66 Margliður

6.7 Heiltöluveldisvísar og staðalform talna

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

notað skilgreiningu neikvæðs veldisvísis
einfaldað stæður með heiltöluveldisvísum
breytt úr tugabrotsrithætti í staðalform talna
breytt staðalformi talna í tugabrotsrithátt
margfaldað og deilt á staðalformi talna

Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis

Við sáum að kvótareglan fyrir veldi, sem kynnt var fyrr í kaflanum, hefur tvö form eftir því hvort stærri veldisvísirinn er í teljara eða nefnara.

Hvað gerist ef við drögum veldisvísana einfaldlega frá án tillits til þess hvor er stærri?

Skoðum $\frac{x^{2}}{x^{5}}$ .

Við drögum veldisvísi nefnarans frá veldisvísi teljarans.

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{x^{5}} \\ x^{2 - 5} \\ x^{−3} \end{matrix}

Við getum einnig einfaldað $\frac{x^{2}}{x^{5}}$ með því að stytta sameiginlega þætti:

Myndin sýnir x sinnum x deilt með x sinnum x sinnum x sinnum x sinnum x. Tvö x styttast út í teljara og nefnara. Fyrir neðan er einfaldaði liðurinn: 1 deilt með x í þriðja veldi.

Þetta sýnir að $x^{−3} = \frac{1}{x^{3}}$ og leiðir okkur að skilgreiningu neikvæðs veldisvísis.

Neikvæði veldisvísirinn segir okkur að endurrita megi stæðuna með því að taka margföldunarandhverfu veldisstofnsins og breyta síðan formerki veldisvísisins.

Stæða með neikvæðum veldisvísum telst ekki vera á einfaldasta formi. Við notum skilgreiningu neikvæðs veldisvísis og aðrar veldisreglur til að skrifa stæðuna með eingöngu jákvæðum veldisvísum.

Ef við fáum til dæmis stæðuna $x^{−3}$ eftir einföldun tökum við eitt skref til viðbótar og skrifum $\frac{1}{x^{3}}$ . Svarið telst vera á einfaldasta formi þegar það hefur eingöngu jákvæða veldisvísa.

Dæmi 6.89

Einfaldið: ⓐ $4^{−2}$ ⓑ $10^{−3} .$

Lausn

ⓐ	4 −2
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n.	$\frac{1}{4}$ 2
Einfaldið.	$\frac{1}{16}$
ⓑ	10 −3
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n.	$\frac{1}{10}$ 3
Einfaldið.	$\frac{1}{1000}$

Í dæmi 6.89 hófum við heiltölu í neikvætt veldi. Hvað gerist þegar brot er hafið í neikvætt veldi? Við byrjum á að skoða brot með einum í teljara og heiltölu í neikvæðu veldi í nefnara.

	1/a − n
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n.	1/1/a n
Einfaldið flókna brotið.	1 · a n/1
Margfaldið.	$a n$

Þetta leiðir til reglunnar um neikvæða veldisvísa.

Dæmi 6.90

Einfaldið: ⓐ $\frac{1}{y^{−4}}$ ⓑ $\frac{1}{3^{−2}} .$

Lausn

ⓐ	1/y^-4
Notið regluna um neikvæðan veldisvísi, 1/a − n = a n.	y 4
ⓑ	$\frac{1}{3}$ −2
Notið regluna um neikvæðan veldisvísi, 1/a − n = a n.	3 2
Einfaldið.	9

Gerum nú ráð fyrir að brot sé hafið í neikvætt veldi. Notum skilgreininguna á neikvæðum veldisvísum til að leiða út nýja reglu.

	( 3/4 ) −2
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n.	1/( 3/4 ) 2
Einfaldið nefnarann.	1/9/16
Einfaldið flókna brotið.	16/9
En við vitum að 16/9 er ( 4/3 ) 2.
Þetta sýnir að:	$\frac{( 3}{4 ) −2} = \frac{( 4}{3 ) 2}$

Til að komast frá upphaflega brotinu í neikvæðu veldi að lokaniðurstöðunni tókum við margföldunarandhverfu veldisstofnsins, það er brotsins, og breyttum formerki veldisvísisins.

Þetta leiðir til reglunnar um kvóta í neikvæðu veldi.

