Svarlykill

10. kafli

Þitt verkefni

10.1

Stafirnir BD með ör frá B í átt að D tákna geisla sem byrjar í B og nær óendanlega langt í átt að D.

⟶

𝐵

⁢

𝐷

⁢

→

er geislinn sem byrjar í punktinum

𝐵

og nær óendanlega langt í átt að punktinum

𝐷

Stafirnir AB með striki yfir tákna strik sem byrjar í A og endar í B.

𝐴

⁢

𝐵

⁢

táknar strikið sem byrjar í punktinum

𝐴

og endar í punktinum

𝐵

Stafirnir BA með ör frá A í átt að B tákna geisla sem byrjar í A og nær óendanlega langt í átt að B.

⟵

𝐵

⁢

𝐴

⁢

←

táknar geislann sem byrjar í punktinum

𝐴

og nær óendanlega langt í átt að punktinum

𝐵

Stafirnir AD með tvíör yfir tákna línu sem inniheldur punktana A og D. Línan nær óendanlega langt í báðar áttir.

⟷

𝐴

⁢

𝐷

⁢

↔

táknar línu sem inniheldur punktana

𝐴

𝐷

. Takið eftir örvaroddunum á báðum endum línunnar yfir

, sem merkir að línan heldur óendanlega langt áfram í báðar áttir.

10.2

Svör eru breytileg. Ein leið

𝐴

⁢

𝐸

⁢

𝐼

⁢

𝐸

⁢

𝐵

⁢

𝐶

⁢

𝐷

⁢

𝐺

⁢

; önnur leið

𝐴

⁢

𝐻

⁡

𝐼

⁢

𝐸

⁢

𝐵

⁢

𝐶

⁢

𝐹

⁡

𝐺

⁢

⁡

⁢

⁡

10.3

⟷

𝑅

⁢

𝑆

∥

⟷

𝑈

⁢

𝑉

⁢

↔

∥

⁢

↔

⟷

𝑅

⁢

𝑆

⁢

⊥

⁢

←

←←←

→

𝑋

⁢

𝑌

⁢

↔

⁢

⊥

⁢

↔

⟷

𝑈

⁢

𝑉

⁢

⊥

⁢

←

←←←

→

𝑋

⁢

𝑌

⁢

↔

⁢

⊥

⁢

↔

10.4

Finna á sniðmengið milli strikanna AB $\overline {AB}$ og BC. $\overline {BC}$

Teiknaðu strikin tvö sitt í hvoru lagi fyrir ofan línuna.

Sniðmengið inniheldur aðeins þá þætti sem báðar myndir eiga sameiginlega.

Hér er aðeins punkturinn B sameiginlegur.

$\overline {AB} \cap \overline {BC} = B$

𝐴

⁢

𝐵

∩

𝐵

⁢

𝐶

𝐵

⁢

∩

⁢

Finna á sammengið milli geislanna BC $\overrightarrow {BC}$ og CA. $\overleftarrow {CA}$

Gættu þín. Punktar síðari geislans eru taldir upp aftur á bak.

Teiknaðu geislana tvo sitt í hvoru lagi fyrir ofan línuna.

Sammengið inniheldur alla þætti sem eru á annarri hvorri myndinni.

Hér þekja geislarnir alla línuna.

$\overrightarrow {BC} \cup \overleftarrow {CA} = \overleftrightarrow {AC}$

⟶

𝐵

⁢

𝐶

∪

⟵

𝐶

⁢

𝐴

⟷

𝐴

⁢

𝐶

⁢

→

∪

⁢

←

⁢

↔

Finna á sniðmengið milli strikanna BC $\overline {BC}$ og AC. $\overline {AC}$

Teiknaðu strikin tvö sitt í hvoru lagi fyrir ofan línuna.

Sniðmengið inniheldur aðeins þá þætti sem báðar myndir eiga sameiginlega.

Hér eiga þau strikið BC $\overline {BC}$ sameiginlegt.

$\overline {BC} \cap \overline {AC} = \overline {BC}$

𝐵

⁢

𝐶

∩

𝐴

⁢

𝐶

𝐵

⁢

𝐶

⁢

∩

⁢

10.5

Punktur

𝐴

er staðsettur í

(

−

)

(

−

)

; punktur

𝐵

er staðsettur í

(

−

)

(

−

)

; punktur

𝐶

er staðsettur í

(

−

)

(

−

)

; punktur

𝐷

er staðsettur í

(

−

)

(

−

)

; punktur

𝐸

er staðsettur í

(

)

(

)

; punktur

𝐹

er staðsettur í

(

)

(

)

Punktarnir

𝐴

𝐵

eru á beinu línunni

⟷

𝐴

⁢

𝐵

⁢

↔

Línan sem byrjar í punktinum

𝐸

í átt að punktinum

𝐹

er geisli

⟶

𝐸

⁢

𝐹

⁢

→

Línan frá punktinum

𝐶

til punktsins

𝐷

er strik

𝐶

⁢

𝐷

⁢

Já, þetta táknar sléttu. Ein ástæðan er að myndin inniheldur fjóra punkta sem liggja ekki á línunni

⟷

𝐴

⁢

𝐵

⁢

↔

10.6

Sléttan

𝑀

⁢

𝑁

⁢

𝑂

⁢

𝑃

⁢

sker sléttuna

𝑂

⁢

𝑃

⁢

𝑄

⁢

𝑅

⁢

og sléttan

𝑂

⁢

𝑃

⁢

𝑄

⁢

𝑅

⁢

sker sléttuna

𝑄

⁢

𝑅

⁢

𝑆

⁢

𝑇

⁢

10.7

Hvasst horn hefur stærð milli 0° og 90°, þó ekki 90°.

Hvöss horn: ∠AOB, ∠AOC, ∠BOC, ∠BOD, ∠COD, ∠DOE, ∠FOE

Gleitt horn hefur stærð milli 90° og 180°, án endapunktanna.

Gleið horn: ∠AOE, ∠BOF, ∠COF

Rétt horn er nákvæmlega 90°.

Rétt horn: ∠AOD, ∠BOE, ∠DOF

Beint horn er nákvæmlega 180°.

Bein horn: ∠AOF

Hvöss horn	Gleið horn	Rétt horn	Bein horn
∠ 𝐴 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐵 ∠ A ⁢ O ⁢ B ∠ 𝐴 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐶 ∠ A ⁢ O ⁢ C ∠ 𝐵 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐶 ∠ B ⁢ O ⁢ C ∠ 𝐵 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐷 ∠ B ⁢ O ⁢ D ∠ 𝐶 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐷 ∠ C ⁢ O ⁢ D ∠ 𝐷 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐸 ∠ D ⁢ O ⁢ E ∠ 𝐹 ⁡ 𝑂 ⁢ 𝐸 ∠ F ⁡ O ⁢ E	∠ 𝐴 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐸 ∠ A ⁢ O ⁢ E ∠ 𝐵 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐹 ∠ B ⁢ O ⁢ F ∠ 𝐶 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐹 ∠ C ⁢ O ⁢ F	∠ 𝐴 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐷 ∠ A ⁢ O ⁢ D ∠ 𝐵 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐸 ∠ B ⁢ O ⁢ E ∠ 𝐷 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐹 ∠ D ⁢ O ⁢ F	∠ 𝐴 ⁢ 𝑂 ⁢ 𝐹 ∠ A ⁢ O ⁢ F

10.8

Beint horn er nákvæmlega 180°.

$5x + 2x + 5 = 180$

$7x = 175$

$x = 25^\circ$

$2x + 5$ = $2\left( {25} \right) + 5 = 50 + 5 = 55^\circ$

$5x = 5\left( {25} \right) = 125^\circ$

Hornin eru 125° og 55°.

⁢

𝑥

∘

⁢

𝑥

∘

⁢

125

∘

⁢

∘

10.9

Rétt horn er nákvæmlega 90°.

$6x + 9x + 7x + 2 = 90$

$22x = 88$

$x = 4$

$6x = 6\left( 4 \right) = 24^\circ$

$9x = \left( 4 \right) = 36^\circ$

$7x + 2 = 7\left( 4 \right) + 2 = 28 + 2 = 30^\circ$

Hornin eru 24°, 36° og 30°.

𝑚

∡

(

⁢

𝑥

)

∘

∡

(

⁢

)

∘

𝑚

∡

(

⁢

𝑥

)

∘

∡

(

⁢

)

∘

𝑚

∡

(

⁢

𝑥

)

∘

∡

(

⁢

)

∘

10.10

Topphorn eru jafnstór. Horn 4 er 67°.

Horn 3 og 4 eru grannhorn og því er summa þeirra 180°.

Horn 3 = 180° − 67° = 113°

Þar sem topphorn eru jafnstór eru horn 3 og 1 jafnstór.

m∡3 = m∡1 = 113°

m∡4 = 67°

𝑚

∡

∘

∡

∘

𝑚

∡

∘

∡

113

∘

𝑚

∡

∘

∡

113

∘

10.11

Hornin tvö mynda beint horn. Fyllihornið fæst með því að draga hornið frá 180°.

$180 - 50 = 130$

Hornið er 130°.

∘

130

∘

10.12

Horn 1 og horn 5 eru einslæg. Einslæg horn eru jafnstór.

m∡5 = 120°

Horn 1 og horn 4 eru topphorn og því jafnstór.

m∡4 = 120°

Horn 5 og horn 8 eru topphorn og því jafnstór.

m∡8 = 120°

𝑚

∡

∘

∡

120

∘

𝑚

∡

∘

∡

120

∘

𝑚

∡

∘

∡

120

∘

10.13

Horn 1 og horn 2 eru grannhorn. Summa grannhorna er 180°.

180° – 48° = 132°

m∡1 = 132°

Horn 1 og horn 5 eru einslæg. Einslæg horn eru jafnstór.

m∡5 = 132°

𝑚

∡

∘

∡

132

∘

𝑚

∡

∘

∡

132

∘

10.14

𝑚

∡

∘

∡

∘

𝑚

∡

∘

∡

∘

𝑚

∡

∘

∡

118

∘

𝑚

∡

∘

∡

∘

𝑚

∡

∘

∡

118

∘

10.15

𝑚

∡

𝑥

∘

∡

∘

𝑚

∡

(

𝑥

)

∘

∡

(

)

∘

𝑚

∡

(

𝑥

−

)

∘

∡

(

−

)

∘

Summa horna í þríhyrningi er 180°.

𝑥 − 1 9 + 𝑥 + 1 + 𝑥 = 1 8 0 x − 19 + x + 1 + x = 180	Sameinaðu samstofna liði.
3 ⁢ 𝑥 − 1 8 = 1 8 0 3 ⁢ x − 18 = 180	Dragðu frá.
3 ⁢ 𝑥 = 1 9 8 3 ⁢ x = 198	Deildu.
𝑥 = 6 6 x = 66	Reiknaðu stæðurnar fyrir hornin.
𝑥 − 1 9 = 6 6 − 1 9 = 4 7 x − 19 = 66 − 19 = 47
𝑥 + 1 = 6 6 + 1 = 6 7 x + 1 = 66 + 1 = 67
𝑥 = 6 6 x = 66

Hornin eru 47°, 67° og 66°.

10.16

Horn 1 og 145° hornið eru grannhorn og summa þeirra 180°.

180° – 145° = 35°

m∡1 = 35°

Horn 3 og 60° hornið eru topphorn og því jafnstór.

m∡3 = 60°

Summa horna í þríhyrningi er 180°. Summa horna 1, 2 og 3 er því 180°. Dragðu summuna 35 + 60 frá 180 til að finna horn 2.

