44 Framsetning talna og reikningur

4.3 Umreikningur milli talnakerfa

Tölvuskjár sýnir tvíundarkóða. — **Mynd 4.4.** Tölvur tákna stærðir í tvíundarkerfi, sem notar aðeins 0 og 1. (mynd: aðlagað verk „IMAG0933“ eftir yvanhou/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

fært tölu úr talnakerfi með annarri grunntölu yfir í tugakerfi.
skrifað tölur í talnakerfum með mismunandi grunntölur.
fært tölu úr tugakerfi yfir í talnakerfi með annarri grunntölu.
greint villur í umreikningi milli talnakerfa.

Í talnakerfinu okkar notum við grunntöluna 10, en önnur talnakerfi hafa ekki endilega byggst á henni. Eins og við sáum hjá Majum og Babýloníumönnum hafa verið notuð kerfi með öðrum grunntölum. Tugakerfið byggist á því að flokka hluti í tugi, en slík flokkun verður aðeins til þar sem menningin leggur áherslu á þann fjölda. Okkur finnst 10 eðlileg tala vegna þess að við höfum tíu fingur. Önnur kerfi nota til dæmis fjóra eða tuttugu sem hópastærð.

Ein góð ástæða til að skoða önnur talnakerfi er að rifja upp hvernig við lærðum reikning sem börn og þurftum að leggja reglur tugakerfisins á minnið. Við þurftum jafnframt að skilja hvers vegna reglurnar giltu, til dæmis hvers vegna $1 + 1 = 2$ og $1 + 2 = 3$ . Önnur góð ástæða er tölvutæknin, því rafrásir tölva nota tvíundarkerfið.

Í þessum kafla skoðum við önnur talnakerfi og hvernig umreikna má milli þeirra.

Umreikningur úr talnakerfi með annarri grunntölu yfir í tugakerfi og önnur talnakerfi

Í hlutanum um hindú-arabíska sætiskerfið sáum við að kerfið okkar hefur grunntöluna 10. Sætisgildi tölustafa ráðast því af veldum af 10. Við höfum þegar unnið með aðrar grunntölur: talnakerfi Babýloníumanna hafði grunntöluna 60 en kerfi Maja grunntöluna 20.

Til að kanna hvernig tugakerfið er notað skaltu svara þessari spurningu: Hvaða tölu táknar 4.572? Þú hefur líklega svarað „fjögur þúsund fimm hundruð sjötíu og tvö“. En hvers vegna merkir 4 fjögur þúsund? Ungt barn sem er að læra tölur gæti sagt að þetta væru fjórir, fimm, sjö og tveir. Þú túlkaðir hins vegar fjóran sem fjögur þúsund. Hvers vegna?

Ástæðan er sætisgildi. Þú lærðir snemma að sæti tölustafsins gefur honum mismunandi gildi: tugþúsundir, þúsundir, hundruð, tugir og einingar. Þess vegna túlkar þú talnatáknið 4.572 sem „fjögur þúsund fimm hundruð sjötíu og tvö“. Eins og fram kom í hlutanum um hindú-arabíska sætiskerfið felst liðað form tölu í því að margfalda hvern tölustaf með viðeigandi veldi af 10. Því má skrifa 4.572 sem $4 \times 10^{3} + 5 \times 10^{2} + 7 \times 10^{1} + 2 \times 10^{0} = 4 \times 1000 + 5 \times 100 + 7 \times 10 + 2 \times 1$ .

Ein hugsanleg ástæða fyrir notkun tugakerfisins er að við höfum tíu fingur og það varð viðmið í þeim menningarsamfélögum þar sem hindú-arabíska kerfið þróaðist. Önnur samfélög kunna að hafa skipulagt talningu á annan hátt, til dæmis í tuttugu með því að telja tærnar með eða í sextíu vegna þess að 60 á marga deila. Stærðfræðilega er grunntalan 10 þó fremur óhentug þar sem hún á fáa deila. Okkur finnst kerfið auðvelt og einfalt vegna þess að okkur hefur verið kennt að nota það.

Í tugakerfi þarf tíu tákn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Ímyndum okkur nú að við hefðum aðeins sex fingur í stað tíu og talningarkerfið okkar byggðist á þeim. Þá teldum við í sexum en ekki tugum. Hvaða áhrif hefði það á það hvernig við táknum og meðhöndlum stærðir?

