11 Undirstöður

1.3 Samlagning og frádráttur heiltalna

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Notað neikvæðar tölur og samlagningarandhverfur
Einfaldað stæður með tölugildi
Lagt saman heiltölur
Dregið frá heiltölur

Notkun neikvæðra talna og samlagningarandhverfa

Hingað til höfum við aðeins unnið með talningartölur og heiltölur sem eru núll eða jákvæðar. Ef þið hafið einhvern tíma fundið fyrir hitastigi undir frostmarki eða tekið óvart meira út af bankareikningi en innistæðan nam, þekkið þið þó þegar neikvæðar tölur. Neikvæðar tölur eru tölur minni en $0 .$ Neikvæðar tölur eru vinstra megin við núll á talnalínunni. Sjá mynd 1.6 .

Talnalína nær frá −4 til 4. Slaufa undir gildunum frá −4 til 0 er merkt „Neikvæðar tölur“. Önnur slaufa undir gildunum frá 0 til 4 er merkt „Jákvæðar tölur“. Milli slaufanna er ör sem bendir upp á núll. — **Mynd 1.6.** Talnalínan sýnir staðsetningu jákvæðra og neikvæðra talna.

Örvarnar á endum talnalínunnar sýna að tölurnar halda endalaust áfram. Engin jákvæð tala er stærst og engin neikvæð tala er minnst.

Er núll jákvæð eða neikvæð tala? Tölur stærri en núll eru jákvæðar og tölur minni en núll eru neikvæðar. Núll er hvorki jákvætt né neikvætt.

Skoðum röð talnanna á talnalínunni. Frá vinstri til hægri hækkar gildi talnanna. Frá hægri til vinstri lækkar gildi þeirra. Sjá mynd 1.7 .

Talnalína nær frá −4 til 4. Ör ofan við talnalínuna nær frá −1 í átt að 4 og er merkt „stærra“. Ör neðan við talnalínuna nær frá 1 í átt að −4 og er merkt „minna“. — **Mynd 1.7.** Gildi talna á talnalínu hækkar frá vinstri til hægri og lækkar frá hægri til vinstri.

Munið að við notum eftirfarandi táknritun:

a < b (lesið „a er minna en b“) þegar a er vinstra megin við b á talnalínunni.

a > b (lesið „a er stærra en b“) þegar a er hægra megin við b á talnalínunni.

Nú þurfum við að lengja talnalínuna sem sýndi núll og jákvæðar heiltölur þannig að hún nái einnig yfir neikvæðar tölur. Tölurnar sem merktar eru með punktum á mynd 1.8 kallast heiltölur. Heiltölurnar eru $… - 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …$

Talnalína nær frá mínus fjórum til fjögurra. Punktar eru merktir við mínus fjóra, mínus þrjá, mínus tvo, mínus einn, núll, einn, tvo, 3 og fjóra. — **Mynd 1.8.** Allar merktu tölurnar kallast *heiltölur.*

Dæmi 1.30

Raðið tölunum í hverju eftirfarandi talnapari með því að nota using < eða >: ⓐ $14___6$ ⓑ $−1___9$ ⓒ $−1___−4$ ⓓ $2___−20 .$

Lausn

Gagnlegt getur verið að styðjast við talnalínuna á myndinni.

Talnalína nær frá mínus tuttugu til fimmtán og strik eru milli talnanna. Fimmta hvert strik er merkt með tölu. Punktar eru við mínus tuttugu, mínus 4, mínus 1, 2, 6, 9 og 14.

ⓐ 14 er hægra megin við 6 á talnalínunni.	14 ___ 6 14 > 6
ⓑ −1 er vinstra megin við 9 á talnalínunni.	−1 ___ 9 −1 < 9
ⓒ −1 er hægra megin við −4 á talnalínunni.	−1 ___ −4 −1 > −4
ⓓ 2 er hægra megin við −20 á talnalínunni.	2 ___ −20 2 > −20

Þið hafið ef til vill tekið eftir því að á talnalínunni eru neikvæðu tölurnar spegilmynd þeirra jákvæðu með núll í miðjunni. Tölurnar 2 og $−2$ eru jafnfjarlægar núlli og kallast því samlagningarandhverfur. Samlagningarandhverfa 2 er $−2,$ og samlagningarandhverfa $−2$ er 2.

Mynd 1.9 skýrir skilgreininguna.

