66 Margliður

6.4 Sérstök margfeldi

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

fundið ferning tvíliðar með ferningsreglu tvíliða
margfaldað samoka með reglunni um margfeldi samoka
þekkt og notað viðeigandi reglu um sérstök margfeldi

Finnið ferning tvíliðar með ferningsreglu tvíliða

Stærðfræðingar leita gjarnan að mynstrum sem auðvelda útreikninga. Gott dæmi um það er að setja tvíliði í annað veldi. Alltaf má finna margfeldið með því að skrifa tvíliðinn tvisvar og nota aðferðir síðasta hluta, en vinnan verður minni ef þið lærið að nota reglu.

Byrjum á að skoða ( x + 9 ) 2.
Hvað merkir þetta?	( x + 9 ) 2
Þetta merkir að margfalda stæðuna ( x + 9 ) með sjálfri sér.	( x + 9 ) ( x + 9 )
Þá fáum við með FOIL-aðferðinni:	x 2 + 9 x + 9 x + 81
Þegar samkynja liðir eru sameinaðir fæst:	x 2 + 18 x + 81

Skoðum annað dæmi:	( y − 7 ) 2
Margfaldið ( y − 7 ) með sjálfu sér.	( y − 7 ) ( y − 7 )
Með FOIL-aðferðinni fáum við:	y 2 − 7 y − 7 y + 49
Og þegar samkynja liðir eru sameinaðir:	y 2 − 14 y + 49

Og eitt dæmi enn:	( 2 x + 3 ) 2
Margfaldið.	( 2 x + 3 ) ( 2 x + 3 )
Notið FOIL-aðferðina:	4 x 2 + 6 x + 6 x + 9
Sameinið samkynja liði.	4 x 2 + 12 x + 9

Skoðið niðurstöðurnar. Sjáið þið eitthvert mynstur?

Hvað með fjölda liða? Í hverju dæmi settum við tvílið í annað veldi og niðurstaðan var þríliður.

{(a + b)}^{2} =____+____+____

Skoðið nú fyrsta lið hverrar niðurstöðu. Hvaðan kom hann?

Myndin hefur þrjá dálka. Í fyrsta dálki er stæðan x plús 9, innan sviga, í öðru veldi. Fyrir neðan er margfeldi x plús 9 og x plús 9. Þar fyrir neðan er x í öðru veldi plús 9x plús 9x plús 81. Neðst er x í öðru veldi plús 18x plús 81. Í öðrum dálki er stæðan y mínus 7, innan sviga, í öðru veldi. Fyrir neðan er margfeldi y mínus 7 og y mínus 7. Þar fyrir neðan er y í öðru veldi mínus 7y mínus 7y plús 49. Neðst er stæðan y í öðru veldi mínus 14y plús 49. Í þriðja dálki er stæðan 2x plús 3, innan sviga, í öðru veldi. Fyrir neðan er margfeldi 2x plús 3 og 2x plús 3. Þar fyrir neðan er 4x í öðru veldi plús 6x plús 6x plús 9. Neðst er 4x í öðru veldi plús 12x plús 9.

Fyrsti liðurinn er margfeldi fremstu liða tvíliðanna. Þar sem tvíliðirnir eru eins er hann einfaldlega ferningur fyrsta liðarins!

{(a + b)}^{2} = a^{2} +____+____

Til að fá fyrsta lið margfeldisins skal setja fyrsta liðinn í annað veldi.

Hvaðan kom síðasti liðurinn? Skoðið dæmin og finnið mynstrið.

Síðasti liðurinn er margfeldi öftustu liðanna, það er ferningur síðasta liðarins.

{(a + b)}^{2} =____+____+ b^{2}

Til að fá síðasta lið margfeldisins skal setja síðasta liðinn í annað veldi.

Skoðið loks miðliðinn. Athugið að hann fékkst með því að leggja saman ytri og innri liðina, sem eru eins! Miðliðurinn er því tvöfalt margfeldi liða tvíliðarins.

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} =____+ 2 a b +____ \\ {(a - b)}^{2} =____- 2 a b +____ \end{matrix}

Til að fá miðlið margfeldisins skal margfalda liðina og tvöfalda margfeldi þeirra.