Í fyrsta lagi þyrftum við aðeins sex tákn. Notum 0, 1, 2, 3, 4 og 5. Í öðru lagi myndu sætisgildin byggjast á veldum af 6 en ekki veldum af 10. Talan 3.024 í sextalakerfi væri til dæmis $3 \times 6^{3} + 0 \times 6^{2} + 2 \times 6^{1} + 4 \times 6^{0}$ . Þannig má færa tölu úr sextalakerfi yfir í tugakerfi. Útreikningurinn gefur $3 \times 6^{3} + 0 \times 6^{2} + 2 \times 6^{1} + 4 \times 6^{0} = 3 \times 216 + 0 \times 36 + 2 \times 6 + 4 \times 1 = 648 + 0 + 12 + 4 = 664$ .

Þetta merkir að talan 3.024 í sextalakerfi er jöfn tölunni 664 í tugakerfi.

Hér eftir setjum við lágvísinn 6 aftan við talnatákn í sextalakerfi, til dæmis 3.024₆, til að sýna grunntöluna.

Talnatákn í tugakerfi fær engan lágvísi þar sem tugakerfið er viðmiðunarkerfið. Því er 3.024 talnatákn í tugakerfi. Talnatákn í kerfi með grunntöluna 13 mætti til dæmis rita 4.672₁₃.

Sextalakerfi notar því aðeins táknin 0, 1, 2, 3, 4 og 5 og sætisgildin eru veldi af 6. Við eigum þó enn eftir að sjá hvernig talið er í sextalakerfi. Til þess þurfum við að vita hvernig stærðir umfram fimm eru táknaðar. Rifjum fyrst upp talningu frá 0 til 100 í tugakerfi og hvernig stærri gildi eru táknuð.

Þegar tölur í tugakerfi eru skrifaðar byrjum við á þessum tíu gildum:

Nú eru táknin uppurin og því notum við tvo tölustafi:

Tölustafurinn 1 fremst merkir að við höfum einu sinni farið í gegnum alla tölustafina.

Nú höfum við farið tvisvar í gegnum þá. Áfram fæst:

Og þannig áfram:

og svo framvegis.

Að lokum komum við að tölunum 90 til 99:

Þá eru tölustafirnir aftur uppurnir. Við höfum einu sinni farið í gegnum alla möguleika í tugasætinu og bætum því við nýju sæti:

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

Þetta er mynstrið í tugakerfinu. Við skrifum tölustafina þar til þeir eru allir notaðir og bætum síðan sæti fremst sem telur hve oft við höfum farið í gegnum þá. Til að skilja reikniaðgerðir þarf að þekkja tölurnar og geta talið áfram, því allar reikniaðgerðir byggjast á talningu.

Sama talningarmynstur gildir í öllum öðrum talnakerfum, þar á meðal sextalakerfi. Byrjum því:

Nú eru táknin uppurin. Rétt eins og í tugakerfi notum við annan tölustaf; fremri tölustafurinn sýnir að við höfum einu sinni farið í gegnum öll táknin.

Við höldum áfram eftir sama mynstri:

20	21	22	23	24	25
30	31	32	33	34	35
40	41	42	43	44	45
50	51	52	53	54	55

Að lokum eru möguleikarnir í fremra sætinu líka uppurnir. Þá gerum við eins og í tugakerfi og bætum þriðja tölustafnum fremst til að sýna að öll táknin í öðru sætinu hafa verið notuð einu sinni:

100	101	102	103	104	105
110	111	og svo framvegis.

Táknamynstrið er hið sama en loturnar styttri, því aðeins sex tölustafir eru notaðir. Þannig táknum við tölur í sextalakerfi. Mikilvægt er að geta talið og skrifað tölurnar áður en reikniaðgerðir eru framkvæmdar í kerfinu.

Þegar grunntalan er stærri en 10 þurfum við fleiri tölustafi. Í stað þess að búa til ný tákn notum við hástafi: A er tölustafurinn með gildið 10, B hefur gildið 11 og svo framvegis.

Dæmi 4.12

Tölustafir í kerfi með grunntölu minni en 10

Hvaða tölustafir eru notaðir í sjötalakerfi?