Dæmi 6.91

Einfaldið: ⓐ ${(\frac{5}{7})}^{−2}$ ⓑ ${(- \frac{2 x}{y})}^{−3} .$

Lausn

ⓐ	( $\frac{5}{7}$ ) −2
Notið regluna um kvóta í neikvæðu veldi, ( a/b ) − n = ( b/a ) n.
Takið margföldunarandhverfu brotsins og breytið formerki veldisvísisins.	( $\frac{7}{5}$ ) 2
Einfaldið.	$\frac{49}{25}$
ⓑ	( − 2 x/y ) −3
Notið regluna um kvóta í neikvæðu veldi, ( a/b ) − n = ( b/a ) n.
Takið margföldunarandhverfu brotsins og breytið formerki veldisvísisins.	( − y/2 x ) 3
Einfaldið.	− y 3/8 x³

Þegar stæða með veldisvísum er einfölduð þarf að gæta þess að greina réttan veldisstofn.

Dæmi 6.92

Einfaldið: ⓐ ${(−3)}^{−2}$ ⓑ $− 3^{−2}$ ⓒ ${(- \frac{1}{3})}^{−2}$ ⓓ $− {(\frac{1}{3})}^{−2} .$

Lausn

ⓐ Hér á veldisvísirinn við veldisstofninn −3.	( −3 ) −2
Takið margföldunarandhverfu veldisstofnsins og breytið formerki veldisvísisins.	1/( −3 ) −2
Einfaldið.	$\frac{1}{9}$
ⓑ Stæðan − 3 −2 merkir „finnið samlagningarandhverfu 3 −2“. Hér á veldisvísirinn við veldisstofninn ( − $\frac{1}{3}$ ).	− 3 −2
Endurritið sem margfeldi með -1.	−1 · 3 −2
Takið margföldunarandhverfu veldisstofnsins og breytið formerki veldisvísisins.	−1 · $\frac{1}{3}$ 2
Einfaldið.	− $\frac{1}{9}$
ⓒ Hér á veldisvísirinn við veldisstofninn ( − $\frac{1}{3}$ ).	( − $\frac{1}{3}$ ) −2
Takið margföldunarandhverfu veldisstofnsins og breytið formerki veldisvísisins.	( − $\frac{3}{1}$ ) 2
Einfaldið.	9
ⓓ Stæðan − ( $\frac{1}{3}$ ) −2 merkir „finnið samlagningarandhverfu ( $\frac{1}{3}$ ) −2“. Hér á veldisvísirinn við veldisstofninn ( $\frac{1}{3}$ ).
Endurritið sem margfeldi með -1.	−1 · ( $\frac{1}{3}$ ) −2
Takið margföldunarandhverfu veldisstofnsins og breytið formerki veldisvísisins.	−1 · ( $\frac{3}{1}$ ) 2
Einfaldið.	−9

Við þurfum að fylgja forgangsröð reikniaðgerða vandlega. Liðir ⓐ og ⓑ í næsta dæmi líkjast hvor öðrum en niðurstöðurnar eru ólíkar.

Dæmi 6.93

Einfaldið: ⓐ $4 \cdot 2^{−1}$ ⓑ ${(4 \cdot 2)}^{−1} .$

Lausn

ⓐ Reiknið veldið á undan margfölduninni.	4 · 2 −1
Notið a − n = 1/a n.	4 · $\frac{1}{2}$ 1
Einfaldið.	2
ⓑ	( 4 · 2 ) −1
Einfaldið fyrst innan svigans.	( 8 ) −1
Notið a − n = 1/a n.	$\frac{1}{8}$ 1
Einfaldið.	$\frac{1}{8}$

Þegar breyta er hafin í neikvætt veldi beitum við skilgreiningunni á sama hátt og fyrir tölur. Við gerum ráð fyrir að allar breytur séu aðrar en núll.

Dæmi 6.94

Einfaldið: ⓐ $x^{−6}$ ⓑ ${(u^{4})}^{−3} .$

Lausn

ⓐ
$\begin{matrix} x^{−6} \\ Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a^{− n} = \frac{1}{a^{n}} . & \frac{1}{x^{6}} \end{matrix}$
ⓑ
$\begin{matrix} {(u^{4})}^{−3} \\ Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a^{− n} = \frac{1}{a^{n}} . & \frac{1}{{(u^{4})}^{3}} \\ Einfaldið. & \frac{1}{u^{12}} \end{matrix}$

Þegar bæði margfeldi og veldisvísir koma fyrir þarf að gæta þess að veldisvísirinn gildi um rétta stærð. Samkvæmt forgangsröð reikniaðgerða einföldum við stæður innan sviga áður en veldisvísum er beitt. Skoðum þetta í næsta dæmi.

