalda heildið látum við venjulega $z = \frac{x - μ}{σ} .$ Stærðin $z$ nefnist $z$ -gildi gagnagildis. Með þessari einföldun verður heildið í jöfnu 6.10

\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{(a - μ) / σ}^{(b - μ) / σ} e^{− z^{2} / 2} d z .

(6.11)

Í dæmi 6.23 sýnum við hvernig nota má heildið til að reikna líkur.

Dæmi 6.23

Maclaurin-röð notuð til að nálga líkur

Gerum ráð fyrir að stig á stöðluðu prófi séu normaldreifð með meðaltali $μ = 100$ og staðalfráviki $σ = 50 .$ Notið jöfnu 6.11 og fyrstu sex liði Maclaurin-raðarinnar fyrir $e^{− x^{2} / 2}$ til að nálga líkurnar á að prófstig sem valið er af handahófi liggi milli $x = 100$ og $x = 200 .$ Notið prófið fyrir víxlmerkjaraðir til að ákvarða nákvæmni nálgunarinnar.

Lausn

Þar sem $μ = 100, σ = 50,$ og við viljum ákvarða flatarmálið undir ferlinum frá $a = 100$ til $b = 200,$ verður heildið í jöfnu 6.11

\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{2} e^{− z^{2} / 2} d z .

Maclaurin-röð $e^{− x^{2} / 2}$ er

\begin{matrix} e^{− x^{2} / 2} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- \frac{x^{2}}{2})}^{n}}{n!} \\ = 1 - \frac{x^{2}}{2^{1} \cdot 1!} + \frac{x^{4}}{2^{2} \cdot 2!} - \frac{x^{6}}{2^{3} \cdot 3!} + ⋯ + {(−1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{2^{n} \cdot n!} + ⋯ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{2}^{n}}{2^{n} \cdot n!} . \end{matrix}

Því er

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int e^{− z^{2} / 2} d z & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int (1 - \frac{z^{2}}{2^{1} \cdot 1!} + \frac{z^{4}}{2^{2} \cdot 2!} - \frac{z^{6}}{2^{3} \cdot 3!} + ⋯ + {(−1)}^{n} \frac{z^{2 n}}{2^{n} \cdot n!} + ⋯) d z \\ = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} (C + z - \frac{z^{3}}{3 \cdot 2^{1} \cdot 1!} + \frac{z^{5}}{5 \cdot 2^{2} \cdot 2!} - \frac{z^{7}}{7 \cdot 2^{3} \cdot 3!} + ⋯ + {(−1)}^{n} \frac{z^{2 n + 1}}{(2 n + 1) 2^{n} \cdot n!} + ⋯) \\ \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{2} e^{− z^{2} / 2} d z & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} (2 - \frac{8}{6} + \frac{32}{40} - \frac{128}{336} + \frac{512}{3456} - \frac{2^{11}}{11 \cdot 2^{5} \cdot 5!} + ⋯) . \end{matrix}

Með fyrstu fimm liðunum metum við líkurnar um það bil $0.4922 .$ Af prófinu fyrir víxlmerkjaraðir sést að skekkja matsins er minni en

\frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{13}}{13 \cdot 2^{6} \cdot 6!} \approx 0.00546 .

Greining

Ef þið þekkið líkindafræði vitið þið ef til vill að líkurnar á að gagnagildi sé innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu eru um það bil $95 % .$ Hér reiknuðum við líkurnar á að gagnagildi liggi milli meðaltalsins og tveggja staðalfrávika ofan við það, svo matið ætti að vera nálægt $47.5 % .$ Matið og skekkjumörkin saman falla innan þessa bils.

Önnur hagnýting þar sem heildi án grunnstofnfalls kemur fyrir tengist sveiflutíma pendúls. Heildið er

\int_{0}^{π / 2} \frac{d θ}{\sqrt{1 - k^{2} {sin}^{2} θ}} .

Heildi af þessu formi nefnist sporgert heildi af fyrstu gerð. Sporgert heildi komu upphaflega fram við tilraunir til að reikna bogalengd sporbaugs. Nú sýnum við hvernig nota má veldaraðir til að nálga þetta heildi.