Lausn

Þar sem grunntalan er 7 þurfum við sjö tákn: 0, 1, 2, 3, 4, 5 og 6.

Dæmi 4.13

Tölustafir í kerfi með grunntölu stærri en 10

Hvaða tölustafir eru notaðir í fjórtántalakerfi?

Lausn

Þar sem grunntalan er 14 þurfum við fjórtán tákn. Í tugakerfinu eru engir sérstakir tölustafir fyrir gildin 10, 11, 12 og 13. Við notum því hástafina A, B, C og D fyrir þessi gildi. Tölustafirnir í fjórtántalakerfi eru þá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C og D.

Dæmi 4.14

Tala færð úr einu talnakerfi í annað

Umreiknaðu 3.601₇ yfir í tugakerfi.

Lausn

Í sjötalakerfi eru sætisgildin veldi af 7. Tölustafirnir eru fjórir og hæsti veldisvísirinn er því 3. Þá fæst ${3,601}_{7} = 3 \times 7^{3} + 6 \times 7^{2} + 0 \times 7^{1} + 1 \times 7^{0} = 3 \times 343 + 6 \times 49 + 0 \times 7 + 1 = 1,029 + 294 + 0 + 1 = 1,324$ .

Dæmi 4.15

Umreikningur úr fjórtántalakerfi yfir í tugakerfi

Umreiknaðu 4B7₁₄ yfir í tugakerfi.

Lausn

Í fjórtántalakerfi eru sætisgildin veldi af 14. Tölustafirnir eru þrír og hæsti veldisvísirinn er því 2. Mundu einnig að í fjórtántalakerfi táknar A gildið 10, B gildið 11, C gildið 12 og D gildið 13. Með þessu umreiknum við yfir í tugakerfi:

4 B 7_{14} = 4 \times 14^{2} + B \times 14^{1} + 7 \times 14^{0} = 4 \times 196 + 11 \times 14 + 7 \times 1 = 784 + 154 + 7 = 945

Dæmi 4.16

Umreikningur úr tólfundarkerfi yfir í tugakerfi

Umreiknaðu A16₁₂ yfir í tugakerfi.

Lausn

Í tólfundarkerfi eru sætisgildin veldi af 12. Tölustafirnir eru þrír og hæsti veldisvísirinn er því 2. Mundu einnig að í tólfundarkerfi táknar A gildið 10 og B gildið 11. Með þessu umreiknum við yfir í tugakerfi:

A 16_{12} = 10 \times 12^{2} + 1 \times 12^{1} + 6 \times 12^{0} = 10 \times 144 + 1 \times 12 + 6 \times 1 = 1,440 + 12 + 6 = 1,458

Dæmi 4.17

Umreikningur úr tvíundarkerfi yfir í tugakerfi

Umreiknaðu 1011₂ yfir í tugakerfi.

Lausn

Í tvíundarkerfi eru sætisgildin veldi af 2. Tölustafirnir eru fjórir og hæsti veldisvísirinn er því 3. Með þessu umreiknum við yfir í tugakerfi:

1011_{2} = 1 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 1 \times 8 + 0 \times 4 + 1 \times 2 + 1 \times 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Vissir þú?

Fyrir tíma Napóleons

Áður en metrakerfið breiddist út í Evrópu voru þar víða notaðar mælieiningar og talningarvenjur sem byggðust á tylftum. Auðvelt er að skipta 12 í hópa með 2, 3, 4 eða 6 einingum og því getur talan verið þægileg í notkun. Í ensku töluorðunum má einnig sjá ólík mynstur. Orðin thirteen, fourteen og fifteen vísa til 10 og 3, 10 og 4 og 10 og 5. Sama mynstur sést í twenty-one og twenty-two. Tvær tölur, 11 og 12, fylgja þó ekki mynstrinu; annars myndu þær nefnast one-teen og two-teen. Enska á jafnframt sérstakt orð yfir tólf, dozen. Orðin eleven og twelve eru líklega einnig sprottin af vísun til tíunnar. Þau kunna að eiga rætur í fornensku orðunum endleofan og twelf og enn eldri orðmyndunum ain lif og twa lif. Orðstofninn lif kann hér að merkja „að skilja eftir“. Ain lif væri þá einn umfram tíu og twa lif tveir umfram tíu, það er 11 og 12.