Setjum þetta allt saman:

Til að setja tvílið í annað veldi skal:

setja fyrsta liðinn í annað veldi
setja síðasta liðinn í annað veldi
tvöfalda margfeldi þeirra

Dæmi með tölum hjálpar til við að sannreyna regluna.

	( 10 + 4 ) 2
Setjið fyrsta liðinn í annað veldi.	10 2 + ___ +
Setjið síðasta liðinn í annað veldi.	10 2 + ___ + 4 2
Tvöfaldið margfeldi þeirra.	10 2 + 2 · 10 · 4 + 4 2
Einfaldið.	100 + 80 + 16
Einfaldið.	196

Til að margfalda ${(10 + 4)}^{2}$ mynduð þið venjulega fylgja forgangsröð reikniaðgerða.

\begin{matrix} {(10 + 4)}^{2} \\ {(14)}^{2} \\ 196 \end{matrix}

Reglan virkar!

Dæmi 6.47

Margfaldið: ${(x + 5)}^{2} .$

Lausn


Setjið fyrsta liðinn í annað veldi.
Setjið síðasta liðinn í annað veldi.
Tvöfaldið margfeldið.
Einfaldið.

Dæmi 6.48

Margfaldið: ${(y - 3)}^{2} .$

Lausn


Setjið fyrsta liðinn í annað veldi.
Setjið síðasta liðinn í annað veldi.
Tvöfaldið margfeldið.
Einfaldið.

Dæmi 6.49

Margfaldið: ${(4 x + 6)}^{2} .$

Lausn


Notið regluna.
Einfaldið.

Dæmi 6.50

Margfaldið: ${(2 x - 3 y)}^{2} .$

Lausn


Notið regluna.
Einfaldið.

Dæmi 6.51

Margfaldið: ${(4 u^{3} + 1)}^{2} .$

Lausn


Notið regluna.
Einfaldið.

Margfaldið samoka með reglunni um margfeldi samoka

Við sáum rétt í þessu reglu um ferninga tvíliða sem auðveldar margföldun sumra tvíliða. Á sama hátt er til regla um annað margfeldi tvíliða. Áður en við skoðum hana þurfum við þó að kynna nokkur hugtök.

Hvað takið þið eftir við þessi pör tvíliða?

\begin{matrix} (x - 9) (x + 9) & (y - 8) (y + 8) & (2 x - 5) (2 x + 5) \end{matrix}

Skoðið fyrsta lið hvors tvíliðar í hverju pari.

Athugið að fyrstu liðirnir eru eins í hvorum tvílið hvers pars.

Skoðið síðasta lið hvors tvíliðar í hverju pari.

Athugið að síðustu liðirnir eru eins í hvorum tvílið hvers pars.

Athugið að hvert par inniheldur eina summu og einn mismun.

Tveir tvíliðir sem hafa sama fyrsta lið og sama síðasta lið, en annar er summa og hinn mismunur, kallast samokar og eru á forminu $(a - b), (a + b)$ .

Til er einföld regla til að finna margfeldi samoka. Auðvitað mætti nota FOIL-aðferðina, en reglan auðveldar útreikningana.

Leitum að mynstrinu með því að margfalda nokkur pör samoka með FOIL-aðferðinni.

\begin{matrix} (x - 9) (x + 9) & (y - 8) (y + 8) & (2 x - 5) (2 x + 5) \\ x^{2} + 9 x - 9 x - 81 & y^{2} + 8 y - 8 y - 64 & 4 x^{2} + 10 x - 10 x - 25 \\ x^{2} - 81 & y^{2} - 64 & 4 x^{2} - 25 \end{matrix}

Myndin hefur þrjá dálka. Í fyrsta dálki er margfeldi x plús 9 og x mínus 9. Fyrir neðan er stæðan x í öðru veldi mínus 9x plús 9x mínus 81. Neðst er x í öðru veldi mínus 81. Í öðrum dálki er margfeldi y mínus 8 og y plús 8. Fyrir neðan er stæðan y í öðru veldi plús 8y mínus 8y mínus 64. Neðst er y í öðru veldi mínus 64. Í þriðja dálki er margfeldi 2x mínus 5 og 2x plús 5. Fyrir neðan er stæðan 4x í öðru veldi plús 10x mínus 10x mínus 25. Neðst er 4x í öðru veldi mínus 25.

