8.7 Notkun normaldreifingar

Eins og við sáum í Normaldreifing tengist orðið „staðlað“ normaldreifingu náið. Þess vegna eru próf á borð við inntökupróf háskóla, samræmd árangurspróf grunn- og framhaldsskólanema og Advanced Placement-próf oft kölluð stöðluð próf: einkunnum er úthlutað þannig að þær fylgi normaldreifingu með meðaltali og staðalfráviki sem haldast sambærileg frá ári til árs. Stöðlun gerir inntökufulltrúum háskóla einnig kleift að bera beint saman umsækjanda sem tók ACT-prófið, sem er inntökupróf háskóla, og umsækjanda sem kaus þess í stað að taka SAT-prófið, sem er annað inntökupróf háskóla. Stöðlun gerir okkur kleift að bera saman einstaklinga úr ólíkum hópum og er ein mikilvægasta notkun normaldreifingar. Í þessum hluta skoðum við þessa og aðra raunverulega notkun normaldreifingar.

Tvær góðar leiðir eru til að bera saman gagnagildi úr ólíkum hópum: með $z$-gildum og prósentumörkum. Aðferðirnar gefa alltaf samræmdar niðurstöður; við fáum til dæmis ekki þá niðurstöðu að fyrra gildið sé betra samkvæmt $z$-gildum en það síðara samkvæmt prósentumörkum. Því má nota þá aðferð sem þér þykir þægilegra að beita.

Í upphafi Normaldreifingar sáum við að fjöldi framhliða sem koma upp þegar peningi er kastað upp 100 sinnum fylgir normaldreifingu. Sýna má að ef $n$ er fjöldi kasta sé meðaltal dreifingarinnar $\frac{n}{2}$ og staðalfrávikið $\frac{\sqrt{n}}{2}$, að því gefnu að $n\ge 20$. Fyrir 100 köst er meðaltal dreifingarinnar því 50 og staðalfrávikið 5. Í upphafsdæminu komu 70 framhliðar upp í einni af fyrstu tilraununum okkar, sem okkur þótti óvenjulegt. Með normaldreifingunni getum við ákvarðað nákvæmlega hve óvenjuleg sú niðurstaða er. Formúlan „=NORM.DIST(70, 50, 5, TRUE)“ í Google Sheets gefur 0,999968, sem samsvarar 99,9968. prósentumarkinu. Hvaða gagn er að því? Segjum að kanna eigi hvort peningur sé óskekktur og honum sé því kastað upp 100 sinnum. Okkur gæti þótt grunsamlegt að fá framhlið 70 sinnum, en nú höfum við tölulegan mælikvarða á hve óvenjulegt það er: Ef peningurinn væri óskekktur kæmi framhlið upp að minnsta kosti 70 sinnum í aðeins $100-99.9968=0.0032\%$ tilvika. Það er afar ólíklegt. Greining af þessu tagi tengist tilgátuprófun, sem er mikilvæg notkun tölfræði í raun- og félagsvísindum.