Talnalína nær frá −4 til 4. Tvær slaufur eru ofan við talnalínuna. Vinstri slaufan nær frá mínus þremur til 0. Hægri slaufan nær frá núlli til þriggja. Punktar eru merktir við bæði mínus þrjá og þrjá. — **Mynd 1.9.** Samlagningarandhverfa 3 er $−3 .$

Í algebru getur sama táknið stundum haft mismunandi merkingu. Rétt eins og með sum orð ræðst merkingin af því hvernig táknið er notað. Þið hafið séð táknið „−“ notað á þrjá mismunandi vegu.

\begin{matrix} 10 - 4 & Milli tveggja talna táknar það reikniaðgerðina frádrátt . \\ Við lesum 10 - 4 sem “ 10 mínus 4. ” \\ −8 & Framan við tölu táknar það neikvæða tölu. \\ Við lesum −8 sem „mínus átta“ \\ − x & Framan við breytu táknar það samlagningarandhverfu . Við lesum − x sem „samlagningarandhverfu x . ” \\ − (−2) & Hér eru tvö “ - ” merki. Merkið innan svigans segir að talan sé \\ neikvæða 2 . Merkið utan svigans segir að taka eigi samlagningarandhverfu af −2 . \\ Við lesum − (−2) sem „samlagningarandhverfu mínus tveggja“ \end{matrix}

10 − 4	Milli tveggja talna táknar það frádrátt. Við lesum 10 − 4 sem „10 mínus 4.“
−8	Framan við tölu táknar það neikvæða tölu. Við lesum −8 sem „mínus átta“.
$- x$	Framan við breytu táknar það samlagningarandhverfu. Við lesum − x sem „samlagningarandhverfu x.“
− ( −2 )	Hér eru tvö „−“-merki. Merkið innan sviganna segir að talan sé mínus 2. Merkið utan sviganna segir að taka eigi samlagningarandhverfu −2. Við lesum − ( −2 ) sem „samlagningarandhverfu tölunnar mínus tveir“.

Dæmi 1.31

Finnið: ⓐ samlagningarandhverfu 7 ⓑ samlagningarandhverfu $−10$ ⓒ $− (−6) .$

Lausn

ⓐ −7 er jafnfjarri 0 og 7 en hinum megin við 0.	Samlagningarandhverfa 7 er −7.
ⓑ 10 er jafnfjarri 0 og −10 en hinum megin við 0.	Samlagningarandhverfa −10 er 10.
ⓒ −(−6) (samlagningarandhverfa −6).	Samlagningarandhverfa −(−6) er 6.

Vinna okkar með samlagningarandhverfur gerir okkur kleift að skilgreina heiltölur. Núll og jákvæðar heiltölur ásamt samlagningarandhverfum sínum kallast heiltölur. Heiltölurnar eru $… - 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …$

Þegar samlagningarandhverfa breytu er reiknuð verðum við að gæta sérstakrar varúðar. Án þess að vita hvort breytan stendur fyrir jákvæða eða neikvæða tölu vitum við ekki hvort $− x$ er jákvætt eða neikvætt. Þetta sést í sýnidæmi 1.32 .

Dæmi 1.32

Reiknið ⓐ $− x,$ þegar $x = 8$ ⓑ $− x,$ þegar $x = −8 .$

Lausn

ⓐ

− x Skrifið samlagningarandhverfu 8.
ⓑ

− x Skrifið samlagningarandhverfu −8. 8

Einföldun stæða með tölugildi

Við sáum að tölur eins og $2 og −2$ eru samlagningarandhverfur vegna þess að þær eru jafnfjarlægar 0 á talnalínunni. Báðar eru tvær einingar frá 0. Fjarlægðin milli 0 og hvaða tölu sem er á talnalínunni kallast tölugildi þeirrar tölu.

Til dæmis:

$−5 er 5$ einingum frá $0,$ og því $| −5 | = 5 .$
$5 er 5$ einingum frá $0,$ og því $| 5 | = 5 .$

Mynd 1.10 skýrir þetta.

Talnalína nær frá −5 til 5. Slaufa merkt „5 einingar“ liggur ofan við punktana frá −5 til 0. Ofan við slaufuna er ör merkt „−5 er 5 einingum frá 0, svo tölugildi −5 er 5.“ Önnur slaufa, merkt „5 einingar“, liggur ofan við punktana „0“ til „5“. Ofan við hana er ör merkt „5 er 5 einingum frá 0, svo tölugildi 5 er 5.“ — **Mynd 1.10.** Heiltölurnar $5 og −5 eru 5$ einingum frá $0 .$

Tölugildi tölu er aldrei neikvætt, enda getur fjarlægð ekki verið neikvæð. Eina talan sem hefur tölugildið núll er núll sjálft, því fjarlægðin frá $0 til 0$ á talnalínunni er núll einingar.

Stærðfræðingar orða þetta nákvæmar: „Tölugildi eru alltaf óneikvæð.“ Óneikvætt merkir stærra en eða jafnt núlli.

Dæmi 1.33

Einfaldið: ⓐ $| 3 |$ ⓑ $| −44 |$ ⓒ $| 0 |$ .

Lausn

Tölugildi tölu er fjarlægðin frá tölunni að núlli. Fjarlægð er aldrei neikvæð og því er tölugildi aldrei neikvætt.

