11 Undirstöður

1.1 Núll og jákvæðar heiltölur

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta getið þið:

notað sætisgildi núlls og jákvæðra heiltalna
borið kennsl á margfeldi og beitt deilanleikaprófum
fundið frumþáttun og minnsta sameiginlega margfeldi

Í upphafi námsins í undirstöðum algebru þurfum við að rifja upp ýmsa færni og hugtök. Í þessum kafla er fjallað um núll og jákvæðar heiltölur, allar heiltölur, almenn brot, tugabrot og rauntölur. Við byrjum einnig að nota táknmál og hugtök algebrunnar.

Sætisgildi núlls og jákvæðra heiltalna

Einföldustu tölurnar sem notaðar eru í algebru eru þær sem við teljum hluti með: 1, 2, 3, 4 og svo framvegis. Þær kallast talningartölur og einnig náttúrlegar tölur. Ef núlli er bætt við talningartölurnar fæst mengi allra heiltalna sem eru núll eða jákvæðar.

Talningartölur: 1, 2, 3, …

Núll og jákvæðar heiltölur: 0, 1, 2, 3, …

Táknið „…“ nefnist úrfellingarpunktar og merkir „og svo framvegis“ eða að mynstrið haldi áfram endalaust.

Talningartölur og heiltölur sem eru núll eða jákvæðar má sýna á talnalínu (sjá mynd 1.2).

Lárétt talnalína með örvum á báðum endum og gildunum núll til sex liggur neðst á myndinni. Önnur lárétt lína með ör sem vísar til vinstri er fyrir ofan hana og nær frá núlli að þremur. Hún er merkt „minna“. Þriðja lárétta línan er fyrir ofan hinar tvær, hefur ör sem vísar til hægri, nær frá þremur að sex og er merkt „stærra“. — **Mynd 1.2.** Tölurnar á talnalínunni stækka frá vinstri til hægri og minnka frá hægri til vinstri. Þótt þessi talnalína sýni aðeins heilu tölurnar frá 0 til 6 halda tölurnar áfram án enda.

Talnakerfið okkar byggist á sætisgildi vegna þess að gildi tölustafs ræðst af sæti hans í tölu. Mynd 1.3 sýnir sætisgildin. Sætunum er skipt í þriggja stafa flokka sem nefnast talnaflokkar. Flokkarnir eru einingar, þúsundir, milljónir, milljarðar og billjónir og svo framvegis. Í ritaðri tölu eru talnaflokkarnir aðgreindir með kommum.

Myndin er tafla sem sýnir töluna 5,278,194 í sætiskerfinu. Í efstu fyrirsagnarlínu stendur „Sætisgildi“ og næsta fyrirsagnarlína skiptist í „Billjónir“, „Milljarða“, „Milljónir“, „Þúsundir“ og „Einingar“. Undir „Billjónum“ eru þrír dálkar, merktir neðan frá og upp „Hundruð billjóna“, „Tugir billjóna“ og „Billjónir“. Undir „Milljörðum“ eru þrír dálkar, merktir „Hundruð milljarða“, „Tugir milljarða“ og „Milljarðar“. Undir „Milljónum“ eru þrír dálkar, merktir „Hundruð milljóna“, „Tugir milljóna“ og „Milljónir“. Undir „Þúsundum“ eru þrír dálkar, merktir „Hundruð þúsunda“, „Tugir þúsunda“ og „Þúsundir“. Undir „Einingum“ eru þrír dálkar, merktir „Hundruð“, „Tugir“ og „Einingar“. Frá vinstri til hægri standa gildin 5, 2, 7, 8, 1, 9 og 4 undir dálkunum „Milljónir“, „Hundruð þúsunda“, „Tugir þúsunda“, „Þúsundir“, „Hundruð“, „Tugir“ og „Einingar“. Það merkir að í tölunni eru 5 milljónir, 2 hundruð þúsunda, 7 tugir þúsunda, 8 þúsundir, 1 hundrað, 9 tugir og 4 einingar. Talan er fimm milljónir, tvö hundruð sjötíu og átta þúsund, eitt hundrað níutíu og fjögur. — **Mynd 1.3.** Talan 5,278,194 er sýnd í töflunni. Tölustafurinn 5 er í milljónasæti. Tölustafurinn 2 er í hundraðþúsundasæti. Tölustafurinn 7 er í tugþúsundasæti. Tölustafurinn 8 er í þúsundasæti. Tölustafurinn 1 er í hundraðasæti. Tölustafurinn 9 er í tugasæti. Tölustafurinn 4 er í einingasæti.

