Meginatriði

Meginatriði

6.1 Leggja saman og draga frá margliður

• Einliðir
  Einliður er liður af gerðinni $a{x}^m$, þar sem $a$ er fastatala og $m$ er núll eða jákvæð heiltala
  • Einliður er liður af gerðinni a x m, þar sem a er fastatala og m er núll eða jákvæð heiltala
• Margliður
  margliða— Einliður eða tveir eða fleiri einliðir sem eru tengdir með samlagningu eða frádrætti kallast margliða. einliður— Margliða með nákvæmlega einum lið kallast einliður. tvíliður— Margliða með nákvæmlega tveimur liðum kallast tvíliður. þríliður— Margliða með nákvæmlega þremur liðum kallast þríliður.
  • margliða— Einliður eða tveir eða fleiri einliðir sem eru tengdir með samlagningu eða frádrætti kallast margliða.
  • einliður — Margliða með nákvæmlega einum lið kallast einliður.
  • tvíliður — Margliða með nákvæmlega tveimur liðum kallast tvíliður.
  • þríliður — Margliða með nákvæmlega þremur liðum kallast þríliður.
• Stig margliðu
  stig liðar er summa veldisvísa breyta hans. stig fastatölu er 0. stig margliðu er hæsta stig allra liða hennar.
  • stig liðar er summa veldisvísa breyta hans.
  • stig fastatölu er 0.
  • stig margliðu er hæsta stig allra liða hennar.

6.2 Nota margföldunarreglur velda

• Veldaritháttur
  
  
• Veldisreglur
  Ef $a,b$ eru rauntölur og $m,n$ eru núll eða jákvæðar heiltölur, þá gildir
  $\begin{array}{cccccc}\mathbf{\text{margfeldisregla}}\hfill & & & \hfill a^m·a^n& =\hfill & a^{m+n}\hfill \\ \mathbf{\text{reglan um veldi af veldi}}\hfill & & & \hfill {\left(a^m\right)}^n& =\hfill & a^{m·n}\hfill \\ \mathbf{\text{reglan um margfeldi í veldi}}\hfill & & & \hfill {\left(ab\right)}^m& =\hfill & a^m{b}^m\hfill \end{array}$
  • Ef a , b eru rauntölur og m , n eru núll eða jákvæðar heiltölur, þá gildir
    margfeldisregla a m · a n = a m + n reglan um veldi af veldi ( a m ) n = a m · n reglan um margfeldi í veldi ( a b ) m = a m b m

6.3 Margfalda margliður

• FOIL-aðferð við margföldun tveggja tvíliða— Til að margfalda tvo tvíliði:
  Skref 1. Margfaldið fremstu liðina. Skref 2. Margfaldið ytri liðina. Skref 3. Margfaldið innri liðina. Skref 4. Margfaldið öftustu liðina.
  
  
  1. Skref 1. Margfaldið fremstu liðina.
  2. Skref 2. Margfaldið ytri liðina.
  3. Skref 3. Margfaldið innri liðina.
  4. Skref 4. Margfaldið öftustu liðina.
     
     
• Margföldun tveggja tvíliða— Notið eftirfarandi til að margfalda tvíliði:
  Dreifireglu (Dæmi 6.34) FOIL-aðferð (Dæmi 6.39) Lóðréttu aðferðina (Dæmi 6.44)
  
  
  • Dreifireglu (Dæmi 6.34)
  • FOIL-aðferð (Dæmi 6.39)
  • Lóðréttu aðferðina (Dæmi 6.44)
    
    
• Margföldun þríliðar og tvíliðar— Notið eftirfarandi til að margfalda þrílið með tvílið:
  Dreifireglu (Dæmi 6.45) Lóðréttu aðferðina (Dæmi 6.46)
  • Dreifireglu (Dæmi 6.45)
  • Lóðréttu aðferðina (Dæmi 6.46)

6.4 Sérstök margfeldi

• Ferningsregla tvíliða
  Ef $a,b$ eru rauntölur,
  ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$ ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$ Til að hefja tvílið í annað veldi: hefjið fyrri liðinn í annað veldi, hefjið síðari liðinn í annað veldi og tvöfaldið margfeldi þeirra.
  