ⓐ $| 3 |$
$3$

ⓑ $| −44 |$
$44$

ⓒ $| 0 |$
$0$

Í næsta sýnidæmi röðum við stæðum með tölugildum. Munið að jákvæðar tölur eru alltaf stærri en neikvæðar tölur!

Dæmi 1.34

Setjið $<, >, eða =$ milli talnanna í hverju eftirfarandi talnapari:

ⓐ $| −5 |___- | −5 |$ ⓑ $8___- | −8 |$ ⓒ $−9___- | −9 |$ ⓓ $− (−16)___- | −16 |$

Lausn

ⓐ Einfaldið. Raðið.	\| −5 \| ___ − \| −5 \| 5 ___ − 5 5 > −5 \| −5 \| > − \| −5 \|
ⓑ Einfaldið. Raðið.	8 ___ − \| −8 \| 8 ___ − 8 8 > −8 8 > − \| −8 \|
ⓒ Einfaldið. Raðið.	−9 ___ − \| −9 \| −9 ___ − 9 −9 = −9 −9 = − \| −9 \|
ⓓ Einfaldið. Raðið.	− ( −16 ) ___ − \| −16 \| 16 ___ − 16 16 > −16 − ( −16 ) > − \| −16 \|

Nú bætum við tölugildisstrikum við sviga og önnur afmörkunartákn. Þegar forgangsröð reikniaðgerða er fylgt einföldum við fyrst stæðuna milli tölugildisstrikanna eins mikið og unnt er og finnum síðan tölugildi niðurstöðunnar.

Í næsta sýnidæmi einföldum við fyrst stæðurnar milli tölugildisstrikanna, rétt eins og stæður innan sviga.

Dæmi 1.35

Einfaldið: $24 - | 19 - 3 (6 - 2) | .$

Lausn

	24 − \| 19 − 3 ( 6 − 2 ) \|
Reiknið fyrst innan sviganna: dragið 2 frá 6.	24 − \| 19 − 3 ( 4 ) \|
Margfaldið 3(4).	24 − \| 19 − 12 \|
Dragið frá milli tölugildisstrikanna.	24 − \| 7 \|
Finnið tölugildið.	24 − 7
Dragið frá.	17

Dæmi 1.36

Reiknið: ⓐ $| x | þegar x = −35$ ⓑ $| − y | þegar y = −20$ ⓒ $− | u | þegar u = 12$ ⓓ $− | p | þegar p = −14 .$

Lausn

ⓐ $| x | þegar x = −35$

	\| x \|

Finnið tölugildið.	35

ⓑ $| − y | þegar y = −20$

	\| − y \|

Einfaldið.	\| 20 \|
Finnið tölugildið.	20

	− \| u \|

Finnið tölugildið.	− 12

ⓓ $− | p | þegar p = −14$

	− \| p \|

Finnið tölugildið.	− 14

Samlagning heiltalna

Flestir nemendur kunna vel að leggja saman og draga frá jákvæðar tölur. Samlagning og frádráttur með bæði jákvæðum og neikvæðum tölum getur hins vegar reynst erfiðari.

Við notum tvílitar talnaskífur til að sýna samlagningu og frádrátt neikvæðra talna, svo þið getið séð aðferðirnar fyrir ykkur í stað þess að leggja reglurnar á minnið.

Annar liturinn, blár, táknar jákvæðar tölur. Hinn liturinn, rauður, táknar neikvæðar tölur. Ein jákvæð talnaskífa og ein neikvæð talnaskífa hafa saman gildið núll. Þær mynda núllpar og gildi parsins er núll.

Á myndinni er blá talnaskífa fyrir ofan rauða talnaskífu og hringur utan um þær báðar. Jafnan hægra megin er 1 plús mínus 1 er jafnt og 0.

Við notum talnaskífurnar til að sýna fjögur samlagningardæmi með tölunum $5, −5$ og $3, −3 .$

\begin{matrix} 5 + 3 & −5 + (−3) & −5 + 3 & 5 + (−3) \end{matrix}

Til að leggja saman $5 + 3,$ lítum við á $5 + 3$ sem summu 5 og 3.

Við byrjum með 5 jákvæðar talnaskífur.
Síðan bætum við við 3 jákvæðum talnaskífum.
Nú höfum við 8 jákvæðar talnaskífur. Summa 5 og 3 er 8.

Nú leggjum við saman $−5 + (−3) .$ Takið eftir því sem er líkt með þessu og síðasta dæminu $5 + 3 = 8 .$

Til að leggja saman $−5 + (−3),$ lítum við á þetta sem summuna $−5 og - 3 .$

Við byrjum með 5 neikvæðar talnaskífur.
Síðan bætum við við 3 neikvæðum talnaskífum.
Nú höfum við 8 neikvæðar talnaskífur. Summa −5 og −3 er −8.