Dæmi 1.1

Finnið sætisgildi hvers tölustafs í tölunni 63,407,218:

ⓐ 7
ⓑ 0
ⓒ 1
ⓓ 6
ⓔ 3

Lausn

Setjið töluna í sætisgildistöflu:

Myndin er tafla sem sýnir töluna 63,407,218 í sætiskerfinu. Í efstu fyrirsagnarlínu stendur „Sætisgildi“ og næsta fyrirsagnarlína skiptist í „Billjónir“, „Milljarða“, „Milljónir“, „Þúsundir“ og „Einingar“. Undir „Billjónum“ eru þrír dálkar, merktir neðan frá og upp „Hundruð billjóna“, „Tugir billjóna“ og „Billjónir“. Undir „Milljörðum“ eru þrír dálkar, merktir „Hundruð milljarða“, „Tugir milljarða“ og „Milljarðar“. Undir „Milljónum“ eru þrír dálkar, merktir „Hundruð milljóna“, „Tugir milljóna“ og „Milljónir“. Undir „Þúsundum“ eru þrír dálkar, merktir „Hundruð þúsunda“, „Tugir þúsunda“ og „Þúsundir“. Undir „Einingum“ eru þrír dálkar, merktir „Hundruð“, „Tugir“ og „Einingar“. Frá vinstri til hægri standa gildin 6, 3, 4, 0, 7, 2, 1 og 8 undir dálkunum „Tugir milljóna“, „Milljónir“, „Hundruð þúsunda“, „Tugir þúsunda“, „Þúsundir“, „Hundruð“, „Tugir“ og „Einingar“. Þetta myndar töluna sextíu og þrjár milljónir, fjögur hundruð og sjö þúsund, tvö hundruð og átján; tölustafirnir eru 6 í tugmilljónasæti, 3 í milljónasæti, 4 í hundraðþúsundasæti, 0 í tugþúsundasæti, 7 í þúsundasæti, 2 í hundraðasæti, 1 í tugasæti og 8 í einingasæti.

ⓐ 7 er í þúsundasæti. ⓑ 0 er í tugþúsundasæti. ⓒ 1 er í tugasæti. ⓓ 6 er í tugmilljónasæti. ⓔ 3 er í milljónasæti.

Þegar ávísun er skrifuð er talan bæði rituð með orðum og tölustöfum. Til að rita tölu með orðum skal rita töluna í hverjum talnaflokki og síðan heiti flokksins í viðeigandi mynd. Byrjið vinstra megin, þar sem flokkarnir hafa hæst gildi. Heiti einingaflokksins er ekki ritað. Kommurnar skilja talnaflokkana að og því skal setja kommu milli orðanna þar sem komma er í tölunni (sjá mynd 1.4). Talan 74,218,369 er rituð sjötíu og fjórar milljónir, tvö hundruð og átján þúsund, þrjú hundruð sextíu og níu.

Á myndinni standa tölurnar 74, 218 og 369 í röð og kommur eru á milli þeirra. Undir hverri tölu er slaufusvigi; undir 74 stendur „milljónir“, undir 218 stendur „þúsundir“ og undir 369 stendur „einingar“. Ör sem vísar til vinstri bendir á þessi þrjú orð og merkir þau „talnaflokkar“. Í næstu línu stendur „74“, ör sem vísar til hægri og orðin „sjötíu og fjórar milljónir“ með kommu á eftir. Þar fyrir neðan stendur „218“, ör sem vísar til hægri og orðin „tvö hundruð og átján þúsund“ með kommu á eftir. Í neðstu línu stendur „369“, ör sem vísar til hægri og orðin „þrjú hundruð sextíu og níu“.

Dæmi 1.2

Ritið töluna 8,165,432,098,710 með orðum.

Lausn

Ritið töluna í hverjum talnaflokki og síðan heiti flokksins.

Á myndinni standa tölurnar 8, 165, 432, 098 og 710 í röð og kommur eru á milli þeirra. Undir hverri tölu er láréttur slaufusvigi; undir 8 stendur „billjónir“, undir 165 „milljarðar“, undir 432 „milljónir“, undir 098 „þúsundir“ og undir 710 „einingar“. Í næstu línu stendur 8, ör sem vísar til hægri og orðin „átta billjónir“ með kommu á eftir. Þar fyrir neðan stendur 165, ör sem vísar til hægri og orðin „eitt hundrað sextíu og fimm milljarðar“ með kommu á eftir. Í næstu línu stendur 432, ör sem vísar til hægri og orðin „fjögur hundruð þrjátíu og tvær milljónir“ með kommu á eftir. Þar fyrir neðan stendur „098“, ör sem vísar til hægri og orðin „níutíu og átta þúsund“ með kommu á eftir. Í neðstu línu stendur 710, ör sem vísar til hægri og orðin „sjö hundruð og tíu“.

Setjið kommurnar inn til að aðgreina talnaflokkana.

Því er talan $8, 165, 432, 098, 710$ lesin: átta billjónir, eitt hundrað sextíu og fimm milljarðar, fjögur hundruð þrjátíu og tvær milljónir, níutíu og átta þúsund, sjö hundruð og tíu.