Dæmi 6.95

Einfaldið: ⓐ $5 y^{−1}$ ⓑ ${(5 y)}^{−1}$ ⓒ ${(−5 y)}^{−1} .$

Lausn

ⓐ

	5 y^-1
Athugið að veldisvísirinn gildir aðeins um veldisstofninn y.Takið margföldunarandhverfu y og breytið formerki veldisvísisins.	5 · 1/y¹
Einfaldið.	5/y

ⓑ

	( 5 y ) −1
Hér valda svigarnir því að veldisvísirinn gildir um veldisstofninn 5y.Takið margföldunarandhverfu 5y og breytið formerki veldisvísisins.	1/( 5 y ) 1
Einfaldið.	$\frac{1}{5}$ y

ⓒ

	( −5 y ) −1
Veldisstofninn hér er −5y.Takið margföldunarandhverfu −5y og breytið formerki veldisvísisins.	1/( −5 y ) 1
Einfaldið.	1/−5 y
Notið a/− b = − a/b .	− $\frac{1}{5}$ y

Þegar neikvæðir veldisvísar eru leyfðir þarf kvótareglan aðeins eitt form $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ , fyrir $a \neq 0$ . Þegar veldisvísir nefnarans er stærri en veldisvísir teljarans verður veldisvísir kvótans neikvæður.

Einfaldið stæður með heiltöluveldisvísum

Allar veldisreglurnar sem við leiddum fyrr í kaflanum út fyrir veldisvísa sem eru núll eða jákvæðar heiltölur gilda einnig um heiltöluveldisvísa. Við setjum þær aftur fram hér til viðmiðunar.

Dæmi 6.96

Einfaldið: ⓐ $x^{−4} \cdot x^{6}$ ⓑ $y^{−6} \cdot y^{4}$ ⓒ $z^{−5} \cdot z^{−3} .$

Lausn

ⓐ

	x^-4 · x⁶
Notið margfeldisregluna, a m · a n = a m + n .	x^-4 + 6
Einfaldið.	x 2

ⓑ

	y^-6 · y⁴
Veldisstofnarnir eru eins og því skal leggja veldisvísana saman.	y^-6 + 4
Einfaldið.	y^-2
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n .	1/y²

ⓒ

	z^-5 · z^-3
Leggið veldisvísana saman þar sem veldisstofnarnir eru eins.	z^-5 − 3
Einfaldið.	z^-8
Takið margföldunarandhverfuna og breytið formerki veldisvísisins, samkvæmt skilgreiningu neikvæðs veldisvísis.	1/z⁸

Í næstu tveimur dæmum byrjum við á að nota víxlregluna til að raða sömu breytunum saman. Þá er auðveldara að finna veldisstofna sem eru eins áður en margfeldisreglunni er beitt.

Dæmi 6.97

Einfaldið: $(m^{4} n^{−3}) (m^{−5} n^{−2}) .$

Lausn

	( m⁴ n^-3 ) ( m^-5 n^-2 )
Notið víxlregluna til að raða sömu veldisstofnunum saman.	m⁴ m^-5 · n^-2 n^-3
Leggið saman veldisvísa hvers veldisstofns.	m^-1 · n^-5
Takið margföldunarandhverfur og breytið formerkjum veldisvísanna.	1/m¹ · 1/n⁵
Einfaldið.	1/m n⁵

Í næstu tveimur dæmum notum við regluna um veldi af veldi og regluna um margfeldi í veldi.

Dæmi 6.98

Einfaldið: ${(6 k^{3})}^{−2} .$

Lausn

	( 6 k³ ) −2
Notið regluna um margfeldi í veldi, ( a b ) m = a m b m .	( 6 ) −2 ( k³ ) −2
Notið regluna um veldi af veldi, ( a m ) n = a m · n .	6 −2 k^-6
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n .	1/6 2 · 1/k⁶
Einfaldið.	1/36 k⁶

Dæmi 6.99

Einfaldið: ${(5 x^{−3})}^{2} .$

Lausn

	( 5 x^-3 ) 2
Notið regluna um margfeldi í veldi, ( a b ) m = a m b m .	5 2 ( x^-3 ) 2
Einfaldið 52 og margfaldið veldisvísa x samkvæmt reglunni um veldi af veldi, ( a m ) n = a m · n .	25 · x^-6
Endurritið x−6 samkvæmt skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n .	25 · 1/x⁶
Einfaldið.	25/x⁶

Til að einfalda brot notum við kvótaregluna og drögum veldisvísana frá.

