44 Brot

4.2 Margföldun og deiling brota

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Stytt brot
Margfaldað brot
Fundið margföldunarandhverfur
Deilt brotum

Stytting brota

Þegar þið unnuð með jafngild brot sáuð þið að rita má brot á marga vegu þannig að þau hafi sama gildi eða tákni sama hluta heildar. Hvernig vitið þið hvaða brot á að nota? Oft notum við fullstytta brotið.

Brot telst fullstytt ef teljari þess og nefnari hafa enga sameiginlega þætti aðra en $1,$ hvort sem litið er á teljara eða nefnara. Ef teljari og nefnari brots hafa sameiginlega þætti getum við stytt brotið með því að deila þeim út.

Til dæmis:

$\frac{2}{3}$ er fullstytt vegna þess að eftirfarandi tölur hafa enga sameiginlega þætti: $2$ og $3 .$
$\frac{10}{15}$ er ekki fullstytt vegna þess að $5$ er sameiginlegur þáttur eftirfarandi talna: $10$ og $15 .$

Ferlið við að einfalda brot er oft kallað að stytta brotið. Í síðasta hluta notuðum við regluna um jafngild brot til að finna jafngild brot. Einnig má nota regluna í öfuga átt til að stytta brot. Við ritum nú báðar gerðir reglunnar saman.

Takið eftir að $c$ er sameiginlegur þáttur teljarans og nefnarans. Þegar teljari og nefnari hafa sameiginlegan þátt má deila honum út.

Dæmi 4.19

Styttið: $\frac{10}{15} .$

Lausn

Til að stytta brotið leitum við að sameiginlegum þáttum teljarans og nefnarans.

Takið eftir að 5 er þáttur bæði 10 og 15.	1 0 1 5 $\frac{10}{15}$
Þáttið teljarann og nefnarann.
Fellið brott sameiginlegu þættina.
Einfaldið.	2 3 $\frac{2}{3}$

Neikvætt brot er stytt á sama hátt og í sýnidæmi 4.19. Munið að halda mínusmerkinu.

Dæmi 4.20

Styttið: $- \frac{18}{24} .$

Lausn

Við tökum eftir að 18 og 24 hafa bæði þáttinn 6.	− 1 8 2 4 − $\frac{18}{24}$
Endurritið teljarann og nefnarann þannig að sameiginlegi þátturinn sjáist.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.	− 3 4 − $\frac{3}{4}$

Eftir að brot hefur verið stytt er alltaf mikilvægt að athuga svarið og ganga úr skugga um að teljari og nefnari eigi ekki fleiri sameiginlega þætti. Munið skilgreininguna á fullstyttu broti: Brot telst fullstytt ef teljari þess og nefnari hafa enga sameiginlega þætti.

Þegar óeiginlegt brot er stytt þarf ekki að breyta því í blandaða tölu.

Dæmi 4.21

Styttið: $- \frac{56}{32} .$

Lausn

	− 5 6 3 2 − $\frac{56}{32}$
Endurritið teljarann og nefnarann þannig að sameiginlegi þátturinn 8 sjáist.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.	− 7 4 − $\frac{7}{4}$

Stundum er ekki auðvelt að finna sameiginlega þætti teljarans og nefnarans. Þá er gott að frumþátta teljarann og nefnarann. (Þið getið notað þáttatré til að finna frumþættina.) Deilið síðan út sameiginlegum þáttum með reglunni um jafngild brot.

Dæmi 4.22

Styttið: $\frac{210}{385} .$

Lausn

Notið þáttatré til að frumþátta teljarann og nefnarann.	2 1 0 3 8 5 $\frac{210}{385}$
Endurritið teljarann og nefnarann sem margfeldi frumþáttanna.	2 1 0 3 8 5 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 5 ⋅ 7 ⋅ 1 1 $\frac{210}{385}$ = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ 7 ⋅ 11
Fellið brott sameiginlegu þættina.
Einfaldið.	2 ⋅ 3 1 1 2 ⋅ $\frac{3}{11}$
Margfaldið saman þá þætti sem eftir eru.	6 1 1 $\frac{6}{11}$

Einnig má stytta brot sem innihalda breytur. Ef breyta er sameiginlegur þáttur teljarans og nefnarans, deilum við henni út á sama hátt og heiltöluþætti.