180° – (35° + 60°) = 85°

m∡2 = 85°

𝑚

∡

∘

∡

∘

;

𝑚

∡

∘

∡

∘

;

𝑚

∡

∘

∡

∘

10.17

Summa horna í þríhyrningi er 180°. Þar sem tvö horn í þríhyrningi ABC eru jafnstór samsvarandi hornum í DEF eru þriðju hornin einnig jafnstór. Hliðarnar eru líka jafnlangar. Þríhyrningarnir eru einslaga.

Þríhyrningur

𝐴

⁢

𝐵

⁢

𝐶

⁢

er einslaga þríhyrningnum

𝐷

⁢

𝐸

⁢

𝐹

⁢

10.18

Tvær hliðar og hornið milli þeirra eru merkt eins. Þetta er hlið–horn–hlið-reglan (SAS): Ef tvær hliðar og hornið milli þeirra í einum þríhyrningi eru jöfn samsvarandi hliðum og inniföldu horni annars eru þríhyrningarnir einslaga.

SAS

10.19

Tvö horn og hliðin milli þeirra eru merkt eins. Þetta er horn–hlið–horn-reglan (ASA): Ef tvö horn og hliðin milli þeirra í einum þríhyrningi eru eins og samsvarandi horn og hlið í öðrum eru þríhyrningarnir einslaga.

ASA

10.20

Af myndunum er vitað að samsvarandi horn eru jafnstór. Það nægir til að ákvarða einslögun.
Settu upp hlutföll milli þríhyrninganna og athugaðu hvort stækkunarhlutfallið sé það sama. Ef svo er eru þeir líkir.

$\frac{{3.7}}{{4.9}} \approx 0.76$

$\frac{5}{{6.6}} \approx 0.76$

$\frac{{3.4}}{{4.5}} \approx 0.76$

Stækkunarhlutfallið er um það bil hið sama. Þríhyrningarnir eru líkir.

Þríhyrningarnir eru líkir.

10.21

Af myndunum er vitað að samsvarandi horn eru jafnstór. Það nægir til að ákvarða einslögun.

Settu upp hlutföll til að finna óþekktu gildin.

$\frac{1 0 3 0 = 𝑥 1 8 10}{30} = \frac{x}{18}$	Margfaldaðu.
3 0 ⁢ 𝑥 = 1 8 0 30 ⁢ x = 180	Deildu.
𝑥 = 6 ⁢ m x = 6 ⁢ m
$\frac{𝑦 8 = 3 0 1 0 y}{8} = \frac{30}{10}$	Margfaldaðu.
1 0 ⁢ 𝑦 = 2 4 0 10 ⁢ y = 240	Deildu.
𝑦 = 2 4 ⁢ m y = 24 ⁢ m

𝑥

𝑦

10.22

Settu upp hlutfall til að finna óþekkta gildið. Sumum nemendum reynist gagnlegt að teikna þríhyrningana sitt í hvoru lagi.

$\frac{6 7 . 5 = 𝑥 1 0 7 . 5 6}{7.5} = \frac{x}{107.5}$	Margfaldaðu.
7 . 5 ⁢ 𝑥 = 6 4 5 7.5 ⁢ x = 645	Deildu.
𝑥 = 8 6 ⁢ f ⁡ e ⁢ e ⁢ t x = 86 ⁢ f ⁡ e ⁢ e ⁢ t

Tréð er 86 fet á hæð.

10.23

Settu upp hlutfall til að finna óþekkta gildið. Teikna má þríhyrningana sitt í hvoru lagi. Látum x vera hæð trésins í fetum.

$\frac{𝑥 1 8 0 = 1 0 3 0 x}{180} = \frac{10}{30}$	Margfaldaðu.
3 0 ⁢ 𝑥 = 1 , 8 0 0 30 ⁢ x = 1 , 800	Deildu.
𝑥 = 6 0 ⁢ f ⁡ e ⁢ e ⁢ t x = 60 ⁢ f ⁡ e ⁢ e ⁢ t

60 fet

10.24

Rétthyrningur er samsíðungur með fjögur rétt horn og tvö pör samsíða hliða.

rétthyrningur

Fimmhyrningur er marghyrningur með fimm hliðar.

fimmhyrningur

Sjöhyrningur er marghyrningur með sjö hliðar.

sjöhyrningur

Samsíðungur er ferhyrningur með tvö pör samsíða hliða.

samsíðungur

10.25

Form 1, 2, 4 og 6 eru þríhyrningar því þau hafa þrjár hliðar.

Form 3 er fimmhyrningur því það hefur fimm hliðar.

Form 5 er samsíðungur, ferhyrningur með tvö pör samsíða hliða.

Form 7 er rétthyrningur, samsíðungur með fjögur rétt horn og tvö pör samsíða hliða.

Form 1, 2, 4 og 6 eru þríhyrningar; form 3 er fimmhyrningur; form 5 samsíðungur og form 7 rétthyrningur.

10.26

Ummál P rétthyrnings með lengd L og breidd W er 𝑃 = 2𝐿 + 2𝑊. $P = 2L + 2W$

Ferningur er rétthyrningur með jafnlanga lengd og breidd.

$P = 2L + 2W = 2\left( {30{\rm{\ in}}} \right) + 2\left( {30{\rm{\ in}}} \right) = 60{\rm{\ in}} + 60{\rm{ in = }}120{\rm{\ in}}$

Ummálið er 120 tommur.

120 tommur

10.27

Reglulegur sjöhyrningur hefur sjö jafnlanga hliðar. Ummál reglulegs sjöhyrnings með hliðarlengd 3,2 tommur er því:

$P = 7(3.2{\rm{\ in) = 22}}{\rm{.4\ inches}}$

22,4 tommur

10.28

Fimmhyrningur hefur fimm hliðar og því er n = 5. $n = 5$

Stærð hvers innhorns reglulegs n-hyrnings er 𝑎 = (𝑛 − 2)₁₈₀°/𝑛. $a = \frac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n}$

$a = \frac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n} = \frac{{\left( {5 - 2} \right)180^\circ }}{5} = \frac{{\left( 3 \right)180^\circ }}{5} = \frac{{540}}{5} = 108^\circ$

Summa innhorna n-hyrnings er 𝑆 = (𝑛 − 2)₁₈₀°. $S = \left( {n - 2} \right)180^\circ$

$S = \left( {n - 2} \right)180^\circ = \left( {5 - 2} \right)180^\circ = \left( 3 \right)180^\circ = 540^\circ$

Hvert innhorn fimmhyrnings er 108°. Summa innhornanna er 540°.

𝑎

∘

108

∘

Summa innhornanna er

∘

540

∘

10.29

Skref 1: Finndu summu innhornanna. Þetta er ferhyrningur og því er n = 4. $n = 4$

Summa innhorna n-hyrnings er 𝑆 = (𝑛 − 2)₁₈₀°. $S = \left( {n - 2} \right)180^\circ$

$S = \left( {n - 2} \right)180^\circ = \left( {4 - 2} \right)180^\circ = \left( 2 \right)180^\circ = 360^\circ$

Skref 2: Leggðu hornin saman, settu summuna jafna hornasummunni og leystu fyrir óþekktu stærðirnar.

1 5 1 − ( 5 ⁢ 𝑥 + 1 ) + ( − 6 ⁢ 𝑥 ) + ( 1 2 0 + 𝑥 ) = 3 6 0 151 − ( 5 ⁢ x + 1 ) + ( − 6 ⁢ x ) + ( 120 + x ) = 360	Margfaldaðu inn í sviga.
1 5 1 − 5 ⁢ 𝑥 − 1 − 6 ⁢ 𝑥 + 1 2 0 + 𝑥 = 3 6 0 151 − 5 ⁢ x − 1 − 6 ⁢ x + 120 + x = 360	Sameinaðu samstofna liði.
− 1 0 ⁢ 𝑥 + 2 7 0 = 3 6 0 − 10 ⁢ x + 270 = 360	Dragðu frá.
− 1 0 ⁢ 𝑥 = 9 0 − 10 ⁢ x = 90	Deildu.
𝑥 = − 9 x = − 9	Reiknaðu stæðurnar fyrir hvert horn.

$- \left( {5x + 1} \right) = - \left( {5\left( { - 9} \right) + 1} \right) = - \left( { - 45 + 1} \right) = - \left( { - 44} \right) = 44^\circ$

$- 6x = - 6\left( { - 9} \right) = 54^\circ$

$120 + x = 120 + \left( { - 9} \right) = 111^\circ$

Innhornin eru 44°, 54° og 111°.

Við vitum að summa innhorna er

∘

360

∘

. Þá er

𝑥

−

Hin hornin eru

∘

111

∘

10.30

Summa úthorna reglulegs n-hyrnings er 360°.

Hér mætti stöðva. Stærð hvers úthorns reglulegs n-hyrnings er 𝑏 = 360°/𝑛. $b = \frac{{360^\circ }}{n}$

Sjöhyrningur hefur sjö hliðar og því er n = 7.

$b = \frac{{360^\circ }}{n} = \frac{{360^\circ }}{7} \approx 51.43^\circ$

Margfaldaðu með 7 til að fá aftur summu allra úthornanna.

7(51,43) er um 360°.

⁢

(

)

∘

⁢

(

51.43

)

360

∘

10.31

Ummál hrings er 𝐶 = 2𝜋𝑟, þar $C = 2\pi r$ sem r er geisli.

$C = 2\pi r = 2\pi \left( {2.25{\rm{\ cm}}} \right) = 4.5{\rm{\ cm}} \approx 14.14{\rm{\ cm}}$

𝐶

⁢

(

)

⁢

𝜋

⁢

(

2.25

)

⁢

14.14

10.32

Ummál hrings er 𝐶 = 2𝜋𝑟, þar $C = 2\pi r$ sem r er geisli.

1 5 . 7 1 ⁢ c ⁢ m = 2 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 15.71 ⁢ c ⁢ m = 2 ⁢ π ⁢ r	Deildu til að finna geislann.
1 5 . 7 1 ⁢ c ⁢ m 2 ⁢ 𝜋 = 𝑟 15.71 ⁢ c ⁢ m/2 ⁢ π = r
r ≈ 2,5 cm

𝑟

2.5

10.33

Listinn þekur 2 fet meðfram botninum og báðar 5,3 feta hliðarnar, auk hálfhringsins efst. Þvermál hálfhringsins er 2 fet.

Ummál hrings með þvermál d er 𝐶 = 𝜋𝑑. $C = \pi d$

Lengdin umhverfis hálfhringinn er helmingur þess.

${\rm{semicircle}} = \frac{1}{2}\pi \left( {2{\rm{\ feet}}} \right) \approx 3.14{\rm{\ ft}}$

Heildarlengd lista: 2 fet + (5,3 fet)(2) + 3,14 fet = 15,74 fet $2 {\rm\ ft} + (5.3\ {\rm\ ft})(2) + 3.14{\rm\ ft} = 15.74{\rm\ ft}$

Nota þarf 15,74 fet af lista.

Kaupa þarf 15,74 fet af lista.

10.34

Hliðraði sexhyrningurinn hefur merkingarnar

𝐴

″

𝐵

″

𝐶

″

𝐷

″

𝐸

″

𝐹

″

Þrír sexhyrningar eru teiknaðir í hnitakerfi. Sexhyrningurinn ABCDEF hefur 3 eininga langar neðri og efri hliðar AF og CD og 2 eininga langar hliðar CB, BA, DE og EF. Hann er hliðraður 5 einingar til hægri og 3 upp; hornpunktarnir verða A′, B′, C′, D′, E′ og F′. Síðan er hann hliðraður 7 einingar niður og hornpunktarnir verða A″, B″, C″, D″, E″ og F″.

10.35

Snúðu þríhyrningnum um snúningspunktinn

∘

þrisvar til hægri.

