66 Margliður

6.6 Deilið margliðum

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

deilt margliðu með einlið
deilt margliðu með tvílið

Deilið margliðu með einlið

Í síðasta hluta lærðuð þið að deila einlið með einlið. Næsta skref í uppbyggingu þekkingar ykkar á margliðum er að deila margliðu sem hefur tvo eða fleiri liði með einlið.

Aðferðin sem við notum til að deila margliðu með einlið byggist á reglum um samlagningu brota. Við byrjum því á dæmi sem rifjar upp samlagningu brota.

Summan	y/5 + 2/5 ,
einfaldast í	y + 2/5 .

Nú snúum við þessu við og skiptum einu broti í aðskilin brot.

Við setjum regluna um samlagningu brota fram eins og þið lærðuð hana og síðan öfugt.

Við notum formið vinstra megin til að leggja saman brot en formið hægra megin til að deila margliðu með einlið.

Til dæmis má	y + 2/5
skrifa sem	y/5 + 2/5 .

Við notum þetta form samlagningar brota til að deila margliðum með einliðum.

Dæmi 6.77

Finnið kvótann: $\frac{7 y^{2} + 21}{7} .$

Lausn

	7 y² + 21/7
Deilið hverjum lið teljarans með nefnaranum.	7 y $\frac{2}{7}$ + $\frac{21}{7}$
Einfaldið hvert brot.	y² + 3

Munið að tákna má deilingu sem brot. Þegar deila á margliðu með einlið og stæðan er ekki þegar á brotaformi skal skrifa brot með margliðuna í teljara og einliðinn í nefnara.

Dæmi 6.78

Finnið kvótann: $(18 x^{3} - 36 x^{2}) \div 6 x .$

Lausn

	( 18 x³ − 36 x² ) ÷ 6 x
Endurritið sem brot.	18 x³ − 36 x 2/6 x
Deilið hverjum lið teljarans með nefnaranum.	18 x $\frac{3}{6}$ x − 36 x $\frac{2}{6}$ x
Einfaldið.	3 x² − 6 x

Þegar deilt er með neikvæðri stærð þarf að gæta sérstaklega að formerkjunum.

Dæmi 6.79

Finnið kvótann: $\frac{12 d^{2} - 16 d}{−4} .$

Lausn

	12 d² − 16 d/−4
Deilið hverjum lið teljarans með nefnaranum.	12 d 2/−4 − 16 d/−4
Einfaldið. Munið að það að draga neikvæða stærð frá jafngildir því að leggja jákvæða stærð við!	−3 d² + 4 d

Dæmi 6.80

Finnið kvótann: $\frac{105 y^{5} + 75 y^{3}}{5 y^{2}} .$

Lausn

	105 y⁵ + 75 y 3/5 y²
Aðskiljið liðina.	105 y 5/5 y² + 75 y 3/5 y²
Einfaldið.	21 y³ + 15 y

Dæmi 6.81

Finnið kvótann: $(15 x^{3} y - 35 x y^{2}) \div (−5 x y) .$

Lausn

	( 15 x³ y − 35 x y² ) ÷ ( −5 x y )
Endurritið sem brot.	15 x³ y − 35 x y 2/−5 x y
Aðskiljið liðina.	15 x³ y/−5 x y − 35 x y 2/−5 x y
Einfaldið.	−3 x² + 7 y

Dæmi 6.82

Finnið kvótann: $\frac{36 x^{3} y^{2} + 27 x^{2} y^{2} - 9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y} .$

Lausn

	36 x³ y² + 27 x² y² − 9 x² y 3/9 x² y
Aðskiljið liðina.	36 x³ y 2/9 x² y + 27 x² y 2/9 x² y − 9 x² y 3/9 x² y
Einfaldið.	4 x y + 3 y − y²

Dæmi 6.83

Finnið kvótann: $\frac{10 x^{2} + 5 x - 20}{5 x} .$

Lausn

	10 x² + 5 x − 20/5 x
Aðskiljið liðina.	10 x $\frac{2}{5}$ x + 5 x/5 x − $\frac{20}{5}$ x
Einfaldið.	2 x + 1 - 4/x

Deilið margliðu með tvílið

Til að deila margliðu með tvílið, fylgjum við mjög svipaðri aðferð og við langdeilingu talna. Skoðum því vandlega skrefin þegar þriggja stafa tölunni 875 er deilt með tveggja stafa tölunni 25.

Við setjum upp langdeilinguna
Við deilum fyrstu tveimur tölustöfunum, 87, með 25.
Við margföldum 3 með 25 og skrifum margfeldið undir 87.
Nú drögum við 75 frá 87.
Síðan færum við niður þriðja tölustaf deilistofnsins, 5.
Endurtakið ferlið og deilið 125 með 25.

