99 Rætur og rótarstæður

9.2 Einfaldið ferningsrætur

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Notað margfeldisreglu fyrir ferningsrætur til að einfalda ferningsrætur
Notað kvótareglu fyrir ferningsrætur til að einfalda ferningsrætur

Í síðasta hluta áætluðum við ferningsrót tölu milli tveggja samliggjandi talna sem eru núll eða jákvæðar heiltölur. Við getum sagt að $\sqrt{50}$ liggi milli 7 og 8. Þetta er fremur auðvelt þegar tölurnar eru nógu litlar til að við getum notað mynd 9.2.

En hvað ef við viljum áætla $\sqrt{500}$ ? Ef við einföldum ferningsrótina fyrst verður auðvelt að áætla hana. Síðar í hlutanum sjáið þið einnig aðrar ástæður fyrir því að einfalda ferningsrætur.

Ferningsrót telst einfölduð ef rótarstofn hennar hefur enga ferningstölu aðra en 1 sem þátt.

Því er $\sqrt{31}$ einfölduð. Hins vegar er $\sqrt{32}$ ekki einfölduð þar sem 16 er ferningstala sem er þáttur í 32.

Notið margfeldisreglu til að einfalda ferningsrætur

Reglurnar sem við notum til að einfalda stæður með ferningsrótum líkjast veldareglunum. Við vitum að ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$ . Samsvarandi regla fyrir ferningsrætur segir að $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ .

Við notum margfeldisreglu fyrir ferningsrætur til að fjarlægja alla þætti rótarstofnsins sem eru ferningstölur. Í dæmi 9.12 sýnum við hvernig það er gert.

Dæmi 9.12

Svona er margfeldisreglan notuð til að einfalda ferningsrót

Einfaldið: $\sqrt{50}$ .

Lausn

Myndin hefur þrjá dálka og þrjár raðir. Í fyrstu röð stendur: „Skref 1. Finnið stærstu ferningstöluna sem er þáttur rótarstofnsins. Endurritið rótarstofninn sem margfeldi með ferningstölunni.“ Síðan stendur: „25 er stærsta ferningstalan sem er þáttur í 50. 50 er jafnt 25 sinnum 2. Ritið ferningstöluna alltaf fyrst.“ Að lokum eru sýndar ferningsrótin af 50 og ferningsrótin af 25 sinnum 2.

Í annarri röð stendur: „Skref 2. Notið margfeldisregluna til að endurrita rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.“ Annar dálkurinn er auður en í þeim þriðja er ferningsrótin af 25 sinnum ferningsrótin af 2.

Takið eftir að í síðasta verkefni er einfaldað form $\sqrt{50}$ jafnt $5 \sqrt{2}$ , sem er margfeldi heiltölu og ferningsrótar. Við ritum heiltöluna alltaf á undan ferningsrótinni.

Dæmi 9.13

Einfaldið: $\sqrt{500}$ .

Lausn

	500
Endurritið rótarstofninn sem margfeldi með stærstu ferningstölunni sem er þáttur hans.	100 · 5
Endurritið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	100 · 5
Einfaldið.	10 5

Við getum notað einfaldaða formið $10 \sqrt{5}$ til að áætla $\sqrt{500}$ . Við vitum að 5 liggur milli 2 og 3 og að $\sqrt{500}$ er $10 \sqrt{5}$ . Því liggur $\sqrt{500}$ milli 20 og 30.

Næsta dæmi er mjög svipað þeim fyrri en inniheldur breytur.

Dæmi 9.14

Einfaldið: $\sqrt{x^{3}}$ .

Lausn

	x 3
Endurritið rótarstofninn sem margfeldi með stærstu ferningstölunni sem er þáttur hans.	x² · x
Endurritið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	x² · x
Einfaldið.	x x

Við fylgjum sömu aðferð þegar stuðull er einnig í rótarstofninum.

Dæmi 9.15

Einfaldið: $\sqrt{25 y^{5} .}$

Lausn

	25 y 5
Endurritið rótarstofninn sem margfeldi með stærstu ferningstölunni sem er þáttur hans.	25 y⁴ · y
Endurritið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	25 y⁴ · y
Einfaldið.	5 y 2 y

Í næsta dæmi hafa bæði fastatalan og breytan þætti sem eru ferningstölur.

