66 Margliður

6.2 Notið margföldunarreglur velda

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

einfaldað stæður með veldisvísum
einfaldað stæður með margfeldisreglunni fyrir veldi
einfaldað stæður með reglunni um veldi af veldi
einfaldað stæður með reglunni um margfeldi í veldi
einfaldað stæður með því að beita nokkrum reglum
margfaldað einliði

Einfaldið stæður með veldisvísum

Munið að veldisvísir táknar endurtekna margföldun sömu stærðar. Til dæmis merkir $2^{4}$ að margfalda töluna 2 með sjálfri sér 4 sinnum og því merkir $2^{4}$ stæðuna $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Rifjum upp orðaforða stæðna með veldisvísum.

Áður en við vinnum með stæður með breytum og veldisvísum skulum við einfalda nokkrar stæður sem innihalda aðeins tölur.

Dæmi 6.16

Einfaldið: ⓐ $4^{3}$ ⓑ $7^{1}$ ⓒ ${(\frac{5}{6})}^{2}$ ⓓ ${(0.63)}^{2} .$

Lausn

ⓐ	4 3
Margfaldið saman þrjá þætti sem allir eru 4.	4 · 4
Einfaldið.	64
ⓑ	7 1
Margfaldið einn þátt, 7.	7
ⓒ	( $\frac{5}{6}$ ) 2
Margfaldið saman tvo þætti.	( $\frac{5}{6}$ )
Einfaldið.	$\frac{25}{36}$
ⓓ	( 0.63 ) 2
Margfaldið saman tvo þætti.	( 0.63 ) ( 0.63 )
Einfaldið.	0.3969

Dæmi 6.17

Einfaldið: ⓐ ${(−5)}^{4}$ ⓑ $− 5^{4} .$

Lausn

ⓐ	( −5 ) 4
Margfaldið saman fjóra þætti sem allir eru −5.	( −5 ) ( −5 )
Einfaldið.	625
ⓑ	− 5 4
Margfaldið saman fjóra þætti sem allir eru 5.	− ( 5 · 5 · 5 · 5 )
Einfaldið.	−625

Takið eftir því hvað er líkt og ólíkt í dæmi 6.17ⓐ og dæmi 6.17ⓑ! Hvers vegna eru svörin ólík? Þegar við fylgjum forgangsröð reikniaðgerða í ⓐ-lið sýna svigarnir að $(−5)$ á að hefja í 4^. veldi. Í ⓑ-lið hefjum við aðeins 5 í 4^. veldi og tökum síðan samlagningarandhverfuna.

Einfaldið stæður með margfeldisreglunni fyrir veldi

Þið hafið séð að þegar samkynja liðir eru lagðir saman eða dregnir frá verða þeir að hafa sömu grunntölu með sama veldisvísi. Við margföldun og deilingu mega veldisvísarnir hins vegar vera ólíkir og stundum grunntölurnar líka.

Við leiðum veldisreglurnar út með því að leita að mynstrum í nokkrum dæmum.

Fyrst skoðum við dæmi sem leiðir til margfeldisreglunnar.


Hvað merkir þetta? Hve margir eru þættirnir samtals?
Því höfum við
Athugið að 5 er summa veldisvísanna 2 og 3.

Við ritum:

\begin{matrix} x^{2} \cdot x^{3} \\ x^{2 + 3} \\ x^{5} \end{matrix}

Grunntalan hélst óbreytt og við lögðum veldisvísana saman. Þetta leiðir til margfeldisreglunnar fyrir veldi.

Dæmi með tölum hjálpar okkur að sannreyna regluna.

\begin{matrix} 2^{2} \cdot 2^{3} & \overset{?}{=} & 2^{2 + 3} \\ 4 \cdot 8 & \overset{?}{=} & 2^{5} \\ 32 & = & 32 ✓ \end{matrix}

Dæmi 6.18

Einfaldið: $y^{5} \cdot y^{6} .$

Lausn


Notið margfeldisregluna, am · an = am+n.
Einfaldið.