Dæmi 6.100

Einfaldið: $\frac{r^{5}}{r^{−4}} .$

Lausn

	r 5/r^-4
Notið kvótaregluna, a m/a n = a m − n .	r⁵ − ( −4 )
Einfaldið.	r 9

Breytið úr tugabrotsrithætti í staðalform talna

Munið þið eftir sætisgildum talna sem eru núll eða jákvæðar heiltölur, svo og sætisgildum tugabrota? Talnakerfið okkar byggist á veldum af 10. Við notum tugi, hundruð, þúsundir og svo framvegis. Tugabrotin byggjast einnig á veldum af tíu: tíundu hlutum, hundraðshlutum, þúsundustu hlutum og svo framvegis. Skoðið tölurnar 4.000 og $0.004$ . Við vitum að 4.000 merkir $4 \times 1,000$ og 0,004 merkir $4 \times \frac{1}{1,000}$ .

Ef við skrifum 1000 sem tíuveldi á veldisformi getum við endurritað tölurnar þannig:

\begin{matrix} 4,000 & 0.004 \\ 4 \times 1,000 & 4 \times \frac{1}{1,000} \\ 4 \times 10^{3} & 4 \times \frac{1}{10^{3}} \\ 4 \times 10^{−3} \end{matrix}

Tala er sögð vera á staðalformi þegar hún er skrifuð sem margfeldi tveggja talna, þar sem fyrri þátturinn er tala sem er stærri en eða jöfn einum en minni en 10, og seinni þátturinn er veldi af 10 á veldisformi. Staðalform talna.

Á staðalformi talna er venja að nota sem $\times$ margföldunarmerki þótt við forðumst merkið annars staðar í algebru.

Ef við skoðum hvernig komman færist sjáum við einfalda aðferð til að breyta úr tugabrotsrithætti í staðalform talna.

Myndin sýnir hvernig tölu er breytt í staðalform. Hún hefur tvo dálka. Í fyrsta dálki er 4000 jafnt 4 sinnum 10 í þriðja veldi. Fyrir neðan er jafnan endurtekin og ör sýnir að komman við enda 4000 færist um þrjú sæti til vinstri þannig að 4000 verður 4.000. Í öðrum dálki er 0.004 jafnt 4 sinnum 10 í mínus þriðja veldi. Fyrir neðan er jafnan endurtekin og ör sýnir hvernig komman í 0.004 færist um þrjú sæti til hægri og myndar 4.

Í báðum tilvikum var komman færð um 3 sæti til að fyrri þátturinn yrði á milli 1 og 10.

$\begin{matrix} Veldið af 10 er jákvætt þegar talan er stærri en 1: & 4,000 = 4 \times 10^{3} \\ Veldið af 10 er neikvætt þegar talan er á milli 0 og 1: & 0.004 = 4 \times 10^{−3} \end{matrix}$

Dæmi 6.101

Hvernig breyta á úr tugabrotsrithætti í staðalform talna

Skrifið á staðalformi: 37.000.

Lausn

Myndin er tafla með þremur dálkum og fjórum röðum. Fyrsti dálkurinn er fyrirsagnardálkur með heitum og númerum skrefanna. Annar dálkurinn hefur frekari leiðbeiningar og sá þriðji stærðfræði. Í efstu röð stendur í fyrsta reit: „Skref 1. Færið kommuna þannig að fyrri þátturinn sé stærri en eða jafn 1 en minni en 10.“ Í öðrum reit stendur: „Munið að komma er við enda 37,000.“ Í þriðja reit er 37,000. Einni línu neðar stendur í öðrum reit: „Færið kommuna á eftir 3. 3.7000 er á milli 1 og 10.“

Í annarri röð stendur í fyrsta reit: „Skref 2. Teljið hve mörg sæti, n, komman var færð.“ Í öðrum reit stendur: „Komman var færð um 4 sæti til vinstri.“ Í þriðja reit er 370000 aftur og ör sýnir að komman færist til vinstri frá enda tölunnar þar til hún er milli 3 og 7.

Í þriðju röð stendur í fyrsta reit: „Skref 3. Skrifið töluna sem margfeldi með veldi af 10. Ef upphaflega talan er stærri en 1 verður veldið af 10 jafnt 10 í veldinu n. Ef hún er á milli 0 og 1 verður veldið af 10 jafnt 10 í veldinu mínus n.“ Í öðrum reit stendur: „37,000 er stærri en 1 og því verður veldisvísir 10 jafn 4.“ Í þriðja reit er 3.7 sinnum 10 í fjórða veldi.