Dæmi 6.24

Sveiflutími pendúls

Sveiflutími pendúls er sá tími sem pendúllinn þarf til að ljúka einni sveiflu fram og til baka. Fyrir pendúl sem er $L$ að lengd og myndar hámarkshornið $θ_{max}$ við lóðrétta stefnu er sveiflutíminn $T$ gefinn með

T = 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{π / 2} \frac{d θ}{\sqrt{1 - k^{2} {sin}^{2} θ}}

þar sem $g$ er þyngdarhröðunin og $k = sin (\frac{θ_{max}}{2})$ (sjá mynd 6.12). (Athugið að þessi formúla fyrir sveiflutímann er leidd af ólínulegu líkani pendúls. Í sumum tilvikum er notað línugert líkan til einföldunar og $sin θ$ nálgað með $θ .)$ Notið tvíliðuröðina

\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{n!} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 ⋯ (2 n - 1)}{2^{n}} x^{n}

til að meta sveiflutíma þessa pendúls. Nálgið sveiflutímann þegar

aðeins fyrsti liður tvíliðuraðarinnar er notaður, og
fyrstu tveir liðir tvíliðuraðarinnar eru notaðir.
Mynd 6.12 Pendúllinn er $L$ að lengd og myndar hámarkshornið $θ_{max}$ við lóðrétta stefnu.

Lausn

Við notum tvíliðuröðina og skiptum $x$ út fyrir $− k^{2} {sin}^{2} θ .$ Þá má rita sveiflutímann sem

T = 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{π / 2} (1 + \frac{1}{2} k^{2} {sin}^{2} θ + \frac{1 \cdot 3}{2! 2^{2}} k^{4} {sin}^{4} θ + ⋯) d θ .

Ef aðeins fyrsti liður heildisstofnsins er notaður er fyrsta stigs matið
$T \approx 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{π / 2} d θ = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} .$

Ef $θ_{max}$ er lítið, þá er $k = sin (\frac{θ_{max}}{2})$ lítið. Við fullyrðum að þetta sé gott mat þegar $k$ er lítið. Til að rökstyðja fullyrðinguna skoðum við
$\int_{0}^{π / 2} (1 + \frac{1}{2} k^{2} {sin}^{2} θ + \frac{1 \cdot 3}{2! 2^{2}} k^{4} {sin}^{4} θ + ⋯) d θ .$

Þar sem $| sin x | \leq 1,$ er heildið takmarkað af
$\int_{0}^{π / 2} (\frac{1}{2} k^{2} + \frac{1.3}{2! 2^{2}} k^{4} + ⋯) d θ < \frac{π}{2} (\frac{1}{2} k^{2} + \frac{1 \cdot 3}{2! 2^{2}} k^{4} + ⋯) .$

Jafnframt má sýna að sérhver stuðull hægra megin er minni en $1$ og að segðin er því takmörkuð af
$\frac{π k^{2}}{2} (1 + k^{2} + k^{4} + ⋯) = \frac{π k^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 - k^{2}},$

sem er lítið þegar $k$ er lítið.
Fyrir stærri gildi $θ_{max},$ getum við nálgað $T$ með fleiri liðum heildisstofnsins. Með fyrstu tveimur liðunum fæst matið
$\begin{matrix} T & \approx 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{π / 2} (1 + \frac{1}{2} k^{2} {sin}^{2} θ) d θ \\ = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} (1 + \frac{k^{2}}{4}) . \end{matrix}$

Hagnýtingardæmum Taylor-raða í þessum hluta er ætlað að varpa ljósi á mikilvægi þeirra. Almennt eru Taylor-raðir gagnlegar því þær gera okkur kleift að setja þekkt föll fram með margliðum og veita okkur þannig verkfæri til að nálga fallgildi og meta flókin heildi. Auk þess gera þær okkur kleift að skilgreina ný föll sem veldaraðir og veita okkur þannig öflugt verkfæri til að leysa deildajöfnur.

Æfingar í undirkafla 6.4

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið nota viðeigandi innsetningar til að rita Maclaurin-röð gefinnar tvíliðusegðar.

174.

${(1 - x)}^{1 / 3}$

175.

${(1 + x^{2})}^{−1 / 3}$

176.

${(1 - x)}^{1.01}$

177.

