99 Rætur og rótarstæður

9.5 Deilið ferningsrótum

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Deilt ferningsrótum
Eytt ferningsrót úr nefnara með einum lið
Eytt ferningsrót úr nefnara með tveimur liðum

Deilið ferningsrótum

Við vitum að brot eru einfölduð með því að fella út sameiginlega þætti teljara og nefnara. Þegar brot hefur ferningsrót í teljaranum einföldum við ferningsrótina fyrst. Síðan getum við leitað að sameiginlegum þáttum.

Myndin sýnir tvo dálka. Fyrri dálkurinn heitir „Sameiginlegir þættir“ og undir honum stendur 3 sinnum ferningsrótin af 2 deilt með 3 sinnum 5. Báðar tölurnar 3 eru rauðar. Seinni dálkurinn heitir „Engir sameiginlegir þættir“ og undir honum stendur 2 sinnum ferningsrótin af 3 deilt með 3 sinnum 5.

Dæmi 9.60

Einfaldið: $\frac{\sqrt{54}}{6}$ .

Lausn

	$\frac{54}{6}$
Einfaldið rótarstæðuna.	9 · $\frac{6}{6}$
Einfaldið.	3 $\frac{6}{6}$
Fellið út sameiginlegu þættina.	3 $\frac{6}{3}$ · 2
Einfaldið.	$\frac{6}{2}$

Dæmi 9.61

Einfaldið: $\frac{6 - \sqrt{24}}{12}$ .

Lausn

	6 − $\frac{24}{12}$
Einfaldið rótarstæðuna.	6 − 4 · $\frac{6}{12}$
Einfaldið.	6 − 2 $\frac{6}{12}$
Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í teljaranum.	2 ( 3 − 6 )/2 · 6
Fellið út sameiginlegu þættina.	2 ( 3 − 6 )/2 · 6
Einfaldið.	3 − $\frac{6}{6}$

Við höfum notað kvótareglu fyrir ferningsrætur til að einfalda ferningsrætur af brotum. Kvótareglan fyrir ferningsrætur segir að

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, b \neq 0

Stundum þurfum við að nota kvótareglu fyrir ferningsrætur „aftur á bak“ til að einfalda brot með ferningsrótum.

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}, b \neq 0

Við skrifum kvótaregluna fyrir ferningsrætur upp á nýtt þannig að báðar áttirnar sjáist saman. Munið að við gerum ráð fyrir að allar breytur séu stærri en eða jafnar núlli svo ferningsrætur þeirra séu rauntölur.

Við notum kvótareglu fyrir ferningsrætur „aftur á bak“ þegar upphaflega brotið er kvóti tveggja ferningsróta og hvorugur rótarstofninn er ferningstala. Þegar við skrifum brotið undir einu rótarmerki gætum við fundið sameiginlega þætti í teljara og nefnara.

Dæmi 9.62

Einfaldið: $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}$ .

Lausn

	$\frac{27}{75}$
Hvorugur rótarstofninn er ferningstala og því endurskrifum við með kvótareglu fyrir ferningsrætur.	$\frac{27}{75}$
Fellið út sameiginlega þætti teljara og nefnara.	3 · $\frac{9}{3}$ · 25
Einfaldið.	$\frac{9}{25}$
	$\frac{3}{5}$

Við notum kvótareglu fyrir veldi, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ , þegar breytur með veldisvísa eru í rótarstofnunum.

Dæmi 9.63

Einfaldið: $\frac{\sqrt{6 y^{5}}}{\sqrt{2 y}}$ .

Lausn

	6 y $\frac{5}{2}$ y
Hvorugur rótarstofninn er ferningstala og því endurskrifum við með kvótareglu fyrir ferningsrætur.	6 y $\frac{5}{2}$ y
Fellið út sameiginlega þætti teljara og nefnara.	2 · 3 · y⁴ · y/2 · y
Einfaldið.	3 y 4
Einfaldið rótarstæðuna.	y 2 3

Dæmi 9.64

Einfaldið: $\frac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}$ .

Lausn

	72 x $\frac{3}{162}$ x
Endurskrifið með kvótareglu fyrir ferningsrætur.	72 x $\frac{3}{162}$ x
Fellið sameiginlega þætti burt.	18 · 4 · x² · x/18 · 9 · x
Einfaldið.	4 x $\frac{2}{9}$
Einfaldið rótarstæðuna.	2 x/3

Dæmi 9.65

Einfaldið: $\frac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}$ .

Lausn

	147 a b 8/3 a³ b⁴
Endurskrifið með kvótareglu fyrir ferningsrætur.	147 a b 8/3 a³ b⁴
Fellið sameiginlega þætti burt.	49 b 4/a²
Einfaldið rótarstæðuna.	7 b 2/a

Eyðið ferningsrót úr nefnara með einum lið

Áður en reiknivélar urðu hversdagslegt hjálpartæki voru ferningsrótatöflur notaðar til að finna nálgunargildi ferningsróta. Mynd 9.3 sýnir hluta úr töflu yfir ferninga og ferningsrætur. Ferningsræturnar í töflunni eru nálgaðar með fimm aukastöfum.