10.36

Þetta flísamynstur mætti mynda með lóðréttri speglun þríhyrningsins; síðan er hverjum þríhyrningi snúið

∘

180

∘

og hliðrað til hægri.

10.37

Byrjaðu á ferningnum lengst til vinstri og snúðu honum

∘

til hægri, eða

𝐴

⁢

→

𝐴

⁢

→

⁢

. Speglaðu síðan ferninginn um láréttu línuna, eða

𝐴

⁢

→

𝐴

⁢

→

⁢

. Speglaðu næst alla þrjá ferningana um lóðréttu línuna. Ljósfjólubláu þríhyrningarnir mynda annað flísamynstur sem fellur að ferningunum og fyllir bilin.

10.38

Til að reglulegir marghyrningar geti myndað flísamynstur þurfa horn þeirra að mætast í hornpunkti þannig að summa innhornanna þar sé 360°.

Sjöhyrningur hefur sjö hliðar og því er n = 7. $n = 7$

Stærð hvers innhorns reglulegs n-hyrnings er 𝑎 = (𝑛 − 2)₁₈₀°/𝑛. $a = \frac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n}$

$a = \frac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n} = \frac{{\left( {7 - 2} \right)180^\circ }}{7} = \frac{{\left( 5 \right)180^\circ }}{7} = \frac{{900}}{7} \approx 127.57^\circ$

Þar sem innhorn sjöhyrnings eru ekki heiltöluþættir 360° er ekki hægt að flísaleggja með sjöhyrningum einum saman.

Nei

10.39

Til að reglulegir marghyrningar geti myndað flísamynstur þurfa horn þeirra að mætast í hornpunkti þannig að summa innhornanna þar sé 360°.

Tólfhyrningur hefur 12 hliðar og því er n = 12. $n = 12$

Stærð hvers innhorns reglulegs n-hyrnings er 𝑎 = (𝑛 − 2)₁₈₀°/𝑛. $a = \frac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n}$

$a = \frac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n} = \frac{{\left( {12 - 2} \right)180^\circ }}{{12}} = \frac{{\left( {10} \right)180^\circ }}{{12}} = \frac{{1,080^\circ }}{{12}} = 90^\circ$

Þar sem innhorn tólfhyrnings eru heiltöluþættir 360° er flísalögn möguleg. Tólfhyrningar einir fylla þó ekki flötinn; jafnhliða þríhyrningar milli þeirra fylla bilin.

Ekki einir og sér, en með jafnhliða þríhyrningi flísaleggja reglulegu marghyrningarnir tveir sléttuna án bila.

10.40

Flísamynstrið er gert úr reglulegum tíhyrningi og óreglulegum sexhyrningi. Reglulegi tíhyrningurinn fyllir ekki sléttuna einn en óreglulegi sexhyrningurinn fyllir bilið. Saman fylla formin sléttuna.

10.41

Flatarmál þríhyrnings er 𝐴 = $A = \frac{1}{2}bh$ 1/2 𝑏ℎ, þar sem b er grunnlína og h hæð.

$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}\left( {{\rm{4\ cm}}} \right)\left( {{\rm{4 \ cm}}} \right) = {\rm{ 8\ c}}{{\rm{m}}^2}$

Flatarmálið er 8 fersentímetrar.

10.42

Flatarmál rétthyrnings er 𝐴 = $A = LW$ 𝐿𝑊, þar sem L er lengd og W breidd.

Lengdin er 18 fet.

Skiptu breiddarstæðunni í liði.

Breiddin	er	einn þriðji af lengdinni
breidd	$=$	1 3 ⁢ ( 1 8 f t ) 1/3 ⁢ ( 18 ft )

width = $\frac{1}{3}\left( {18{\rm{\ ft}}} \right) = {\rm{ 6\ ft}}$

$A = LW = \left( {18{\rm{\ ft}}} \right)\left( {{\rm{6\ ft}}} \right) = 108{\rm{\ f}}{{\rm{t}}^2}$

Flatarmálið er 108 ferfet.

108 ferfet

10.43

45 kassar sem kosta $2.025,00

Flatarmál rétthyrnings er 𝐴 = $A = LW$ 𝐿𝑊, þar sem L er lengd og W breidd.

$A = LW = \left( {30{\rm{\ ft}}} \right)\left( {{\rm{15\ ft}}} \right) = 450{\rm{\ f}}{{\rm{t}}^2}$

Búðu til umreikningsstuðla úr jafngildunum að einn kassi kosti $45 og þeki 10 ferfet.

$450\ {\rm{ }}\cancel{{{\rm{f}}{{\rm{t}}^2}}}\left( {\frac{{1\ {\rm{ box}}}}{{10\ {\rm{ }}\cancel{{{\rm{f}}{{\rm{t}}^2}}}}}} \right) = 45\ {\rm{ boxes}}$

$45\ {\rm{ }}\cancel{{{\rm{boxes}}}}\left( {\frac{{\$ 45}}{{10\ {\rm{ }}\cancel{{{\rm{boxes}}}}}}} \right) = \$ 2,025$

Nota þarf 45 flísakassa. Þeir kosta $2.025.

10.44

Flatarmál samsíðungs með grunnlínu b og hæð h er 𝐴 = 𝑏ℎ. $A = bh$

$A = bh = \left( {{\rm{15\ in}}} \right)\left( {{\rm{18\ in}}} \right) = 270{\rm{\ i}}{{\rm{n}}^2}$

Flatarmál samsíðungsins er 270 fertommur.

270

10.45

13.671 ferfet; kostnaður $19.872,95.

Breyttu fyrst málunum í fet. Ein jarda er 3 fet.

$31\ {\rm{ }}\cancel{{{\rm{yard}}}}\left( {\frac{{3{\rm{\ feet}}}}{{1{\rm{\ }}\cancel{{{\rm{yard}}}}}}} \right) = 93\ {\rm{ feet}}$

$49\ {\rm{ }}\cancel{{{\rm{yard}}}}\left( {\frac{{3{\rm{\ feet}}}}{{1{\rm{\ }}\cancel{{{\rm{yard}}}}}}} \right) = 147\ {\rm{ feet}}$

Flatarmál samsíðungs með grunnlínu b og hæð h er 𝐴 = 𝑏ℎ. $A = bh$

$A = bh = \left( {{\rm{93\ feet}}} \right)\left( {{\rm{147\ feet}}} \right) = 13,671\ {\rm{ f}}{{\rm{t}}^2}$

Tvö gjöld eru á hvert ferfet, $0,45 og $1,00, samtals $1,45 á ferfet.

$13,671\cancel{{{\text{f}}{{\text{t}}^2}}}\left( {\frac{{\$ 1.45}}{{1{\text{ }}\cancel{{{\text{f}}{{\text{t}}^2}}}}}} \right) = \$ 19,822$

Bættu við fasta $50 tækjagjaldinu.

${\text{\$19,822 + \$50 = \$19,872}}{\text{.95}}$

Kaupa þarf 13.671 ferfet af torfi. Heildarkostnaðurinn er $19.872,95.

10.46

Flatarmál trapisu með hæð h og samsíða grunnlínur a og b er 𝐴 = 1/2 ℎ(𝑎 + 𝑏). $A = \frac{1}{2}h(a + b)$

$A = \frac{1}{2}h(a + b) = A = \frac{1}{2}\left( {{\rm{12\ in}}} \right)(6{\rm{\ in}} + 16{\rm{\ in}}) = \left( {6{\rm{\ in}}} \right)\left( {22{\rm{\ in}}} \right) = 132{\rm{\ i}}{{\rm{n}}^2}$

Flatarmálið er 132 fertommur.

132

tommur

10.47

Flatarmál tíguls með hornalínur d₁ og d₂ er 𝐴 ${d_1}$ = ${d_2}$ d₁d₂/2. $A = \frac{{{d_1}{d_2}}}{2}$

4 0 = 8 ⁢ 𝑑 2 2 40 = 8 ⁢ d 2/2	Einfaldaðu hægri hliðina.
4 0 = 4 ⁢ 𝑑 2 40 = 4 ⁢ d 2	Deildu báðum hliðum.
1 0 = 𝑑 2 10 = d 2

Lengd d₂ er ${d_2}$ 10 tommur.

𝑑

10.48

Flugdreki er tígull. Flatarmál tíguls með hornalínur d₁ og d₂ er 𝐴 = ${d_1}$ ${d_2}$ d₁d₂/2. $A = \frac{{{d_1}{d_2}}}{2}$

5 0 0 = 2 5 ⁢ 𝑑 2 2 500 = 25 ⁢ d 2/2	Einfaldaðu hægri hliðina.
5 0 0 = 1 2 . 5 ⁢ 𝑑 2 500 = 12.5 ⁢ d 2	Deildu báðum hliðum.
4 0 = 𝑑 2 40 = d 2

Lengd d₂ er ${d_2}$ 40 tommur.

40 tommur

10.49

Inngeisli reglulegs marghyrnings er strik frá miðju hornrétt á hlið. Flatarmál reglulegs marghyrnings með inngeisli a og ummál p er 𝐴 = 1/2 𝑎𝑝. $A = \frac{1}{2}ap$

Reglulegur fimmhyrningur hefur fimm jafnlanga hliðar. Ummál reglulegs fimmhyrnings með hliðarlengd 7 cm er því:

$p = 5(7{\rm{\ cm) = 35\ cm}}$

$A = \frac{1}{2}ap = \frac{1}{2}\left( {5.5{\rm{\ cm}}} \right)\left( {35{\rm{\ cm}}} \right) = 96.25{\rm{\ c}}{{\rm{m}}^2}$

Flatarmálið er 96,25 fersentímetrar.

𝐴

96.25

10.50

Breyttu fyrst málunum í jarda. Ein jarda er 3 fet.

$15{\text{ }}\cancel{{{\text{feet}}}}\left( {\frac{{{\text{1 yard}}}}{{{\text{3 }}\cancel{{{\text{feet}}}}}}} \right) = 5{\text{ yards}}$

$18{\text{ }}\cancel{{{\text{feet}}}}\left( {\frac{{{\text{1 yard}}}}{{{\text{3 }}\cancel{{{\text{feet}}}}}}} \right) = 6{\text{ yards}}$

Flatarmál rétthyrnings er 𝐴 = $A = LW$ 𝐿𝑊, þar sem L er lengd og W breidd.

$A = LW = \left( {5{\text{ yd}}} \right)\left( {{\text{6 yd}}} \right) = 30{\text{ y}}{{\text{d}}^2}$

Nota þarf 30 ferjarda af gólfteppi.

10.51

Flatarmál hrings með geisla r er 𝐴 = 𝜋𝑟². $A = \pi {r^2}$

$A = \pi {r^2} = \pi {\left( {3{\text{ cm}}} \right)^2} = 9\pi {\text{ c}}{{\text{m}}^2} \approx 28.3{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$

Flatarmál hringsins er um 28,3 fersentímetrar.

28.3

10.52

Finndu kostnað á fertommu fyrir báðar pítsurnar með því að deila verði hvorrar með flatarmáli hennar. Flatarmál hrings með geisla r er 𝐴 = 𝜋𝑟². $A = \pi {r^2}$

Ef þvermálið er 9 tommur er geislinn 4,5 tommur.

Ef þvermálið er 15 tommur er geislinn 7,5 tommur.