${(1 - 2 x)}^{2 / 3}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið nota innsetninguna ${(b + x)}^{r} = {(b + a)}^{r} {(1 + \frac{x - a}{b + a})}^{r}$ í tvíliðuliðuninni til að finna Taylor-röð hvers falls með gefinni miðju.

178.

$\sqrt{x + 2}$ með miðju í $a = 0$

179.

$\sqrt{x^{2} + 2}$ með miðju í $a = 0$

180.

$\sqrt{x + 2}$ með miðju í $a = 1$

181.

$\sqrt{2 x - x^{2}}$ með miðju í $a = 1$ (Ábending: $2 x - x^{2} = 1 - {(x - 1)}^{2})$

182.

${(x - 8)}^{1 / 3}$ með miðju í $a = 9$

183.

$\sqrt{x}$ með miðju í $a = 4$

184.

$x^{1 / 3}$ með miðju í $a = 27$

185.

$\sqrt{x}$ með miðju í $α = 9$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið nota tvíliðusetninguna til að meta hverja tölu og reikna nógu marga liði til að skekkja matsins sé í mesta lagi $1 / 1000 .$

186.

[T] ${(15)}^{1 / 4}$ með ${(16 - x)}^{1 / 4}$

187.

[T] ${(1001)}^{1 / 3}$ með ${(1000 + x)}^{1 / 3}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið nota tvíliðunarnálgunina $\sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x^{3}}{16} - \frac{5 x^{4}}{128} - \frac{7 x^{5}}{256}$ fyrir $| x | < 1$ til að nálga hverja tölu. Berið niðurstöðuna saman við gildið úr vísindareiknivél.

188.

[T] $\frac{1}{\sqrt{2}}$ með $x = \frac{1}{2}$ í ${(1 - x)}^{1 / 2}$

189.

[T] $\sqrt{5} = 5 \times \frac{1}{\sqrt{5}}$ með $x = \frac{4}{5}$ í ${(1 - x)}^{1 / 2}$

190.

[T] $\sqrt{3} = \frac{3}{\sqrt{3}}$ með $x = \frac{2}{3}$ í ${(1 - x)}^{1 / 2}$

191.

[T] $\sqrt{6}$ með $x = \frac{5}{6}$ í ${(1 - x)}^{1 / 2}$

192.

Heildið tvíliðunarnálgun $\sqrt{1 - x}$ til að finna nálgun á $\int_{0}^{x} \sqrt{1 - t} d t .$

193.

[T] Rifjið upp að graf $\sqrt{1 - x^{2}}$ er efri hálfhringur með geisla $1 .$ Heildið tvíliðunarnálgun $\sqrt{1 - x^{2}}$ upp að stigi $8$ frá $x = −1$ til $x = 1$ til að meta $\frac{π}{2} .$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið nota liðunina ${(1 + x)}^{1 / 3} = 1 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} x^{2} + \frac{5}{81} x^{3} - \frac{10}{243} x^{4} + ⋯$ til að rita fyrstu fimm liði hverrar segðar, en þeir mynda ekki endilega fjórða stigs margliðu.

194.

${(1 + 4 x)}^{1 / 3}; a = 0$

195.

${(1 + 4 x)}^{4 / 3}; a = 0$

196.

${(3 + 2 x)}^{1 / 3}; a = −1$

197.

${(x^{2} + 6 x + 10)}^{1 / 3}; a = −3$

198.

Notið ${(1 + x)}^{1 / 3} = 1 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} x^{2} + \frac{5}{81} x^{3} - \frac{10}{243} x^{4} + ⋯$ með $x = 1$ til að nálga $2^{1 / 3} .$

199.

Notið nálgunina ${(1 - x)}^{2 / 3} = 1 - \frac{2 x}{3} - \frac{x^{2}}{9} - \frac{4 x^{3}}{81} - \frac{7 x^{4}}{243} - \frac{14 x^{5}}{729} + ⋯$ fyrir $| x | < 1$ til að nálga $2^{1 / 3} = {2.2}^{−2 / 3} .$

200.

Finnið $25 -ta$ afleiðu $f (x) = {(1 + x^{2})}^{13}$ við $x = 0 .$

201.

Finnið $99$ -tu afleiðu við $x = 0$ af $f (x) = {(1 + x^{4})}^{25} .$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna Maclaurin-röð hvers falls.

202.