Í fjórðu röð stendur í fyrsta reit: „Skref 4. Athugið.“ Í öðrum reit stendur: „Gangið úr skugga um að svarið sé skynsamlegt.“ Í þriðja reit stendur: „10 í fjórða veldi er 10,000 og 10,000 sinnum 3.7 verður 37,000.“ Fyrir neðan er 37,000 jafnt 3.7 sinnum 10 í fjórða veldi.

Dæmi 6.102

Skrifið á staðalformi: $0.0052 .$

Lausn

Upphaflega talan, $0.0052$ , er á milli 0 og 1 og því verður tíuveldið neikvætt.


Færið kommuna til að fá 5,2, tölu á milli 1 og 10.
Teljið hve mörg sæti komman var færð.
Skrifið sem margfeldi með veldi af 10.
Athugið.
5.2 $\times ⁠$ 10 −3 5.2 $\times ⁠$ $\frac{1}{10}$ 3 5.2 $\times ⁠$ $\frac{1}{1000}$ 5.2 $\times ⁠$ 0.001
0.0052

Breytið staðalformi talna í tugabrotsrithátt

Hvernig breytum við staðalformi talna í tugabrotsrithátt? Skoðum tvær tölur á staðalformi.

\begin{matrix} 9.12 \times 10^{4} & 9.12 \times 10^{−4} \\ 9.12 \times 10,000 & 9.12 \times 0.0001 \\ 91,200 & 0.000912 \end{matrix}

Með því að skoða staðsetningu kommunnar sjáum við einfalda aðferð til að breyta tölu úr staðalformi í tugabrotsrithátt.

\begin{matrix} 9.12 \times 10^{4} = 91,200 & 9.12 \times 10^{−4} = 0.000912 \end{matrix}

Myndin hefur tvo dálka. Í vinstri dálki er 9.12 sinnum 10 í fjórða veldi jafnt 91,200. Fyrir neðan er sama staðalform endurtekið og ör sýnir að komman í 9.12 færist um fjögur sæti til hægri. Þar sem engir tölustafir eru á eftir 2 eru síðustu tvö sætin sýnd sem auðir reitir. Fyrir neðan stendur: „Færið kommuna um fjögur sæti til hægri.“ Í hægri dálki er 9.12 sinnum 10 í mínus fjórða veldi jafnt 0.000912. Fyrir neðan er sama staðalform endurtekið og ör sýnir að komman í 9.12 færist um fjögur sæti til vinstri. Þar sem engir tölustafir eru á undan 9 eru þrjú sætin sem eftir eru sýnd sem auðir reitir. Fyrir neðan stendur: „Færið kommuna um 4 sæti til vinstri.“

Í báðum tilvikum færðist komman um 4 sæti. Þegar veldisvísirinn var jákvæður færðist hún til hægri en þegar hann var neikvæður færðist hún til vinstri.

Dæmi 6.103

Hvernig breyta á staðalformi talna í tugabrotsrithátt

Breytið í tugabrotsrithátt: $6.2 \times 10^{3} .$

Lausn

Myndin er tafla með þremur dálkum og þremur röðum. Fyrsti dálkurinn er fyrirsagnardálkur með heitum og númerum skrefanna, annar hefur frekari leiðbeiningar og sá þriðji stærðfræði. Í efstu röð stendur í fyrsta reit: „Skref 1. Finnið veldisvísinn n á þættinum 10.“ Í öðrum reit stendur: „Veldisvísirinn er 3.“ Í þriðja reit er 6.2 sinnum 10 í þriðja veldi.

Í annarri röð stendur í fyrsta reit: „Skref 2. Færið kommuna um n sæti og bætið við núllum eftir þörfum. Ef veldisvísirinn er jákvæður skal færa kommuna um n sæti til hægri. Ef hann er neikvæður skal færa kommuna um algildi n sæti til vinstri.“ Í öðrum reit stendur: „Veldisvísirinn er jákvæður og því skal færa kommuna um 3 sæti til hægri. Bæta þarf tveimur núllum við sem staðgenglum.“ Í þriðja reit er 6.200 og ör sýnir að komman færist til hægri, frá milli 6 og 2 til á eftir seinna 00 í 6.200. Fyrir neðan er talan 6,200.

Í þriðju röð stendur í fyrsta reit: „Skref 3. Gangið úr skugga um að svarið sé skynsamlegt.“ Annar reiturinn er auður. Í þriðja reit stendur: „10 í þriðja veldi er 1000 og 1000 sinnum 6.2 verður 6,200.“ Fyrir neðan er 6.2 sinnum 10 í þriðja veldi jafnt 6,200.