Taflan hefur þrjá dálka og ellefu raðir. Dálkarnir heita „n“, „n í öðru veldi“ og „ferningsrótin af n“. Í dálkinum „n“ eru tölurnar 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209 og 210. Í dálkinum „n í öðru veldi“ eru tölurnar 40,000, 40,401, 40,804, 41,209, 41,616, 42,025, 42,436, 42,849, 43,264, 43,681 og 44,100. Í dálkinum „ferningsrótin af n“ eru tölurnar 14.14214, 14.17745, 14.21267, 14.24781, 14.28286, 14.31782, 14.35270, 14.38749, 14.42221, 14.45683 og 14.49138. — **Mynd 9.3.** Áður en reiknivélar komu til sögunnar voru ferningsrótatöflur notaðar til að finna nálgunargildi ferningsróta.

Ef nálga þurfti gildi brots með ferningsrót í nefnara varð að framkvæma langa deilingu með deili sem hafði fimm aukastafi. Það var mjög þunglamalegt ferli.

Þess vegna var þróuð aðferð sem kallast að eyða ferningsrót úr nefnara. Broti með rótarstæðu í nefnara er breytt í jafngilt brot þar sem nefnarinn er heiltala. Aðferðin er enn notuð og nýtist einnig á öðrum sviðum stærðfræðinnar.

Ferningsrætur talna sem eru ekki ferningstölur eru óræðar tölur. Þegar við eyðum ferningsrót úr nefnara skrifum við jafngilt brot með ræðri tölu í nefnara.

Skoðum töludæmi.

$\begin{matrix} Gerum ráð fyrir að við þurfum nálgunargildi brotsins. & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ Nálgun með fimm aukastöfum á \sqrt{2} er 1.41421 . & \frac{1}{1.41421} \\ Mynduð þið vilja framkvæma þessa deilingu án reiknivélar? & 1.41421 1.0 \end{matrix}$

Við getum fundið brot sem er jafngilt $\frac{1}{\sqrt{2}}$ með því að margfalda teljara og nefnara með $\sqrt{2}$ .

Myndin sýnir þrjú brot. Fyrsta brotið er 1 deilt með ferningsrótinni af 2. Annað er 1 sinnum ferningsrótin af 2 deilt með ferningsrótinni af 2 sinnum ferningsrótin af 2. Þriðja brotið er ferningsrótin af 2 deilt með 2.

Ef við þurfum nú nálgunargildi deilum við $2 1.41421$ . Það er mun auðveldara.

Þótt reiknivélar séu nú aðgengilegar nánast alls staðar þarf samt að eyða rótarstæðu úr nefnara brots. Brotið telst ekki að fullu einfaldað ef ferningsrót er í nefnaranum.

Á sama hátt telst ferningsrót ekki að fullu einfölduð ef brot er í rótarstofninum.

Til að eyða ferningsrót úr nefnara notum við regluna ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ . Þegar óræð ferningsrót er hafin í annað veldi fæst ræð tala.

Við notum þessa reglu til að eyða ferningsrót úr nefnara í næsta dæmi.

Dæmi 9.66

Einfaldið: $\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Lausn

Til að eyða ferningsrót úr nefnara getum við margfaldað ferningsrót með sjálfri sér. Til að brotið haldist jafngilt margföldum við bæði teljara og nefnara með sama þætti.

	$\frac{4}{3}$
Margfaldið bæði teljara og nefnara með 3 .. 3 .	4 · $\frac{3}{3}$ · 3
Einfaldið.	4 $\frac{3}{3}$

Dæmi 9.67

Einfaldið: $- \frac{8}{3 \sqrt{6}}$ .

Lausn

Til að fjarlægja ferningsrótina úr nefnaranum margföldum við hana með sjálfri sér. Til að brotin haldist jafngild margföldum við bæði teljara og nefnara með $\sqrt{6}$ .


Margfaldið bæði teljara og nefnara með 6.
Einfaldið.
Fellið sameiginlega þætti burt.
Einfaldið.

Einfaldið alltaf rótarstæðuna í nefnaranum áður en ferningsrótinni er eytt úr honum. Þá haldast tölurnar minni og auðveldara er að vinna með þær.

Dæmi 9.68

Einfaldið: $\sqrt{\frac{5}{12}}$ .

Lausn


Brotið er ekki fullkomið ferningsbrot og því endurskrifum við með kvótareglunni.
Einfaldið nefnarann.
Eyðið ferningsrót úr nefnaranum.
Einfaldið.
Einfaldið.