Við athugum deilinguna með því að margfalda kvótann með deilinum.

Ef deilingin er rétt ætti margfeldið að vera jafnt deilistofninum.

\begin{matrix} 35 \cdot 25 \\ 875 ✓ \end{matrix}

Nú deilum við þrílið með tvílið. Þegar þið lesið dæmið skuluð þið athuga hve lík skrefin eru töludæminu hér fyrir ofan.

Dæmi 6.84

Finnið kvótann: $(x^{2} + 9 x + 20) \div (x + 5) .$

Lausn


Setjið dæmið upp sem langdeilingu.
Gangið úr skugga um að deilistofninn sé á staðalformi.
Deilið x2 með x. Gott getur verið að spyrja: „Með hverju þarf ég að margfalda x til að fá x2?“
Skrifið svarið, x, í kvótann fyrir ofan x-liðinn.
Margfaldið x með x + 5. Raðið samkynja liðum undir deilistofninn.
Dragið x2 + 5x frá x2 + 9x.
Færið síðan niður síðasta liðinn, 20.
Deilið 4x með x. Gott getur verið að spyrja: „Með hverju þarf ég að margfalda x til að fá 4x?“
Skrifið svarið, 4, í kvótann fyrir ofan fastaliðinn.
Margfaldið 4 með x + 5.
Dragið 4x + 20 frá 4x + 20.
Sannprófun:
Margfaldið kvótann með deilinum.
( x + 4)( x + 5)
Útkoman ætti að vera deilistofninn.
x² + 9 x + 20✓

Þegar mínusmerki er í deilinum þarf að gæta sérstaklega að formerkjum þegar hlutakvótinn er margfaldaður og síðan dreginn frá. Öruggara getur verið að sýna að formerkjunum sé breytt og síðan lagt saman.

Dæmi 6.85

Finnið kvótann: $(2 x^{2} - 5 x - 3) \div (x - 3) .$

Lausn


Setjið dæmið upp sem langdeilingu.
Gangið úr skugga um að deilistofninn sé á staðalformi.
Deilið 2x2 með x.Skrifið svarið, 2x, í kvótann fyrir ofan x-liðinn.
Margfaldið 2x með x − 3. Raðið samkynja liðum undir deilistofninn.
Dragið 2x2 − 6x frá 2x2 − 5x.Breytið formerkjunum og leggið síðan saman.Færið því næst síðasta liðinn niður.
Deilið x með x.Skrifið svarið, 1, í kvótann fyrir ofan fastaliðinn.
Margfaldið 1 með x − 3.
Dragið x − 3 frá x − 3 með því að breyta formerkjunum og leggja saman.
Til að athuga svarið skal margfalda (x − 3)(2x + 1).
Útkoman ætti að vera 2x2 − 5x − 3.

Þegar við deildum 875 með 25 varð enginn afgangur. Stundum verður þó afgangur við deilingu talna og hið sama gildir um deilingu margliða. Í dæmi 6.86, verður afgangur. Við skrifum afganginn sem brot með deilinn í nefnara.

Dæmi 6.86

Finnið kvótann: $(x^{3} - x^{2} + x + 4) \div (x + 1) .$

Lausn


Setjið dæmið upp sem langdeilingu.
Gangið úr skugga um að deilistofninn sé á staðalformi.
Deilið x3 með x.Skrifið svarið, x2, í kvótann fyrir ofan x2-liðinn.Margfaldið x2 með x + 1. Raðið samkynja liðum undir deilistofninn.
Dragið x3 + x2 frá x3 − x2 með því að breyta formerkjunum og leggja saman.Færið síðan næsta lið niður.
Deilið −2x2 með x.Skrifið svarið, −2x, í kvótann fyrir ofan x-liðinn.Margfaldið −2x með x + 1. Raðið samkynja liðum undir deilistofninn.
Dragið −2x2 − 2x frá −2x2 + x með því að breyta formerkjunum og leggja saman.Færið síðan síðasta liðinn niður.
Deilið 3x með x.Skrifið svarið, 3, í kvótann fyrir ofan fastaliðinn.Margfaldið 3 með x + 1. Raðið samkynja liðum undir deilistofninn.
Dragið 3x + 3 frá 3x + 4 með því að breyta formerkjunum og leggja saman.Skrifið afganginn sem brot með deilinn í nefnara.
Til að athuga svarið skal margfalda ( x + 1 ) ( x² − 2 x + 3 + 1/x + 1 ) . Útkoman ætti að vera x³ − x² + x + 4.

Skoðið aftur deilistofnana í dæmi 6.84, dæmi 6.85, og dæmi 6.86. Liðirnir voru skrifaðir í lækkandi stigaröð og ekkert stig vantaði. Deilistofninn í dæmi 6.87 verður $x^{4} - x^{2} + 5 x - 2$ . Þar vantar $x^{3}$ -lið og við bætum $0 x^{3}$ inn sem staðgengli.