Dæmi 4.23

Styttið: $\frac{5 x y}{15 x} .$

Lausn

	5 ⁢ 𝑥 ⁢ 𝑦 1 5 ⁢ 𝑥 5 ⁢ x ⁢ y/15 ⁢ x
Endurritið teljarann og nefnarann þannig að sameiginlegir þættir sjáist.	5 · 𝑥 · 𝑦 3 · 5 · 𝑥 5 · x · y/3 · 5 · x
Fellið út sameiginlega þætti.	5 · 𝑥 · 𝑦 3 · 5 · 𝑥 5 · x · y/3 · 5 · x
Einfaldið.	𝑦 3 y/3

Margföldun brota

Líkan getur hjálpað ykkur að skilja margföldun brota. Við notum brotarenninga til að sýna $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} .$ Þegar $\frac{1}{2}$ er margfaldað með $\frac{3}{4},$ fáum við $\frac{1}{2}$ af $\frac{3}{4} .$

Byrjið með brotarenninga sem sýna þrjá fjórðu. Til að finna helminginn af þremur fjórðu þurfum við að skipta þeim í tvo jafna hópa. Þar sem ekki er hægt að skipta þremur $\frac{1}{4}$ -renningum jafnt í tvo hluta skiptum við þeim út fyrir minni renninga.

Rétthyrningi er skipt lóðrétt í þrjá jafna hluta. Hver hluti er merktur sem einn fjórði. Ör vísar á eins rétthyrning sem skipt er lóðrétt í sex jafna hluta. Hver hluti er merktur sem einn áttundi. Slaufusvigar sýna að þrír þessara hluta tákna þrjá áttundu.

Við sjáum að $\frac{6}{8}$ jafngildir $\frac{3}{4} .$ Helmingurinn af sex $\frac{1}{8}$ -renningum er þrír $\frac{1}{8}$ -renningar, það er $\frac{3}{8} .$

Því gildir:

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

Dæmi 4.24

Notið mynd til að sýna með líkani: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} .$

Lausn

Skyggið fyrst $\frac{3}{4}$ af rétthyrningnum.

Rétthyrningi er skipt lóðrétt í fjóra jafna hluta og þrír þeirra eru skyggðir.

Við tökum $\frac{1}{2}$ af þessum $\frac{3}{4},$ sem þýðir að við skyggjum $\frac{1}{2}$ af skyggða svæðinu dekkri.

Rétthyrningi er skipt lóðrétt í fjóra jafna hluta og þrír þeirra eru skyggðir. Lárétt lína skiptir rétthyrningnum jafnframt í átta jafna hluta. Þrír af hlutunum átta eru skyggðir dekkri.

Takið eftir að $3$ af $8$ hlutum eru skyggðir dekkri. Það merkir að $\frac{3}{8}$ af rétthyrningnum eru skyggðir dekkri.

Því er $\frac{1}{2}$ af $\frac{3}{4}$ jafnt $\frac{3}{8},$ eða $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} .$

Skoðið niðurstöðuna úr líkaninu í sýnidæmi 4.24. Við fundum að $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} .$ Takið þið eftir að við hefðum getað fengið sama svar með því að margfalda teljarana saman og nefnarana saman?

	1 2 · 3 4 1/2 · 3/4
Margfaldið teljarana saman og nefnarana saman.	1 2 · 3 4 1/2 · 3/4
Einfaldið.	3 8 3/8

Þetta leiðir til skilgreiningarinnar á margföldun brota. Til að margfalda brot margföldum við teljarana saman og nefnarana saman. Síðan ritum við svarið sem fullstytt brot.