Nú snúum við ferlinu við og ritum tölustafina út frá heiti tölunnar. Til að rita töluna með tölustöfum finnum við fyrst orðin sem vísa til talnaflokkanna. Gagnlegt er að teikna þrjú auð sæti fyrir hvern flokk sem þarf, fylla þau með tölustöfum og aðgreina flokkana með kommum.

Dæmi 1.3

Ritið níu milljarða, tvö hundruð fjörutíu og sex milljónir, sjötíu og þrjú þúsund, eitt hundrað áttatíu og níu með tölustöfum.

Lausn

Finnið orðin sem vísa til talnaflokka. Allir talnaflokkar nema sá fremsti verða að hafa þrjú sæti. Teiknið þrjú auð sæti fyrir hvern talnaflokk sem þarf og aðgreinið flokkana með kommum. Ritið síðan tölustafina í hvern flokk.

Myndin sýnir tvær línur af texta. Í efri línunni stendur „níu milljarðar“ og komma á eftir, síðan „tvö hundruð fjörutíu og sex milljónir“ og aftur komma. Undirstrikað er undir orðunum „milljarðar“ og „milljónir“ og slaufusvigi er undir hvorum orðasambandi. Í neðri línunni stendur „sjötíu og þrjú þúsund“ og komma á eftir, síðan „eitt hundrað áttatíu og níu“. Undirstrikað er undir orðinu „þúsund“ og slaufusvigi er undir hvorum orðasambandi.

Talan er 9,246,073,189.

Árið 2013 áætlaði manntalsskrifstofa Bandaríkjanna að íbúafjöldi New York-ríkis væri 19,651,127. Því mætti segja að íbúafjöldinn hafi verið um 20 milljónir. Oft er nákvæmt gildi óþarft og nálgun nægir.

Ferlið að nálga tölu nefnist námundun. Tölur eru námundaðar að tilteknu sætisgildi eftir því hversu mikillar nákvæmni er þörf. Að segja að íbúar New York séu um 20 milljónir merkir að námundað hafi verið að milljónasæti.

Dæmi 1.4

Að námunda núll og jákvæðar heiltölur

Námundið 23,658 að næsta hundraði.

Lausn

Myndin er tafla með þremur dálkum og fjórum línum. Fyrsti dálkurinn er fyrirsagnardálkur með heiti og númeri hvers skrefs. Í öðrum dálki eru nánari skriflegar leiðbeiningar. Í þriðja dálki eru tölurnar sem svara til skrefanna og leiðbeininganna. Í efstu línu stendur í fyrsta reit: „Skref 1. Finnið tilgreint sætisgildi og merkið það með ör. Allir tölustafir vinstra megin haldast óbreyttir.“ Í öðrum reit stendur: „Finnið hundraðasætið í 23,658.“ Í þriðja reit er talan 23,658 og ör bendir á tölustafinn 6 og merkir hann „hundraðasæti“.

Í næstu línu stendur í fyrsta reit: „Skref 2. Undirstrikið tölustafinn hægra megin við tilgreint sætisgildi.“ Í öðrum reit stendur: „Undirstrikið 5, sem er hægra megin við hundraðasætið.“ Í þriðja reit er talan 23,658 aftur og sama ör bendir á tölustafinn 6 og merkir hann sem hundraðasætið. Tölustafurinn 5 er einnig undirstrikaður í þessum reit.

Í næstu línu stendur í fyrsta reit: „Skref 3. Er gildi þessa tölustafs stærra en eða jafnt og 5? Já — bætið 1 við tölustafinn í tilgreinda sætinu. Nei — látið tölustafinn í tilgreinda sætinu standa óbreyttan.“ Í öðrum reit stendur: „Bætið 1 við 6 í hundraðasætinu þar sem 5 er stærra en eða jafnt og 5.“ Í þriðja reit er talan 23,658 aftur, ör bendir á tölustafinn 6 og textinn „bætið 1 við“ stendur þar. Einnig er slaufusvigi undir tölustöfunum 5 og 8; ör bendir á þá og við hana stendur „skiptið út fyrir 0s.“

Í neðstu línu stendur í fyrsta reit: „Skref 4. Skiptið öllum tölustöfum hægra megin við tilgreint sætisgildi út fyrir núll. Því fæst 23,700 þegar námundað er að næsta hundraði.“ Í öðrum reit stendur: „Skiptið öllum tölustöfum hægra megin við hundraðasætið út fyrir núll.“ Í þriðja reit er talan 23,700, sem fæst með því að námunda 23,658 að næsta hundraði.