Flatarmál hrings með geisla r er 𝐴 = 𝜋𝑟². $A = \pi {r^2}$

	9 tommu pítsa	15 tommu pítsa
Þvermál	9 tommur	15 tommur
Geisli	4,5 tommur	7,5 tommur
Flatarmál	𝜋 ⁢ ( 4 . 5 i n ) 2 ≈ 6 3 . 6 2 i n 2 π ⁢ ( 4 .5 in ) 2 ≈ 63.62 i n 2	𝜋 ⁢ ( 7 . 5 i n ) 2 ≈ 1 7 6 . 7 1 i n 2 π ⁢ ( 7 .5 in ) 2 ≈ 176.71 i n 2
Kostnaður	$10.99	$14.99
Kostnaður á fertommu	$ ⁢ 1 0 . 9 9 6 3 . 6 2 i n 2 ≈ $ ⁢ 0 . 1 7 i n 2 $ ⁢ 10.99/63 .62 i n 2 ≈ $ ⁢ 0.17/i n 2	$ ⁢ 1 4 . 9 9 1 7 6 . 7 1 i n 2 ≈ $ ⁢ 0 . 0 8 i n 2 $ ⁢ 14.99/176.71 i n 2 ≈ $ ⁢ 0.08/i n 2

15 tommu pítsan er ódýrari, um $0,08 á fertommu samanborið við um $0,17 fyrir minni pítsuna.

15 tommu pítsan

10.53

Hurðin er rétthyrningur og hálfhringur.

Flatarmál rétthyrningsins er:

$A = LW = \left( {{\text{3}}{\text{.5 ft}}} \right)\left( {{\text{6}}{\text{.25 ft}}} \right) = 21.875{\text{ f}}{{\text{t}}^2}$

Flatarmál hrings með geisla r er 𝐴 = $A = \pi {r^2}$ 𝜋𝑟², en hér þarf helming þess.

$\frac{1}{2}A = \frac{1}{2}\pi {r^2} = \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{{3.5}}{2}{\text{ ft}}} \right)^2} \approx 4.8105{\text{ f}}{{\text{t}}^2}$

Leggðu niðurstöðurnar saman: (21.875 + ${\text{(21}}{\text{.875 + 4}}{\text{.8105)}}$ 4.8105) ferfet

Heildarflatarmálið er um 26,7 ferfet.

𝐴

21.875

4.8

26.7

10.54

Skref 1: Finndu flatarmál ferningsins.

Flatarmál fernings með hlið s er 𝐴 = 𝑠². $A = {s^2}$

$A = {s^2} = {\left( {10{\text{ cm}}} \right)^2} = 100{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$

Skref 2: Finndu flatarmál hringsins.

Flatarmál hrings með geisla r er 𝐴 = 𝜋𝑟². $A = \pi {r^2}$

$A = \pi {r^2} = \pi {\left( {{\text{5 cm}}} \right)^2} = 25\pi {\text{ c}}{{\text{m}}^2}$ 𝐴 = 𝜋𝑟² = 𝜋(5 cm)² = 25𝜋 cm². Með nákvæmu gildi verður lokasvarið nákvæmara.

Skref 3: Dragðu flatarmál hringsins frá flatarmáli ferningsins.

$100{\text{ c}}{{\text{m}}^2} - 25\pi {\text{ c}}{{\text{m}}^2} = 21.46{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$

Skyggða flatarmálið er um 21,46 fersentímetrar.

21.46

10.55

Flatarmál samsíðungs með grunnlínu b og hæð h er 𝐴 = 𝑏ℎ. $A = bh$

$A = bh = \left( {{\text{25 feet}}} \right)\left( {{\text{12 feet}}} \right) = 300{\text{ f}}{{\text{t}}^2}$

Aðeins á að þekja helming samsíðungsins og því þarf 150 ferfet af torfi.

Búðu til umreikningsstuðul úr því að torfpoki kosti $50 og þeki 25 ferfet.

$150\cancel{{{\text{f}}{{\text{t}}^2}}}\left( {\frac{{\$ 50}}{{{\text{25 }}\cancel{{{\text{f}}{{\text{t}}^2}}}}}} \right) = \$300$

Torfið kostar $300.

$300

10.56

𝑆

⁢

𝐴

𝑉

⁢

432

540

Yfirborðsflatarmál rétts strendings, þar sem B er flatarmál grunnflatar, p ummál grunnflatar og h hæð, er SA = 2B + ph. $SA = 2B + ph$

Rétthyrndi grunnflöturinn hefur flatarmálið LW = (6 cm)(15 cm) = 90 cm². ${\text{ = LW = (6 cm) (15 cm) = 90 c}}{{\text{m}}^{\text{2}}}$

Ummál grunnflatarins er p = 2(6 cm) + 2(15 cm) = 42 ${\text{ = }}p{\text{ = 2(6 cm) + 2(15 cm) = 42 cm}}$ cm.

Yfirborðsflatarmálið er 2B + ph = 2(90 cm²) + (42 cm)(6 cm) = 180 cm² + 252 cm² = 432 $= {\text{ }}2B + ph = {\text{ }}2\left( {90{\text{ c}}{{\text{m}}^2}} \right){\text{ }} + {\text{ }}\left( {42{\text{ cm}}} \right)\left( {6{\text{ cm}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}180{\text{ c}}{{\text{m}}^2} + {\text{ }}252{\text{ c}}{{\text{m}}^2} = {\text{ }}432{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$ cm².

Yfirborðsflatarmálið er 432 fersentímetrar.

Rúmmál rétts strendings er V = Bh = (90 cm²)(6 cm) = 540 cm³. $V = Bh\ = {\text{ }}\left( {90{\text{ c}}{{\text{m}}^2}} \right)\left( {6{\text{ cm}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}540{\text{ c}}{{\text{m}}^3}$

Rúmmálið er 540 rúmsentímetrar.

10.57

Yfirborðsflatarmál rétts strendings, þar sem B er flatarmál grunnflatar, p ummál grunnflatar og h hæð, er SA = 2B + ph. $SA = 2B + ph$

Flatarmál þríhyrnda grunnflatarins er A = $A = \frac{1}{2}bh$ 1/2 bh, þar sem b er grunnlína og h hæð.

$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}\left( {{\text{7 cm}}} \right)\left( {{\text{4 cm}}} \right) = {\text{ 14 c}}{{\text{m}}^2}$

Ummál grunnflatarins er p = 6 cm + 7 cm + 5 cm = 18 $= p = {\text{ }}6{\text{ cm }} + {\text{ }}7{\text{ cm }} + {\text{ }}5{\text{ cm }} = {\text{ }}18{\text{ cm}}$ cm.

Yfirborðsflatarmálið er 2B + ph = 2(14 cm²) + (18 cm)(4 cm) = 28 cm² + 72 cm² = 100 $= {\text{ }}2B + ph = {\text{ }}2\left( {14{\text{ c}}{{\text{m}}^2}} \right){\text{ }} + {\text{ }}\left( {18{\text{ cm}}} \right)\left( {4{\text{ cm}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}28{\text{ c}}{{\text{m}}^2} + {\text{ }}72{\text{ c}}{{\text{m}}^2} = {\text{ }}100{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$ cm².

Yfirborðsflatarmálið er 100 fersentímetrar.

100

10.58

Yfirborðsflatarmál rétts strendings, þar sem B er flatarmál grunnflatar, p ummál grunnflatar og h hæð, er SA = 2B + ph. $SA = 2B + ph$

Inngeisli reglulegs marghyrnings er strik frá miðju hornrétt á hlið. Flatarmál reglulegs marghyrnings með inngeisli a og ummál p er 𝐴 = 1/2 𝑎𝑝. $A = \frac{1}{2}ap$

Reglulegur átthyrningur hefur átta jafnlanga hliðar. Ummálið er því:

$p = 8(3{\text{ cm) = 24 cm}}$ .

$A = \frac{1}{2}ap = \frac{1}{2}\left( {4{\text{ cm}}} \right)\left( {{\text{24 cm}}} \right) = 48{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$ A = 1/2 ap = 1/2(4 cm)(24 cm) = 48 cm², sem er B í yfirborðsflatarmálsformúlunni.

Yfirborðsflatarmálið er 2B + ph = 2(48 cm²) + (24 cm)(10 cm) = 96 cm² + 240 cm² = 336 $= {\text{ }}2B + ph = {\text{ }}2\left( {48{\text{ c}}{{\text{m}}^2}} \right){\text{ }} + {\text{ }}\left( {24{\text{ cm}}} \right)\left( {10{\text{ cm}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}96{\text{ c}}{{\text{m}}^2} + {\text{ }}240{\text{ c}}{{\text{m}}^2} = {\text{ }}336{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$ cm².

Yfirborðsflatarmálið er 336 fersentímetrar.

Rúmmál rétts strendings er V = Bh = (48 cm²)(10 cm) = 480 cm³. $V = Bh$ $= {\text{ }}\left( {48{\text{ c}}{{\text{m}}^2}} \right)\left( {{\text{ }}10{\text{ cm}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}480{\text{ c}}{{\text{m}}^3}$

Rúmmálið er 480 rúmsentímetrar.

𝑆

⁢

𝐴

𝑉

⁢

336

480

10.59

Yfirborðsflatarmál rétts strendings, þar sem B er flatarmál grunnflatar, p ummál grunnflatar og h hæð, er SA = 2B + ph. $SA = 2B + ph$

Rétthyrndi grunnflöturinn hefur flatarmálið LW = (12 fet)(25 fet) = 300 ferfet. ${\text{ = LW = (12 ft) (25 ft) = 300 f}}{{\text{t}}^{\text{2}}}$

Ummál grunnflatarins er p = 2(12 fet) + 2(25 fet) = 74 ${\text{ = }}p{\text{ = 2(12 ft) + 2(25 ft) = 74 ft}}$ fet.

Yfirborðsflatarmálið er 2B + ph = 2(300 ferfet) + (74 fet)(8 fet) = 600 ferfet + 592 ferfet = 1.192 $= {\text{ }}2B + ph = {\text{ }}2\left( {300{\text{ f}}{{\text{t}}^2}} \right){\text{ }} + {\text{ }}\left( {74{\text{ ft}}} \right)\left( {8{\text{ ft}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}600{\text{ f}}{{\text{t}}^2} + {\text{ }}592{\text{ f}}{{\text{t}}^2} = {\text{ }}1,192{\text{ f}}{{\text{t}}^2}$ ferfet.

Yfirborðsflatarmálið er 1.192 ferfet.

1,192

fet

10.60

Yfirborðsflatarmál rétts sívalnings með geisla r og hæð h er SA = 2πr² + 2πrh. $SA = 2\pi {r^2} + 2\pi rh$

$SA = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {\left( {7{\text{ cm}}} \right)^2} + 2\pi \left( {7{\text{ cm}}} \right)\left( {{\text{5 cm}}} \right) \approx 527.78{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$

Yfirborðsflatarmálið er 527,78 fersentímetrar.

Rúmmál rétts sívalnings með geisla r og hæð h er V = πr²h. $V = \pi {r^2}h$

$V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {7{\text{ cm}}} \right)^2}\left( {{\text{5 cm}}} \right) \approx 769.69{\text{ c}}{{\text{m}}^3}$

Rúmmálið er 769,69 rúmsentímetrar.

𝑆

⁢

𝐴

𝑉

⁢

527.78

769.69

10.61

Rúmmál rétts sívalnings með geisla r og hæð h er V = πr²h. $V = \pi {r^2}h$

Skref 1: Finndu rúmmál eldfasta mótsins sem er til staðar.

Dýpt mótsins er 4 tommur en pasta fyllir eina tommu. Notaðu því 3 tommur sem hæð sívalningsins. Þvermálið er 10 tommur og geislinn því 5 tommur.

$V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {{\text{5 in}}} \right)^2}\left( {{\text{3 in}}} \right) = 75\pi {\text{ i}}{{\text{n}}^3}$

Skref 2: Finndu rúmmál einnar dósar. Þvermálið er 3 tommur og geislinn því 1,5 tommur.