$f (x) = x e^{2 x}$

203.

$f (x) = 2^{x}$

204.

$f (x) = \frac{sin x}{x}$

205.

$f (x) = \frac{sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}, (x > 0),$

206.

$f (x) = sin (x^{2})$

207.

$f (x) = e^{x^{3}}$

208.

$f (x) = {cos}^{2} x$ með samsemdinni ${cos}^{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)$

209.

$f (x) = {sin}^{2} x$ með samsemdinni ${sin}^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna Maclaurin-röð $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ með því að heilda Maclaurin-röð $f$ lið fyrir lið. Ef $f$ er ekki skilgreint í núlli má nota gildi Maclaurin-raðarinnar í núlli í staðinn.

210.

$F (x) = \int_{0}^{x} e^{− t^{2}} d t; f (t) = e^{− t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{t^{2 n}}{n!}$

211.

$F (x) = {tan}^{−1} x; f (t) = \frac{1}{1 + t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} t^{2 n}$

212.

$F (x) = {tanh}^{−1} x; f (t) = \frac{1}{1 - t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} t^{2 n}$

213.

$F (x) = {sin}^{−1} x; f (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ k \end{matrix}) \frac{t^{2 k}}{k!}$

214.

$F (x) = \int_{0}^{x} \frac{sin t}{t} d t; f (t) = \frac{sin t}{t} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{t^{2 n}}{(2 n + 1)!}$

215.

$F (x) = \int_{0}^{x} cos (\sqrt{t}) d t; f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{n}}{(2 n)!}$

216.

$F (x) = \int_{0}^{x} \frac{1 - cos t}{t^{2}} d t; f (t) = \frac{1 - cos t}{t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{t^{2 n}}{(2 n + 2)!}$

217.

$F (x) = \int_{0}^{x} \frac{ln (1 + t)}{t} d t; f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{t^{n}}{n + 1}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið reikna að minnsta kosti fyrstu þrjá ónúllliði (þeir mynda ekki endilega annars stigs margliðu) í Maclaurin-röð $f .$

218.

$f (x) = sin (x + \frac{π}{4}) = sin x cos (\frac{π}{4}) + cos x sin (\frac{π}{4})$

219.

$f (x) = tan x$

220.

$f (x) = ln (cos x)$

221.

$f (x) = e^{x} cos x$

222.

$f (x) = e^{sin x}$

223.

$f (x) = {sec}^{2} x$

224.

$f (x) = tanh x$

225.

$f (x) = \frac{tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ (sjá liðun fyrir $tan x)$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna samleitnigeisla Maclaurin-raðar hvers falls.

226.

$ln (1 + x)$

227.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

228.

${tan}^{−1} x$

229.

$ln (1 + x^{2})$

230.

Finnið Maclaurin-röð $sinh x = \frac{e^{x} - e^{− x}}{2} .$

231.

Finnið Maclaurin-röð $cosh x = \frac{e^{x} + e^{− x}}{2} .$

232.

Deildið Maclaurin-röð $sinh x$ lið fyrir lið og berið niðurstöðuna saman við Maclaurin-röð $cosh x .$

233.

[T] Látum $S_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {(−1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}$ og $C_{n} (x) = \sum_{n = 0}^{n} {(−1)}^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}$ tákna annars vegar Maclaurin-margliðu af stigi $2 n + 1$ fyrir $sin x$ og hins vegar Maclaurin-margliðu af stigi $2 n$ fyrir $cos x .$ Teiknið skekkjurnar $\frac{S_{n} (x)}{C_{n} (x)} - tan x$ fyrir $n = 1, .., 5$ og berið þær saman við $x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + \frac{17 x^{7}}{315} - tan x$ á $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}) .$

234.

Notið samsemdina $2 sin x cos x = sin (2 x)$ til að finna veldaraðaframsetningu ${sin}^{2} x$ við $x = 0 .$ (Ábending: Heildið Maclaurin-röð $sin (2 x)$ lið fyrir lið.)

235.

Ef $y = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n},$ finnið veldaraðaframsetningar $x y^{'}$ og $x^{2} y^{″} .$

236.

