44 Framsetning talna og reikningur

4.2 Forn talnakerfi

Babýlonsk talnatákn eru rituð á leirtöflu. — **Mynd 4.3.** Babýloníumenn notuðu leirtöflur til skriftar og skráningar. (Mynd: aðlögun á verki Osama Shukir Muhammed Amin FRCP(Glasg), CC BY 4.0 International)

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

lesið babýlonsk talnatákn og fært þau yfir í hindú-arabísk talnatákn.
lesið maja-talnatákn og fært þau yfir í hindú-arabísk talnatákn.
fært talnatákn milli rómverska og hindú-arabíska talnakerfisins.

Allir menningarheimar sögunnar þurftu að þróa aðferðir til að telja og skrá magn. Talnakerfi í Ástralíu hlaut að verða ólíkt kerfi í Babýlon, sem aftur var ólíkt kerfum sunnan Sahara. Þótt gagnlegt væri nær alls staðar að greina einn hlut frá tveimur var munurinn á 145 og 167 ef til vill sjaldan hagnýtur. Fjárhirðir annaðist til dæmis líklega ekki fleiri en hundrað sauði og þurfti því ekki stærri tölur. Orðið „nokkrir“ táknar enn óákveðið magn sem flestir telja meira en tvo. Þegar samfélög, verslun og herir stækkuðu jókst þörfin fyrir kerfi sem réðu við stórar tölur. Í öllum kerfum þurfti að leysa úr því hvernig tákna skyldi mörg gildi og hve mörg tákn þyrfti. Hér skoðum við lausnir Babýloníumanna, Maja og Rómverja.

Babýlonsk talnatákn lesin og færð í hindú-arabísk talnatákn

Babýloníumenn blönduðu samlagningarkerfi og sætiskerfi. Í samlagningarkerfi er gildi endurtekins tákns lagt saman jafnoft og táknið kemur fyrir. Í sætiskerfi er gildi hvers tölustafs margfaldað með veldi grunntölunnar eftir sæti hans.

Sætisgildi Babýloníumanna byggðust ekki á veldum af 10 heldur veldum af 60. Þeir notuðu þó ekki 60 ólík tákn. Táknið fyrir 1 var:

Fyrir gildi upp í 9 var táknið endurtekið; gildið 3 var því ritað sem
Babýlonska talnatáknið 3.

Til að tákna 10 notuðu þeir

Fyrir 20, 30, 40 og 50 endurtóku þeir táknið fyrir 10 eftir þörfum; 40 var því skrifað sem
Babýlonska talnatáknið 40.

Við 60 var farið yfir í næsta sæti. Tafla 4.1 sýnir öll babýlonsku talnatáknin upp í 59.

Babýloníumenn endurtóku tákn til að sýna margfeldi gildis. Gildið 6 er táknað með sex táknum fyrir 1 og gildið 30 með þremur táknum fyrir 10. Kerfið nær þannig upp í 59 en stærri tölur eru myndaðar með sætisgildum. Hindú-arabíska kerfið byggist á veldum af 10 en babýlonska sætiskerfið á veldum af 60. Það hafði ekkert tákn fyrir 0 og því engan skýran staðgengil þegar sæti vantaði; talnatákn á borð við 101, 110 og 11 gátu því litið eins út. Vísbendingar eru þó um að lítið bil hafi stundum verið skilið eftir þar sem við myndum skrifa 0. Babýlonska kerfið endurtók því tákn, notaði sætisgildi en hafði ekkert núlltákn.

Til að færa babýlonskt talnatákn yfir í hindú-arabískt notum við táknin í töflu 4.1 og sætisgildi sem byggjast á veldum af 60. Hafi babýlonska talnatáknið $n$ sæti er gildi fyrsta sætisins margfaldað með 60 í veldinu n − 1. Síðan er veldisvísirinn lækkaður um einn fyrir hvert næsta sæti. Gættu að bilum því þau tákna núll í viðkomandi sæti.

Dæmi 4.4

Tveggja sæta babýlonskt talnatákn fært í hindú-arabískt talnatákn

Færðu babýlonsku töluna

yfir í hindú-arabískt talnatákn.