Hvað var líkt með þessum fyrstu tveimur dæmum?

Í fyrra dæminu er 5 jákvæðum talnaskífum og 3 jákvæðum talnaskífum bætt saman; allar skífurnar eru jákvæðar.
Í seinna dæminu er 5 neikvæðum talnaskífum og 3 neikvæðum talnaskífum bætt saman; allar skífurnar eru neikvæðar.

Í báðum tilvikum fengum við 8: annaðhvort 8 jákvæðar eða 8 neikvæðar talnaskífur.

Þegar formerkin voru eins voru allar talnaskífurnar eins á litinn og því lögðum við þær saman.

Myndinni er skipt í tvo dálka. Í vinstri dálkinum eru átta bláar talnaskífur í láréttri röð. Undir þeim stendur „8 jákvæðar“. Þar fyrir neðan er jafnan 5 plús 3 er jafnt og 8. Í hægri dálkinum eru átta rauðar talnaskífur í láréttri röð og undir þeim stendur „8 neikvæðar“. Þar fyrir neðan er jafnan mínus 5 plús mínus 3 er jafnt og mínus 8; mínus 3 er innan sviga.

Dæmi 1.37

Leggið saman: ⓐ $1 + 4$ ⓑ $−1 + (−4) .$

Lausn

ⓐ

1 jákvæð talnaskífa ásamt 4 jákvæðum talnaskífum gefur 5 jákvæðar talnaskífur.

ⓑ

1 neikvæð talnaskífa ásamt 4 neikvæðum talnaskífum gefur 5 neikvæðar talnaskífur.

Hvað gerist þegar formerkin eru ólík? Leggjum saman $−5 + 3 .$ Þetta er summa $−5$ og 3. Þegar talnaskífurnar voru eins á litinn lögðum við þær í röð. Þegar þær eru hvor á sínum lit röðum við skífum annars litarins undir skífur hins.

	−5 + 3 táknar summu −5 og 3.
Við byrjum með 5 neikvæðar talnaskífur.
Síðan bætum við við 3 jákvæðum talnaskífum.
Við fjarlægjum öll núllpör.
Eftir eru 2 neikvæðar talnaskífur.
Summa −5 og 3 er −2.	−5 + 3 = −2

Takið eftir að neikvæðu talnaskífurnar voru fleiri en þær jákvæðu og niðurstaðan varð því neikvæð.

Leggjum nú saman síðustu samsetninguna, $5 + (− 3) .$

	5 + (−3) táknar summu 5 og −3.
Við byrjum með 5 jákvæðar talnaskífur.
Síðan bætum við við 3 neikvæðum talnaskífum.
Við fjarlægjum öll núllpör.
Eftir eru 2 jákvæðar talnaskífur.
Summa 5 og −3 er 2.	5 + (−3) = 2

Þegar talnaskífur eru notaðar til að sýna samlagningu jákvæðra og neikvæðra heiltalna sést auðveldlega hvort jákvæðu eða neikvæðu skífurnar eru fleiri. Því vitum við hvort summan verður jákvæð eða neikvæð.

Tvær merktar myndir eru sýndar. Á vinstri myndinni eru fimm rauðar talnaskífur í láréttri röð fyrir ofan þrjár bláar; hringur er utan um fyrstu þrjú rauð-bláu pörin. Fyrir ofan stendur „mínus 5 plús 3“ og fyrir neðan „Fleiri neikvæðar – summan er neikvæð.“ Á hægri myndinni eru fimm bláar talnaskífur í láréttri röð fyrir ofan þrjár rauðar; hringur er utan um fyrstu þrjú pörin. Fyrir ofan stendur „5 plús mínus 3“ og fyrir neðan „Fleiri jákvæðar – summan er jákvæð.“

Dæmi 1.38

Leggið saman: ⓐ $−1 + 5$ ⓑ $1 + (−5) .$

Lausn

ⓐ

	−1 + 5

Jákvæðu talnaskífurnar eru fleiri og summan er því jákvæð.	4

ⓑ

	1 + (−5)

Neikvæðu talnaskífurnar eru fleiri og summan er því neikvæð.	−4

Nú þegar við höfum lagt saman litlar jákvæðar og neikvæðar heiltölur með líkani getum við séð það fyrir okkur þegar við einföldum dæmi með hvaða tölum sem er.

Þegar leggja þarf saman tölur eins og $37 + (− 53),$ viljið þið tæplega telja upp 37 bláar talnaskífur og 53 rauðar. Getið þið séð fyrir ykkur hvernig dæmið væri leyst með líkaninu?