Dæmi 1.5

Námundið $103,978$ að næsta:

ⓐ hundraði
ⓑ þúsundi
ⓒ tugþúsundi

Lausn

ⓐ

Finnið hundraðasætið í 103,978.
Undirstrikið tölustafinn hægra megin við hundraðasætið.
Þar sem 7 er stærra en eða jafnt og 5 skal bæta 1 við 9. Skiptið öllum tölustöfum hægra megin við hundraðasætið út fyrir núll.
	Því fæst 104,000 þegar 103,978 er námunduð að næsta hundraði.

ⓑ

Finnið þúsundasætið og undirstrikið tölustafinn hægra megin við það.
Þar sem 9 er stærra en eða jafnt og 5 skal bæta 1 við 3. Skiptið öllum tölustöfum hægra megin við þúsundasætið út fyrir núll.
	Því fæst 104,000 þegar 103,978 er námunduð að næsta þúsundi.

ⓒ

Finnið tugþúsundasætið og undirstrikið tölustafinn hægra megin við það.
Þar sem 3 er minna en 5 látum við 0 standa óbreytt og skiptum síðan tölustöfunum hægra megin út fyrir núll.
	Því fæst 100,000 þegar 103,978 er námunduð að næsta tugþúsundi.

Í algebru er bókstafur notaður til að tákna tölu sem getur breyst eða er óþekkt. Algeng tákn eru a, b, c, m, n, x og y. Nánar verður fjallað um fasta og breytur síðar í þessum hluta.

Margfeldi og deilanleikapróf

Tölurnar 2, 4, 6, 8, 10 og 12 kallast margfeldi af 2. Margfeldi af 2 má rita sem margfeldi tölunnar 2 og talningartölu.

Á sama hátt er margfeldi af 3 margfeldi talningartölu og 3.

Með því að halda þessu ferli áfram má finna margfeldi hvaða tölu sem er.

Tafla 1.1 sýnir margfeldi talnanna 2 til 9 fyrir fyrstu 12 talningartölurnar.

Talningartala	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Margfeldi af 2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
Margfeldi af 3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
Margfeldi af 4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
Margfeldi af 5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
Margfeldi af 6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
Margfeldi af 7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
Margfeldi af 8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
Margfeldi af 9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
Margfeldi af 10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120

Önnur leið til að segja að 15 sé margfeldi af 3 er að segja að 15 sé deilanleg með 3. Það merkir að þegar 15 er deilt með 3 fæst talningartala. Reyndar er $15 \div 3$ jafnt 5, svo 15 er $5 \cdot 3 .$

Skoðið margfeldi af 5 í töflu 1.1. Þau enda öll á 5 eða 0. Tölur þar sem síðasti tölustafurinn er 5 eða 0 eru deilanlegar með 5. Með því að leita að öðrum mynstrum í töflu 1.1, sem sýnir margfeldi talnanna 2 til 9, má finna eftirfarandi deilanleikapróf:

Dæmi 1.6

Er 5,625 deilanleg með 2? Með 3? Með 5? Með 6? Með 10?

Lausn

Er 5,625 deilanleg með 2?
Endar talan á 0,2, 4,6 eða 8?	Nei. Talan 5,625 er ekki deilanleg með 2.
Er 5,625 deilanleg með 3?
Hver er summa tölustafanna?	5 + 6 + 2 + 5 = 18
Er summan deilanleg með 3?	Já. Talan 5,625 er deilanleg með 3.
Er 5,625 deilanleg með 5 eða 10?
Hver er síðasti tölustafurinn? Hann er 5.	Talan 5,625 er deilanleg með 5 en ekki með 10.
Er 5,625 deilanleg með 6?
Er talan deilanleg bæði með 2 og 3?	Nei. Talan 5,625 er ekki deilanleg með 2 og því er talan 5,625 ekki deilanleg með 6.

Frumþáttun og minnsta sameiginlega margfeldi

Í stærðfræði má oft orða sömu hugmyndir á fleiri en einn hátt. Við höfum séð að ef m er margfeldi af n má segja að m sé deilanleg með n. Þar sem 72 er margfeldi af 8 segjum við til dæmis að 72 sé deilanleg með 8. Þar sem 72 er margfeldi af 9 segjum við að 72 sé deilanleg með 9. Þetta má einnig orða á annan hátt.

Þar sem $8 \cdot 9 = 72,$ segjum við að 8 og 9 séu þættir tölunnar 72. Þegar við ritum $72 = 8 \cdot 9,$ segjum við að 72 hafi verið þáttuð.

Aðrar leiðir til að þátta 72 eru $1 \cdot 72, 2 \cdot 36, 3 \cdot 24, 4 \cdot 18, og 6 \cdot 12 .$ Talan sjötíu og tveir hefur marga þætti: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 36 og 72.

Sumar tölur, svo sem 72, hafa marga þætti. Aðrar tölur hafa aðeins tvo þætti.

Talningartölurnar frá 2 til 19 eru sýndar ásamt þáttum sínum á mynd 1.5. Sannreynið að merkingin „frumtala“ eða „samsett tala“ sé rétt fyrir hverja tölu.