Dæmi 9.16

Einfaldið: $\sqrt{72 n^{7}}$ .

Lausn

	72 n 7
Endurritið rótarstofninn sem margfeldi með stærstu ferningstölunni sem er þáttur hans.	36 n⁶ · 2 n
Endurritið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	36 n⁶ · 2 n
Einfaldið.	6 n 3 2 n

Dæmi 9.17

Einfaldið: $\sqrt{63 u^{3} v^{5}}$ .

Lausn

	63 u 3 v 5
Endurritið rótarstofninn sem margfeldi með stærstu ferningstölunni sem er þáttur hans.	9 u² v⁴ · 7 u v
Endurritið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	9 u² v⁴ · 7 u v
Einfaldið.	3 u v 2 7 u v

Við höfum séð hvernig nota má forgangsröð reikniaðgerða til að einfalda sumar stæður með rótarmerkjum. Til að einfalda $\sqrt{25} + \sqrt{144}$ verðum við fyrst að einfalda hvora ferningsrót fyrir sig og leggja síðan saman til að fá summuna 17.

Ekki er hægt að einfalda stæðuna $\sqrt{17} + \sqrt{7}$ . Fyrst þyrftum við að einfalda hvora ferningsrót en hvorki 17 né 7 hefur ferningstölu aðra en 1 sem þátt.

Í næsta dæmi er summa heiltölu og ferningsrótar. Við einföldum ferningsrótina en getum ekki lagt stæðuna sem fæst saman við heiltöluna.

Dæmi 9.18

Einfaldið: $3 + \sqrt{32}$ .

Lausn

	3 + 32
Endurritið rótarstofninn sem margfeldi með stærstu ferningstölunni sem er þáttur hans.	3 + 16 · 2
Endurritið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	3 + 16 · 2
Einfaldið.	3 + 4 2

Liðirnir eru ekki líkir og því getum við ekki lagt þá saman. Að leggja saman heiltölu og rótarstæðu er eins og að leggja saman heiltölu og breytu—þetta eru ekki líkir liðir!

Næsta dæmi inniheldur brot með rótarstæðu í teljaranum. Munið að til að einfalda brot þarf teljari og nefnari að eiga sameiginlegan þátt.

Dæmi 9.19

Einfaldið: $\frac{4 - \sqrt{48}}{2}$ .

Lausn

	4 − $\frac{48}{2}$
Endurritið rótarstofninn sem margfeldi með stærstu ferningstölunni sem er þáttur hans.	4 − 16 · $\frac{3}{2}$
Endurritið rótarstæðuna sem margfeldi tveggja rótarstæðna.	4 − 16 · $\frac{3}{2}$
Einfaldið.	4 − 4 $\frac{3}{2}$
Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í teljaranum.	4 ( 1 − 3 )/2
Fellið sameiginlega þáttinn 2 út úr teljara og nefnara.	2 · 2 ( 1 − 3 )/2
Einfaldið.	2 ( 1 − 3 )

Notið kvótareglu til að einfalda ferningsrætur

Þegar einfalda á ferningsrót er fyrsta skrefið alltaf að ákvarða hvort rótarstofninn sé ferningstala. Fullkomið ferningsbrot er brot þar sem bæði teljarinn og nefnarinn eru ferningstölur.

Dæmi 9.20

Einfaldið: $\sqrt{\frac{9}{64}}$ .

Lausn

$\begin{matrix} \sqrt{\frac{9}{64}} \\ Þar sem {(\frac{3}{8})}^{2} = \frac{9}{64} & \frac{3}{8} \end{matrix}$

Ef teljari og nefnari eiga sameiginlega þætti skuluð þið fella þá út. Þá gæti komið í ljós fullkomið ferningsbrot!

Dæmi 9.21

Einfaldið: $\sqrt{\frac{45}{80}}$ .