Sjáið fyrir ykkur 37 bláar talnaskífur og 53 rauðar skífur í röð fyrir neðan þær. Þar sem rauðu, neikvæðu skífurnar væru fleiri en þær bláu, jákvæðu yrði summan neikvæð. Hve miklu fleiri væru rauðu skífurnar? Þar sem $53 - 37 = 16,$ eru rauðu skífurnar 16 fleiri.

Því er summa $37 + (− 53)$ jöfn $−16 .$

37 + (- 53) = - 16

Prófum annað dæmi og leggjum saman $−74 + (− 27) .$ Sjáið aftur fyrir ykkur 74 rauðar talnaskífur og 27 rauðar til viðbótar, alls 101 rauða skífu. Summan er því $−101 .$

- 74 + (- 27) = - 101

Skoðum aftur niðurstöður ólíkra samlagninga á $5, −5$ og $3, −3 .$

Sjáið líkanið fyrir ykkur þegar þið einfaldið stæðurnar í eftirfarandi sýnidæmum.

Dæmi 1.39

Einfaldið: ⓐ $19 + (−47)$ ⓑ $−14 + (−36) .$

Lausn

ⓐ Þar sem formerkin eru ólík drögum við frá $19 frá 47 .$ Svarið verður neikvætt vegna þess að neikvæðu talnaskífurnar eru fleiri en þær jákvæðu.
$\begin{matrix} 19 + (−47) \\ Leggið saman. & −28 \end{matrix}$
ⓑ Þar sem formerkin eru eins leggjum við saman. Svarið verður neikvætt vegna þess að allar talnaskífurnar eru neikvæðar.
$\begin{matrix} −14 + (−36) \\ Leggið saman. & −50 \end{matrix}$

Aðferðirnar sem við höfum notað hingað til gilda einnig um flóknari dæmi eins og þau sem við höfum áður séð. Munið að fylgja forgangsröð reikniaðgerða!

Dæmi 1.40

Einfaldið: $−5 + 3 (−2 + 7) .$

Lausn

	−5 + 3 ( −2 + 7 )
Einfaldið innan sviganna.	−5 + 3 ( 5 )
Margfaldið.	−5 + 15
Leggið saman frá vinstri til hægri.	10

Frádráttur heiltalna

Við höldum áfram að nota talnaskífur til að sýna frádrátt. Munið að bláu skífurnar tákna jákvæðar tölur og þær rauðu neikvæðar tölur.

Þegar þið voruð yngri lásuð þið ef til vill $“ 5 - 3 ”$ sem $“ 5$ að frádregnum $3. ”$ Með talnaskífum má hugsa um frádrátt á sama hátt!

Við sýnum fjögur frádráttardæmi með tölunum $5$ og $3 .$

\begin{matrix} 5 - 3 & −5 - (−3) & −5 - 3 & 5 - (−3) \end{matrix}

Til að draga frá $5 - 3,$ umorðum við dæmið sem $“ 5$ að frádregnum $3. ”$

Við byrjum með 5 jákvæðar talnaskífur.
Við „tökum burt“ 3 jákvæðar talnaskífur.
Eftir eru 2 jákvæðar talnaskífur.
Mismunur 5 og 3 er 2.	2

Nú drögum við frá $−5 - (−3) .$ Takið eftir því sem er líkt með þessu og síðasta dæminu $5 - 3 = 2 .$

Til að draga frá $−5 - (−3),$ umorðum við þetta sem $“ –5$ að frádregnum $–3 ”$

Við byrjum með 5 neikvæðar talnaskífur.
Við „tökum burt“ 3 neikvæðar talnaskífur.
Eftir eru 2 neikvæðar talnaskífur.
Mismunur −5 og −3 er −2.	−2

Takið eftir að þessi tvö dæmi eru mjög lík. Í fyrra dæminu drögum við 3 jákvæðar talnaskífur frá 5 jákvæðum og fáum 2 jákvæðar talnaskífur.

Í seinna dæminu drögum við 3 neikvæðar talnaskífur frá 5 neikvæðum og fáum 2 neikvæðar talnaskífur.

Í hvoru dæmi voru aðeins notaðar talnaskífur í einum lit og því var auðvelt að beita frádráttarlíkaninu þar sem skífur eru teknar burt.

Tvær merktar myndir eru sýndar. Á fyrri myndinni eru fimm bláar talnaskífur og hringur með ör utan um þrjár þeirra. Fyrir ofan stendur jafnan „5 mínus 3 er jafnt og 2.“ Á seinni myndinni eru fimm rauðar talnaskífur og hringur með ör utan um þrjár þeirra. Fyrir ofan stendur jafnan „mínus 5, mínus mínus 3, er jafnt og mínus 2.“

Dæmi 1.41

Dragið frá: ⓐ $7 - 5$ ⓑ $−7 - (−5) .$

Lausn

ⓐ Takið 5 jákvæðar talnaskífur af 7 jákvæðum; eftir verða 2 jákvæðar talnaskífur.	7 − 5 2
ⓑ Takið 5 neikvæðar talnaskífur af 7 neikvæðum; eftir verða 2 neikvæðar talnaskífur.	−7 − ( −5 ) −2

Hvað gerist þegar draga þarf jákvæða tölu frá neikvæðri eða neikvæða frá jákvæðri? Þá þurfum við bæði bláar og rauðar talnaskífur og nokkur núllpör. Þegar núllpari er bætt við breytist gildið ekki. Þetta er eins og að skipta hundraðkrónupeningi í fimm tuttugukrónupeninga: gildið er hið sama þótt framsetningin breytist.