Taflan hefur ellefu línur og sjö dálka. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína og hver reitur lýsir innihaldi dálksins fyrir neðan. Í fyrstu þremur reitunum stendur frá vinstri „Tala“, „Þættir“ og „Frumtala eða samsett tala?“. Fjórði dálkurinn er auður. Í síðustu þremur reitunum standa sömu fyrirsagnir aftur. Í hverri næstu línu er tala í fyrsta reit, þættir hennar í öðrum og í þeim þriðja kemur fram hvort hún sé frumtala eða samsett tala. Dálkarnir vinstra megin við auða miðdálkinn sýna þetta fyrir tölurnar 2 til 10 og dálkarnir hægra megin sýna tölurnar 11 til 19. Vinstra megin standa í fyrstu línu undir fyrirsögnum 2, 1,2 og „Frumtala“. Næstu línur eru: 3, 1,3, „Frumtala“; 4, 1,2,4, „Samsett tala“; 5, 1,5, „Frumtala“; 6, 1,2,3,6, „Samsett tala“; 7, 1,7, „Frumtala“; 8, 1,2,4,8, „Samsett tala“; 9, 1,3,9, „Samsett tala“; og 10, 1,2,5,10, „Samsett tala“. Hægra megin standa í fyrstu línu 11, 1,11 og „Frumtala“. Næstu línur eru: 12, 1,2,3,4,6,12, „Samsett tala“; 13, 1,13, „Frumtala“; 14, 1,2,7,14, „Samsett tala“; 15, 1,3,5,15, „Samsett tala“; 16, 1,2,4,8,16, „Samsett tala“; 17, 1,17, „Frumtala“; 18, 1,2,3,6,9,18, „Samsett tala“; og 19, 1,19, „Frumtala“.

Eftirfarandi frumtölur eru minni en 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 og 19. Takið eftir að eina slétta frumtalan er 2.

Samsetta tölu má rita sem ótvírætt margfeldi frumtalna. Það nefnist frumþáttun tölunnar. Að finna frumþáttun samsettrar tölu kemur að gagni síðar í námskeiðinu.

Til að finna frumþáttun samsettrar tölu skal finna tvo þætti hennar og teikna tvær greinar út frá þeim. Ef þáttur er frumtala er sú grein fullgerð. Dragið hring um frumtöluna.

Ef þátturinn er ekki frumtala skal finna tvo þætti hans og halda ferlinu áfram. Þegar hringur hefur verið dreginn um frumtölu á enda hverrar greinar er þáttuninni lokið. Þá má rita samsettu töluna sem margfeldi frumtalna.

Dæmi 1.7

Að finna frumþáttun samsettrar tölu

Þáttið 48.

Lausn

Í næstu línu stendur í fyrsta reit: „Skref 2. Ef þáttur er frumtala er greinin fullgerð. Dragið hring um frumtöluna.“ Í öðrum reit stendur: „2 er frumtala. Dragið hring um frumtöluna.“ Í þriðja reit er þáttatréð úr skrefi 1 endurtekið, en nú hefur verið dreginn hringur um 2 neðst í trénu.

Í næstu línu stendur í fyrsta reit: „Skref 3. Ef þáttur er ekki frumtala skal rita hann sem margfeldi tveggja þátta og halda ferlinu áfram.“ Í öðrum reit stendur: „24 er ekki frumtala. Skiptið henni í 2 þætti til viðbótar.“ Í þriðja reit er upphaflega þáttatréð með 48 efst og tveimur greinum niður að 2, sem er undirstrikuð, og 24. Tvær greinar til viðbótar liggja frá 24 niður að 4 og 6. Einni línu neðar stendur í miðjum reitnum: „4 og 6 eru ekki frumtölur. Skiptið hvorri þeirra í tvo þætti.“ Í reitnum hægra megin er þáttatréð endurtekið. Tvær greinar liggja frá 4 niður að 2 og 2; hringur er um bæði 2s. Tvær aðrar greinar liggja frá 6 niður að 2 og 3 og hringur er um báðar tölurnar. Vinstra megin stendur: „2 og 3 eru frumtölur, svo dragið hring um þær.“

Í neðstu línu stendur í fyrsta reit: „Skref 4. Ritið samsettu töluna sem margfeldi allra frumtalnanna sem hringur var dreginn um.“ Annar reiturinn er auður. Í þriðja reit er jafnan 48 jafngildir 2 sinnum 2 sinnum 2 sinnum 2 sinnum 3.

Við segjum að $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ sé frumþáttun 48. Frumþættirnir eru yfirleitt ritaðir í vaxandi röð. Margfaldið þættina til að sannreyna svarið.

Ef 48 hefði fyrst verið þáttuð á annan hátt, til dæmis sem $6 \cdot 8,$ hefði niðurstaðan samt orðið sú sama. Ljúkið frumþáttuninni og sannreynið þetta sjálf.