Lausn

	$\frac{45}{80}$
Einfaldið fyrst innan rótarmerkisins. Endurritið þannig að sameiginlegir þættir teljara og nefnara sjáist.	5 · $\frac{9}{5}$ · 16
Einfaldið brotið með því að fella út sameiginlega þætti.	$\frac{9}{16}$
Einfaldið. ( $\frac{3}{4}$ ) 2 = $\frac{9}{16}$	$\frac{3}{4}$

Í síðasta dæmi einfölduðum við fyrst brotið undir rótarmerkinu með því að fella út sameiginlega þætti. Í næsta dæmi notum við kvótaregluna til að einfalda undir rótarmerkinu. Við deilum veldum með sama stofn með því að draga veldisvísana frá hvor öðrum, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \neq 0$ .

Dæmi 9.22

Einfaldið: $\sqrt{\frac{m^{6}}{m^{4}}}$ .

Lausn

	m 6/m⁴
Einfaldið fyrst brotið innan rótarmerkisins.
Deilið veldum með sama stofn með því að draga veldisvísana frá hvor öðrum.	m 2
Einfaldið.	m

Dæmi 9.23

Einfaldið: $\sqrt{\frac{48 p^{7}}{3 p^{3}}}$ .

Lausn

	48 p 7/3 p³
Einfaldið fyrst brotið innan rótarmerkisins.	16 p 4
Einfaldið.	4 p 2

Munið þið eftir reglunni um kvóta í veldi? Hún segir að setja megi brot í veldi með því að setja teljarann og nefnarann hvorn fyrir sig í veldið.

{(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0

Við getum notað svipaða reglu til að einfalda ferningsrót brots. Þegar allir sameiginlegir þættir teljara og nefnara hafa verið styttir út og brotið er ekki fullkomið ferningsbrot einföldum við teljarann og nefnarann hvorn fyrir sig.

Dæmi 9.24

Einfaldið: $\sqrt{\frac{21}{64}}$ .

Lausn

	$\frac{21}{64}$
Ekki er hægt að einfalda brotið innan rótarmerkisins. Endurritið með kvótareglunni.	$\frac{21}{64}$
Einfaldið ferningsrótina af 64. Ekki er hægt að einfalda teljarann.	$\frac{21}{8}$

Dæmi 9.25

Svona er kvótareglan notuð til að einfalda ferningsrót

Einfaldið: $\sqrt{\frac{27 m^{3}}{196}}$ .

Lausn

Taflan hefur þrjá dálka og þrjár raðir. Í fyrstu röð stendur: „Skref 1. Einfaldið brotið í rótarstofninum ef hægt er.“ Síðan er sýnt að ekki er hægt að einfalda 27 m í þriðja veldi deilt með 196. Að lokum er sýnd ferningsrótin af 27 m í þriðja veldi deilt með 196.

Í annarri röð stendur: „Skref 2. Notið kvótaregluna til að endurrita rótarstæðuna sem kvóta tveggja rótarstæðna.“ Síðan stendur: „Við endurritum ferningsrótina af 27 m í þriðja veldi deilt með 196 sem kvóta ferningsrótarinnar af 27 m í þriðja veldi og ferningsrótarinnar af 196.“ Að lokum er sýnd ferningsrótin af 27 m í þriðja veldi yfir ferningsrótinni af 196.

Í þriðju röð stendur: „Skref 3. Einfaldið rótarstæðurnar í teljara og nefnara.“ Síðan stendur: „9 m í öðru veldi og 196 eru ferningstölur.“ Þá er sýnd ferningsrótin af 9 m í öðru veldi sinnum ferningsrótin af 3 m yfir ferningsrótinni af 196. Að lokum er sýnt 3 m sinnum ferningsrótin af 3 m yfir 14.

Dæmi 9.26

Einfaldið: $\sqrt{\frac{45 x^{5}}{y^{4}}}$ .

Lausn

	45 x 5/y⁴
Ekki er hægt að einfalda brotið í rótarstofninum. Endurritið með kvótareglunni.	45 x 5/y⁴
Einfaldið rótarstæðurnar í teljara og nefnara.	9 x⁴ · 5 x/y 2
Einfaldið.	3 x 2 5 x/y 2

Gætið þess að einfalda fyrst brotið í rótarstofninum ef hægt er.

Dæmi 9.27

Einfaldið: $\sqrt{\frac{81 d^{9}}{25 d^{4}}}$ .