Dæmi 9.69

Einfaldið: $\sqrt{\frac{11}{28}}$ .

Lausn


Endurritið með kvótareglunni.
Einfaldið nefnarann.
Eyðið ferningsrót úr nefnaranum.
Einfaldið.
Einfaldið.

Eyðið ferningsrót úr nefnara með tveimur liðum

Þegar nefnari brots er summa eða mismunur með ferningsrótum notum við regluna um margfeldi samoka til að eyða ferningsrótum úr nefnaranum.

\begin{matrix} (a - b) (a + b) & (2 - \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}) \\ a^{2} - b^{2} & 2^{2} - {(\sqrt{5})}^{2} \\ 4 - 5 \\ −1 \end{matrix}

Þegar við margföldum tvílið með ferningsrót með samoka hans inniheldur margfeldið engar ferningsrætur.

Dæmi 9.70

Einfaldið: $\frac{4}{4 + \sqrt{2}}$ .

Lausn


Margfaldið teljara og nefnara með samoka nefnarans.
Margfaldið samokana í nefnaranum.
Einfaldið nefnarann.
Einfaldið nefnarann.
Fellið út sameiginlega þætti teljara og nefnara.
Við látum teljarann standa á þáttaformi svo auðveldara sé að leita að sameiginlegum þáttum eftir að nefnarinn hefur verið einfaldaður.

Dæmi 9.71

Einfaldið: $\frac{5}{2 - \sqrt{3}}$ .

Lausn


Margfaldið teljara og nefnara með samoka nefnarans.
Margfaldið samokana í nefnaranum.
Einfaldið nefnarann.
Einfaldið nefnarann.
Einfaldið.

Dæmi 9.72

Einfaldið: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{u} - \sqrt{6}}$ .

Lausn


Margfaldið teljara og nefnara með samoka nefnarans.
Margfaldið samokana í nefnaranum.
Einfaldið nefnarann.

Dæmi 9.73

Einfaldið: $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{7}}{\sqrt{x} - \sqrt{7}}$ .

Lausn


Margfaldið teljara og nefnara með samoka nefnarans.
Margfaldið samokana í nefnaranum.
Einfaldið nefnarann.
Við hefjum teljarann ekki í annað veldi. Á þáttaformi sjáum við að engir sameiginlegir þættir teljara og nefnara falla út.

Verkefni úr hluta 9.5

Æfingin skapar meistarann

Deilið ferningsrótum

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

317.

$\frac{\sqrt{27}}{6}$

318.

$\frac{\sqrt{50}}{10}$

319.

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

320.

$\frac{\sqrt{243}}{6}$

321.

$\frac{2 - \sqrt{32}}{8}$

322.

$\frac{3 + \sqrt{27}}{9}$

323.

$\frac{6 + \sqrt{45}}{6}$

324.

$\frac{10 - \sqrt{200}}{20}$

325.

$\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{125}}$

326.

$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{200}}$

327.

$\frac{\sqrt{128}}{\sqrt{72}}$

328.

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{75}}$

329.

ⓐ $\frac{\sqrt{8 x^{6}}}{\sqrt{2 x^{2}}}$ ⓑ $\frac{\sqrt{200 m^{5}}}{\sqrt{98 m}}$

330.

ⓐ $\frac{\sqrt{10 y^{3}}}{\sqrt{5 y}}$ ⓑ $\frac{\sqrt{108 n^{7}}}{\sqrt{243 n^{3}}}$

331.

$\frac{\sqrt{75 r^{3}}}{\sqrt{108 r}}$

332.

$\frac{\sqrt{196 q^{5}}}{\sqrt{484 q}}$

333.

$\frac{\sqrt{108 p^{5} q^{2}}}{\sqrt{3 p^{3} q^{6}}}$

334.

$\frac{\sqrt{98 r s^{10}}}{\sqrt{2 r^{3} s^{4}}}$

335.

$\frac{\sqrt{320 m n^{5}}}{\sqrt{45 m^{7} n^{3}}}$

336.

$\frac{\sqrt{810 c^{3} d^{7}}}{\sqrt{1000 c^{5} d}}$

337.

$\frac{\sqrt{98}}{14}$

338.

$\frac{\sqrt{72}}{18}$

339.

$\frac{5 + \sqrt{125}}{15}$

340.

$\frac{6 - \sqrt{45}}{12}$

341.

$\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{150}}$

342.

$\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{63}}$

343.

$\frac{\sqrt{26 y^{7}}}{\sqrt{2 y}}$

344.

$\frac{\sqrt{15 x^{3}}}{\sqrt{3 x}}$

Eyðið ferningsrót úr nefnara með einum lið

Einfaldið og eyðið ferningsrót úr nefnaranum í eftirfarandi verkefnum.

345.

$\frac{10}{\sqrt{6}}$

346.