Dæmi 6.87

Finnið kvótann: $(x^{4} - x^{2} + 5 x - 2) \div (x + 2) .$

Lausn

Athugið að enginn $x^{3}$ -liður er í deilistofninum. Við bætum $0 x^{3}$ inn sem staðgengli.


Setjið dæmið upp sem langdeilingu. Gangið úr skugga um að deilistofninn sé á staðalformi og að staðgenglar séu fyrir liði sem vantar.
Deilið x4 með x.Skrifið svarið, x3, í kvótann fyrir ofan x3-liðinn.Margfaldið x3 með x + 2. Raðið samkynja liðum saman.Dragið frá og færið næsta lið niður.
Deilið −2x3 með x.Skrifið svarið, −2x2, í kvótann fyrir ofan x2-liðinn.Margfaldið −2x2 með x + 1. Raðið samkynja liðum saman.Dragið frá og færið næsta lið niður.
Deilið 3x2 með x.Skrifið svarið, 3x, í kvótann fyrir ofan x-liðinn.Margfaldið 3x með x + 1. Raðið samkynja liðum saman.Dragið frá og færið næsta lið niður.
Deilið −x með x.Skrifið svarið, −1, í kvótann fyrir ofan fastaliðinn.Margfaldið −1 með x + 1. Raðið samkynja liðum saman.Breytið formerkjunum og leggið saman.
Til að athuga svarið skal margfalda ( x + 2 ) ( x³ − 2 x² + 3 x − 1 ).
Útkoman ætti að vera x⁴ − x² + 5 x − 2.

Í dæmi 6.88, deilum við með $2 a - 3$ . Við deilinguna þurfum við að taka tillit til fastanna jafnt sem breytanna.

Dæmi 6.88

Finnið kvótann: $(8 a^{3} + 27) \div (2 a + 3) .$

Lausn

Að þessu sinni sýnum við alla deilinguna í einu skrefi. Bæta þarf við tveimur staðgenglum til að geta deilt.

Myndin sýnir langdeilingu 8 a í þriðja veldi plús 27 með 2 a plús 3. Innan langdeilingarsvigans er staðgenglunum 0 a í öðru veldi og 0 a bætt við margliðuna. Í fyrstu línu undir deilistofninum er 8 a í þriðja veldi plús 12 a í öðru veldi dregið frá. Ör til hægri sýnir að gildið fékkst með því að margfalda 4 a í öðru veldi með 2 a plús 3. Frádrátturinn gefur mínus 12 a í öðru veldi plús 0 a. Frá þessu er mínus 12 a í öðru veldi mínus 18 a dregið. Ör til hægri sýnir að gildið fékkst með því að margfalda 6 a með 2 a plús 3. Frádrátturinn gefur 18 a plús 27. Frá þessu er 18 a plús 27 dregið. Ör til hægri sýnir að gildið fékkst með því að margfalda 9 með 2 a plús 3. Niðurstaðan er 0.

Til að athuga svarið skal margfalda $(2 a + 3) (4 a^{2} - 6 a + 9)$ .

Útkoman ætti að vera $8 a^{3} + 27$ .

Verkefni úr hluta 6.6

Æfingin skapar meistarann

Deilið hverri margliðu með einliðnum í eftirfarandi verkefnum.

442.

$\frac{45 y + 36}{9}$

443.

$\frac{30 b + 75}{5}$

444.

$\frac{8 d^{2} - 4 d}{2}$

445.

$\frac{42 x^{2} - 14 x}{7}$

446.

$(16 y^{2} - 20 y) \div 4 y$

447.

$(55 w^{2} - 10 w) \div 5 w$

448.

$(9 n^{4} + 6 n^{3}) \div 3 n$

449.

$(8 x^{3} + 6 x^{2}) \div 2 x$

450.

$\frac{18 y^{2} - 12 y}{−6}$

451.

$\frac{20 b^{2} - 12 b}{−4}$

452.

$\frac{35 a^{4} + 65 a^{2}}{−5}$

453.

$\frac{51 m^{4} + 72 m^{3}}{−3}$

454.

$\frac{310 y^{4} - 200 y^{3}}{5 y^{2}}$

455.

$\frac{412 z^{8} - 48 z^{5}}{4 z^{3}}$

456.

$\frac{46 x^{3} + 38 x^{2}}{2 x^{2}}$

457.

$\frac{51 y^{4} + 42 y^{2}}{3 y^{2}}$

458.

$(24 p^{2} - 33 p) \div (−3 p)$

459.

$(35 x^{4} - 21 x) \div (−7 x)$

460.