Til að draga frá −5 − 3 , umorðum við það sem −5 að frádregnum 3.

Við byrjum með 5 neikvæðar talnaskífur. Taka þarf burt 3 jákvæðar skífur en við höfum engar slíkar til að taka burt.

Munið að gildi núllpars er núll. Ef 0 er bætt við 5 er gildið enn 5. Við bætum núllpörum við 5 neikvæðu talnaskífurnar þar til við höfum 3 jákvæðar skífur til að taka burt.

	−5 − 3 táknar −5 að frádregnum 3.
Við byrjum með 5 neikvæðar talnaskífur.
Nú bætum við við nægilega mörgum núllpörum til að fá 3 jákvæðar talnaskífur.
Við fjarlægjum 3 jákvæðu talnaskífurnar.
Eftir eru 8 neikvæðar talnaskífur.
Mismunur −5 og 3 er −8.	−5 − 3 = −8

Skoðum nú fjórða tilvikið, $5 - (−3) .$ Við byrjum með 5 jákvæðar talnaskífur. Taka þarf burt 3 neikvæðar skífur en engar slíkar eru fyrir. Því bætum við við núllpörum þar til við höfum 3 neikvæðar skífur til að taka burt.

	5 − (−3) táknar 5 að frádregnum −3.
Við byrjum með 5 jákvæðar talnaskífur.
Nú bætum við við nauðsynlegum núllpörum.
Við fjarlægjum 3 neikvæðu talnaskífurnar.
Eftir eru 8 jákvæðar talnaskífur.
Mismunur 5 og −3 er 8.	5 − (−3) = 8

Dæmi 1.42

Dragið frá: ⓐ $−3 - 1$ ⓑ $3 - (−1) .$

Lausn

ⓐ

Takið 1 jákvæða talnaskífu úr núllparinu sem bætt var við.

−3 − 1 −4

ⓑ

Takið 1 neikvæða talnaskífu úr núllparinu sem bætt var við.

3 − (−1) 4

Hafið þið tekið eftir að draga má formerktar tölur frá með því að leggja samlagningarandhverfuna við? Í sýnidæmi 1.42 er $−3 - 1$ hið sama og $−3 + (−1)$ og $3 - (−1)$ hið sama og $3 + 1 .$ Þessa hugmynd, frádráttarregluna, sjáið þið oft ritaða þannig:

Skoðið þessi tvö dæmi.

Tvær merktar myndir eru sýndar. Á fyrri myndinni eru fjórar gráar kúlur við hlið tveggja grárra kúlna. Rauður hringur er um þær fjórar og rauð ör vísar frá þeim niður til vinstri. Fyrir ofan stendur „6 mínus 4“ og fyrir neðan „2.“ Á seinni myndinni eru fjórar gráar kúlur í röð fyrir ofan fjórar rauðar kúlur. Rauður hringur er um þessar átta kúlur og ör vísar niður til vinstri; tvær gráar kúlur eru við hlið þeirra fjögurra gráu. Fyrir ofan stendur „6 plús, vinstri svigi, mínus 4, hægri svigi“ og fyrir neðan „2.“

6 - 4 gefur sama svar og 6 + (−4) .

Þegar frádráttardæmi inniheldur aðeins jákvæðar tölur, eins og $6 - 4,$ drögum við einfaldlega frá. Þið lærðuð fyrir löngu að reikna $6 - 4$ Að vita að $6 - 4$ gefur sama svar og $6 + (−4)$ hjálpar hins vegar þegar neikvæðar tölur eru dregnar frá. Gangið úr skugga um að þið skiljið hvers vegna $6 - 4$ og $6 + (−4)$ gefa sömu niðurstöðu!

Dæmi 1.43

Einfaldið: ⓐ $13 - 8$ og $13 + (−8)$ ⓑ $−17 - 9$ og $−17 + (−9) .$

Lausn

ⓐ Dragið frá.	13 − 8 5	13 + ( −8 ) 5
ⓑ Dragið frá.	−17 − 9 −26	−17 + ( −9 ) −26

Skoðum hvað gerist þegar neikvæð tala er dregin frá.