$V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {{\text{1}}{\text{.5 in}}} \right)^2}\left( {{\text{4 in}}} \right) = 9\pi {\text{ i}}{{\text{n}}^3}$

Skref 3: Búðu til umreikningsstuðul út frá rúmmáli einnar dósar.

$75\pi \cancel{{{\text{ inche}}{{\text{s}}^3}}}\left( {\frac{{1{\text{ can}}}}{{9\pi {\text{ }}\cancel{{{\text{inche}}{{\text{s}}^3}}}}}} \right) = \frac{{25}}{3}{\text{ cans}} = 8\frac{1}{3}{\text{ cans}}$

Bæta má við 8 $8\frac{1}{3}$ 1/3 dósum af súpu.

um það bil 8 1/3 dós af súpu

10.62

Þótt við höfum ekki tæki til að svara spurningunni af fullri nákvæmni getum við skoðað nokkur dæmi og valið besta kostinn.

Form (fet)	Ummál (fet)	Flatarmál (ferfet)
Rétthyrningur: 10 sinnum 2,5	2 ⁢ ( 10 ) ⁢ + ⁢ 2 ⁢ ( 2.5 ) ⁢ = ⁢ 25 2(10) + 2(2,5) = 25 fet	1 0 ⁢ ( 2 . 5 ) = ⁢ 2 5 10 ⁢ ( 2.5 ) = ⁢ 25
Ferningur: hver hlið 6,25	4 ⁢ ( 6 . 2 5 ) ⁢ = ⁢ 2 5 4 ⁢ ( 6.25 ) ⁢ = ⁢ 25	6 . 2 5 ⁢ ( 6 . 2 5 ) ⁢ = ⁢ 3 9 . 0 6 2 5 6.25 ⁢ ( 6.25 ) ⁢ = ⁢ 39.0625
$\frac{Hringur með 25 feta ummál. Finndu geislann. 25 fet = 2πr. Deildu: 25 fet}{(2π)} = \frac{r, svo r ≈ 25 ⁢ ft = 2 ⁢ π ⁢ r3,9789 fet.25 ft}{2 ⁢ π = rr ≈ ⁢ 3.9789 ft}$	25 fet	= 𝜋 ⁢ ( 3 . 9 7 8 9 f t ) 2 ≈ 4 9 . 7 4 f t 2 = π ⁢ ( 3.9789 ft ) 2 ≈ 49.74 f t 2
Rétthyrningur: 8 sinnum 4,5 fet	2 ⁢ ( 8 ) ⁢ + ⁢ 2 ⁢ ( 4.5 ) ⁢ = ⁢ 25 2(8) + 2(4,5) = 25 fet	8 ⁢ ( 4 . 5 ) = ⁢ 3 6 8 ⁢ ( 4.5 ) = ⁢ 36

Hringurinn gefur stærsta flatarmálið en spurt er um rétthyrnt form. Af rétthyrndu formunum hefur ferningurinn stærsta flatarmálið, með hliðarlengdirnar 6,25 fet.

6,25 fet sinnum 6,25 fet

10.63

Ef allar sex hliðarnar eru jafnar fæst kjörrúmmálið V = s³. $V = {s^3}$

2 f t 3 = 𝑠 3 2 f t 3 = s 3	Taktu þriðju rót beggja hliða.
1 . 2 6 ⁢ f t = 𝑠 1.26 ⁢ ft = s

Finndu yfirborðsflatarmálið.

Ferningslaga grunnflöturinn hefur flatarmálið B = LW = (1,26 fet)(1,26 fet) = 1,59 ferfet. ${\text{B = LW = (1}}{\text{.26 ft)(1}}{\text{.26 ft) = 1}}{\text{.59 f}}{{\text{t}}^{\text{2}}}$

Ummál grunnflatarins er p = 2(1,26 fet) + 2(1,26 fet) = 5,04 ${\text{ = }}p{\text{ = 2(1}}{\text{.26 ft) + 2(1 }}{\text{.26 ft) = 5}}{\text{.04 ft}}$ fet.

Yfirborðsflatarmálið er 2B + ph = 2(1,59 ferfet) + (5,04 fet)(1,26 fet) = 9,5304 $= {\text{ }}2B + ph = {\text{ }}2\left( {1.59{\text{ f}}{{\text{t}}^2}} \right){\text{ }} + {\text{ }}\left( {5.04{\text{ ft}}} \right)\left( {1.26{\text{ ft}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}9.5304{\text{ f}}{{\text{t}}^2}$ ferfet.

Búðu til umreikningsstuðul út frá verði lagskipta efnisins.

$9.5304{\text{ }}\cancel{{{\text{sq ft}}}}\left( {\frac{{\$ 10}}{{1{\text{ }}\cancel{{{\text{sq ft}}}}}}} \right) \approx \$ 95.30$

Kjörmálin eru 1,26 fet á breidd, 1,26 fet á lengd og 1,26 fet á hæð og kostnaðurinn er $95,30.

⁢

$\times$

⁢

$\times$

1.26

⁢

fet

á breidd

$\times$

1.26

⁢

fet

á lengd

$\times$

1.26

fet

á hæð

$95.26

10.64

Regla Pýþagórasar segir að a² + ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ b² = c², þar sem a og b eru skammhliðar rétthyrnds þríhyrnings og c er langhliðin.

𝑎 2 + 1 2 2 = 1 3 2 a 2 + 12 2 = 13 2
𝑎 2 + 1 4 4 = 1 6 9 a 2 + 144 = 169	Einfaldaðu.
𝑎 2 = 2 5 a 2 = 25	Dragðu frá.
𝑎 = ± √ 2 5 a = ± 25	Notaðu kvaðratrótarregluna.
𝑎 = 5 a = 5	Einfaldaðu. Lengdir geta ekki verið neikvæðar.

𝑎

10.65

1.140 fet

Fjarlægðin frá punktinum (x₁, y₁) að punktinum (x₂, y₂) er d = √((x₂ $\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ − x₁)² + (y₂ $\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ − $d = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$ y₁)²).

Þú ferð 7 húsaraðir í suður og 9 húsaraðir í vestur og hver húsaröð er 100 fet.

Ef (0,0) er endapunkturinn á að finna fjarlægðina frá (0,0) að (900, 700).

$d = \sqrt {{{\left( {900 - 0} \right)}^2} + {{\left( {700 - 0} \right)}^2}}$

$d = \sqrt {810,000 + 490,000}$

$d = \sqrt {1,300,000}$

$d \approx {\text{ }}1,140\ {\text{}}$ d ≈ 1.140 fet

Fjarlægðin er um það bil 1.140 fet.

10.66

Regla Pýþagórasar segir að a² + ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ b² = c², þar sem a og b eru skammhliðar rétthyrnds þríhyrnings og c er langhliðin.

1 0 2 + 1 2 0 2 = 𝑐 2 10 2 + 120 2 = c 2
1 0 0 + 1 4 , 4 0 0 = 𝑐 2 100 + 14 , 400 = c 2	Einfaldaðu.
1 4 , 5 0 0 = 𝑐 2 14 , 500 = c 2	Notaðu kvaðratrótarregluna.
𝑐 = ± √ 1 4 , 5 0 0 c = ± 14 , 500	Notaðu kvaðratrótarregluna.
c = ⁢ 120.4 c = 120,4 tommur	Einfaldaðu. Lengdir geta ekki verið neikvæðar.

Skábrautin þarf að vera að minnsta kosti 120,42 tommur.

Skálengdin verður 120,4 tommur.

10.67

Hliðarlengdirnar eru

⁢

√

⁢

30.

Hliðahlutföllin í 30°–60°–90° þríhyrningi eru 1 : √3 : 2, eða x : x√3 $1:\sqrt 3 :2$ : 2x. $x:x\sqrt 3 :2x$

Þar sem rétt horn og 60° horn eru sýnd veistu að ómerkta hornið er 30°.

Hliðin á móti 30° horninu er stysta hliðin, a = x = 15. $a = x = {\text{ }}15$

$2x = {\text{ }}2\left( {15} \right){\text{ }} = {\text{ }}30$

$x\sqrt 3 = 15\sqrt 3$

Hliðarlengdirnar eru 15, 30 og 15√3. $15\sqrt 3$

10.68

Hliðahlutföllin í 30°–60°–90° þríhyrningi eru 1 : √3 : 2, eða x : x√3 $1:\sqrt 3 :2$ : 2x. $x:x\sqrt 3 :2x$

Þar sem rétt horn er sýnt og 30° hornið við jörðina er gefið veistu að hitt hornið er 60°.

Stiginn er lengsta hliðin og því er 2x = 24 $2x = {\text{ }}24$ fet.

Ef $2x = {\text{ }}24$ 2x = $x = {\text{ }}12$ 24 $b = {\text{ }}12$ er x = 12 og b = 12 fet, enda er hún styttri skammhliðin á móti 30° horninu.

$x\sqrt 3 = 12\sqrt 3 \approx 20.8{\text{ feet}}$ x√3 = 12√3 ≈ 20,8 fet, sem er fjarlægðin frá veggnum.

Stiginn er 20,8 fet (eða $12\sqrt 3$ 12√3 fet) frá veggnum og nær 12 fet upp vegginn.

Stiginn nær 12 fet upp vegginn og stendur

⁢

√

⁢

fet

frá veggnum.

10.69

Hliðahlutföllin í 45°–45°–90° þríhyrningi eru 1 : 1 : √2, eða x : x $1:1:\sqrt 2$ : x√2. $x:x:x\sqrt 2$

Myndin sýnir 90° horn og tvö önnur jafnstór horn. Hin hornin tvö eru því 45° hvort.

Þar sem 8 er lengsta hliðin er 8 = x√2. $8 = x\sqrt 2$

𝑥 = 8 √ 2 x = 8/2	Deildu.
𝑥 = 8 √ 2 ⁢ ( √ 2 √ 2 ) x = 8/2 ⁢ ( 2/2 )	Gerðu nefnarann ræðan.
𝑥 = 8 ⁢ √ 2 2 x = 8 ⁢ 2/2
x = 4 ⁢ 2 x = 4√2, eða um það bil 5,66.

Hvor hlið

𝑥

er jöfn

𝑥

⁢

√

⁢

5.66.

10.70

Finndu y.

Tangens horns er mótlæg hlið deilt með aðlægri hlið: tan 40° = mótlæg/aðlæg. $\tan 40^\circ = \frac{{{\text{opp}}}}{{{\text{adj}}}}$

$\tan 40^\circ = \frac{{\text{y}}}{{\text{5}}}$

$y = 5\tan 40^\circ \approx 4.2$

Finndu r.

Kósínus horns er aðlæg hlið deilt með langhlið: cos 40° = aðlæg/langhlið. $\cos 40^\circ = \frac{{{\text{adj}}}}{{{\text{hyp}}}}$

$\cos 40^\circ = \frac{{\text{5}}}{r}$

$r\cos 40^\circ = 5$

$r = \frac{5}{{\cos 40^\circ }} \approx 6.53$

Athugið: Einnig hefði mátt nota reglu Pýþagórasar til að finna hina hliðina og til að sannreyna útreikningana. Það er látið lesandanum eftir.