  
  • Ef $a,b$ eru rauntölur,
    
    
  • ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$
  • ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$
  • Til að hefja tvílið í annað veldi: hefjið fyrri liðinn í annað veldi, hefjið síðari liðinn í annað veldi og tvöfaldið margfeldi þeirra.
    
    
• Reglan um margfeldi samoka
  Ef $a,b$ eru rauntölur,
  $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$ Margfeldið kallast mismunur ferninga.
  
  
  • Ef $a,b$ eru rauntölur,
    
    
  • $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$
  • Margfeldið kallast mismunur ferninga.
    
    
• Til að margfalda samoka:
  hefjið fyrri liðinn í annað veldi, hefjið síðari liðinn í annað veldi ritið niðurstöðuna sem mismun ferninga
  • hefjið fyrri liðinn í annað veldi, hefjið síðari liðinn í annað veldi ritið niðurstöðuna sem mismun ferninga

6.5 Deila einliðum

• Kvótaregla fyrir veldi:
  Ef $a$ er rauntala, $a\ne 0$ og $m,n$ eru núll eða jákvæðar heiltölur, þá gildir:
  $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},m>n\text{og}\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{m-n}},n>m$
  • Ef a er rauntala, a ≠ 0 og m , n eru núll eða jákvæðar heiltölur, þá gildir:
    a m/a n = a m − n , m > n og a m/a n = 1/a m − n , n > m
• Núllveldi
  Ef $a$ er tala önnur en núll, þá er $a^0=1$.
  
  
  • Ef a er tala önnur en núll, þá er a 0 = 1.
    
    
• Reglan um kvóta í veldi:
  Ef $a$ og $b$ eru rauntölur, $b\ne 0,$ og $m$ er jákvæð heiltala, þá gildir:
  ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$ Til að hefja brot í veldi skal hefja bæði teljara og nefnara í það veldi.
  
  
  • Ef $a$ og $b$ eru rauntölur, $b\ne 0,$ og $m$ er jákvæð heiltala, þá gildir:
    ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$
  • Til að hefja brot í veldi skal hefja bæði teljarann og nefnarann í það veldi.
    
    
• Yfirlit yfir veldisreglur
  Ef $a,b$ eru rauntölur og $m,n$ eru núll eða jákvæðar heiltölur, þá gildir
  $\begin{array}{ccccc}\mathbf{\text{margfeldisregla}}\hfill & & \hfill a^m·a^n& =\hfill & a^{m+n}\hfill \\ \mathbf{\text{reglan um veldi af veldi}}\hfill & & \hfill {\left(a^m\right)}^n& =\hfill & a^{m·n}\hfill \\ \mathbf{\text{reglan um margfeldi í veldi}}\hfill & & \hfill {\left(ab\right)}^m& =\hfill & a^m{b}^m\hfill \\ \mathbf{\text{kvótaregla}}\hfill & & \hfill \frac{a^m}{a^n}& =\hfill & a^{m-n},a\ne 0,m>n\hfill \\ & & \hfill \frac{a^m}{a^n}& =\hfill & \frac{1}{a^{n-m}},a\ne 0,n>m\hfill \\ \mathbf{\text{Skilgreining núllveldis}}\hfill & & \hfill a^o& =\hfill & 1,a\ne 0\hfill \\ \mathbf{\text{reglan um kvóta í veldi}}\hfill & & \hfill {\left(\frac{a}{b}\right)}^m& =\hfill & \frac{a^m}{b^m},b\ne 0\hfill \end{array}$
  • Ef a , b eru rauntölur og m , n eru núll eða jákvæðar heiltölur, þá gildir
    margfeldisregla a m · a n = a m + n reglan um veldi af veldi ( a m ) n = a m · n reglan um margfeldi í veldi ( a b ) m = a m b m kvótaregla a m/a n = a m − n , a ≠ 0 , m > n a m/a n = 1/a n − m , a ≠ 0 , n > m Skilgreining núllveldis a o = 1 , a ≠ 0 reglan um kvóta í veldi ( a/b ) m = a m/b m , b ≠ 0