Dæmi 4.18

Ritun talna í öðrum talnakerfum en tugakerfi

Skrifaðu tölurnar í sjötalakerfi upp að 100₇.

Lausn

Skref 1: Við fylgjum mynstrinu sem áður var lýst og byrjum á fyrstu sjö tölustöfunum.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Skref 2: Þegar tölustafirnir eru uppurnir byrjum við á 10, sem sýnir að öll táknin hafa verið notuð einu sinni.

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Skref 3: Með sama áframhaldi fæst:

20, 21, 22, 23, 24, 25, 26

30, 31, 32, 33, 34, 35, 36

40, 41, 42, 43, 44, 45, 46

50, 51, 52, 53, 54, 55, 56

60, 61, 62, 63, 64, 65, 66

Nú hafa allir möguleikar verið notaðir í fremra sætinu. Þá skrifum við 100, rétt eins og í tugakerfi.

100

Dæmi 4.19

Ritun talna í kerfum með fleiri en tíu tákn

Skrifaðu tölurnar í fjórtántalakerfi upp að 100₁₄.

Lausn

Skref 1: Við fylgjum mynstrinu sem áður var lýst og byrjum á fyrstu fjórtán tölustöfunum.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D

Skref 2: Þegar tölustafirnir eru uppurnir byrjum við á 10, sem sýnir að öll táknin hafa verið notuð einu sinni.

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D

Skref 3: Með sama áframhaldi fæst:

20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 2A, 2B, 2C, 2D

30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 3A, 3B, 3C, 3D

40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 4A, 4B, 4C, 4D

50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 5A, 5B, 5C, 5D

60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 6A, 6B, 6C, 6D

70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 7A, 7B, 7C, 7D

80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 8A, 8B, 8C, 8D

90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 9A, 9B, 9C, 9D

A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, AA, AB, AC, AD

B0, B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8, B9, BA, BB, BC, BD

C0, C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, CA, CB, CC, CD

D0, D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, DA, DB, DC, DD

100

Tvíundarkerfið er mikilvægt á stafrænni öld þar sem tölvur nota það. Það er einfaldasta talnakerfið en hefur þann ókost að talnatáknin geta orðið mjög löng. Í hlutunum um samlagningu og frádrátt annars vegar og margföldun og deilingu hins vegar skoðum við reikniaðgerðir í tvíundarkerfi.

Dæmi 4.20

Ritun talna í tvíundarkerfi

Skrifaðu tölurnar í tvíundarkerfi upp að 100₂.

Lausn

Tvíundarkerfið notar aðeins táknin 0 og 1. Ef fyrra mynstri er fylgt eru tölurnar upp að 100₂: 0, 1, 10, 11 og 100.

Umreikningur úr tugakerfi yfir í annað talnakerfi

Þegar tala er færð úr tugakerfi yfir í annað talnakerfi er deilt endurtekið og afgangurinn skráður í hverju skrefi. Tölustafir nýja talnatáknsins eru síðan afgangarnir lesnir í öfugri röð, frá þeim síðasta til þess fyrsta. Til að lýsa þessu nákvæmlega rifjum við upp hugtök deilingar. Þegar heiltölum er deilt nefnist talan sem deilt er í deilistofn og talan sem deilt er með deilir. Þegar deilistofninn er ekki neikvæður og deilirinn jákvæður er kvótinn stærsta heiltalan sem má margfalda með deilinum þannig að margfeldið verði minna en eða jafnt deilistofninum.

Ef heiltölunni $n$ er deilt með jákvæðu heiltölunni $d$ kallast $n$ deilistofn og $d$ deilir.

Til að færa tugakerfistölu $n$ yfir í talnakerfi með grunntöluna $d$ deilum við $n$ með $d$ og skráum afganginn. Síðan deilum við kvótanum úr því skrefi aftur með $d$ og skráum afganginn. Þessu er haldið áfram þar til kvótinn er 0. Talnatáknið í kerfi með grunntöluna $d$ er myndað úr afgangunum í öfugri röð, frá þeim síðasta til þess fyrsta.

Dæmi 4.21

Umreikningur úr tugakerfi yfir í kerfi með lægri grunntölu

Umreiknaðu 298 yfir í sextalakerfi.