Dæmi 4.25

Margfaldið og ritið svarið sem fullstytt brot: $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5} .$

Lausn

	3 4 · 1 5 $\frac{3}{4}$ · $\frac{1}{5}$
Margfaldið teljarana saman og nefnarana saman.	3 · 1 4 · 5 3 · $\frac{1}{4}$ · 5
Einfaldið.	3 2 0 $\frac{3}{20}$

Engir sameiginlegir þættir eru til staðar og því er brotið fullstytt.

Reglur um jákvæðar og neikvæðar tölur gilda áfram þegar brot eru margfölduð. Gott er að ákvarða formerki margfeldisins í fyrsta skrefi. Í sýnidæmi 4.26 margföldum við tvær neikvæðar tölur og margfeldið verður því jákvætt.

Dæmi 4.26

Margfaldið og ritið svarið sem fullstytt brot: $- \frac{5}{8} (- \frac{2}{3}) .$

Lausn

	− 5 8 ⁢ ( − 2 3 ) − $\frac{5}{8}$ ⁢ ( − $\frac{2}{3}$ )
Formerkin eru eins og því er margfeldið jákvætt. Margfaldið teljarana saman og nefnarana saman.	5 ⋅ 2 8 ⋅ 3 5 ⋅ $\frac{2}{8}$ ⋅ 3
Einfaldið.	1 0 2 4 $\frac{10}{24}$
Leitið að sameiginlegum þáttum teljarans og nefnarans. Endurritið brotið þannig að sameiginlegir þættir sjáist.
Fellið út sameiginlega þætti.	5 1 2 $\frac{5}{12}$

Einnig má finna margfeldið með því að deila fyrr út sameiginlegum þáttum.

	− 5 8 ⁢ ( − 2 3 ) − $\frac{5}{8}$ ⁢ ( − $\frac{2}{3}$ )
Ákvarðið formerki margfeldisins og margfaldið.	5 ⋅ 2 8 ⋅ 3 5 ⋅ $\frac{2}{8}$ ⋅ 3
Sýnið sameiginlega þætti og deilið þeim síðan út.
Margfaldið saman þá þætti sem eftir eru.	5 1 2 $\frac{5}{12}$

Við fáum sömu niðurstöðu.

Dæmi 4.27

Margfaldið og ritið svarið sem fullstytt brot: $- \frac{14}{15} \cdot \frac{20}{21} .$

Lausn

	− 1 4 1 5 · 2 0 2 1 − $\frac{14}{15}$ · $\frac{20}{21}$
Ákvarðið formerki margfeldisins og margfaldið.	− 1 4 1 5 · 2 0 2 1 − $\frac{14}{15}$ · $\frac{20}{21}$
Eru teljari og nefnari með einhverja sameiginlega þætti?Við vitum að 7 er þáttur bæði 14 og 21 og að 5 er þáttur bæði 20 og 15.
Endurritið þannig að sameiginlegu þættirnir sjáist.
Fellið brott sameiginlegu þættina.	− 2 · 4 3 · 3 − 2 · $\frac{4}{3}$ · 3
Margfaldið saman þá þætti sem eftir eru.	− 8 9 − $\frac{8}{9}$

Þegar brot er margfaldað með heiltölu getur verið gagnlegt að rita heiltöluna sem brot. Sérhverja heiltölu, til dæmis $a,$ má rita sem $\frac{a}{1} .$ Þannig er $3 = \frac{3}{1},$

Dæmi 4.28

Margfaldið og ritið svarið sem fullstytt brot:

ⓐ 17 ·56 $\frac{1}{7} \cdot 56$

ⓑ 125⁢(−20⁢𝑥) $\frac{12}{5} (−20 x)$

Lausn

ⓐ
	1 7 · 5 6 $\frac{1}{7}$ · 56
Ritið 56 sem brot.	1 7 · 5 6 1 $\frac{1}{7}$ · $\frac{56}{1}$
Ákvarðið formerki margfeldisins og margfaldið.	5 6 7 $\frac{56}{7}$
Einfaldið.	8 8