Dæmi 6.19

Einfaldið: ⓐ $2^{5} \cdot 2^{9}$ ⓑ $3 \cdot 3^{4} .$

Lausn

ⓐ

Notið margfeldisregluna, a^m · aⁿ = a^m+n.

Einfaldið.
ⓑ

Notið margfeldisregluna, a^m · aⁿ = a^m+n.

Einfaldið.

Dæmi 6.20

Einfaldið: ⓐ $a^{7} \cdot a$ ⓑ $x^{27} \cdot x^{13} .$

Lausn

ⓐ

Endurritið a = a¹.

Notið margfeldisregluna, a^m · aⁿ = a^m+n.

Einfaldið.
ⓑ

Athugið að grunntölurnar eru eins og því leggjum við veldisvísana saman.

Einfaldið.

Við getum útvíkkað margfeldisregluna fyrir veldi yfir í fleiri en tvo þætti.

Dæmi 6.21

Einfaldið: $d^{4} \cdot d^{5} \cdot d^{2} .$

Lausn


Leggið veldisvísana saman þar sem grunntölurnar eru eins.
Einfaldið.

Einfaldið stæður með reglunni um veldi af veldi

Skoðum nú veldisstæðu þar sem veldi er hafið í veldi. Reynið að finna almennu regluna.


Hvað merkir þetta? Hve margir eru þættirnir samtals?
Því höfum við
Athugið að 6 er margfeldi veldisvísanna 2 og 3.

Við ritum:

\begin{matrix} {(x^{2})}^{3} \\ x^{2 \cdot 3} \\ x^{6} \end{matrix}

Við margfölduðum veldisvísana. Þetta leiðir til reglunnar um veldi af veldi.

Dæmi með tölum hjálpar okkur að sannreyna regluna.

\begin{matrix} {(3^{2})}^{3} & \overset{?}{=} & 3^{2 \cdot 3} \\ {(9)}^{3} & \overset{?}{=} & 3^{6} \\ 729 & = & 729 ✓ \end{matrix}

Dæmi 6.22

Einfaldið: ⓐ ${(y^{5})}^{9}$ ⓑ ${(4^{4})}^{7} .$

Lausn

ⓐ


Notið regluna um veldi af veldi, (am)n = am·n.
Einfaldið.

ⓑ


Notið regluna um veldi af veldi.
Einfaldið.

Einfaldið stæður með reglunni um margfeldi í veldi

Skoðum nú stæðu sem inniheldur margfeldi hafið í veldi. Getið þið fundið mynstrið?

	( 2 x ) 3
Hvað merkir þetta?	2 x · 2 x · 2 x
Við setjum sams konar þætti saman.	2 · 2 · 2 · x · x · x
Hve margir eru þættirnir 2 og hve margir x?	2 3 · x 3

Athugið að hver þáttur var hafinn í sama veldi og ${(2 x)}^{3}$ er $2^{3} \cdot x^{3}$ .

Við ritum:	( 2 x ) 3
	2 3 · x 3

Veldisvísirinn gildir um hvern þátt! Þetta leiðir til reglunnar um margfeldi í veldi.

Dæmi með tölum hjálpar okkur að sannreyna regluna:

\begin{matrix} {(2 \cdot 3)}^{2} & \overset{?}{=} & 2^{2} \cdot 3^{2} \\ 6^{2} & \overset{?}{=} & 4 \cdot 9 \\ 36 & = & 36 ✓ \end{matrix}

Dæmi 6.23

Einfaldið: ⓐ ${(−9 d)}^{2}$ ⓑ ${(3 m n)}^{3} .$

Lausn

ⓐ

Notið regluna um margfeldi í veldi, (ab)^m = a^mb^m.

Einfaldið.
ⓑ

Notið regluna um margfeldi í veldi, (ab)^m = a^mb^m.

Einfaldið.

Einfaldið stæður með því að beita nokkrum reglum

Við höfum nú þrjár reglur til að margfalda stæður með veldisvísum. Tökum þær saman og leysum síðan dæmi þar sem fleiri en ein regla er notuð.