Lausn

Við deilum 298 með 6 og skráum afganginn. Síðan deilum við kvótanum úr því skrefi með 6 og skráum aftur afganginn. Þessu er haldið áfram þar til kvótinn er 0. Tölustafir sextalakerfistölunnar eru þá afgangarnir í öfugri röð, frá þeim síðasta til þess fyrsta.

Skref 1: Þegar 298 er deilt með 6 fæst 298 ÷ 6 = 49 með afgangi 4. Kvótinn er 49 og afgangurinn 4.

Skref 2: Þegar 49 er deilt með 6 fæst 49 ÷ 6 = 8 með afgangi 1. Kvótinn er 8 og afgangurinn 1.

Skref 3: Þegar 8 er deilt með 6 fæst 8 ÷ 6 = 1 með afgangi 2. Kvótinn er 1 og afgangurinn 2.

Skref 4: Þegar 1 er deilt með 6 fæst 1 ÷ 6 = 0 með afgangi 1. Kvótinn er 0 og afgangurinn 1.

Skref 5: Tölustafir sextalakerfistölunnar eru afgangarnir í öfugri röð, 1214₆. Talan 298 í tugakerfi verður því 1214₆ í sextalakerfi.

Dæmi 4.22

Umreikningur úr tugakerfi yfir í kerfi með hærri grunntölu

Umreiknaðu 45.134 yfir í þrettántalakerfi.

Lausn

Við deilum 45.134 með 13 og skráum afganginn. Síðan deilum við kvótanum úr því skrefi með 13 og skráum aftur afganginn. Þessu er haldið áfram þar til kvótinn er 0. Tölustafir þrettántalakerfistölunnar eru afgangarnir í öfugri röð, frá þeim síðasta til þess fyrsta. Í lokaúrvinnslunni notum við tölustafi þrettántalakerfisins: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B og C.

Skref 1: Þegar 45.134 er deilt með 13 fæst 45.134 ÷ 13 = 3.471 með afgangi 11. Kvótinn er 3.471 og afgangurinn 11.

Skref 2: Þegar 3.471 er deilt með 13 fæst 3.471 ÷ 13 = 267 með afgangi 0. Kvótinn er 267 og afgangurinn 0.

Skref 3: Þegar 267 er deilt með 13 fæst 267 ÷ 13 = 20 með afgangi 7. Kvótinn er 20 og afgangurinn 7.

Skref 4: Þegar 20 er deilt með 13 fæst 20 ÷ 13 = 1 með afgangi 7. Kvótinn er 1 og afgangurinn 7.

Skref 5: Þegar 1 er deilt með 13 fæst 1 ÷ 13 = 0 með afgangi 1. Kvótinn er 0 og afgangurinn 1.

Skref 6: Tölustafir þrettántalakerfistölunnar eru afgangarnir í öfugri röð: 1, 7, 7, 0 og 11. Gildið 11 er táknað með B í þrettántalakerfi. Talan 45.134 í tugakerfi verður því 1770B₁₃ í þrettántalakerfi.

Dæmi 4.23

Umreikningur úr tugakerfi yfir í tvíundarkerfi

Umreiknaðu 100 yfir í tvíundarkerfi.

Lausn

Fylgjum mynstrinu hér að framan:

Skref 1: Við deilum 100 með 2 og skráum afganginn.

Skref 2: Síðan deilum við kvótanum úr því skrefi með 2 og skráum aftur afganginn.

Skref 3: Þessu er haldið áfram þar til kvótinn er 0.

Skref 4: Afgangarnir verða í þessari röð 0, 0, 1, 0, 0, 1 og 1. Þegar þeir eru skrifaðir í öfugri röð fæst tvíundartalan 1100100₂.

Taktu eftir að talan 100 þarf sjö tölustafi í tvíundarkerfi.

Hindú-arabísk talnatákn færð yfir í maja-talnatákn

Að færa hindú-arabískt talnatákn yfir í maja-talnatákn felur í sér tvö aðskilin skref. Fyrst er talan færð yfir í tuttugakerfi með aðferðinni sem lýst var hér að framan. Síðan er talnatáknið í tuttugakerfi ritað með maja-talnatáknum. Talnatáknin og gildi þeirra eru sýnd hér til upprifjunar.

Dæmi 4.24

Tugakerfistala færð yfir í maja-talnakerfið

Færðu tölurnar hér á eftir yfir í maja-talnatákn.