𝑟

𝑦

6.53

4.2

10.71

Finndu α. $\alpha$

Sínus horns er mótlæg hlið deilt með langhlið: sin α = mótlæg/langhlið. $\sin \alpha = \frac{{{\text{opp}}}}{{{\text{hyp}}}}$

$\sin \alpha = \frac{{\text{6}}}{{8.3}}$

$\alpha = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{\text{6}}}{{8.3}}} \right)$

Athugið: Andhverfa sínusfallsins er ekki einn deilt með sínusfallinu. Líklega er annað fall tengt sínushnappnum á reiknivélinni. Innslátturinn gæti litið svona út: [2nd] [sínushnappur] ^[vinstrisvigi] [6] [÷] [8] [.] [3] [hægri svigi] [EXE]

$\alpha \approx 46.3^\circ$

Finndu β. $\beta$

Þar sem þetta er rétthyrndur þríhyrningur er summa $\alpha$ α $\beta$ og β 90°.

$90{\text{ }}-{\text{ }}46.3{\text{ }} = {\text{ }}43.7^\circ$ .

$\beta {\text{ }} \approx {\text{ }}43.7^\circ$ .

Finndu x.

Regla Pýþagórasar segir að a² + ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ b² = c², þar sem a og b eru skammhliðar rétthyrnds þríhyrnings og c er langhliðin.

𝑥 2 + 6 2 = 8 . 3 2 x 2 + 6 2 = 8.3 2
𝑥 2 + 3 6 = 6 8 . 8 9 x 2 + 36 = 68.89	Einfaldaðu.
𝑥 2 = 3 2 . 8 9 x 2 = 32.89	Dragðu frá.
𝑥 = ± √ 3 2 . 8 9 x = ± 32.89	Notaðu kvaðratrótarregluna.
𝑥 ≈ ⁢ 5 . 7 3 x ≈ ⁢ 5.73	Einfaldaðu. Lengdir geta ekki verið neikvæðar.

𝛼

∘

𝛽

∘

46.3

∘

43.7

∘

𝑥

5.73

10.72

Breyttu fyrst einni mílu í 5.280 fet.

Sínus horns er mótlæg hlið deilt með langhlið: sin α = mótlæg/langhlið. $\sin \alpha = \frac{{{\text{opp}}}}{{{\text{hyp}}}}$

$\sin 23^\circ = \frac{y}{{5,280}}$

$y = 5,280\left( {\sin 23^\circ } \right)$

$y{\text{ }} \approx {\text{ }}2,241{\text{}}$ y ≈ 2.241 fet

Flugvélin er í um 2.241 feta hæð á flugvallarsvæðinu þegar hún fer yfir tindinn.

Athugið: 2.241 $2,241{\text{ }}-{\text{ }}1,500{\text{ }} = {\text{ }}741$ − 1.500 = 741 fet og því er flugvélin 741 feti fyrir ofan tindinn.

2.241 fet

10.73

Finndu c.

Regla Pýþagórasar segir að a² + ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ b² = c², þar sem a og b eru skammhliðar rétthyrnds þríhyrnings og c er langhliðin.

4 2 + 7 2 = 𝑐 2 4 2 + 7 2 = c 2
1 6 + 4 9 = 𝑐 2 16 + 49 = c 2	Einfaldaðu.
6 5 = 𝑐 2 65 = c 2	Notaðu kvaðratrótarregluna.
𝑐 ≈ ⁢ 8 . 0 6 c ≈ ⁢ 8.06	Einfaldaðu. Lengdir geta ekki verið neikvæðar.

Finndu hornið á móti hliðinni 7.

Tangens horns er mótlæg hlið deilt með aðlægri hlið: tan θ = mótlæg/aðlæg. $\tan \theta = \frac{{{\text{opp}}}}{{{\text{adj}}}}$

t a n ⁡ 𝜃 = 7 4 tan ⁡ θ = 7/4
𝜃 = t a n 1 ⁡ ( 7 4 ) θ = tan 1 ⁡ ( 7/4 )	Mundu að nota andhverfa fallið og sviga.
𝜃 ≈ 6 0 . 3 ∘ θ ≈ 60.3 ∘

Finndu hornið á móti hliðinni 4.

Þar sem þetta er rétthyrndur þríhyrningur er summa hinna hornanna tveggja 90°.

$90{\text{ }}-{\text{ }}60.3{\text{ }} = {\text{ }}29.7^\circ$ .

Hornið á móti hliðinni 4 er 29,7°.

Hliðin c er 8,06 að lengd. Hornin eru 60,3° og 29,7°.

𝑐

8.06

, annað hornið er

∘

og hitt hornið er

∘

10.74

Hornið við jörðina á teikningunni er jafnstórt lægðarhorninu því víxlhorn eru jafnstór.

Tangens horns er mótlæg hlið deilt með aðlægri hlið: tan α = mótlæg/aðlæg. $\tan \alpha = \frac{{{\text{opp}}}}{{{\text{adj}}}}$

t a n ⁡ 𝜃 = 1 , 4 5 0 6 , 8 6 4 tan ⁡ θ = 1,450/6 , 864
𝜃 = t a n − 1 ⁡ ( 1 , 4 5 0 6 , 8 6 4 ) θ = tan − 1 ⁡ ( 1,450/6 , 864 )	Mundu að nota andhverfa fallið og sviga.
𝜃 ≈ 1 1 . 9 ∘ θ ≈ 11.9 ∘

∘

11.9

∘

10.75

Sínus horns er mótlæg hlið deilt með langhlið: sin α = mótlæg/langhlið. $\sin \alpha = \frac{{{\text{opp}}}}{{{\text{hyp}}}}$

$\sin 50^\circ = \frac{y}{{60}}$

$y = 60\left( {\sin 50^\circ } \right)$

$y \approx {\text{ }}46$ y ≈ 46 fet

Flugdrekinn er um það bil 46 fet yfir jörðu.

46 fet

Athugaðu skilning þinn

Línan sem inniheldur punktinn

𝐷

og punktinn

𝐴

er strik frá punktinum

𝐷

til punktsins

𝐴

𝐷

⁢

𝐴

⁢

, eða frá punktinum

𝐴

til punktsins

𝐷

𝐴

⁢

𝐷

⁢

Línan sem inniheldur punktana C og B er

⟷

𝐶

⁢

𝐵

⁢

↔

, eða merkja má hana

⟷

𝐵

⁢

𝐶

⁢

↔

Línan sem inniheldur punktana

𝐶

𝐵

er bein lína sem nær óendanlega langt í báðar áttir og inniheldur punktana

𝐶

𝐵

Þetta er geisli sem byrjar í punktinum

𝐸

, þótt hann innihaldi ekki punktinn

𝐸

, og nær í átt að punktinum

𝐹

Finna á sammengið milli striksins AB og $\overline {AB}$ striksins BD. $\overline {BD}$

Teiknaðu hlutana tvo sitt í hvoru lagi fyrir ofan línuna.

Sammengið inniheldur alla þætti beggja teikninga.

Sammengið er strikið AD. $\overline {AD}$

$\overline {AB} \cup \overline {BD} = \overline {AD}$

𝐴

⁢

𝐵

∪

𝐵

⁢

𝐷

𝐴

⁢

𝐷

⁢

∪

⁢

. Sammengi striksins

𝐴

⁢

𝐵

⁢

og striksins

𝐵

⁢

𝐷

⁢

inniheldur alla punkta beggja strikanna samanlagt.

Finna á sniðmengið milli geislans BD $\overleftarrow {BD}$ og striksins BC. $\overline {BC}$

Teiknaðu hlutana tvo sitt í hvoru lagi fyrir ofan línuna.

Sniðmengið inniheldur aðeins þá þætti sem báðar myndir eiga sameiginlega.

Sniðmengið inniheldur aðeins strikið BC. $\overline {BC}$

$\overleftarrow {BD} \cap \overline {BC} = \overline {BC}$

⟶

𝐵

⁢

𝐷

∩

𝐵

⁢

𝐶

𝐵

⁢

𝐶

⁢

→

∩

⁢

. Sniðmengið milli geislans

⟶

𝐵

⁢

𝐷

⁢

→

og striksins

𝐵

⁢

𝐶

⁢

inniheldur aðeins punktana sem mengin eiga sameiginlega,

𝐵

⁢

𝐶

⁢

⟶

𝐵

⁢

𝐴

∪

⟶

𝐵

⁢

𝐷

⟷

𝐴

⁢

𝐷

⁢

→

∪

⁢

→

⁢

↔

. Sammengi geislans sem byrjar í punktinum

𝐵

og nær óendanlega langt í átt að

𝐴

og geislans sem byrjar í punktinum

𝐵

og nær óendanlega langt í átt að

𝐷

er beina línan sem nær óendanlega langt í báðar áttir og inniheldur punktana

𝐴

𝐵

𝐶

, og

𝐷

Tvær línur eru samsíða ef fjarlægðin milli þeirra er alls staðar sú sama og þær geta því ekki skorist.

Hornréttar línur skerast og mynda

∘

horn sín á milli.

Já, því hún inniheldur línu og punkt sem er ekki á línunni.

Beint horn er nákvæmlega 180°.

Þetta er beint horn.

beint

Gleitt horn hefur stærð milli 90° og 180°, án endapunktanna.

Þetta horn er gleitt.

gleitt

Rétt horn er nákvæmlega 90°.

Þetta horn er rétt.

rétt

Hvasst horn hefur stærð milli 0° og 90°, þó ekki 90°.

Þetta horn er hvasst.

hvasst

Horn 1 og 31° hornið eru grannhorn og summa þeirra er því 180°.

m∡1 = 180° – 31° = 149°

𝑚

∡

∘

∡

149

∘

samkvæmt reglu um grannhorn með

∡

∘

∡

∘

Horn 3 og 31° hornið eru topphorn. Topphorn eru jafnstór.

m∡3 = 31°

𝑚

∡

∘

∡

∘

samkvæmt reglu um topphorn með horninu sem er

∘

Horn 1 og 31° hornið eru grannhorn og summa þeirra er því 180°.

Stærð horns 1 = 180° − 31° = 149°

Horn 5 og horn 1 eru einslæg horn og því jafnstór.

m∡5 = 149°

𝑚

∡

∘

∡

149

∘

samkvæmt reglu um einslæg horn með

∡

Summa hornanna verður að vera 180°.

2 6 + 6 5 + 𝑥 = 1 8 0 26 + 65 + x = 180	Leggðu saman.
𝑥 + 9 1 = 1 8 0 x + 91 = 180	Dragðu frá.
𝑥 = 8 9 x = 89

Hornið er 89°.

𝑥

∘

Summa hornanna verður að vera 180°. Rétt horn er 90°.

𝑥 + 2 3 + 9 0 = 1 8 0 x + 23 + 90 = 180	Leggðu saman.
𝑥 + 1 1 3 = 1 8 0 x + 113 = 180	Dragðu frá.
𝑥 = 6 7 x = 67

Hornið er 67°.

𝑥

∘

Í jafnarma þríhyrningi eru að minnsta kosti tvö horn jafnstór. Vitað er að hornin neðst eru jafnstór.

$x = 77^\circ$

Summa hornanna verður að vera 180°. Rétt horn er 90°.

𝑦 + 7 7 + 7 7 = 1 8 0 y + 77 + 77 = 180	Leggðu saman.
𝑦 + 1 5 4 = 1 8 0 y + 154 = 180	Dragðu frá.
𝑦 = 2 6 ∘ y = 26 ∘

𝑥

∘

𝑦

∘

Ákveddu hlið hvors þríhyrningsins á að vera í teljara. Ekki skiptir máli hvor er valinn ef samræmi er haldið.

Í þessu dæmi skulum við alltaf hafa minni þríhyrninginn í teljara.

Þríhyrningur ABE er líkur þríhyrningi ACD.

Nota má röð bókstafanna í heitum þríhyrninganna til að setja upp hlutföllin. Myndaðu til dæmis hlutfall úr fyrstu tveimur bókstöfunum í hvorum þríhyrningi.