Allar veldisreglurnar gilda fyrir hvaða rauntölur $m og n$ sem er. Enn sem komið er notum við aðeins veldisvísa sem eru annaðhvort núll eða jákvæðar heiltölur.

Dæmi 6.24

Einfaldið: ⓐ ${(y^{3})}^{6} {(y^{5})}^{4}$ ⓑ ${(−6 x^{4} y^{5})}^{2} .$

Lausn

ⓐ	( y³ ) 6 ( y⁵ ) 4
Notið regluna um veldi af veldi.	y¹⁸ · y²⁰
Leggið veldisvísana saman.	y 38
ⓑ	( −6 x⁴ y⁵ ) 2
Notið regluna um margfeldi í veldi.	( −6 ) 2 ( x⁴ ) 2 ( y⁵ ) 2
Notið regluna um veldi af veldi.	( −6 ) 2
Einfaldið.	36 x 8 y 10

Dæmi 6.25

Einfaldið: ⓐ ${(5 m)}^{2} (3 m^{3})$ ⓑ ${(3 x^{2} y)}^{4} {(2 x y^{2})}^{3} .$

Lausn

ⓐ	( 5 m ) 2 ( 3 m³ )
Hefjið 5 m í annað veldi.	5 2 m² · 3 m³
Einfaldið.	25 m² · 3 m³
Notið víxlregluna.	25 · 3 · m² · m³
Margfaldið fastana og leggið veldisvísana saman.	75 m 5
ⓑ	( 3 x² y ) 4 ( 2 x y² ) 3
Notið regluna um margfeldi í veldi.	( 3 4 x⁸ y⁴ ) ( 2 3 x³ y⁶ )
Einfaldið.	( 81 x⁸ y⁴ ) ( 8 x³ y⁶ )
Notið víxlregluna.	81 · 8 · x⁸ · x³ · y⁴ · y⁶
Margfaldið fastana og leggið veldisvísana saman.	648 x 11 y 10

Margfaldið einliði

Þar sem einliður er algebrustæða getum við notað veldisreglurnar til að margfalda einliði.

Dæmi 6.26

Margfaldið: $(3 x^{2}) (−4 x^{3}) .$

Lausn

	( 3 x² ) ( −4 x³ )
Notið víxlregluna til að endurraða liðunum.	3 · ( −4 ) · x² · x³
Margfaldið.	−12 x⁵

Dæmi 6.27

Margfaldið: $(\frac{5}{6} x^{3} y) (12 x y^{2}) .$

Lausn

	( 5/6 x³ y ) ( 12 x y² )
Notið víxlregluna til að endurraða liðunum.	5/6 · 12 · x³ · x · y · y²
Margfaldið.	10 x 4 y 3

Verkefni úr hluta 6.2

Æfingin skapar meistarann

Einfaldið stæður með veldisvísum

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið einfalda hverja stæðu með veldisvísum.

88.

ⓐ $3^{5}$ ⓑ $9^{1}$ ⓒ ${(\frac{1}{3})}^{2}$ ⓓ ${(0.2)}^{4}$

89.

ⓐ $10^{4}$ ⓑ $17^{1}$ ⓒ ${(\frac{2}{9})}^{2}$ ⓓ ${(0.5)}^{3}$

90.

ⓐ $2^{6}$ ⓑ $14^{1}$ ⓒ ${(\frac{2}{5})}^{3}$ ⓓ ${(0.7)}^{2}$

91.

ⓐ $8^{3}$ ⓑ $8^{1}$ ⓒ ${(\frac{3}{4})}^{3}$ ⓓ ${(0.4)}^{3}$

92.

ⓐ ${(−6)}^{4}$ ⓑ $− 6^{4}$

93.

ⓐ ${(−2)}^{6}$ ⓑ $− 2^{6}$

94.

ⓐ $− {(\frac{1}{4})}^{4}$ ⓑ ${(- \frac{1}{4})}^{4}$

95.

ⓐ $− {(\frac{2}{3})}^{2}$ ⓑ ${(- \frac{2}{3})}^{2}$

96.