Lausn

hefur tvö sæti:

Skref 1: Fyrsta táknið,

táknar 4 í babýlonska kerfinu. Það er margfaldað með 60 í fyrsta veldi og gefur $4 \times 60^{1}$ .

Skref 2: Næsta tákn er

sem táknar 27. Það er margfaldað með 60 í núllta veldi og bætt við fyrra margfeldið. Þá fæst $4 \times 60^{1} + 27 \times 60^{0}$ .

Skref 3: Við útreikning fæst $4 \times 60^{1} + 27 \times 60^{0} = 240 + 27 = 267$ . Babýlonska talnatáknið

táknar hér 4 í sextugasætinu. Með 27 í einingasætinu fæst 4 $\times ⁠$ 60 + 27 = 267 í hindú-arabíska talnakerfinu.

Dæmi 4.5

Þriggja sæta babýlonskt talnatákn fært í hindú-arabískt talnatákn

Færðu babýlonsku töluna

yfir í hindú-arabískt talnatákn.

Lausn

hefur þrjú sæti:

Skref 1: Fyrsta táknið,

táknar 13 og er margfaldað með 60 í öðru veldi þar sem sætin eru þrjú: $13 \times 60^{2}$ .

Skref 2: Næsta tákn er

sem táknar 8. Það er margfaldað með 60 í fyrsta veldi og bætt við fyrra margfeldið. Þá fæst $13 \times 60^{2} + 8 \times 60^{1}$ .

Skref 3: Síðasta táknið er

og táknar 54. Það er margfaldað með 60 í núllta veldi og bætt við. Þá fæst $13 \times 60^{2} + 8 \times 60^{1} + 54 \times 60^{0}$ .

Skref 4: Við útreikning fæst $13 \times 60^{2} + 8 \times 60^{1} + 54 \times 60^{0} = 13 \times 3,600 + 8 \times 60 + 54 \times 1 = 46,800 + 480 + 54 = 47,334$ .

Babýlonska talnatáknið

jafngildir því 47.334 í hindú-arabíska talnakerfinu.

Dæmi 4.6

Fjögurra sæta babýlonskt talnatákn fært í hindú-arabískt talnatákn

Færðu babýlonsku töluna

yfir í hindú-arabískt talnatákn.

Lausn

Svo virðist sem

hafi þrjú sæti en bil er á milli

Mundu að babýlonska kerfið hafði ekkert núlltákn heldur var haft autt bil þar sem við myndum skrifa 0. Talnatáknið hefur því fjögur sæti.

Skref 1: Fyrsta táknið,

táknar 12 og er margfaldað með 60 í þriðja veldi þar sem sætin eru fjögur: $12 \times 60^{3}$ .

Skref 2: Næsta sæti er autt og táknar 0. Því samsvarar liðurinn $0 \times 60^{2}$ því sæti. Þegar honum er bætt við fæst $12 \times 60^{3} + 0 \times 60^{2}$ .

Skref 3: Næsta tákn er

sem táknar 42. Það er margfaldað með 60 í fyrsta veldi og bætt við. Þá fæst $12 \times 60^{3} + 0 \times 60^{2} + 42 \times 60^{1}$ .

Skref 4: Síðasta babýlonska táknið,

táknar 39 og er margfaldað með 60 í núllta veldi. Þegar margfeldinu er bætt við fæst $12 \times 60^{3} + 0 \times 60^{2} + 42 \times 60^{1} + 39 \times 60^{0}$ .

Skref 5: Þegar stæðan er reiknuð fæst

\begin{array}{l} 12 \times 60^{3} + 0 \times 60^{2} + 42 \times 60^{1} + 39 \times 60^{0} \\ = 12 \times 216,000 + 0 \times 60^{2} + 42 \times 60 + 39 \times 1 \\ = 2,592,000 + 0 + 2,520 + 39 \\ = 2,594,559 \end{array}

Babýlonska talnatáknið

jafngildir 2.594.559 í hindú-arabíska talnakerfinu.