Dæmi 1.8

Finnið frumþáttun 252.

Lausn

Skref 1. Finnið tvo þætti sem hafa 252 sem margfeldi. 12 og 21 eru ekki frumtölur. Skiptið 12 og 21 í tvo þætti til viðbótar. Haldið áfram þar til allir lokaþættir eru frumtölur.
Skref 2. Ritið 252 sem margfeldi allra frumtalnanna sem hringur var dreginn um.	252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7

Ein ástæða þess að við skoðum margfeldi og frumtölur er að þessar aðferðir nýtast við að finna minnsta sameiginlega margfeldi tveggja talna. Það kemur að gagni þegar almenn brot með mismunandi nefnurum eru lögð saman eða dregin frá. Tvær aðferðir eru algengastar við að finna minnsta sameiginlega margfeldið og við skoðum þær báðar.

Fyrri aðferðin felst í að skrá margfeldi. Til að finna minnsta sameiginlega margfeldi 12 og 18 skráum við nokkur fyrstu margfeldi 12 og 18:

Tvær raðir talna eru sýndar. Fyrri röðin hefst á 12 og tvípunkti, síðan koma 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 og 108 og loks úrfellingarpunktar. Tölurnar 36, 72 og 108 eru feitletraðar og rauðar. Seinni röðin hefst á 18 og tvípunkti, síðan koma 18, 36, 54, 72, 90 og 108 og loks úrfellingarpunktar. Tölurnar 36, 72 og 108 eru einnig feitletraðar og rauðar. Í línunni fyrir neðan stendur „Sameiginleg margfeldi:“ og þar á eftir rauðu tölurnar 36, 72 og 108. Einni línu neðar stendur „Minnsta sameiginlega margfeldi:“ og þar á eftir bláa talan 36.

Takið eftir að sumar tölur koma fyrir í báðum listum. Þær eru sameiginleg margfeldi 12 og 18.

Fyrstu sameiginlegu margfeldi 12 og 18 eru 36, 72 og 108. Þar sem 36 er minnst þeirra kallast það minnsta sameiginlega margfeldið. Oft er enska skammstöfunin LCM notuð.

Aðferðarreiturinn sýnir skrefin við að finna minnsta sameiginlega margfeldið með frumþáttaaðferðinni sem var notuð hér að framan fyrir 12 og 18.

Dæmi 1.9

Finnið minnsta sameiginlega margfeldi 15 og 20 með því að skrá margfeldi.

Lausn

Skráið nokkur fyrstu margfeldi 15 og 20 og notið listana til að finna minnsta sameiginlega margfeldið.
Finnið minnstu töluna sem kemur fyrir í báðum listum.	Fyrsta talan sem kemur fyrir í báðum listum er 60, svo 60 er minnsta sameiginlega margfeldi 15 og 20.

Takið eftir að 120 kemur einnig fyrir í báðum listum. Talan er sameiginlegt margfeldi en ekki minnsta sameiginlega margfeldið.

Seinni aðferðin við að finna minnsta sameiginlega margfeldið tveggja talna er frumþáttaaðferðin. Finnum aftur minnsta sameiginlega margfeldi 12 og 18, nú með frumþáttum talnanna.

Dæmi 1.10

Að finna minnsta sameiginlega margfeldið með frumþáttaaðferðinni

Finnið minnsta sameiginlega margfeldi (LCM) 12 og 18 með frumþáttaaðferðinni.

Lausn

Í næstu línu stendur í fyrsta reit: „Skref 2. Skráið frumþætti hvorrar tölu. Látið samsvarandi frumþætti standa lóðrétt hvern undir öðrum þegar hægt er.“ Í öðrum reit stendur: „Skráið frumþætti 12. Skráið frumþætti 18. Raðið þeim undir frumþætti 12 þegar hægt er; annars skal bæta við dálki.“ Í þriðja reit er frumþáttun 12 rituð sem jafnan 12 jafngildir 2 sinnum 2 sinnum 3. Fyrir neðan er frumþáttun 18 rituð sem 18 jafngildir 2 sinnum 3 sinnum 3. Jafnaðarmerkin standa lóðrétt hvort undir öðru. Fyrri 2 í frumþáttun 12 stendur yfir 2 í frumþáttun 18. Undir seinni 2 í frumþáttun 12 er eyða í frumþáttun 18. Undir 3 í frumþáttun 12 stendur fyrri 3 í frumþáttun 18. Seinni 3 í frumþáttuninni hefur engan þátt fyrir ofan sig úr frumþáttun 12.