$(63 m^{4} - 42 m^{3}) \div (−7 m^{2})$

461.

$(48 y^{4} - 24 y^{3}) \div (−8 y^{2})$

462.

$(63 a^{2} b^{3} + 72 a b^{4}) \div (9 a b)$

463.

$(45 x^{3} y^{4} + 60 x y^{2}) \div (5 x y)$

464.

$\frac{52 p^{5} q^{4} + 36 p^{4} q^{3} - 64 p^{3} q^{2}}{4 p^{2} q}$

465.

$\frac{49 c^{2} d^{2} - 70 c^{3} d^{3} - 35 c^{2} d^{4}}{7 c d^{2}}$

466.

$\frac{66 x^{3} y^{2} - 110 x^{2} y^{3} - 44 x^{4} y^{3}}{11 x^{2} y^{2}}$

467.

$\frac{72 r^{5} s^{2} + 132 r^{4} s^{3} - 96 r^{3} s^{5}}{12 r^{2} s^{2}}$

468.

$\frac{4 w^{2} + 2 w - 5}{2 w}$

469.

$\frac{12 q^{2} + 3 q - 1}{3 q}$

470.

$\frac{10 x^{2} + 5 x - 4}{−5 x}$

471.

$\frac{20 y^{2} + 12 y - 1}{−4 y}$

472.

$\frac{36 p^{3} + 18 p^{2} - 12 p}{6 p^{2}}$

473.

$\frac{63 a^{3} - 108 a^{2} + 99 a}{9 a^{2}}$

Deilið margliðu með tvílið

Deilið hverri margliðu með tvíliðnum í eftirfarandi verkefnum.

474.

$(y^{2} + 7 y + 12) \div (y + 3)$

475.

$(d^{2} + 8 d + 12) \div (d + 2)$

476.

$(x^{2} - 3 x - 10) \div (x + 2)$

477.

$(a^{2} - 2 a - 35) \div (a + 5)$

478.

$(t^{2} - 12 t + 36) \div (t - 6)$

479.

$(x^{2} - 14 x + 49) \div (x - 7)$

480.

$(6 m^{2} - 19 m - 20) \div (m - 4)$

481.

$(4 x^{2} - 17 x - 15) \div (x - 5)$

482.

$(q^{2} + 2 q + 20) \div (q + 6)$

483.

$(p^{2} + 11 p + 16) \div (p + 8)$

484.

$(y^{2} - 3 y - 15) \div (y - 8)$

485.

$(x^{2} + 2 x - 30) \div (x - 5)$

486.

$(3 b^{3} + b^{2} + 2) \div (b + 1)$

487.

$(2 n^{3} - 10 n + 24) \div (n + 3)$

488.

$(2 y^{3} - 6 y - 36) \div (y - 3)$

489.

$(7 q^{3} - 5 q - 2) \div (q - 1)$

490.

$(z^{3} + 1) \div (z + 1)$

491.

$(m^{3} + 1000) \div (m + 10)$

492.

$(a^{3} - 125) \div (a - 5)$

493.

$(x^{3} - 216) \div (x - 6)$

494.

$(64 x^{3} - 27) \div (4 x - 3)$

495.

$(125 y^{3} - 64) \div (5 y - 4)$

Stærðfræði daglegs lífs

496.

Meðalkostnaður Pictures Plus framleiðir stafræn myndaalbúm. Meðalkostnaður fyrirtækisins, í dölum, við að framleiða $x$ albúm er gefinn með stæðunni $\frac{7 x + 500}{x}$ .

ⓐ Finnið kvótann með því að deila teljaranum með nefnaranum.
ⓑ Hver verður meðalkostnaðurinn, í dölum, við að framleiða 20 albúm?

497.

Handabönd Á starfsmannafundi tekur sérhver starfsmaður í hönd allra hinna. Fjöldi handabanda er gefinn með stæðunni $\frac{n^{2} - n}{2}$ , þar sem $n$ táknar fjölda starfsmanna. Hve mörg handabönd verða tekin ef 10 starfsmenn eru á fundinum?

Ritunarverkefni

498.

James deilir $48 y + 6$ með 6 á þennan hátt: $\frac{48 y + 6}{6} = 48 y$ . Hvað er rangt við röksemd hans?

499.

Deilið $\frac{10 x^{2} + x - 12}{2 x}$ og útskýrið með orðum hvernig hver liður kvótans fæst.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.

Þetta er tafla með þremur röðum og fjórum dálkum. Í fyrstu röðinni, sem er fyrirsagnarröð, stendur frá vinstri til hægri: „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei, ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get …“ stendur „deilt margliðu með einlið“ og „deilt margliðu með tvílið“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Þegar þið hafið farið yfir gátlistann, hvað ætlið þið að gera til að ná öruggum tökum á öllum markmiðunum?