Skrefin eru tekin saman hér fyrir neðan.

Dæmi 6.104

Breytið í tugabrotsrithátt: $8.9 \times 10^{−2} .$

Lausn


Finnið veldisvísinn n, á þættinum 10.
Þar sem veldisvísirinn er neikvæður skal færa kommuna um 2 sæti til vinstri.
Bætið núllum við sem staðgenglum eftir þörfum.

Margfaldið og deilið á staðalformi talna

Stjörnufræðingar nota mjög stórar tölur til að lýsa fjarlægðum í alheiminum og aldri stjarna og reikistjarna. Efnafræðingar nota mjög litlar tölur til að lýsa stærð atóms eða hleðslu rafeindar. Þegar vísindamenn reikna með mjög stórum eða mjög litlum tölum nota þeir staðalform talna. Með staðalformi má reikna án þess að skrifa mörg núll. Við sjáum hvernig veldisreglurnar eru notaðar til að margfalda og deila tölum á staðalformi.

Dæmi 6.105

Margfaldið. Skrifið svörin á tugabrotsformi: $(4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7}) .$

Lausn

$\begin{matrix} (4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7}) \\ Notið víxlregluna til að endurraða þáttunum. & 4 \cdot 2 \cdot 10^{5} \cdot 10^{−7} \\ Margfaldið. & 8 \times 10^{−2} \\ Breytið í tugabrotsrithátt með því að færa kommuna um tvö sæti til vinstri. & 0.08 \end{matrix}$

Dæmi 6.106

Deilið. Skrifið svörin á tugabrotsformi: $\frac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}} .$

Lausn

	9 $\times ⁠$ 10 $\frac{3}{3}$ $\times ⁠$ 10 −2
Aðskiljið þættina og endurritið sem margfeldi tveggja brota.	$\frac{9}{3}$ $\times ⁠$ 10 $\frac{3}{10}$ −2
Deilið.	3 $\times ⁠$ 10 5
Breytið í tugabrotsrithátt með því að færa kommuna um fimm sæti til hægri.	300,000

Verkefni úr hluta 6.7

Æfingin skapar meistarann

Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

500.

ⓐ $4^{−2}$ ⓑ $10^{−3}$

501.

ⓐ $3^{−4}$ ⓑ $10^{−2}$

502.

ⓐ $5^{- 3}$ ⓑ $10^{−5}$

503.

ⓐ $2^{−8}$ ⓑ $10^{−2}$

504.

ⓐ $\frac{1}{c^{−5}}$ ⓑ $\frac{1}{3^{−2}}$

505.

ⓐ $\frac{1}{c^{−5}}$ ⓑ $\frac{1}{5^{−2}}$

506.

ⓐ $\frac{1}{q^{−10}}$ ⓑ $\frac{1}{10^{−3}}$

507.

ⓐ $\frac{1}{t^{−9}}$ ⓑ $\frac{1}{10^{−4}}$

508.

ⓐ ${(\frac{5}{8})}^{−2}$ ⓑ ${(- \frac{3 m}{n})}^{−2}$

509.

ⓐ ${(\frac{3}{10})}^{−2}$ ⓑ ${(- \frac{2}{c d})}^{−3}$

510.

ⓐ ${(\frac{4}{9})}^{−3}$ ⓑ ${(- \frac{u^{2}}{2 v})}^{−5}$

511.

ⓐ ${(\frac{7}{2})}^{−3}$ ⓑ ${(- \frac{3}{x y^{2}})}^{−3}$

512.

ⓐ ${(- 5)}^{- 2}$ ⓑ $− 5^{−2}$ ⓒ ${(- \frac{1}{5})}^{−2}$ ⓓ $− {(\frac{1}{5})}^{−2}$

513.

ⓐ ${(−7)}^{−2}$ ⓑ $- 7^{- 2}$ ⓒ ${(- \frac{1}{7})}^{−2}$ ⓓ $− {(\frac{1}{7})}^{−2}$

514.

ⓐ $− 3^{−3}$ ⓑ ${(- \frac{1}{3})}^{−3}$ ⓒ $− {(\frac{1}{3})}^{−3}$ ⓓ ${(−3)}^{−3}$

515.

ⓐ $− 5^{−3}$ ⓑ ${(- \frac{1}{5})}^{−3}$ ⓒ $− {(\frac{1}{5})}^{−3}$ ⓓ ${(−5)}^{−3}$

516.