Í næstu línu stendur í fyrsta reit: „Færið niður töluna úr hverjum dálki.“ Annar reiturinn er auður. Í þriðja reit eru frumþáttanir 12 og 18 aftur sýndar sem tvær jöfnur sem raðað er eins og áður. Nú er lárétt strik undir frumþáttun 18. Fyrir neðan stendur jafnan LCM jafngildir 2 sinnum 2 sinnum 3 sinnum 3. Lóðréttar örvar liggja frá frumþáttun 12, gegnum frumþáttun 18 og niður að LCM-jöfnunni. Fyrsta örin hefst við fyrri 2 í frumþáttun 12, liggur gegnum 2 í frumþáttun 18 og endar við fyrri 2 í LCM. Önnur örin hefst við næstu 2 í frumþáttun 12, liggur gegnum eyðuna í frumþáttun 18 og endar við seinni 2 í LCM. Þriðja örin hefst við 3 í frumþáttun 12, liggur gegnum fyrri 3 í frumþáttun 18 og endar við fyrri 3 í LCM. Síðasta örin hefst við seinni 3 í frumþáttun 18 og bendir niður að seinni 3 í LCM.

Takið eftir að frumþættir 12 $(2 \cdot 2 \cdot 3)$ og frumþættir 18 $(2 \cdot 3 \cdot 3)$ eru allir í LCM $(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) .$ Því er 36 minnsta sameiginlega margfeldi 12 og 18.

Með því að raða sameiginlegu frumþáttunum saman er hver þeirra aðeins notaður einu sinni. Þannig má fullvissa sig um að 36 sé minnsta sameiginlega margfeldið.

Dæmi 1.11

Finnið minnsta sameiginlega margfeldi (LCM) 24 og 36 með frumþáttaaðferðinni.

Lausn

Finnið frumþætti 24 og 36. Látið samsvarandi frumþætti standa lóðrétt hvern undir öðrum þegar hægt er. Færið tölurnar niður úr öllum dálkunum.
Margfaldið þættina.
	Minnsta sameiginlega margfeldi 24 og 36 er 72.

Verkefni hluta 1.1

Æfingin skapar meistarann

Sætisgildi núlls og jákvæðra heiltalna

Finnið sætisgildi hvers tölustafs í gefnu tölunum í eftirfarandi verkefnum.

51,493 ⓐ 1, ⓑ 4, ⓒ 9, ⓓ 5, ⓔ 3

87,210 ⓐ 2 ⓑ 8 ⓒ 0 ⓓ 7 ⓔ 1

164,285 ⓐ 5, ⓑ 6, ⓒ 1, ⓓ 8, ⓔ 2

395,076 ⓐ 5 ⓑ 3 ⓒ 7 ⓓ 0 ⓔ 9

93,285,170 ⓐ 9 ⓑ 8 ⓒ 7 ⓓ 5 ⓔ 3

36,084,215 ⓐ 8 ⓑ 6 ⓒ 5 ⓓ 4 ⓔ 3

7,284,915,860,132 ⓐ 7 ⓑ 4 ⓒ 5 ⓓ 3 ⓔ 0

2,850,361,159,433 ⓐ 9 ⓑ 8 ⓒ 6 ⓓ 4 ⓔ 2

Ritið hverja tölu með orðum í eftirfarandi verkefnum.

1,078

10.

5,902

11.

364,510

12.

146,023

13.

5,846,103

14.

1,458,398

15.

37,889,005

16.

62,008,465

Ritið hverja tölu með tölustöfum í eftirfarandi verkefnum.

17.

fjögur hundruð og tólf

18.

tvö hundruð fimmtíu og þrír

19.

þrjátíu og fimm þúsund, níu hundruð sjötíu og fimm

20.

sextíu og eitt þúsund, fjögur hundruð og fimmtán

21.

ellefu milljónir, fjörutíu og fjögur þúsund, eitt hundrað sextíu og sjö

22.

átján milljónir, eitt hundrað og tvö þúsund, sjö hundruð áttatíu og þrír

23.

þrír milljarðar, tvö hundruð tuttugu og sex milljónir, fimm hundruð og tólf þúsund, sautján

24.

ellefu milljarðar, fjögur hundruð sjötíu og ein milljón, þrjátíu og sex þúsund, eitt hundrað og sex

Námundið að tilgreindu sætisgildi í eftirfarandi verkefnum.

25.

Námundið að næsta tug.

ⓐ 386 ⓑ 2,931

26.

Námundið að næsta tug.

ⓐ 792 ⓑ 5,647

27.

Námundið að næsta hundraði.

ⓐ 13,748 ⓑ 391,794

28.

Námundið að næsta hundraði.

ⓐ 28,166 ⓑ 481,628

29.

Námundið að næsta tug.

ⓐ 1,492 ⓑ 1,497

30.

Námundið að næsta tug.

ⓐ 2,791 ⓑ 2,795

31.

Námundið að næsta hundraði.

ⓐ 63,994 ⓑ 63,940

32.

Námundið að næsta hundraði.