Maja-talnatákn lesin og færð í hindú-arabísk talnatákn

Majar notuðu sætiskerfi eins og við og Babýloníumenn en sætisgildin byggðust á veldum af 20 og sérstakt tákn var fyrir núll. Eins og Babýloníumenn endurtóku þeir tákn: einn punktur táknaði 1 og allt að fjórir punktar voru notaðir. Lárétt strik táknaði 5 og mátti nota þrisvar; fjögur strik hefðu myndað 20 og þar með nýtt sæti. Núlltáknið líktist skel eða skjaldböku á baki. Tafla 4.2 sýnir öll táknin. Maja-tölur voru ritaðar lóðrétt og sætisgildin jukust neðan frá og upp.

Maja-kerfið endurtók tákn, notaði sætisgildi og hafði núlltákn. Til að færa maja-talnatákn yfir í hindú-arabískt notum við táknin í töflu 4.2 og sætisgildi byggð á veldum af 20. Hafi talnatáknið $n$ sæti er gildi efsta sætisins margfaldað með 20 í veldinu n − 1. Síðan er veldisvísirinn lækkaður um einn fyrir hvert næsta sæti. Skýrt núlltákn kemur í veg fyrir tvíræðni milli talnatákna á borð við 110, 101 og 11.

Dæmi 4.7

Tveggja sæta maja-talnatákn fært í hindú-arabískt talnatákn

Færðu maja-töluna

yfir í hindú-arabískt talnatákn.

Lausn

hefur tvö sæti:

Skref 1: Fyrsta táknið,

táknar 15 og er margfaldað með 20 í fyrsta veldi: $15 \times 20^{1}$ .

Skref 2: Næsta tákn er

sem táknar 9. Það er margfaldað með 20 í núllta veldi og bætt við fyrra margfeldið. Þá fæst $15 \times 20^{1} + 9 \times 20^{0}$ .

Skref 3: Við útreikning fæst $15 \times 20^{1} + 9 \times 20^{0} = 300 + 9 = 309$ . Maja-talnatáknið

jafngildir 309 í hindú-arabíska talnakerfinu.

Dæmi 4.8

Þriggja sæta maja-talnatákn fært í hindú-arabískt talnatákn

Færðu maja-töluna

yfir í hindú-arabískt talnatákn.

Lausn

hefur þrjú sæti:

Skref 1: Fyrsta táknið,

táknar 6 og er margfaldað með 20 í öðru veldi þar sem sætin eru þrjú: $6 \times 20^{2}$ .

Skref 2: Næsta tákn er

sem táknar 8. Það er margfaldað með 20 í fyrsta veldi og bætt við fyrra margfeldið. Þá fæst $6 \times 20^{2} + 8 \times 20^{1}$ .

Skref 3: Síðasta táknið er

og táknar 4. Það er margfaldað með 20 í núllta veldi og bætt við. Þá fæst $6 \times 20^{2} + 8 \times 20^{1} + 4 \times 20^{0}$ .

Skref 4: Við útreikning fæst $6 \times 20^{2} + 8 \times 20^{1} + 4 \times 20^{0} = 6 \times 400 + 8 \times 20 + 4 \times 1 = 2,400 + 160 + 4 = 2,564$ . Maja-talnatáknið

jafngildir 2.564 í hindú-arabíska talnakerfinu.

Dæmi 4.9

Fjögurra sæta maja-talnatákn fært í hindú-arabískt talnatákn

Færðu maja-töluna

yfir í hindú-arabískt talnatákn.

Lausn

hefur fjögur sæti og hæsti veldisvísir 20 er því 3.

Skref 1: Fyrsta táknið,

táknar 8 og er margfaldað með 20 í þriðja veldi þar sem sætin eru fjögur: $8 \times 20^{3}$ .

Skref 2: Næsta tákn er

sem táknar 0. Liðurinn fyrir þetta sæti er $0 \times 20^{2}$ . Þegar honum er bætt við fæst $8 \times 20^{3} + 0 \times 20^{2}$ .

Skref 3: Næsta tákn er

sem táknar 16. Það er margfaldað með 20 í fyrsta veldi og bætt við. Þá fæst $8 \times 20^{3} + 0 \times 20^{2} + 16 \times 20^{1}$ .

Skref 4: Síðasta maja-táknið,

táknar 5 og er margfaldað með 20 í núllta veldi. Þegar margfeldinu er bætt við fæst $8 \times 20^{3} + 0 \times 20^{2} + 16 \times 20^{1} + 5 \times 20^{0}$ .