Lausn

	81 d 9/25 d⁴
Einfaldið brotið í rótarstofninum.	81 d $\frac{5}{25}$
Endurritið með kvótareglunni.	81 d $\frac{5}{25}$
Einfaldið rótarstæðurnar í teljara og nefnara.	81 d⁴ · d/5
Einfaldið.	9 d² d/5

Dæmi 9.28

Einfaldið: $\sqrt{\frac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}$ .

Lausn

	18 p⁵ q 7/32 p q²
Einfaldið brotið í rótarstofninum ef hægt er.	9 p⁴ q 5/16
Endurritið með kvótareglunni.	9 p⁴ q 5/16
Einfaldið rótarstæðurnar í teljara og nefnara.	9 p⁴ q⁴ · q/4
Einfaldið.	3 p² q² q/4

Verkefni úr hluta 9.2

Æfingin skapar meistarann

Notið margfeldisreglu til að einfalda ferningsrætur

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

53.

$\sqrt{27}$

54.

$\sqrt{80}$

55.

$\sqrt{125}$

56.

$\sqrt{96}$

57.

$\sqrt{200}$

58.

$\sqrt{147}$

59.

$\sqrt{450}$

60.

$\sqrt{252}$

61.

$\sqrt{800}$

62.

$\sqrt{288}$

63.

$\sqrt{675}$

64.

$\sqrt{1250}$

65.

$\sqrt{x^{7}}$

66.

$\sqrt{y^{11}}$

67.

$\sqrt{p^{3}}$

68.

$\sqrt{q^{5}}$

69.

$\sqrt{m^{13}}$

70.

$\sqrt{n^{21}}$

71.

$\sqrt{r^{25}}$

72.

$\sqrt{s^{33}}$

73.

$\sqrt{49 n^{17}}$

74.

$\sqrt{25 m^{9}}$

75.

$\sqrt{81 r^{15}}$

76.

$\sqrt{100 s^{19}}$

77.

$\sqrt{98 m^{5}}$

78.

$\sqrt{32 n^{11}}$

79.

$\sqrt{125 r^{13}}$

80.

$\sqrt{80 s^{15}}$

81.

$\sqrt{200 p^{13}}$

82.

$\sqrt{128 q^{3}}$

83.

$\sqrt{242 m^{23}}$

84.

$\sqrt{175 n^{13}}$

85.

$\sqrt{147 m^{7} n^{11}}$

86.

$\sqrt{48 m^{7} n^{5}}$

87.

$\sqrt{75 r^{13} s^{9}}$

88.

$\sqrt{96 r^{3} s^{3}}$

89.

$\sqrt{300 p^{9} q^{11}}$

90.

$\sqrt{192 q^{3} r^{7}}$

91.

$\sqrt{242 m^{13} n^{21}}$

92.

$\sqrt{150 m^{9} n^{3}}$

93.

$5 + \sqrt{12}$

94.

$8 + \sqrt{96}$

95.

$1 + \sqrt{45}$

96.

$3 + \sqrt{125}$

97.

$\frac{10 - \sqrt{24}}{2}$

98.

$\frac{8 - \sqrt{80}}{4}$

99.

$\frac{3 + \sqrt{90}}{3}$

100.

$\frac{15 + \sqrt{75}}{5}$

Notið kvótareglu til að einfalda ferningsrætur

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

101.

$\sqrt{\frac{49}{64}}$

102.

$\sqrt{\frac{100}{36}}$

103.

$\sqrt{\frac{121}{16}}$

104.

$\sqrt{\frac{144}{169}}$

105.

$\sqrt{\frac{72}{98}}$

106.

$\sqrt{\frac{75}{12}}$

107.

$\sqrt{\frac{45}{125}}$

108.

$\sqrt{\frac{300}{243}}$

109.

$\sqrt{\frac{x^{10}}{x^{6}}}$

110.

$\sqrt{\frac{p^{20}}{p^{10}}}$

111.

$\sqrt{\frac{y^{4}}{y^{8}}}$

112.

$\sqrt{\frac{q^{8}}{q^{14}}}$

113.