Myndinni er skipt lóðrétt í tvennt. Vinstra megin er stæðan 8 mínus mínus 5, þar sem −5 er innan sviga. Undir stæðunni er hópur 8 blárra talnaskífa við hlið fimm blárra skífa í röð, með bili milli hópanna. Undir hópnum með fimm bláum skífum eru fimm rauðar skífur sem hringur er utan um. Ör frá hringnum vísar niður til vinstri og táknar frádrátt. Undir skífunum stendur talan 13. Hægra megin er stæðan 8 plús 5. Undir henni er hópur 8 blárra talnaskífa við hlið fimm blárra skífa í röð, með bili milli hópanna. Undir skífunum stendur talan 13.

8 - (−5) gefur sama svar og 8 + 5

Að draga neikvæða tölu frá er eins og að leggja jákvæða tölu við!

Þetta er oft ritað $a - (− b) = a + b .$

Gildir þetta einnig um aðrar tölur? Prófum næsta sýnidæmi.

Dæmi 1.44

Einfaldið: ⓐ $9 - (−15)$ og $9 + 15$ ⓑ $−7 - (−4)$ og $−7 + 4 .$

Lausn

ⓐ Dragið frá.	9 − ( −15 ) 24	9 + 15 24
ⓑ Dragið frá.	−7 − ( −4 ) −3	−7 + 4 −3

Skoðum aftur niðurstöður ólíkra frádrátta með $5, −5$ og $3, −3 .$

Hvað gerist þegar heiltölurnar eru fleiri en þrjár? Þá fylgjum við forgangsröð reikniaðgerða eins og venjulega.

Dæmi 1.45

Einfaldið: $7 - (−4 - 3) - 9 .$

Lausn

	7 − ( −4 − 3 ) − 9
Einfaldið fyrst innan sviganna.	7 − ( −7 ) − 9
Framkvæmið frádrátt frá vinstri til hægri.	14 − 9
Dragið frá.	5

Verkefni úr hluta 1.3

Æfingin skapar meistarann

Notkun neikvæðra talna og samlagningarandhverfa heiltalna

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið raða tölunum í hverju talnapari með using < eða >.

185.

ⓐ $9___4$
ⓑ $−3___6$
ⓒ $−8___−2$
ⓓ $1___−10$

186.

ⓐ $−7___3$
ⓑ $−10___−5$
ⓒ $2___−6$
ⓓ $8___9$

Finnið samlagningarandhverfu hverrar tölu í eftirfarandi verkefnum.

187.

ⓐ 2 ⓑ $−6$

188.

ⓐ 9ⓑ $−4$

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

189.

$− (−4)$

190.

$− (−8)$

191.

$− (−15)$

192.

$− (−11)$

Reiknið í eftirfarandi verkefnum.

193.

$− c$ þegar ⓐ $c = 12$ ⓑ $c = −12$

194.

$− d$ þegar
ⓐ $d = 21$
ⓑ $d = −21$

Einföldun stæða með tölugildi

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

195.

ⓐ $| −32 |$ ⓑ $| 0 |$ ⓒ $| 16 |$

196.

ⓐ $| 0 |$
ⓑ $| −40 |$ ⓒ $| 22 |$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið setja <, > eða = milli talnanna í hverju talnapari.

197.

ⓐ $−6___| −6 |$ ⓑ $− | −3 |___−3$

198.

ⓐ $| −5 |___− | −5 |$ ⓑ $9___− | −9 |$

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

199.

$− (−5) og − | −5 |$

200.

$− | −9 | og − (−9)$

201.

$8 | −7 |$

202.

$5 | −5 |$

203.

$| 15 - 7 | - | 14 - 6 |$

204.

$| 17 - 8 | - | 13 - 4 |$

205.

$18 - | 2 (8 - 3) |$

206.

$18 - | 3 (8 - 5) |$

Reiknið í eftirfarandi verkefnum.

207.

ⓐ $− | p | þegar p = 19$
ⓑ $− | q | þegar q = −33$

208.

ⓐ $− | a | þegar a = 60$
ⓑ $− | b | þegar b = −12$

Samlagning heiltalna

Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.

209.

$−21 + (−59)$

210.

$−35 + (−47)$

211.

$48 + (−16)$

212.

$34 + (−19)$

213.

$−14 + (−12) + 4$

214.

$−17 + (−18) + 6$

215.

$135 + (−110) + 83$

216.

$−38 + 27 + (−8) + 12$

217.

$19 + 2 (−3 + 8)$

218.

$24 + 3 (−5 + 9)$

Frádráttur heiltalna

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

219.

$8 - 2$

220.

$−6 - (−4)$

221.

$−5 - 4$

222.

$−7 - 2$

223.

$8 - (−4)$

224.

$7 - (−3)$

225.

ⓐ $44 - 28$ ⓑ $44 + (−28)$

226.

ⓐ $35 - 16$ ⓑ $35 + (−16)$

227.