ⓐ 49,584 ⓑ 49,548

Námundið hverja tölu í eftirfarandi verkefnum að næsta ⓐ hundraði, ⓑ þúsundi og ⓒ tugþúsundi.

33.

392,546

34.

619,348

35.

2,586,991

36.

4,287,965

Margfeldi og þættir

Notið deilanleikaprófin í eftirfarandi verkefnum til að ákvarða hvort hver tala sé deilanleg með 2, 3, 5, 6 og 10.

37.

38.

9,696

39.

40.

41.

900

42.

800

43.

986

44.

942

45.

350

46.

550

47.

22,335

48.

39,075

Frumþáttun og minnsta sameiginlega margfeldi

Finnið frumþáttunina í eftirfarandi verkefnum.

49.

50.

51.

132

52.

455

53.

693

54.

400

55.

432

56.

627

57.

2,160

58.

2,520

Finnið minnsta sameiginlega margfeldi hvers talnapars í eftirfarandi verkefnum með því að skrá margfeldi.

59.

8, 12

60.

4, 3

61.

12, 16

62.

30, 40

63.

20, 30

64.

44, 55

Finnið minnsta sameiginlega margfeldi hvers talnapars í eftirfarandi verkefnum með frumþáttaaðferðinni.

65.

8, 12

66.

12, 16

67.

28, 40

68.

84, 90

69.

55, 88

70.

60, 72

Stærðfræði daglegs lífs

71.

Að skrifa ávísun Jorge keypti bíl á $24,493 og greiddi með ávísun. Ritið kaupverðið með orðum.

72.

Að skrifa ávísun Endurbætur á eldhúsi Marissu kostuðu $18,549. Hún skrifaði verktakanum ávísun. Ritið upphæðina með orðum.

73.

74.

Endurbætur á eldhúsi Endurbætur á eldhúsi Marissu kostuðu $18,549. Námundið kostnaðinn að næsta ⓐ tug, ⓑ hundraði, ⓒ þúsundi og ⓓ tugþúsundi.

75.

Mannfjöldi Íbúar Kína voru 1,339,724,852 þann 1. nóvember 2010. Námundið mannfjöldann að næsta ⓐ milljarði, ⓑ hundraði milljóna og ⓒ milljón.

76.

Stjörnufræði Meðalfjarlægð jarðar frá sólu er 149,597,888 kílómetrar. Námundið fjarlægðina að næsta ⓐ hundraði milljóna, ⓑ tug milljóna og ⓒ milljón.

77.

Matvöruinnkaup Pylsur eru seldar í pakkningum með 10 stykkjum en pylsubrauð í pakkningum með átta stykkjum. Hver er minnsti fjöldi pylsa og brauða sem fæst í heilum pakkningum af hvoru?

78.

Matvöruinnkaup Pappadiskar eru seldir í pakkningum með 12 stykkjum en veisluglös í pakkningum með átta stykkjum. Hver er minnsti fjöldi diska og glasa sem fæst í heilum pakkningum af hvoru?

Ritunarverkefni

79.

Nefnið dæmi úr daglegu lífi þar sem gagnlegt er að námunda tölur.

80.

Ef tala er deilanleg með 2 og 3, hvers vegna er hún þá einnig deilanleg með 6?

81.

Hver er munurinn á frumtölum og samsettum tölum?

82.

Útskýrið með eigin orðum hvernig finna má frumþáttun samsettrar tölu með aðferð að eigin vali.

Sjálfsmat

ⓐ Að loknum verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð námsmarkmiðum hlutans.

Taflan hefur fjóra dálka og fjórar línur. Fyrirsagnir dálkanna eru „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“. Í þremur línum fyrsta dálksins stendur „notað sætisgildi núlls og jákvæðra heiltalna“, „borið kennsl á margfeldi og beitt deilanleikaprófum“ og „fundið frumþáttun og minnsta sameiginlega margfeldi“. Allir aðrir reitir töflunnar eru auðir.

ⓑ Ef flest merkin ykkar voru við:

…örugglega. Til hamingju! Þið hafið náð námsmarkmiðum þessa hluta. Hugleiðið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast fullvissu um að þið réðuð við þessi viðfangsefni? Nefnið tiltekin atriði.

…með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við, því viðfangsefni sem þið hafið ekki náð tökum á verða að hindrunum á leiðinni að árangri. Í stærðfræði byggist hvert viðfangsefni á fyrra námi. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en lengra er haldið. Hvern getið þið beðið um hjálp? Samnemendur og kennari eru góðir stuðningsaðilar. Er hægt að fá aðstoð stærðfræðileiðbeinenda í skólanum? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?

…nei – ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem ekki má hunsa. Leitið strax aðstoðar, annars getur álagið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og hægt er. Saman getið þið gert áætlun um hvernig þið fáið þá aðstoð sem þið þurfið.