$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{{3 + 4}}$

Myndaðu hlutfall úr öðrum og þriðja bókstafnum.

$\frac{{BE}}{{CD}} = \frac{2}{x}$

Þar sem þetta eru líkir þríhyrningar eru hlutföllin jöfn.

$\frac{3 3 + 4 = 2 𝑥 3}{3 + 4} = \frac{2}{x}$	Leggðu saman.
$\frac{3 7 = 2 𝑥 3}{7} = \frac{2}{x}$	Margfaldaðu.
3 ⁢ 𝑥 = 1 4 3 ⁢ x = 14	Deildu.
𝑥 = 1 4 3 x = 14/3

Myndaðu hlutfall úr fyrsta og þriðja bókstafnum.

$\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{4}{{4 + y}}$

Þar sem þetta eru líkir þríhyrningar eru hlutföllin jöfn. Notaðu eitt af fyrri hlutföllunum.

$\frac{4 4 + 𝑦 = 3 3 + 4 4}{4 + y} = \frac{3}{3 + 4}$	Leggðu saman.
$\frac{4 4 + 𝑦 = 3 7 4}{4 + y} = \frac{3}{7}$	Margfaldaðu.
1 2 + 3 ⁢ 𝑦 = 2 8 12 + 3 ⁢ y = 28	Dragðu frá.
3 ⁢ 𝑦 = 1 6 3 ⁢ y = 16	Deildu.
𝑦 = 1 6 3 y = 16/3

Þetta eru líkir þríhyrningar og því má leysa dæmið með hlutföllum.

\frac{3 2 = ( 3 + 4 ) 𝑥 3 ⁢ 𝑥 = 1 4 𝑥 = 1 4 3 3}{2} = \frac{( 3 + 4 )}{x 3 ⁢ x = 14 x = 14/3}

\frac{4 2 = 4 + 𝑦 1 4 3 1 4 3 ⁢ ( 4 ) = 2 ⁢ ( 4 + 𝑦 ) 5 6 3 = 8 + 2 ⁢ 𝑦 5 6 = 3 ⁢ ( 8 + 2 ⁢ 𝑦 ) 5 6 = 2 4 + 6 ⁢ 𝑦 3 2 = 6 ⁢ 𝑦 1 6 3 = 𝑦 4}{2} = \frac{4 + y}{14/3 14/3 ⁢ ( 4 ) = 2 ⁢ ( 4 + y ) 56/3 = 8 + 2 ⁢ y 56 = 3 ⁢ ( 8 + 2 ⁢ y ) 56 = 24 + 6 ⁢ y 32 = 6 ⁢ y 16/3 = y}

Þá fæst

𝑥

𝑦

Ákveddu hlið hvors þríhyrningsins á að vera í teljara. Ekki skiptir máli hvor er valinn ef samræmi er haldið.

Í þessu dæmi skulum við alltaf hafa minni þríhyrninginn í teljara.

Þríhyrningur ABC er líkur þríhyrningi RST.

Nota má röð bókstafanna í heitum þríhyrninganna til að setja upp hlutföllin. Myndaðu til dæmis hlutfall úr fyrstu tveimur bókstöfunum í hvorum þríhyrningi.

$\frac{{AB}}{{RS}} = \frac{{10}}{t}$

Myndaðu hlutfall úr öðrum og þriðja bókstafnum.

$\frac{{BC}}{{ST}} = \frac{6}{{12}}$

Þar sem þetta eru líkir þríhyrningar eru hlutföllin jöfn.

$\frac{1 0 𝑡 = 6 1 2 10}{t} = \frac{6}{12}$	Margfaldaðu.
6 ⁢ 𝑡 = 1 2 0 6 ⁢ t = 120	Deildu.
𝑡 = 2 0 t = 20

Myndaðu hlutfall úr fyrsta og þriðja bókstafnum.

$\frac{{AC}}{{RT}} = \frac{a}{{14}}$

Þar sem þetta eru líkir þríhyrningar eru hlutföllin jöfn. Notaðu hlutfallið sem inniheldur aðeins tölur.

$\frac{𝑎 1 4 = 6 1 2 a}{14} = \frac{6}{12}$	Margfaldaðu.
1 2 ⁢ 𝑎 = 8 4 12 ⁢ a = 84	Deildu.
𝑎 = 7 a = 7

Settu upp hlutföllin.

𝑎

⁢

(

)

⁢

𝑎

⁢

𝑎

⁢

(

)

⁢

Því fæst

𝑡

𝑎

Fimmhyrningur er marghyrningur með fimm hliðar.

fimmhyrningur

Átthyrningur er marghyrningur með átta hliðar.

átthyrningur

Sjöhyrningur er marghyrningur með sjö hliðar.

sjöhyrningur

Reglulegur fimmhyrningur hefur fimm jafnlanga hliðar. Ummál reglulegs fimmhyrnings með hliðarlengd 6 cm er því:

$P = 5(6{\rm{\ cm) = 30\ cm}}$

⁢

(

)

⁢

(

)

Sexhyrningur hefur sex hliðar og því er n = 6. $n = 6$

Summa innhorna n-hyrnings er 𝑆 = (𝑛 − 2)₁₈₀°. $S = \left( {n - 2} \right)180^\circ$

$S = \left( {n - 2} \right)180^\circ = \left( {6 - 2} \right)180^\circ = \left( 4 \right)180^\circ = 720^\circ$

𝑆

(

−

)

⁢

∘

(

−

)

⁢

180

∘

720

∘

Reglulegur sexhyrningur hefur sex hliðar og því er n = 6. $n = 6$

Stærð hvers innhorns reglulegs n-hyrnings er 𝑎 = (𝑛 − 2)₁₈₀°/𝑛. $a = \frac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n}$

$a = \frac{{\left( {n - 2} \right)180^\circ }}{n} = \frac{{\left( {6 - 2} \right)180^\circ }}{6} = \frac{{\left( 4 \right)180^\circ }}{6} = \frac{{720}}{6} = 120^\circ$

∘

120

∘

Skref 1: Finndu summu innhornanna. Þetta er ferhyrningur og því er n = 4. $n = 4$

Summa innhorna n-hyrnings er 𝑆 = (𝑛 − 2)₁₈₀°. $S = \left( {n - 2} \right)180^\circ$

$S = \left( {n - 2} \right)180^\circ = \left( {4 - 2} \right)180^\circ = \left( 2 \right)180^\circ = 360^\circ$

Skref 2: Leggðu hornin saman, settu summuna jafna hornasummunni og leystu fyrir óþekktu stærðirnar.

1 5 2 + ( 5 ⁢ 𝑥 + 1 ) + ( 𝑥 + 1 2 ) + ( 9 ⁢ 𝑥 ) = 3 6 0 152 + ( 5 ⁢ x + 1 ) + ( x + 12 ) + ( 9 ⁢ x ) = 360	Sameinaðu samstofna liði.
1 5 ⁢ 𝑥 + 1 6 5 = 3 6 0 15 ⁢ x + 165 = 360	Dragðu frá.
1 5 ⁢ 𝑥 = 1 9 5 15 ⁢ x = 195	Deildu.
𝑥 = 1 3 x = 13	Reiknaðu stæðurnar fyrir hvert horn.

$5x + 1 = 5\left( {13} \right) + 1 = 65 + 1 = 66^\circ$

$9x = 9\left( {13} \right) = 117^\circ$

$x + 12 = 13 + 12 = 25^\circ$

Innhornin eru 66°, 117° og 25°.

⁢

𝑥

(

⁢

𝑥

)

(

𝑥

)

⁢

𝑥

⁢

𝑥

∘

⁢

𝑥

∘

⁢

𝑥

∘

360

152

⁢

(

⁢

)

(

)

⁢

165

195

⁢

∘

⁢

117

∘

⁢

∘

Ummál hrings er 𝐶 = 2𝜋𝑟, þar $C = 2\pi r$ sem r er geisli.

$C = 2\pi r = 2\pi \left( {{\rm{3\ cm}}} \right) = 6{\rm{\ cm}} \approx 18.85{\rm{\ cm}}$

𝐶

⁢

𝜋

⁡

(

)

⁢

𝜋

⁢

⁡

(

)

⁢

18.85

Mynstrin eru úr endurteknum formum sem má umbreyta þannig að þau fylli sléttuna án bila eða skörunar.

Byrjað er á þríhyrningnum með punktinn merktan

𝐴

; honum er hliðrað punkt fyrir punkt um 3 einingar til hægri og 3 einingar upp að punktinum

𝐴

′

. Síðan er þríhyrningnum sem merktur er

𝐴

′

hliðrað um 3 einingar til hægri og 3 einingar upp að punktinum

𝐴

″

Þríhyrningnum er snúið um snúningspunktinn

∘

180

∘

að hornpunktinum

𝐵

′

Dökki þríhyrningurinn er speglaður um lóðréttu línuna þannig að ljósa bakhliðin sést og síðan um láréttu línuna. Mynstrið er endurtekið og hvítur tígull verður eftir milli formanna.

Skref 1: Veldu hornpunkt. Hann breytist EKKI meðan talið er.

Notaðu hornpunktinn í miðjunni sem hringur er utan um.

Skref 2: Teldu hliðar formanna sem snerta hornpunktinn. Aðskildu tölurnar með punktum. Sex form snerta valda hornpunktinn. Þau eru öll þríhyrningar með þrjár hliðar.

3.3.3.3.3.3

Flatarmál þríhyrnings er 𝐴 = $A = \frac{1}{2}bh$ 1/2 𝑏ℎ, þar sem b er grunnlína og h hæð.

$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}\left( {{\text{3 cm}}} \right)\left( {{\text{5 cm}}} \right) = {\text{ 7}}{\text{.5 c}}{{\text{m}}^2}$

7,5 cm

Flatarmál þríhyrnings er 𝐴 = $A = \frac{1}{2}bh$ 1/2 𝑏ℎ, þar sem b er grunnlína og h hæð.

1 2 ⁢ ( 1 0 ) ⁢ ℎ = 1 2 5 1/2 ⁢ ( 10 ) ⁢ h = 125	Einfaldaðu vinstri hliðina.
5 ⁢ ℎ = 1 2 5 5 ⁢ h = 125	Deildu.
ℎ = 2 5 h = 25

Hæð seglsins er 25 fet.

25 fet

Flatarmál samsíðungs með grunnlínu b og hæð h er 𝐴 = 𝑏ℎ. $A = bh$

$A = bh = \left( {{\text{14 cm}}} \right)\left( {{\text{12 cm}}} \right) = 168{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$

Flatarmál samsíðungsins er 168 fersentímetrar.

168

Inngeisli reglulegs marghyrnings er strik frá miðju hornrétt á hlið. Flatarmál reglulegs marghyrnings með inngeisli a og ummál p er 𝐴 = 1/2 𝑎𝑝. $A = \frac{1}{2}ap$

Reglulegur sexhyrningur hefur sex jafnlanga hliðar. Ummálið er því:

$p = 6(5{\text{ cm) = 30 cm}}$

$A = \frac{1}{2}ap = \frac{1}{2}\left( {4.3{\text{ cm}}} \right)\left( {{\text{30 cm}}} \right) = 64.5{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$

Flatarmálið er 64,5 fersentímetrar.

64.5

Flatarmál hrings með geisla r er 𝐴 = 𝜋𝑟². $A = \pi {r^2}$

Ef þvermálið er 16 tommur er geislinn 8 tommur.

$A = \pi {r^2} = \pi {\left( {8{\text{ in}}} \right)^2} = 64\pi {\text{ in}} \approx 201.1{\text{ i}}{{\text{n}}^2}$

Flatarmál hringsins er um það bil 201,1 fertommur.