ⓐ $− {0.5}^{2}$ ⓑ ${(−0.5)}^{2}$

97.

ⓐ $− {0.1}^{4}$ ⓑ ${(−0.1)}^{4}$

Einfaldið stæður með margfeldisreglunni fyrir veldi

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið einfalda hverja stæðu með margfeldisreglunni fyrir veldi.

98.

$d^{3} \cdot d^{6}$

99.

$x^{4} \cdot x^{2}$

100.

$n^{19} \cdot n^{12}$

101.

$q^{27} \cdot q^{15}$

102.

ⓐ $4^{5} \cdot 4^{9}$ ⓑ $8^{9} \cdot 8$

103.

ⓐ $3^{10} \cdot 3^{6}$ ⓑ $5 \cdot 5^{4}$

104.

ⓐ $y \cdot y^{3}$ ⓑ $z^{25} \cdot z^{8}$

105.

ⓐ $w^{5} \cdot w^{}$ ⓑ $u^{41} \cdot u^{53}$

106.

$w \cdot w^{2} \cdot w^{3}$

107.

$y \cdot y^{3} \cdot y^{5}$

108.

$a^{4} \cdot a^{3} \cdot a^{9}$

109.

$c^{5} \cdot c^{11} \cdot c^{2}$

110.

$m^{x} \cdot m^{3}$

111.

$n^{y} \cdot n^{2}$

112.

$y^{a} \cdot y^{b}$

113.

$x^{p} \cdot x^{q}$

Einfaldið stæður með reglunni um veldi af veldi

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið einfalda hverja stæðu með reglunni um veldi af veldi.

114.

ⓐ ${(m^{4})}^{2}$ ⓑ ${(10^{3})}^{6}$

115.

ⓐ ${(b^{2})}^{7}$ ⓑ ${(3^{8})}^{2}$

116.

ⓐ ${(y^{3})}^{x}$ ⓑ ${(5^{x})}^{y}$

117.

ⓐ ${(x^{2})}^{y}$ ⓑ ${(7^{a})}^{b}$

Einfaldið stæður með reglunni um margfeldi í veldi

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið einfalda hverja stæðu með reglunni um margfeldi í veldi.

118.

ⓐ ${(6 a)}^{2}$ ⓑ ${(3 x y)}^{2}$

119.

ⓐ ${(5 x)}^{2}$ ⓑ ${(4 a b)}^{2}$

120.

ⓐ ${(−4 m)}^{3}$ ⓑ ${(5 a b)}^{3}$

121.

ⓐ ${(−7 n)}^{3}$ ⓑ ${(3 x y z)}^{4}$

Einfaldið stæður með því að beita nokkrum reglum

Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.

122.

ⓐ ${(y^{2})}^{4} \cdot {(y^{3})}^{2}$ ⓑ ${(10 a^{2} b)}^{3}$

123.

ⓐ ${(w^{4})}^{3} \cdot {(w^{5})}^{2}$ ⓑ ${(2 x y^{4})}^{5}$

124.

ⓐ ${(−2 r^{3} s^{2})}^{4}$ ⓑ ${(m^{5})}^{3} \cdot {(m^{9})}^{4}$

125.

ⓐ ${(−10 q^{2} p^{4})}^{3}$ ⓑ ${(n^{3})}^{10} \cdot {(n^{5})}^{2}$

126.

ⓐ ${(3 x)}^{2} (5 x)$ ⓑ ${(5 t^{2})}^{3} {(3 t)}^{2}$

127.

ⓐ ${(2 y)}^{3} (6 y)$ ⓑ ${(10 k^{4})}^{3} {(5 k^{6})}^{2}$

128.

ⓐ ${(5 a)}^{2} {(2 a)}^{3}$ ⓑ ${(\frac{1}{2} y^{2})}^{3} {(\frac{2}{3} y)}^{2}$

129.

ⓐ ${(4 b)}^{2} {(3 b)}^{3}$ ⓑ ${(\frac{1}{2} j^{2})}^{5} {(\frac{2}{5} j^{3})}^{2}$

130.