ⓐ $3 \cdot 5^{−1}$ ⓑ ${(3 \cdot 5)}^{−1}$

517.

ⓐ $2 \cdot 5^{−1}$ ⓑ ${(2 \cdot 5)}^{−1}$

518.

ⓐ $4 \cdot 5^{−2}$ ⓑ ${(4 \cdot 5)}^{−2}$

519.

ⓐ $3 \cdot 4^{−2}$ ⓑ ${(3 \cdot 4)}^{−2}$

520.

ⓐ $m^{−4}$ ⓑ ${(x^{3})}^{−4}$

521.

ⓐ $b^{−5}$ ⓑ ${(k^{2})}^{−5}$

522.

ⓐ $p^{−10}$ ⓑ ${(q^{6})}^{−8}$

523.

ⓐ $s^{−8}$ ⓑ ${(a^{9})}^{−10}$

524.

ⓐ $7 n^{−1}$ ⓑ ${(7 n)}^{−1}$ ⓒ ${(−7 n)}^{−1}$

525.

ⓐ $6 r^{−1}$ ⓑ ${(6 r)}^{−1}$ ⓒ ${(−6 r)}^{−1}$

526.

ⓐ ${(3 p)}^{−2}$ ⓑ $3 p^{−2}$ ⓒ $−3 p^{−2}$

527.

ⓐ ${(2 q)}^{−4}$ ⓑ $2 q^{−4}$ ⓒ $−2 q^{−4}$

Einfaldið stæður með heiltöluveldisvísum

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

528.

ⓐ $b^{4} b^{−8}$ ⓑ $r^{−2} r^{5}$ ⓒ $x^{−7} x^{−3}$

529.

ⓐ $s^{3} \cdot s^{−7}$ ⓑ $q^{−8} \cdot q^{3}$ ⓒ $y^{−2} \cdot y^{−5}$

530.

ⓐ $a^{3} \cdot a^{−3}$ ⓑ $a \cdot a^{3}$ ⓒ $a \cdot a^{−3}$

531.

ⓐ $y^{5} \cdot y^{−5}$ ⓑ $y \cdot y^{5}$ ⓒ $y \cdot y^{−5}$

532.

$p^{5} \cdot p^{−2} \cdot p^{−4}$

533.

$x^{4} \cdot x^{−2} \cdot x^{−3}$

534.

$(w^{4} x^{−5}) (w^{−2} x^{−4})$

535.

$(m^{3} n^{−3}) (m^{−5} n^{−1})$

536.

$(u v^{−2}) (u^{−5} v^{−3})$

537.

$(p q^{−4}) (p^{−6} q^{−3})$

538.

$(−6 c^{−3} d^{9}) (2 c^{4} d^{−5})$

539.

$(−2 j^{−5} k^{8}) (7 j^{2} k^{−3})$

540.

$(−4 r^{−2} s^{−8}) (9 r^{4} s^{3})$

541.

$(−5 m^{4} n^{6}) (8 m^{−5} n^{−3})$

542.

${(5 x^{2})}^{−2}$

543.

${(4 y^{3})}^{−3}$

544.

${(3 z^{−3})}^{2}$

545.

${(2 p^{−5})}^{2}$

546.

$\frac{t^{9}}{t^{−3}}$

547.

$\frac{n^{5}}{n^{−2}}$

548.

$\frac{x^{−7}}{x^{−3}}$

549.

$\frac{y^{−5}}{y^{−10}}$

Breytið úr tugabrotsrithætti í staðalform talna

Skrifið hverja tölu á staðalformi í eftirfarandi verkefnum.

550.

57,000

551.

340,000

552.

8,750,000

553.

1,290,000

554.

0.026

555.

0.041

556.

0.00000871

557.

0.00000103

Breytið staðalformi talna í tugabrotsrithátt

Breytið hverri tölu í tugabrotsrithátt í eftirfarandi verkefnum.

558.

$5.2 \times 10^{2}$

559.

$8.3 \times 10^{2}$

560.

$7.5 \times 10^{6}$

561.

$1.6 \times 10^{10}$

562.

$2.5 \times 10^{−2}$

563.

$3.8 \times 10^{−2}$

564.

$4.13 \times 10^{−5}$

565.

$1.93 \times 10^{−5}$

Margfaldið og deilið á staðalformi talna

Margfaldið í eftirfarandi verkefnum. Skrifið svarið með tugabrotsrithætti.

566.