201,1 fertommur

Skref 1: Finndu flatarmál trapisunnar.

Flatarmál trapisu með hæð h og samsíða grunnlínur a og b er 𝐴 = 1/2 ℎ(𝑎 + 𝑏). $A = \frac{1}{2}h(a + b)$

Hæð trapisunnar er tvöfaldur geisli hringsins og því 9 tommur.

$A = \frac{1}{2}h(a + b) = A = \frac{1}{2}\left( {{\text{9 in}}} \right)(18{\text{ in}} + 22{\text{ in}}) = \left( {{\text{4}}{\text{.5 in}}} \right)\left( {{\text{40 in}}} \right) = 180{\text{ i}}{{\text{n}}^2}$

Skref 2: Finndu flatarmál hringsins.

Flatarmál hrings með geisla r er 𝐴 = 𝜋𝑟². $A = \pi {r^2}$

$A = \pi {r^2} = \pi {\left( {{\text{4}}{\text{.5 in}}} \right)^2} = 20.25\pi {\text{ i}}{{\text{n}}^2}$

Skref 3: Dragðu flatarmál hringsins frá flatarmáli trapisunnar.

$180{\text{ i}}{{\text{n}}^2} - 20.25\pi {\text{ i}}{{\text{n}}^2} \approx 116.38{\text{ i}}{{\text{n}}^2}$

Skyggða flatarmálið er um það bil 116,38 fertommur.

116.38

Flatarmál hrings með geisla r er 𝐴 = 𝜋𝑟². $A = \pi {r^2}$

$A = \pi {r^2} = \pi {\left( {{\text{15 in}}} \right)^2} = 225\pi {\text{ i}}{{\text{n}}^2} \approx 706.89{\text{ i}}{{\text{n}}^2}$

Flatarmál hrings er 706,86 fertommur.

706.86

Yfirborðsflatarmál rétts strendings, þar sem B er flatarmál grunnflatar, p ummál grunnflatar og h hæð, er SA = 2B + ph. $SA = 2B + ph$

Flatarmál þríhyrnda grunnflatarins er A = $A = \frac{1}{2}bh$ 1/2 bh, þar sem b er grunnlína og h hæð.

$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}\left( {{\text{10 cm}}} \right)\left( {{\text{8}}{\text{.66 cm}}} \right) = {\text{ 43}}{\text{.3 c}}{{\text{m}}^2}$

Ummál grunnflatarins er p = 10 cm + 10 cm + 10 cm = 30 ${\text{ = }}p{\text{ = 10 cm + 10 cm + 10 cm = 30 cm}}$ cm.

Yfirborðsflatarmálið er 2B + ph = 2(43,3 cm²) + (30 cm)(10 cm) = 86,6 cm² + 300 cm² = 386,6 $= {\text{ }}2B + ph = {\text{ }}2\left( {43.3{\text{ c}}{{\text{m}}^2}} \right){\text{ }} + {\text{ }}\left( {30{\text{ cm}}} \right)\left( {10{\text{ cm}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}86.6{\text{ c}}{{\text{m}}^2} + {\text{ }}300{\text{ c}}{{\text{m}}^2} = {\text{ }}386.6{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$ cm².

Yfirborðsflatarmálið er 386,6 fersentímetrar.

386.6

416

tommur

Yfirborðsflatarmál rétts strendings, þar sem B er flatarmál grunnflatar, p ummál grunnflatar og h hæð, er SA = 2B + ph. $SA = 2B + ph$

Inngeisli reglulegs marghyrnings er strik frá miðju hornrétt á hlið. Flatarmál reglulegs marghyrnings með inngeisli a og ummál p er 𝐴 = 1/2 𝑎𝑝. $A = \frac{1}{2}ap$

Reglulegur átthyrningur hefur átta jafnlanga hliðar. Ummálið er því:

$p = 8(4{\text{ in) = 32 in}}$

$A = \frac{1}{2}ap = \frac{1}{2}\left( {{\text{5 in}}} \right)\left( {{\text{32 in}}} \right) = 80{\text{ i}}{{\text{n}}^2}$ A = 1/2 ap = 1/2(5 tommur)(32 tommur) = 80 fertommur, sem er B í yfirborðsflatarmálsformúlunni.

Yfirborðsflatarmálið er 2B + ph = 2(80 fertommur) + (32 tommur)(8 tommur) = 160 fertommur + 256 fertommur = 416 $= {\text{ }}2B + ph = {\text{ }}2\left( {80{\text{ i}}{{\text{n}}^2}} \right){\text{ }} + {\text{ }}\left( {32{\text{ in}}} \right)\left( {8{\text{ in}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}160{\text{ i}}{{\text{n}}^2} + {\text{ }}256{\text{ i}}{{\text{n}}^2} = {\text{ }}416{\text{ i}}{{\text{n}}^2}$ fertommur.

Yfirborðsflatarmálið er 416 fertommur.

Rúmmál rétts strendings er V = Bh = (80 fertommur)(8 tommur) = 640 rúmtommur. $V = Bh$ $= {\text{ }}\left( {80{\text{ i}}{{\text{n}}^2}} \right)\left( {{\text{ }}8{\text{ in}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}640{\text{ i}}{{\text{n}}^3}$

Rúmmálið er 640 rúmtommur.

640

tommur

Yfirborðsflatarmál rétts sívalnings með geisla r og hæð h er SA = 2πr² + 2πrh. $SA = 2\pi {r^2} + 2\pi rh$

$SA = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {\left( {10{\text{ cm}}} \right)^2} + 2\pi \left( {10{\text{ cm}}} \right)\left( {{\text{5 cm}}} \right) \approx 942.48{\text{ c}}{{\text{m}}^2}$

Yfirborðsflatarmálið er um það bil 942,48 fersentímetrar.

942.48

Rúmmál rétts sívalnings með geisla r og hæð h er V = πr²h. $V = \pi {r^2}h$

$V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {{\text{10 cm}}} \right)^2}\left( {{\text{5 cm}}} \right) \approx 1,571{\text{ c}}{{\text{m}}^3}$

Rúmmálið er um það bil 1.571 rúmsentímetri.

570

Skref 1: Finndu yfirborðsflatarmál sívalningsins.

Yfirborðsflatarmál rétts sívalnings með geisla r og hæð h er SA = 2πr² + 2πrh. $SA = 2\pi {r^2} + 2\pi rh$

$SA = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {\left( {{\text{3 in}}} \right)^2} + 2\pi \left( {{\text{3 in}}} \right)\left( {{\text{8 in}}} \right) \approx 207.345{\text{ i}}{{\text{n}}^2}$

Skref 2: Finndu yfirborðsflatarmál rétta strendingsins.

Yfirborðsflatarmál rétts strendings, þar sem B er flatarmál grunnflatar, p ummál grunnflatar og h hæð, er SA = 2B + ph. $SA = 2B + ph$

Rétthyrndi grunnflöturinn hefur flatarmálið LW = (10 tommur)(8 tommur) = 80 fertommur. ${\text{ = LW = (10 in) (8 in) = 80 i}}{{\text{n}}^{\text{2}}}$

Ummál grunnflatarins er p = 2(10 tommur) + 2(8 tommur) = 36 ${\text{ = }}p{\text{ = 2(10 in) + 2(8 in) = 36 cm}}$ tommur.

Yfirborðsflatarmálið er 2B + ph = 2(80 fertommur) + (36 tommur)(4 tommur) = 160 fertommur + 144 fertommur = 304 $= {\text{ }}2B + ph = {\text{ }}2\left( {80{\text{ i}}{{\text{n}}^2}} \right){\text{ }} + {\text{ }}\left( {36{\text{ in}}} \right)\left( {4{\text{ in}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}160{\text{ i}}{{\text{n}}^2} + {\text{ }}144{\text{ i}}{{\text{n}}^2} = {\text{ }}304{\text{ i}}{{\text{n}}^2}$ fertommur.

Skref 3: Leggðu saman niðurstöður fyrri skrefanna tveggja.

$207.35{\text{ i}}{{\text{n}}^2} + {\text{ }}304{\text{ i}}{{\text{n}}^2} = {\text{ }}511.35{\text{ i}}{{\text{n}}^2}$

Heildarflatarmálið er 511,35 fertommur.

511.35

tommur

Hliðahlutföllin í 30°–60°–90° þríhyrningi eru 1 : √3 : 2, eða x : x√3 $1:\sqrt 3 :2$ : 2x. $x:x\sqrt 3 :2x$

Þar sem rétt horn og 30° horn eru sýnd veistu að ómerkta hornið er 60°.

Lengsta hliðin er 5 og því er 2x = 5. $2x = {\text{ }}5$

$x = {\text{ }}2.5$

$x\sqrt 3 = 2.5\sqrt 3$

Hliðarlengdirnar sem vantar eru a = 2,5 og b = $a = {\text{ }}2.5$ 2,5√3. $b = 2.5\sqrt 3$

𝑎

𝑏

⁢

√

2.5

⁢

𝑏

𝑐

⁢

√

⁢

Hliðahlutföllin í 45°–45°–90° þríhyrningi eru 1 : 1 : ${45^ \circ } {\text{-}} {45^ \circ } {\text{-}} {90^ \circ }$ √2, eða x : x $1:1:\sqrt 2$ : x√2. $x:x:x\sqrt 2$

10 er x.

Það merkir að b = x = $b = x = {\text{ }}10$ 10.

$c = x\sqrt 2 = 10\sqrt 2$

Lengdirnar sem vantar eru 10 og 10√2. $10\sqrt 2$

Regla Pýþagórasar segir að a² + ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ b² = c², þar sem a og b eru skammhliðar rétthyrnds þríhyrnings og c er langhliðin.

3 2 + 𝑏 2 = ( 3 ⁢ √ 5 ) 2 3 2 + b 2 = ( 3 ⁢ 5 ) 2
9 + 𝑏 2 = 4 5 9 + b 2 = 45	Einfaldaðu.
𝑏 2 = 3 6 b 2 = 36	Dragðu frá.
𝑏 = 6 b = 6	Notaðu kvaðratrótarregluna. Lengdir geta ekki verið neikvæðar.

𝑏

Tangens horns er mótlæg hlið deilt með aðlægri hlið: tan α = mótlæg/aðlæg. $\tan \alpha = \frac{{{\text{opp}}}}{{{\text{adj}}}}$

t a n ⁡ 1 3 ∘ = 𝑦 1 0 5 tan ⁡ 13 ∘ = y/105
𝑦 = 1 0 5 ⁢ t a n ⁡ 1 3 ∘ y = 105 ⁢ tan ⁡ 13 ∘	Mundu að nota andhverfa fallið og sviga.
𝑦 ≈ 2 4 . 2 f t y ≈ 24.2 ft

Hæðin upp á mæni þaksins er um það bil 24,2 fet.

24,2 fet

𝑐

11.7

Sínus horns er mótlæg hlið deilt með langhlið: sin θ = mótlæg/langhlið. $\sin \theta = \frac{{{\text{opp}}}}{{{\text{hyp}}}}$

$\sin 40^\circ = \frac{{75}}{c}$

$c\left( {\sin 40^\circ } \right) = 7.5$

$c = \frac{{7.5}}{{\sin 40^\circ }}$

$c \approx {\text{ }}11.7{\text{ cm}}$

Kósínus horns er aðlæg hlið deilt með langhlið: cos θ = aðlæg/langhlið. $\cos \theta = \frac{{{\text{adj}}}}{{{\text{hyp}}}}$

$\cos 18^\circ = \frac{{\text{x}}}{{15}}$

$x = 15\left( {\cos 18^\circ } \right)$

$x \approx 14.3{\text{ meters}}$

𝑥

14.3