ⓐ ${(\frac{2}{5} x^{2} y)}^{3}$ ⓑ ${(\frac{8}{9} x y^{4})}^{2}$

131.

ⓐ ${(2 r^{2})}^{3} {(4 r)}^{2}$ ⓑ ${(3 x^{3})}^{3} {(x^{5})}^{4}$

132.

ⓐ ${(m^{2} n)}^{2} {(2 m n^{5})}^{4}$ ⓑ ${(3 p q^{4})}^{2} {(6 p^{6} q)}^{2}$

Margfaldið einliði

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið margfalda einliðina.

133.

$(6 y^{7}) (−3 y^{4})$

134.

$(−10 x^{5}) (−3 x^{3})$

135.

$(−8 u^{6}) (−9 u)$

136.

$(−6 c^{4}) (−12 c)$

137.

$(\frac{1}{5} f^{8}) (20 f^{3})$

138.

$(\frac{1}{4} d^{5}) (36 d^{2})$

139.

$(4 a^{3} b) (9 a^{2} b^{6})$

140.

$(6 m^{4} n^{3}) (7 m n^{5})$

141.

$(\frac{4}{7} r s^{2}) (14 r s^{3})$

142.

$(\frac{5}{8} x^{3} y) (24 x^{5} y)$

143.

$(\frac{2}{3} x^{2} y) (\frac{3}{4} x y^{2})$

144.

$(\frac{3}{5} m^{3} n^{2}) (\frac{5}{9} m^{2} n^{3})$

Blönduð verkefni

Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.

145.

${(x^{2})}^{4} \cdot {(x^{3})}^{2}$

146.

${(y^{4})}^{3} \cdot {(y^{5})}^{2}$

147.

${(a^{2})}^{6} \cdot {(a^{3})}^{8}$

148.

${(b^{7})}^{5} \cdot {(b^{2})}^{6}$

149.

${(2 m^{6})}^{3}$

150.

${(3 y^{2})}^{4}$

151.

${(10 x^{2} y)}^{3}$

152.

${(2 m n^{4})}^{5}$

153.

${(−2 a^{3} b^{2})}^{4}$

154.

${(−10 u^{2} v^{4})}^{3}$

155.

${(\frac{2}{3} x^{2} y)}^{3}$

156.

${(\frac{7}{9} p q^{4})}^{2}$

157.

${(8 a^{3})}^{2} {(2 a)}^{4}$

158.

${(5 r^{2})}^{3} {(3 r)}^{2}$

159.

${(10 p^{4})}^{3} {(5 p^{6})}^{2}$

160.

${(4 x^{3})}^{3} {(2 x^{5})}^{4}$

161.

${(\frac{1}{2} x^{2} y^{3})}^{4} {(4 x^{5} y^{3})}^{2}$

162.

${(\frac{1}{3} m^{3} n^{2})}^{4} {(9 m^{8} n^{3})}^{2}$

163.

${(3 m^{2} n)}^{2} {(2 m n^{5})}^{4}$

164.

${(2 p q^{4})}^{3} {(5 p^{6} q)}^{2}$

Stærðfræði daglegs lífs

165.

Tölvupóstur Kate sendir tíu vinum sínum auglýsingablað í tölvupósti og biður þá að framsenda það til tíu vina sinna, sem framsenda það aftur til tíu vina sinna og þannig koll af kolli. Fjöldi þeirra sem fá tölvupóstinn í annarri umferð er $10^{2}$ , og í þriðju umferð $10^{3}$ , eins og taflan hér fyrir neðan sýnir. Hve margir fá tölvupóstinn í sjöttu umferð? Einfaldið stæðuna til að sýna fjölda viðtakenda.

Umferð	Fjöldi fólks
1	10
2	10 2
3	10 3
…	…
6	?

166.