$\sqrt{\frac{200 x^{7}}{2 x^{3}}}$

114.

$\sqrt{\frac{98 y^{11}}{2 y^{5}}}$

115.

$\sqrt{\frac{96 p^{9}}{6 p}}$

116.

$\sqrt{\frac{108 q^{10}}{3 q^{2}}}$

117.

$\sqrt{\frac{36}{35}}$

118.

$\sqrt{\frac{144}{65}}$

119.

$\sqrt{\frac{20}{81}}$

120.

$\sqrt{\frac{21}{196}}$

121.

$\sqrt{\frac{96 x^{7}}{121}}$

122.

$\sqrt{\frac{108 y^{4}}{49}}$

123.

$\sqrt{\frac{300 m^{5}}{64}}$

124.

$\sqrt{\frac{125 n^{7}}{169}}$

125.

$\sqrt{\frac{98 r^{5}}{100}}$

126.

$\sqrt{\frac{180 s^{10}}{144}}$

127.

$\sqrt{\frac{28 q^{6}}{225}}$

128.

$\sqrt{\frac{150 r^{3}}{256}}$

129.

$\sqrt{\frac{75 r^{9}}{s^{8}}}$

130.

$\sqrt{\frac{72 x^{5}}{y^{6}}}$

131.

$\sqrt{\frac{28 p^{7}}{q^{2}}}$

132.

$\sqrt{\frac{45 r^{3}}{s^{10}}}$

133.

$\sqrt{\frac{100 x^{5}}{36 x^{3}}}$

134.

$\sqrt{\frac{49 r^{12}}{16 r^{6}}}$

135.

$\sqrt{\frac{121 p^{5}}{81 p^{2}}}$

136.

$\sqrt{\frac{25 r^{8}}{64 r}}$

137.

$\sqrt{\frac{32 x^{5} y^{3}}{18 x^{3} y}}$

138.

$\sqrt{\frac{75 r^{6} s^{8}}{48 r s^{4}}}$

139.

$\sqrt{\frac{27 p^{2} q}{108 p^{5} q^{3}}}$

140.

$\sqrt{\frac{50 r^{5} s^{2}}{128 r^{2} s^{5}}}$

Stærðfræði í daglegu lífi

141.

ⓐ Elliott ákveður að útbúa ferningslaga garð sem tekur $\sqrt{288}$ ferfet af lóðinni. Einfaldið 288 til að ákvarða lengd og breidd garðsins. Námundið að næsta tíunda hluta úr feti.
ⓑ Gerum ráð fyrir að Elliott ákveði að minnka ferningslaga garðinn svo hann geti útbúið 5 feta breiðan göngustíg meðfram norður- og austurhliðum garðsins. Einfaldið $\sqrt{288} - 5$ til að ákvarða lengd og breidd nýja garðsins. Námundið að næsta tíunda hluta úr feti.

142.

ⓐ Melissa missir óvart sólgleraugu úr rússíbana, 64 fetum yfir jörðu. Einfaldið $\sqrt{\frac{64}{16}}$ til að ákvarða hve margar sekúndur líða þar til sólgleraugun lenda á jörðinni.
ⓑ Gerum ráð fyrir að sólgleraugunum í síðasta verkefni hafi verið sleppt úr 144 feta hæð. Einfaldið $\sqrt{\frac{144}{16}}$ til að ákvarða hve margar sekúndur líða þar til sólgleraugun lenda á jörðinni.

Ritunarverkefni

143.

Útskýrið hvers vegna $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ . Útskýrið síðan hvers vegna $\sqrt{x^{16}} = x^{8}$ .

144.

Útskýrið hvers vegna $7 + \sqrt{9}$ er ekki jafnt $\sqrt{7 + 9}$ .

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Taflan hefur fjóra dálka og þrjár raðir. Dálkarnir heita „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“ Undir „Ég get …“ stendur „notað margfeldisreglu til að einfalda ferningsrætur“ og „notað kvótareglu til að einfalda ferningsrætur“. Aðrir reitir töflunnar eru auðir.

ⓑ Þegar þið hafið farið yfir gátlistann skuluð þið ákveða hvað þið gerið til að öðlast öryggi í öllum markmiðum.