$(3 \times 10^{−5}) (3 \times 10^{9})$

567.

$(2 \times 10^{2}) (1 \times 10^{−4})$

568.

$(7.1 \times 10^{−2}) (2.4 \times 10^{−4})$

569.

$(3.5 \times 10^{−4}) (1.6 \times 10^{−2})$

Deilið í eftirfarandi verkefnum. Skrifið svarið með tugabrotsrithætti.

570.

$\frac{7 \times 10^{−3}}{1 \times 10^{−7}}$

571.

$\frac{5 \times 10^{−2}}{1 \times 10^{−10}}$

572.

$\frac{6 \times 10^{4}}{3 \times 10^{−2}}$

573.

$\frac{8 \times 10^{6}}{4 \times 10^{−1}}$

Stærðfræði daglegs lífs

574.

Íbúafjöldi Bandaríkjanna 4. júlí 2010 var nærri 310.000.000. Skrifið töluna á staðalformi.

575.

Íbúafjöldi heimsins 4. júlí 2010 var meiri en 6.850.000.000. Skrifið töluna á staðalformi.

576.

Meðalþykkt mannshárs er 0,0018 sentímetrar. Skrifið töluna á staðalformi.

577.

Líkurnar á að vinna Megamillions-happdrættið árið 2010 voru um 0,0000000057. Skrifið töluna á staðalformi.

578.

Árið 2010 breyttu $2 \times 10^{4}$ Facebook-notendur á dag hjúskaparstöðu sinni í „trúlofuð“. Breytið tölunni í tugabrotsrithátt.

579.

Í byrjun árs 2012 var halli á fjárlögum alríkisstjórnar Bandaríkjanna meiri en $$ 1.5 \times 10^{13}$ . Breytið tölunni í tugabrotsrithátt.

580.

Styrkur koltvísýrings í andrúmsloftinu er $3.9 \times 10^{−4}$ . Breytið tölunni í tugabrotsrithátt.

581.

Breidd róteindar er $1 \times 10^{−5}$ sinnum breidd atóms. Breytið tölunni í tugabrotsrithátt.

582.

Heilbrigðiskostnaður Bandaríska stofnunin sem annast Medicare og Medicaid áætlar að neytendur verji meira en $4 billjónum dala til heilbrigðisþjónustu fyrir árið 2017.

ⓐ Skrifið 4 billjónir á tugabrotsformi.
ⓑ Skrifið 4 billjónir á staðalformi.

583.

Myntframleiðsla Árið 1942 framleiddi bandaríska myntsláttan 154.500.000 fimm senta myntir. Skrifið 154.500.000 á staðalformi.

584.

Fjarlægð Fjarlægðin milli jarðar og einnar björtustu stjörnu næturhiminsins er 33,7 ljósár. Eitt ljósár er um 6.000.000.000.000 (6 billjónir) mílna.

ⓐ Skrifið fjölda mílna í einu ljósári á staðalformi.
ⓑ Notið staðalform talna til að finna fjarlægðina milli jarðar og stjörnunnar í mílum. Skrifið svarið á staðalformi.

585.

Skuldir Í lok fjárlagaársins 2015 var áætlað að heildarskuldir alríkisstjórnar Bandaríkjanna væru um $18.600.000.000.000 ($18,6 billjónir), samkvæmt alríkisfjárlögum. Íbúafjöldi Bandaríkjanna var um 300.000.000 í lok fjárlagaársins 2015.

ⓐ Skrifið skuldina á staðalformi.
ⓑ Skrifið íbúafjöldann á staðalformi.

Ritunarverkefni

586.

ⓐ Útskýrið merkingu veldisvísisins í stæðunni $2^{3}$ .
ⓑ Útskýrið merkingu veldisvísisins í stæðunni $2^{−3}$ .

587.

Þegar tölu er breytt úr tugabrotsrithætti í staðalform, hvernig vitið þið hvort veldisvísirinn verður jákvæður eða neikvæður?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.

Þetta er tafla með sex röðum og fjórum dálkum. Í fyrstu röðinni, sem er fyrirsagnarröð, stendur frá vinstri til hægri: „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei, ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get …“ stendur: „notað skilgreiningu neikvæðs veldisvísis“, „einfaldað stæður með heiltöluveldisvísum“, „breytt úr tugabrotsrithætti í staðalform talna“, „breytt staðalformi talna í tugabrotsrithátt“ og „margfaldað og deilt á staðalformi talna“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Þegar á heildina er litið, teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta hluta eftir að hafa skoðað gátlistann? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?