[T] Gerum ráð fyrir að $y = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ uppfylli $y^{'} = −2 x y$ og $y (0) = 0 .$ Sýnið að $a_{2 k + 1} = 0$ fyrir öll $k$ og að $a_{2 k + 2} = \frac{− a_{2 k}}{k + 1} .$ Teiknið hlutsummuna $S_{20}$ af $y$ á bilinu $[−4, 4] .$

237.

[T] Gerum ráð fyrir að stig á stöðluðu prófi séu normaldreifð með meðaltali $μ = 100$ og staðalfráviki $σ = 10 .$ Setjið upp heildi sem táknar líkurnar á að prófstig liggi milli $90$ og $110$ og notið heildi Maclaurin-margliðu af stigi $10$ fyrir $\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{− x^{2} / 2}$ til að meta þessar líkur.

238.

[T] Gerum ráð fyrir að stig á stöðluðu prófi séu normaldreifð með meðaltali $μ = 100$ og staðalfráviki $σ = 10 .$ Setjið upp heildi sem táknar líkurnar á að prófstig liggi milli $70$ og $130$ og notið heildi Maclaurin-margliðu af stigi $50$ fyrir $\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{− x^{2} / 2}$ til að meta þessar líkur.

239.

[T] Gerum ráð fyrir að $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ sé samleitin að falli $f (x)$ sem uppfyllir $f (0) = 1, f^{'} (0) = 0,$ og $f^{″} (x) = − f (x) .$ Finnið formúlu fyrir $a_{n}$ og teiknið hlutsummuna $S_{N}$ fyrir $N = 20$ á $[−5, 5] .$

240.

[T] Gerum ráð fyrir að $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ sé samleitin að falli $f (x)$ sem uppfyllir $f (0) = 0, f^{'} (0) = 1,$ og $f^{″} (x) = − f (x) .$ Finnið formúlu fyrir $a_{n}$ og teiknið hlutsummuna $S_{N}$ fyrir $N = 10$ á $[−5, 5] .$

241.

Gerum ráð fyrir að $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ sé samleitin að falli $y$ sem uppfyllir $y^{″} - y^{'} + y = 0$ , þar sem $y (0) = 1$ og $y' (0) = 0 .$ Finnið formúlu sem tengir $a_{n + 2}, a_{n + 1},$ og $a_{n}$ og reiknið $a_{0}, ..., a_{5} .$

242.

Gerum ráð fyrir að $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ sé samleitin að falli $y$ sem uppfyllir $y^{″} - y^{'} + y = 0$ , þar sem $y (0) = 0$ og $y^{'} (0) = 1 .$ Finnið formúlu sem tengir $a_{n + 2}, a_{n + 1},$ og $a_{n}$ og reiknið $a_{1}, ..., a_{5} .$

Skekkjan við að nálga heildið $\int_{a}^{b} f (t) d t$ með heildi Taylor-nálgunarinnar $\int_{a}^{b} P_{n} (t) d t$ er í mesta lagi $\int_{a}^{b} R_{n} (t) d t .$ Í eftirfarandi verkefnum tryggir skekkjumat Taylors $R_{n} \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1}$ að heildi Taylor-margliðunnar af gefnu stigi nálgi heildi $f$ með skekkju minni en $\frac{1}{10} .$

Reiknið heildi viðeigandi Taylor-margliðu og sannreynið að það nálgi gildið úr tölvualgebrukerfi (CAS) með skekkju minni en $\frac{1}{100} .$
Berið nákvæmni matsins með heildi margliðunnar saman við skekkjumatið.

243.

[T] $\int_{0}^{π} \frac{sin t}{t} d t; P_{s} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + \frac{x^{8}}{9!}$ (Gera má ráð fyrir að algildi níundu afleiðunnar $\frac{sin t}{t}$ sé takmarkað af $0.1 .)$

244.

[T] $\int_{0}^{2} e^{− x^{2}} d x; p_{11} = 1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{6}}{3!} + ⋯ - \frac{x^{22}}{11!}$ (Gera má ráð fyrir að algildi $23 rd$ afleiðunnar $e^{− x^{2}}$ sé minna en $2 \times 10^{14} .)$

Eftirfarandi verkefni fjalla um Fresnel-heildi.

245.