ⓐ $27 - (−18)$ ⓑ $27 + 18$

228.

ⓐ $46 - (−37)$ ⓑ $46 + 37$

Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.

229.

$15 - (−12)$

230.

$14 - (−11)$

231.

$48 - 87$

232.

$45 - 69$

233.

$−17 - 42$

234.

$−19 - 46$

235.

$−103 - (−52)$

236.

$−105 - (−68)$

237.

$−45 - (–54)$

238.

$−58 - (−67)$

239.

$8 - 3 - 7$

240.

$9 - 6 - 5$

241.

$−5 - 4 + 7$

242.

$−3 - 8 + 4$

243.

$−14 - (−27) + 9$

244.

$64 + (−17) - 9$

245.

$(2 - 7) - (3 - 8)$

246.

$(1 - 8) - (2 - 9)$

247.

$− (6 - 8) - (2 - 4)$

248.

$− (4 - 5) - (7 - 8)$

249.

$25 - [10 - (3 - 12)]$

250.

$32 - [5 - (15 - 20)]$

251.

$6 \cdot 3 - 4 \cdot 3 - 7 \cdot 2$

252.

$5 \cdot 7 - 8 \cdot 2 - 4 \cdot 9$

253.

$5^{2} - 6^{2}$

254.

$6^{2} - 7^{2}$

Stærðfræði daglegs lífs

255.

Hæð yfir sjávarmáli Hæsti staður Bandaríkjanna er McKinley-fjall í Alaska, 20,320 fet yfir sjávarmáli. Lægsti staðurinn er Dauðadalur í Kaliforníu, 282 fet undir sjávarmáli.

Notið heiltölur til að skrá hæð eftirfarandi staða:

ⓐ McKinley-fjall. ⓑ Dauðadalur.

256.

Öfgahitastig Hæsti hiti sem mælst hefur á jörðinni var $57 °$ Celsíusgráður. Lægsti mældi hitinn var $90 ° undir 0 °$ Celsíusgráður.

Notið heiltölur til að skrá:

ⓐ hæsta mælda hitann.
ⓑ lægsta mælda hitann.

257.

Fjárlög fylkja Í júní 2011 áætlaði Pennsylvanía-fylki að afgangur fjárlaga yrði $540 milljónir. Í sama mánuði áætlaði Texas-fylki að fjárlagahallinn yrði $27 milljarðar.

Notið heiltölur til að skrá fjárlagastöðu:

ⓐ Pennsylvaníu. ⓑ Texas.

258.

Innritun í háskóla Í Bandaríkjunum fjölgaði nemendum í tveggja ára háskólum um 1,400,000 frá hausti 2007 til hausts 2010. Í Kaliforníu fækkaði nemendum í slíkum skólum um 110,171 frá hausti 2009 til hausts 2010.

Notið heiltölur til að skrá breytingu á nemendafjölda:

ⓐ í Bandaríkjunum frá hausti 2007 til hausts 2010.
ⓑ í Kaliforníu frá hausti 2009 til hausts 2010.

259.

Hlutabréfamarkaður Vikan sem hófst 15. september 2008 var ein sveiflukenndasta vika í sögu bandaríska hlutabréfamarkaðarins. Lokagildi Dow Jones-vísitölunnar voru eftirfarandi hvern dag:

Mánudagur	−504
Þriðjudagur	+ 142
Miðvikudagur	−449
Fimmtudagur	+ 410
Föstudagur	+ 369

Hver var heildarbreyting vikunnar? Var hún jákvæð eða neikvæð?

260.

Hlutabréfamarkaður Vikuna sem hófst 22. júní 2009 voru lokagildi Dow Jones-vísitölunnar eftirfarandi hvern dag:

Mánudagur	−201
Þriðjudagur	−16
Miðvikudagur	−23
Fimmtudagur	+ 172
Föstudagur	−34

Hver var heildarbreyting vikunnar? Var hún jákvæð eða neikvæð?

Ritunarverkefni

261.

Nefnið dæmi um neikvæða tölu úr eigin reynslu.

262.

Á hvaða þrjá vegu er táknið $“ - ”$ notað í algebru? Útskýrið muninn.

263.

Útskýrið hvers vegna summa $−8$ og 2 er neikvæð en summa 8 og $−2$ jákvæð.

264.

Nefnið dæmi úr eigin reynslu þar sem tvær neikvæðar tölur eru lagðar saman.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar verkefnunum er lokið skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Tafla með fjórum dálkum og fimm röðum er sýnd. Dálkafyrirsagnirnar frá vinstri til hægri eru „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálki stendur „notað neikvæðar tölur og samlagningarandhverfur heiltalna“, „einfaldað stæður með tölugildi“, „lagt saman heiltölur“ og „dregið frá heiltölur“.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um það hve vel þið hafið náð tökum á efni hlutans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?