Fyrsti liðurinn í hverju margfeldi er margfeldi fremstu liða tvíliðanna og þar sem þeir eru eins er hann ferningur fyrsta liðarins.

\begin{matrix} (a + b) (a - b) = a^{2} -____ \\ Til að fá fyrsti liður, hefjið fyrsta liðinn í annað veldi . \end{matrix}

Síðasti liðurinn fékkst með því að margfalda öftustu liðina og er ferningur síðasta liðarins.

\begin{matrix} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} \\ Til að fá síðasti liður, hefjið síðasta liðinn í annað veldi . \end{matrix}

Hvað takið þið eftir við margfeldin?

Margfeldi tvíliðanna tveggja er einnig tvíliður! Flest margfeldi sem við höfum fengið með FOIL-aðferðinni hafa verið þríliðir.

Hvers vegna er enginn miðliður? Athugið að miðliðirnir tveir sem fást með FOIL-aðferðinni leggjast saman og verða 0 í hverju dæmi, því annar er lagður við en hinn dreginn frá.

Margfeldi samoka er alltaf á forminu $a^{2} - b^{2}$ . Þetta kallast mismunur ferninga.

Þetta leiðir til reglunnar:

Prófum regluna með töludæmi.

	( 10 − 2 ) ( 10 + 2 )
Þetta er margfeldi samoka og niðurstaðan verður því mismunur tveggja ferninga.	____ − ____
Setjið fyrsta liðinn í annað veldi.	10 2 − ____
Setjið síðasta liðinn í annað veldi.	10 2 − 2 2
Einfaldið.	100 − 4
Einfaldið.	96
Hvað fáið þið ef þið fylgið forgangsröð reikniaðgerða?
	( 10 − 2 ) ( 10 + 2 ) ( 8 ) ( 12 ) 96

Athugið að niðurstaðan er sú sama!

Dæmi 6.52

Margfaldið: $(x - 8) (x + 8) .$

Lausn

Greinið fyrst að þetta er margfeldi samoka. Tvíliðirnir hafa sömu fyrstu liði og sömu síðustu liði; annar tvíliðurinn er summa og hinn mismunur.

Þetta fellur að reglunni.
Setjið fyrsta liðinn, x í annað veldi.
Setjið síðasta liðinn, 8, í annað veldi.
Margfeldið er mismunur ferninga.

Dæmi 6.53

Margfaldið: $(2 x + 5) (2 x - 5) .$

Lausn

Eru tvíliðirnir samokar?

Þetta er margfeldi samoka.
Setjið fyrsta liðinn, 2x, í annað veldi.
Setjið síðasta liðinn, 5, í annað veldi.
Einfaldið. Margfeldið er mismunur ferninga.

Tvíliðirnir í næsta dæmi virðast ef til vill snúa öfugt, því breytan er í síðari liðnum. Þeir eru samt samokar og því notum við sömu reglu til að margfalda þá.

Dæmi 6.54

Finnið margfeldið: $(3 + 5 x) (3 - 5 x) .$

Lausn

Þetta er margfeldi samoka.
Notið regluna.
Einfaldið.

Nú margföldum við samoka með tveimur breytum.

Dæmi 6.55

Finnið margfeldið: $(5 m - 9 n) (5 m + 9 n) .$

Lausn

Þetta fellur að reglunni.
Notið regluna.
Einfaldið.

Dæmi 6.56

Finnið margfeldið: $(c d - 8) (c d + 8) .$

Lausn

Þetta fellur að reglunni.
Notið regluna.
Einfaldið.

Dæmi 6.57

Finnið margfeldið: $(6 u^{2} - 11 v^{5}) (6 u^{2} + 11 v^{5}) .$

Lausn

Þetta fellur að reglunni.
Notið regluna.
Einfaldið.