Lausn

Maja-talnakerfið hefur grunntöluna 20 og því notum við 20 í aðferðinni hér að framan. Fyrsta deilingin gefur kvótann 2 og afganginn 11. Afgangurinn 11 er tölustafurinn í einingasætinu. Þegar kvótanum 2 er deilt með 20 fæst kvótinn 0 og afgangurinn 2. Talan 2 verður tölustafurinn í tuttugasætinu. Í tuttugakerfi er talnatáknið því 2 og síðan 11. Samsvarandi maja-talnatákn eru sýnd hér. Þegar þau eru rituð lóðrétt, með einingasætið neðst eins og tíðkast í maja-tölum, fæst:

Athugið að uppröðun táknanna á myndinni hér að ofan er röng í frumheimildinni. Rétt ritun tölunnar 51 hefur táknið fyrir 2 efst og táknið fyrir 11 neðst.
Maja-talnakerfið hefur grunntöluna 20 og því notum við 20 í aðferðinni hér að framan. Fyrsta deilingin, 653 deilt með 20, gefur kvótann 32 og afganginn 13. Þegar 32 er deilt með 20 fæst kvótinn 1 og afgangurinn 12. Þegar 1 er deilt með 20 fæst kvótinn 0 og afgangurinn 1. Afgangarnir eru þrír og talnatáknið því þriggja stafa. Tölustafurinn 1 er í 20²-sætinu, 12 í tuttugasætinu og 13 í einingasætinu. Í tuttugakerfi er talnatáknið því 1, síðan 12 og loks 13. Samsvarandi maja-talnatákn eru sýnd hér. Þegar þau eru rituð lóðrétt eins og tíðkast í maja-tölum fæst:

Athugið að myndirnar hér að ofan eru rangar í frumheimildinni. Fyrir töluna 653 eiga táknin að vera, ofan frá og niður, 1, 12 og 13. Táknið fyrir 12 er tvær doppur yfir tveimur láréttum strikum; myndin sýnir í staðinn táknið fyrir 11.

Villur í umreikningi milli talnakerfa

Nokkrar algengar villur geta komið upp við umreikning milli talnakerfa. Oft felast þær í því að óleyfilegur tölustafur er notaður í nýja kerfinu.

Dæmi 4.25

Greining óleyfilegs tölustafs við umreikning milli talnakerfa

Tala úr tugakerfi var umreiknuð yfir í sjötalakerfi og niðurstaðan varð 2081₇. Var villa gerð? Hvernig veistu það?

Lausn

Niðurstaðan inniheldur tölustafinn 8. Hann er óleyfilegur í sjötalakerfi og því hefur villa verið gerð.

Ef villa er gerð í endurteknu deilingunni við umreikning úr tugakerfi getur óleyfilegur tölustafur komið fram í nýja kerfinu. Tölustafirnir ráðast af afganginum í hverju skrefi og því bendir sérhver afgangur sem er ekki leyfilegur tölustafur til villu.

Dæmi 4.26

Greining deilingarvillu við umreikning milli talnakerfa

Við umreikning úr tugakerfi yfir í áttundakerfi fengust afgangarnir 1, 0, 9, 2 og 4. Var villa gerð? Hvernig veistu það?

Lausn

Meðal afganganna er 9, sem er óleyfilegur tölustafur í áttundakerfi.

Önnur leið til að greina villu í umreikningi er að bera saman fjölda tölustafa. Þegar jákvæð heiltala er færð úr kerfi með hærri grunntölu yfir í kerfi með lægri grunntölu getur tölustöfunum ekki fækkað. Á sama hátt getur þeim ekki fjölgað þegar talan er færð úr lægri grunntölu yfir í hærri. Ef tugakerfistala er til dæmis færð yfir í þrítalakerfi getur nýja talnatáknið ekki haft færri tölustafi en tugakerfistáknið. Ef tala í sjötalakerfi er færð yfir í tugakerfi getur tugakerfistáknið ekki haft fleiri tölustafi en upphaflega talnatáknið.

Dæmi 4.27

Greining villu út frá fjölda tölustafa við umreikning milli talnakerfa

Fimm stafa tugakerfistala er umreiknuð yfir í fjögurra stafa tölu í fimmtalakerfi. Var villa gerð? Hvernig veistu það?