6.6 Deila margliðum

• Samlagning brota
  Ef $a,b,\text{og}c$ eru tölur þar sem $c\ne 0$, þá gildir
  $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\text{og}\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$
  
  
  • Ef a , b , og c eru tölur þar sem c ≠ 0, þá gildir
    a/c + b/c = a + b/c og a + b/c = a/c + b/c
    
    
• Deiling margliðu með einlið
  Til að deila margliðu með einlið skal deila hverjum lið margliðunnar með einliðnum.
  • Til að deila margliðu með einlið skal deila hverjum lið margliðunnar með einliðnum.

6.7 Heiltöluveldisvísar og staðalform talna

• Reglan um neikvæða veldisvísa
  Ef $n$ er jákvæð heiltala og $a\ne 0$, þá gildir $\frac{1}{a^{\text{−}n}}=a^n$
  • Ef n er jákvæð heiltala og a ≠ 0, þá gildir 1/a − n = a n
• Reglan um kvóta í neikvæðu veldi
  Ef $a,b$ eru rauntölur, $b\ne 0$ og $n$ er heiltala, þá gildir ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{\text{−}n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$
  • Ef a , b eru rauntölur, b ≠ 0 og n er heiltala, þá gildir ( a/b ) − n = ( b/a ) n
• Til að breyta tölu úr tugabrotsrithætti í staðalform:
  Skref 1. Færið tugabrotskommuna þannig að fyrri þátturinn verði að minnsta kosti 1 en minni en 10. Skref 2. Teljið hve mörg tugabrotssæti, $n$, komman var færð. Skref 3.
  Ritið töluna sem margfeldi með veldi af 10. Ef upphaflega talan er:
  stærri en 1, verður veldið af 10 ${10}^n$ á milli 0 og 1, verður veldið af 10 ${10}^{\text{−}n}$
  Skref 4. Sannreynið.
  
  
  1. Skref 1. Færið kommuna þannig að fyrri þátturinn sé stærri en eða jafn 1 en minni en 10.
  2. Skref 2. Teljið hve mörg tugabrotssæti, $n$, komman var færð.
  3. Skref 3.
     Ritið töluna sem margfeldi með veldi af 10. Ef upphaflega talan er:

     stærri en 1, verður veldið af 10 ${10}^n$ á milli 0 og 1, verður veldið af 10 ${10}^{\text{−}n}$
     • stærri en 1, verður veldið af 10 ${10}^n$
     • á milli 0 og 1, verður veldið af 10 ${10}^{\text{−}n}$
  4. Skref 4. Athugið.
     
     
• Til að breyta tölu úr staðalformi í tugabrotsrithátt:
  Skref 1. Finnið veldisvísinn, $n$, á þættinum 10. Skref 2.
  Færið tugabrotskommuna um $n$sæti og bætið við núllum eftir þörfum.
  Ef veldisvísirinn er jákvæður skal færa kommuna um $n$ sæti til hægri. Ef veldisvísirinn er neikvæður skal færa kommuna um $\left|n\right|$ sæti til vinstri.
  Skref 3. Sannreynið.
  1. Skref 1. Finnið veldisvísinn $n$, á þættinum 10.
  2. Skref 2.
     Færið kommuna $n$ sæti og bætið við núllum eftir þörfum.

     Ef veldisvísirinn er jákvæður skal færa kommuna $n$ sæti til hægri. Ef veldisvísirinn er neikvæður skal færa kommuna $\left|n\right|$ sæti til vinstri.
     • Ef veldisvísirinn er jákvæður skal færa kommuna $n$ sæti til hægri.
     • Ef veldisvísirinn er neikvæður skal færa kommuna $\left|n\right|$ sæti til vinstri.
  3. Skref 3. Athugið.