Þekkið og notið viðeigandi reglu um sérstök margfeldi

Við höfum nú leitt út reglur um ferninga tvíliða og margfeldi samoka. Margfeldin líkjast hvert öðru og því er mikilvægt að þekkja hvenær hvor regla á við og taka eftir muninum á þeim. Skoðið reglurnar saman og athugið hvað er líkt og ólíkt með þeim.

Dæmi 6.58

Veljið viðeigandi reglu og notið hana til að finna margfeldið:

ⓐ $(2 x - 3) (2 x + 3)$ ⓑ ${(8 x - 5)}^{2}$ ⓒ ${(6 m + 7)}^{2}$ ⓓ $(5 x - 6) (6 x + 5)$

Lausn

ⓐ $(2 x - 3) (2 x + 3)$ Þetta eru samokar. Þeir hafa sömu fyrstu liði og sömu síðustu liði; annar tvíliðurinn er summa og hinn mismunur. Reglan um margfeldi samoka á því við.

Þetta fellur að reglunni.

Notið regluna.

Einfaldið.
ⓑ ${(8 x - 5)}^{2}$ Við eigum að setja tvílið í annað veldi. Hér á við ferningsregla tvíliða.

Notið regluna.

Einfaldið.
ⓒ ${(6 m + 7)}^{2}$ Aftur eigum við að setja tvílið í annað veldi og notum því ferningsreglu tvíliða.

Notið regluna.

Einfaldið.
ⓓ $(5 x - 6) (6 x + 5)$ Þetta margfeldi fellur ekki að reglunum og því notum við FOIL-aðferðina.

$(5 x - 6) (6 x + 5)$

Notið FOIL-aðferðina. $30 x^{2} + 25 x - 36 x - 30$

Einfaldið. $30 x^{2} - 11 x - 30$

Verkefni úr hluta 6.4

Æfingin skapar meistarann

Finnið ferning tvíliðar með ferningsreglu tvíliða

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið setja hvern tvílið í annað veldi með ferningsreglu tvíliða.

302.

${(w + 4)}^{2}$

303.

${(q + 12)}^{2}$

304.

${(y + \frac{1}{4})}^{2}$

305.

${(x + \frac{2}{3})}^{2}$

306.

${(b - 7)}^{2}$

307.

${(y - 6)}^{2}$

308.

${(m - 15)}^{2}$

309.

${(p - 13)}^{2}$

310.

${(3 d + 1)}^{2}$

311.

${(4 a + 10)}^{2}$

312.

${(2 q + \frac{1}{3})}^{2}$

313.

${(3 z + \frac{1}{5})}^{2}$

314.

${(3 x - y)}^{2}$

315.

${(2 y - 3 z)}^{2}$

316.

${(\frac{1}{5} x - \frac{1}{7} y)}^{2}$

317.

${(\frac{1}{8} x - \frac{1}{9} y)}^{2}$

318.

${(3 x^{2} + 2)}^{2}$

319.

${(5 u^{2} + 9)}^{2}$

320.

${(4 y^{3} - 2)}^{2}$

321.

${(8 p^{3} - 3)}^{2}$

Margfaldið samoka með reglunni um margfeldi samoka

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið margfalda hvert par samoka með reglunni um margfeldi samoka.

322.

$(m - 7) (m + 7)$

323.

$(c - 5) (c + 5)$

324.

$(x + \frac{3}{4}) (x - \frac{3}{4})$

325.

$(b + \frac{6}{7}) (b - \frac{6}{7})$

326.

$(5 k + 6) (5 k - 6)$

327.

$(8 j + 4) (8 j - 4)$

328.

$(11 k + 4) (11 k - 4)$

329.

$(9 c + 5) (9 c - 5)$

330.

$(11 - b) (11 + b)$

331.

$(13 - q) (13 + q)$

332.

$(5 - 3 x) (5 + 3 x)$

333.

$(4 - 6 y) (4 + 6 y)$

334.

$(9 c - 2 d) (9 c + 2 d)$

335.