Lausn

Þar sem 10 er stærri grunntala en 5 getur talan í fimmtalakerfi ekki haft færri tölustafi en tugakerfistalan. Hún hefur það engu að síður og því vitum við að villa var gerð.

Prófaðu skilning þinn

Hve mörg tákn þarf í talnakerfi með grunntöluna 25?

Hvert er sætisgildi tölustafsins 4 í tölunni _34818?

Umreiknaðu 23045 yfir í tugakerfi.

Hvaða tala kemur á eftir 389 þegar talið er í níutalakerfi?

Umreiknaðu 329 yfir í áttundakerfi.

Umreiknaðu ABC₁₄ yfir í tugakerfi.

Hvernig sést að villa var gerð þegar tala var umreiknuð úr tugakerfi yfir í fjórtalakerfi og niðurstaðan varð 1524?

Æfingar úr hluta 4.3

Hvað merkir það að tala sé skrifuð í sjötalakerfi?

Hvað merkir það að tala sé skrifuð í tólfundarkerfi?

Hve mörg tákn eru í þrítalakerfi og hver eru þau?

Hve mörg tákn eru í fimmtántalakerfi og hver eru þau?

Skráðu tölurnar í fimmtalakerfi upp að 1005.

Skráðu tölurnar í tvíundarkerfi upp að 1002.

Í eftirfarandi dæmum skaltu umreikna töluna yfir í tugakerfi.

14₅

21₆

12₃

10.

34₅

11.

14₈

12.

78₉

13.

3B₁₂

14.

241₆

15.

101₂

16.

4A7₁₄

17.

804₉

18.

101001₂

19.

3223₆

20.

1436₇

21.

8A0BD₁₅

22.

110202₃

23.

100A4₁₂

24.

1010000101₂

Í eftirfarandi dæmum skaltu umreikna tugakerfistöluna yfir í tilgreint talnakerfi.

25.

12 yfir í fjórtalakerfi

26.

25 yfir í tvíundarkerfi

27.

43 yfir í tólfundarkerfi

28.

153 yfir í fimmtalakerfi

29.

203 yfir í tvíundarkerfi

30.

431 yfir í fjórtalakerfi

31.

543 yfir í tólfundarkerfi

32.

1.023 yfir í tvíundarkerfi

33.

2.876 yfir í fjórtalakerfi

34.

1.765 yfir í fimmtalakerfi

35.

1.993 yfir í sjötalakerfi

36.

2.000 yfir í tvíundarkerfi

37.

4.368 yfir í tólfundarkerfi

38.

12.562 yfir í sextándakerfi (Vísbending: Sextándakerfið notar táknin 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F.)

39.

Við umreikning úr tugakerfi yfir í sextalakerfi fær nemandi afgangana 3, 1, 3 og 6. Hvernig veistu að villa var gerð?

40.

Við umreikning úr tugakerfi yfir í fjórtalakerfi fær nemandi afgangana 0, 0, 3, 7 og 2. Hvernig veistu að villa var gerð?

41.

Tala í tólfundarkerfi er umreiknuð yfir í tugakerfi og einn tölustafurinn er A. Var villa gerð? Hvernig veistu það?

42.

Tala í tugakerfi er umreiknuð yfir í fimmtalakerfi og einn tölustafurinn er 6. Var villa gerð? Hvernig veistu það?

43.

Tala í tvíundarkerfi er umreiknuð yfir í tugakerfi og tugakerfistalan hefur fleiri tölustafi en tvíundartalan. Var villa gerð? Hvernig veistu það?

44.

Tala í sextándakerfi er umreiknuð yfir í tvíundarkerfi og tvíundartalan hefur færri tölustafi en sextándakerfistalan. Var villa gerð? Hvernig veistu það?

Í dæmunum hér á eftir skaltu færa hindú-arabísku töluna yfir í maja-talnatákn.

45.

46.

47.

400

48.

723

Talnakerfi Babýloníumanna hafði grunntöluna 60. Til að færa hindú-arabískt talnatákn yfir í babýlonskt er fyrst beitt aðferðinni við að færa úr tugakerfi yfir í annað talnakerfi. Niðurstöðurnar eru síðan ritaðar með babýlonskum talnatáknum. Ferlið svipar til umreiknings yfir í maja-talnatákn.

49.

50.

135

51.

781

52.

10,952