$\frac{8}{\sqrt{3}}$

347.

$\frac{6}{\sqrt{7}}$

348.

$\frac{4}{\sqrt{5}}$

349.

$\frac{3}{\sqrt{13}}$

350.

$\frac{10}{\sqrt{11}}$

351.

$\frac{10}{3 \sqrt{10}}$

352.

$\frac{2}{5 \sqrt{2}}$

353.

$\frac{4}{9 \sqrt{5}}$

354.

$\frac{9}{2 \sqrt{7}}$

355.

$- \frac{9}{2 \sqrt{3}}$

356.

$- \frac{8}{3 \sqrt{6}}$

357.

$\sqrt{\frac{3}{20}}$

358.

$\sqrt{\frac{4}{27}}$

359.

$\sqrt{\frac{7}{40}}$

360.

$\sqrt{\frac{8}{45}}$

361.

$\sqrt{\frac{19}{175}}$

362.

$\sqrt{\frac{17}{192}}$

Eyðið ferningsrót úr nefnara með tveimur liðum

Einfaldið með því að eyða ferningsrótum úr nefnaranum í eftirfarandi verkefnum.

363.

ⓐ $\frac{3}{3 + \sqrt{11}}$ ⓑ $\frac{8}{1 - \sqrt{5}}$

364.

ⓐ $\frac{4}{4 + \sqrt{7}}$ ⓑ $\frac{7}{2 - \sqrt{6}}$

365.

ⓐ $\frac{5}{5 + \sqrt{6}}$ ⓑ $\frac{6}{3 - \sqrt{7}}$

366.

ⓐ $\frac{6}{6 + \sqrt{5}}$ ⓑ $\frac{5}{4 - \sqrt{11}}$

367.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{m} - \sqrt{5}}$

368.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{n} - \sqrt{7}}$

369.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{6}}$

370.

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{y} + \sqrt{3}}$

371.

$\frac{\sqrt{r} + \sqrt{5}}{\sqrt{r} - \sqrt{5}}$

372.

$\frac{\sqrt{s} - \sqrt{6}}{\sqrt{s} + \sqrt{6}}$

373.

$\frac{\sqrt{150 x^{2} y^{6}}}{\sqrt{6 x^{4} y^{2}}}$

374.

$\frac{\sqrt{80 p^{3} q}}{\sqrt{5 p q^{5}}}$

375.

$\frac{15}{\sqrt{5}}$

376.

$\frac{3}{5 \sqrt{8}}$

377.

$\sqrt{\frac{8}{54}}$

378.

$\sqrt{\frac{12}{20}}$

379.

$\frac{3}{5 + \sqrt{5}}$

380.

$\frac{20}{4 - \sqrt{3}}$

381.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{3}}$

382.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{y} - \sqrt{7}}$

383.

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{8}}{\sqrt{x} - \sqrt{8}}$

384.

$\frac{\sqrt{m} - \sqrt{3}}{\sqrt{m} + \sqrt{3}}$

Stærðfræði í daglegu lífi

385.

Birgðapakka er varpað úr flugvél sem flýgur í 250 feta hæð. Einfaldið $\sqrt{\frac{250}{16}}$ til að ákvarða hve margar sekúndur líða þar til pakkinn nær jörðu.

386.

Blysi er varpað í hafið úr flugvél sem flýgur í 1,200 feta hæð. Einfaldið $\sqrt{\frac{1200}{16}}$ til að ákvarða hve margar sekúndur líða þar til blysið nær haffletinum.

Ritunarverkefni

387.

ⓐ Einfaldið $\sqrt{\frac{27}{3}}$ og útskýrið öll skrefin.
ⓑ Einfaldið $\sqrt{\frac{27}{5}}$ og útskýrið öll skrefin.

388.

ⓐ Finnið nálgunargildi $\frac{1}{\sqrt{2}}$ með því að deila $\frac{1}{1.414}$ með langri deilingu án reiknivélar.
ⓑ Þegar ferningsrótinni er eytt úr nefnara $\frac{1}{\sqrt{2}}$ fæst $\frac{\sqrt{2}}{2} .$ . Finnið nálgunargildi $\frac{\sqrt{2}}{2}$ með því að deila $\frac{1.414}{2}$ með langri deilingu án reiknivélar.
ⓒ Eruð þið sammála því að auðveldara sé að reikna þegar ferningsrót hefur verið eytt úr nefnaranum? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Taflan hefur fjóra dálka og fjórar raðir. Dálkarnir heita „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“ Undir „Ég get …“ stendur „deilt ferningsrótum“, „eytt ferningsrót úr nefnara með einum lið“ og „eytt ferningsrót úr nefnara með tveimur liðum“. Aðrir reitir töflunnar eru auðir.

ⓑ Eftir að hafa skoðað gátlistann, teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta hluta? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?