$(7 w + 10 x) (7 w - 10 x)$

336.

$(m + \frac{2}{3} n) (m - \frac{2}{3} n)$

337.

$(p + \frac{4}{5} q) (p - \frac{4}{5} q)$

338.

$(a b - 4) (a b + 4)$

339.

$(x y - 9) (x y + 9)$

340.

$(u v - \frac{3}{5}) (u v + \frac{3}{5})$

341.

$(r s - \frac{2}{7}) (r s + \frac{2}{7})$

342.

$(2 x^{2} - 3 y^{4}) (2 x^{2} + 3 y^{4})$

343.

$(6 m^{3} - 4 n^{5}) (6 m^{3} + 4 n^{5})$

344.

$(12 p^{3} - 11 q^{2}) (12 p^{3} + 11 q^{2})$

345.

$(15 m^{2} - 8 n^{4}) (15 m^{2} + 8 n^{4})$

Þekkið og notið viðeigandi reglu um sérstök margfeldi

Finnið hvert margfeldi í eftirfarandi verkefnum.

346.

347.

348.

349.

Stærðfræði daglegs lífs

350.

Hugarreikningur Nota má regluna um margfeldi samoka til að margfalda tölur án reiknivélar. Segjum að margfalda þurfi 47 með 53. Lítið á 47 sem $50 - 3$ og 53 sem $50 + 3$ .

ⓐ Margfaldið $(50 - 3) (50 + 3)$ með reglunni um margfeldi samoka, $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .
ⓑ Margfaldið $47 \cdot 53$ án þess að nota reiknivél.

351.

Hugarreikningur Nota má ferningsreglu tvíliða til að margfalda tölur án reiknivélar. Segjum að finna þurfi ferning tölunnar 65. Lítið á 65 sem $60 + 5$ .

ⓐ Margfaldið ${(60 + 5)}^{2}$ með ferningsreglu tvíliða, ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .
ⓑ Finnið ferning tölunnar 65 án reiknivélar.

Ritunarverkefni

352.

Hvernig ákveðið þið hvaða reglu á að nota?

353.

Hvers vegna verður ${(a + b)}^{2}$ að þrílið en $(a - b) (a + b)$ að tvílið?

354.

Marta skrifaði eftirfarandi lausn í heimavinnunni sinni:

\begin{matrix} {(3 - y)}^{2} \\ 3^{2} - y^{2} \\ 9 - y^{2} \end{matrix}

Útskýrið hvað er rangt við lausn Mörtu.

355.

Notið forgangsröð reikniaðgerða til að sýna að ${(3 + 5)}^{2}$ sé 64 og notið síðan töludæmið til að útskýra hvers vegna ${(a + b)}^{2} \neq a^{2} + b^{2}$ .

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.

Þetta er tafla með fjórum röðum og fjórum dálkum. Í fyrstu röðinni, sem er fyrirsagnarröð, stendur frá vinstri til hægri: „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei, ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get …“ stendur: „fundið ferning tvíliðar með ferningsreglu tvíliða“, „margfaldað samoka með reglunni um margfeldi samoka“ og „þekkt og notað viðeigandi reglu um sérstök margfeldi“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hvernig metið þið tök ykkar á efni hlutans með hliðsjón af svörunum á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt tök ykkar?

Ferningar tvíliða	Margfeldi samoka
( a + b ) 2 = a² + 2 a b + b²	( a − b ) ( a + b ) = a² − b²
( a − b ) 2 = a² − 2 a b + b²
– Tvíliður settur í annað veldi	– Samokar margfaldaðir
– Margfeldið er þríliður	– Margfeldið er tvíliður
– Innri og ytri liðirnir í FOIL-aðferðinni eru eins.	– Innri og ytri liðirnir í FOIL-aðferðinni eru gagnstæðir.
– Miðliðurinn er tvöfalt margfeldi liðanna.	– Enginn miðliður er til staðar.

	$(5 x - 6) (6 x + 5)$
Notið FOIL-aðferðina.	$30 x^{2} + 25 x - 36 x - 30$
Einfaldið.	$30 x^{2} - 11 x - 30$