Laun Yfirmaður Jamals veitir honum 3% launahækkun á afmælisdegi hans ár hvert. Það merkir að laun Jamals verða á hverju ári 1,03 sinnum laun fyrra árs. Ef upphafleg laun hans voru $35.000 voru launin eftir 1 ár $$ 35,000 (1.03)$ , eftir 2 ár $$ 35,000 {(1.03)}^{2}$ , og eftir 3 ár $$ 35,000 {(1.03)}^{3}$ , eins og taflan hér fyrir neðan sýnir. Hver verða laun Jamals eftir 10 ár? Einfaldið stæðuna til að sýna launin í dollurum.

Ár	Laun
1	$ 35,000 ( 1.03 )
2	$ 35,000 ( 1.03 ) 2
3	$ 35,000 ( 1.03 ) 3
…	…
10	?

167.

Útsala Vöruhús selur eldri vörur á útsölu til að rýma fyrir nýjum birgðum. Áætlunin er að lækka verð varanna um 30% á viku. Það merkir að verð vöru er í hverri viku 70% af verði vikunnar á undan. Ef upphaflegt verð sófa var $1.000 yrði verðið fyrstu vikuna $$ 1,000 (0.70)$ og aðra vikuna $$ 1,000 {(0.70)}^{2}$ . Fyllið út töfluna hér fyrir neðan. Hvert verður verð sófans í fimmtu viku? Einfaldið stæðuna til að sýna verðið í dollurum.

Vika	Verð
1	$ 1,000 ( 0.70 )
2	$ 1,000 ( 0.70 ) 2
3
4	…
5	?

168.

Afskrift Um leið og nýjum bíl er ekið frá bílasalanum tekur verðgildi hans að lækka. Á hverju ári lækkar verðgildi bíls um 10%. Það merkir að verðgildi bílsins verður á hverju ári 90% af verðgildi ársins á undan. Ef nýr bíll var keyptur á $20.000 yrði verðgildi hans í lok fyrsta árs $$ 20,000 (0.90)$ og í lok annars árs $$ 20,000 {(0.90)}^{2}$ . Fyllið út töfluna hér fyrir neðan. Hvert verður verðgildi bílsins í lok áttunda árs? Einfaldið stæðuna til að sýna verðgildið í dollurum.

Ár	Verðgildi
1	$ 20,000 ( 0.90 )
2	$ 20,000 ( 0.90 ) 2
3
…	…
8	?

Ritunarverkefni

169.

Notið margfeldisregluna fyrir veldi til að útskýra hvers vegna $x \cdot x = x^{2}$ .

170.

Útskýrið hvers vegna $− 5^{3} = {(−5)}^{3}$ en $− 5^{4} \neq {(−5)}^{4}$ .

171.

Jorge telur að ${(\frac{1}{2})}^{2}$ sé 1. Hvað er rangt við röksemdafærslu hans?

172.

Útskýrið hvers vegna $x^{3} \cdot x^{5}$ er $x^{8}$ , en ekki $x^{15}$ .

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.

Taflan hefur sjö raðir og fjóra dálka. Fyrsta röðin er hausaröð og í reitunum stendur frá vinstri til hægri: „Ég get…“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei—ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get…“ stendur: „einfaldað stæður með veldisvísum“, „einfaldað stæður með margfeldisreglunni fyrir veldi“, „einfaldað stæður með reglunni um veldi af veldi“, „einfaldað stæður með reglunni um margfeldi í veldi“, „einfaldað stæður með því að beita nokkrum reglum“ og „margfaldað einliði“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Þegar þið hafið farið yfir gátlistann skuluð þið ákveða hvað þið gerið til að ná öllum markmiðunum af öryggi.

Margfeldisregla	a m · a n = a m + n
Reglan um veldi af veldi	( a m ) n = a m · n
Reglan um margfeldi í veldi	( a b ) m = a m b m


Notið margfeldisregluna, a^m · aⁿ = a^m+n.
Einfaldið.


Endurritið a = a¹.
Notið margfeldisregluna, a^m · aⁿ = a^m+n.
Einfaldið.


Athugið að grunntölurnar eru eins og því leggjum við veldisvísana saman.
Einfaldið.


Notið regluna um margfeldi í veldi, (ab)^m = a^mb^m.
Einfaldið.