Fresnel-heildin eru skilgreind með $C (x) = \int_{0}^{x} cos (t^{2}) d t$ og $S (x) = \int_{0}^{x} sin (t^{2}) d t .$ Reiknið veldaraðir $C (x)$ og $S (x)$ og teiknið summurnar $C_{N} (x)$ og $S_{N} (x)$ af fyrstu $N = 50$ liðunum sem eru ekki núll á $[0, 2 π] .$

246.

[T] Fresnel-heildi eru notuð við hönnun vega og járnbrauta, auk annarrar hagnýtingar, vegna sveigjueiginleika ferilsins með hnitin $(C (t), S (t)) .$ Teiknið ferilinn $(C_{50}, S_{50})$ fyrir $0 \leq t \leq 2 π,$ en hnit hans voru reiknuð í síðasta verkefni.

247.

Metið $\int_{0}^{1 / 4} \sqrt{x - x^{2}} d x$ með því að nálga $\sqrt{1 - x}$ með tvíliðunarnálguninni $1 - \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x^{3}}{16} - \frac{5 x^{4}}{2128} - \frac{7 x^{5}}{256} .$

248.

[T] Notið tvíliðunarnálgun Newtons $\sqrt{1 - x^{2}}$ til að nálga $π$ á eftirfarandi hátt. Hringurinn sem hefur miðju í $(\frac{1}{2}, 0)$ og geisla $\frac{1}{2}$ hefur efri hálfhringinn $y = \sqrt{x} \sqrt{1 - x} .$ Geiri hringsins sem afmarkast af $x$ -ásnum milli $x = 0$ og $x = \frac{1}{2}$ og línunni sem tengir $(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ samsvarar $\frac{1}{6}$ af hringnum og hefur flatarmálið $\frac{π}{24} .$ Geirinn samanstendur af rétthyrndum þríhyrningi með hæð $\frac{\sqrt{3}}{4}$ og grunnlínu $\frac{1}{4}$ ásamt svæðinu undir grafinu milli $x = 0$ og $x = \frac{1}{4} .$ Til að finna flatarmál svæðisins má rita $y = \sqrt{x} \sqrt{1 - x} = \sqrt{x} \times (tvíliðuliðun fyrir \sqrt{1 - x})$ og heilda lið fyrir lið. Notið þessa aðferð ásamt tvíliðunarnálguninni úr síðasta verkefni til að meta $π .$

249.

Notið nálgunina $T \approx 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} (1 + \frac{k^{2}}{4})$ til að nálga sveiflutíma pendúls sem er $10$ metrar að lengd og hefur hámarkshornið $θ_{max} = \frac{π}{6}$ , þar sem $k = sin (\frac{θ_{max}}{2}) .$ Berið niðurstöðuna saman við smáhornanálgunina $T \approx 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} .$

250.

Gerum ráð fyrir að pendúll eigi að hafa sveiflutímann $2$ sekúndur og hámarkshornið $θ_{max} = \frac{π}{6} .$ Notið $T \approx 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} (1 + \frac{k^{2}}{4})$ til að nálga æskilega lengd pendúlsins. Hvaða lengd gefur smáhornanálgunin $T \approx 2 π \sqrt{\frac{L}{g}} ?$

251.

Reiknið $\int_{0}^{π / 2} {sin}^{4} θ d θ$ í nálguninni $T = 4 \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{π / 2} (1 + \frac{1}{2} k^{2} {sin}^{2} θ + \frac{3}{8} k^{4} {sin}^{4} θ + ⋯) d θ$ til að fá nákvæmara mat á $T .$

252.

[T] Jafngild formúla fyrir sveiflutíma pendúls með sveifluvíddina $θ_{max}$ er $T (θ_{max}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{θ_{max}} \frac{d θ}{\sqrt{cos θ} - cos (θ_{max})}$ , þar sem $L$ er lengd pendúlsins og $g$ er þyngdarhröðunin. Þegar $θ_{max} = \frac{π}{3}$ fæst $\frac{1}{\sqrt{cos t - 1 / 2}} \approx \sqrt{2} (1 + \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{4}}{3} + \frac{181 t^{6}}{720}) .$ Heildið þessa nálgun til að meta $T (\frac{π}{3})$ sem fall af $L$ og $g .$ Gerið ráð fyrir að $g = 9.806$ metrar á sekúndu í öðru veldi og finnið nálgaða lengd $L$ þannig að $T (\frac{π}{3}) = 2$ sekúndur.