Skref 5: Þegar stæðan er reiknuð fæst

\begin{array}{l} 8 \times 20^{3} + 0 \times 20^{2} + 16 \times 20^{1} + 5 \times 20^{0} \\ = 8 \times 8000 + 0 \times 400 + 16 \times 20 + 5 \times 1 \\ = 64,000 + 0 + 320 + 5 \\ = 64,325 \end{array}

Maja-talnatáknið

jafngildir 64.325 í hindú-arabíska talnakerfinu.

Talnatákn færð milli rómverska og hindú-arabíska talnakerfisins

Maja- og babýlonsku kerfin áttu tvennt sameiginlegt: sætisgildi, sem við þekkjum, og endurtekin tákn, sem við notum ekki. Rómverska talnakerfið endurtók tákn en notaði ekki sætisgildi og hafði ekkert núlltákn. Kerfið byggist á táknunum í töflu 4.3.

Rómverskt talnatákn	Hindú-arabískt gildi
$I$	1
V	5
$X$	10
L	50
C	100
D	500
M	1,000

Eins og í maja- og babýlonsku kerfunum má endurtaka tákn til að sýna stærra gildi. Talan 4 var þó ekki rituð IIII heldur IV, þar sem I á undan V merkir „einn dreginn frá fimm“. Á sama hátt er 9 rituð IX, það er „einn dreginn frá tíu“. Talan 40 er XL, „tíu dregnir frá fimmtíu“, og 49 er XLIX, „fjörutíu og níu“.

Reglurnar hér á eftir gilda um ritun og lestur rómverskra talnatákna.

Tákn stærri gilda standa á undan táknum minni gilda.
Allt að þrjú eins tákn mega standa saman, til dæmis III fyrir 3, XXX fyrir 30 og CC fyrir 200.
Tákn fyrir stærra gildi á undan tákni fyrir minna gildi merkir samlagningu, til dæmis VII = 7, XIII = 13, LV = 55 og MCC = 1.200.
I má standa á undan V til að tákna 4 eða á undan X til að tákna 9. Aðeins í þessum tveimur tilvikum er I notað til frádráttar.
X má standa á undan L til að tákna 40 eða á undan C til að tákna 90. Aðeins í þessum tveimur tilvikum er X notað til frádráttar.
C má standa á undan D til að tákna 400 eða á undan M til að tákna 900. Aðeins í þessum tveimur tilvikum er C notað til frádráttar.
Ef bæði endurtekin tákn og frádráttur koma fyrir stendur frádráttarhlutinn á eftir endurteknu táknunum, til dæmis XXIX = 29 og CCXC = 290.

Dæmi 4.10

Rómversk talnatákn færð í hindú-arabísk talnatákn

Færðu eftirfarandi rómversku talnatákn yfir í hindú-arabísk.

XXVII
XXXIV
MMCMXLVIII

Lausn

XXVII hefst á tveimur X, sem gefa 20. Þar á eftir kemur V og tvö I, sem bæta við 5 og 2. Gildið er því 20 + 5 + 2 = 27.
XXXIV hefst á þremur X, sem gefa 30. Þar á eftir kemur I á undan V og gefur 4. Gildið er því 30 + 4 = 34.
MMCMXLVIII hefst á tveimur M, sem gefa 2.000. CM gefur 900, XL gefur 40, V gefur 5 og þrjú I gefa 3. Samtals fæst 2.948.

Einnig má að sjálfsögðu færa hindú-arabísk talnatákn yfir í rómversk.

Dæmi 4.11

Hindú-arabísk talnatákn færð í rómversk talnatákn

Færðu eftirfarandi hindú-arabísku talnatákn yfir í rómversk.

38
94
846
2,987

Lausn

Þrjátíu er XXX og átta er VIII. Því er 38 skrifuð XXXVIII.
Níutíu er táknað með XC og fjórir með IV. Því er talan 94 skrifuð XCIV.
Talan er minni en 900 og stærri en 500 og því byrjum við á D = 500. Til að fá 800 bætum við við þremur C. Fjörutíu er táknað með XL og sex með VI. Rómverska talnatáknið er því DCCCXLVI.
Tvö þúsund eru MM, 900 er CM, 80 er LXXX og 7 er VII. Því er 2.987 skrifuð MMCMLXXXVII.