ⓑ
	1 2 5 ⁢ ( − 2 0 ⁢ 𝑥 ) $\frac{12}{5}$ ⁢ ( −20 ⁢ x )
Ritið −20x sem brot.	1 2 5 ⁢ ( − 2 0 ⁢ 𝑥 1 ) $\frac{12}{5}$ ⁢ ( −20 ⁢ x/1 )
Ákvarðið formerki margfeldisins og margfaldið.	− 1 2 · 2 0 · 𝑥 5 · 1 − 12 · 20 · x/5 · 1
Sýnið sameiginlega þætti og deilið þeim síðan út.
Margfaldið saman þá þætti sem eftir eru og einfaldið.	−48x

Margföldunarandhverfur fundnar

Brotin $\frac{2}{3}$ og $\frac{3}{2}$ tengjast á sérstakan hátt. Hið sama á við um $- \frac{10}{7}$ og $- \frac{7}{10} .$ Sjáið þið hvernig? Auk þess að líta út eins og hvort þeirra sé á hvolfi miðað við hitt verður margfeldi hvors brotapars $1 .$

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 og - \frac{10}{7} (- \frac{7}{10}) = 1

Slík talnapör kallast margföldunarandhverfur.

Til að finna margföldunarandhverfu brots snúum við brotinu við. Það merkir að teljarinn verður nefnari og nefnarinn verður teljari.

Til að margfeldi tveggja talna sé jákvætt verða tölurnar að hafa sama formerki. Margföldunarandhverfur hafa því sama formerki.

„a“ deilt með „b“, margfaldað með „b“ deilt með „a“, er jafnt og einn.

Til að finna margföldunarandhverfuna skuluð þið halda sama formerki og snúa brotinu við. Talan núll á enga margföldunarandhverfu. Hvers vegna? Margfeldi tölu og margföldunarandhverfu hennar er $1 .$ Er til einhver tala $r$ þannig að $0 \cdot r = 1 ?$ Nei. Talan $0$ á því enga margföldunarandhverfu.

Dæmi 4.29

Finnið margföldunarandhverfu hverrar tölu. Sannreynið síðan að margfeldi hverrar tölu og margföldunarandhverfu hennar sé $1 .$

ⓐ 49 $\frac{4}{9}$
ⓑ −16 $- \frac{1}{6}$
ⓒ −145 $- \frac{14}{5}$
ⓓ 7 $7$

Lausn

Til að finna margföldunarandhverfurnar höldum við formerkinu og snúum brotunum við.

ⓐ
Finnið margföldunarandhverfu $\frac{4}{9}$ .	Margföldunarandhverfa $\frac{4}{9}$ er $\frac{9}{4}$ .
Sannprófun:
Margfaldið töluna með margföldunarandhverfu hennar.	4 9 ⋅ 9 4 $\frac{4}{9}$ ⋅ $\frac{9}{4}$
Margfaldið teljarana saman og nefnarana saman.	3 6 3 6 $\frac{36}{36}$
Einfaldið.	1 ⁢ ✓ 1 ⁢ ✓

ⓑ
Finnið margföldunarandhverfu - $\frac{1}{6}$ .	− 6 1 - $\frac{6}{1}$
Einfaldið.	− 6 - 6
Sannprófun:	− 1 6 ⋅ ( − 6 ) - $\frac{1}{6}$ ⋅ ( - 6 )
	1 ⁢ ✓ 1 ⁢ ✓

ⓒ
Finnið margföldunarandhverfu - $\frac{14}{5}$ .	− 5 1 4 - $\frac{5}{14}$
Sannprófun:	− 1 4 5 ⋅ ( − 5 1 4 ) - $\frac{14}{5}$ ⋅ ( - $\frac{5}{14}$ )
	7 0 7 0 $\frac{70}{70}$
	1 ⁢ ✓ 1 ⁢ ✓

ⓓ
Finnið margföldunarandhverfu 7.
Ritið 7 sem brot.	7 1 $\frac{7}{1}$
Ritið margföldunarandhverfu $\frac{7}{1}$ .	1 7 $\frac{1}{7}$
Sannprófun:	7 ⋅ ( 1 7 ) 7 ⋅ ( $\frac{1}{7}$ )
	1 ⁢ ✓ 1 ⁢ ✓

Í fyrri kafla unnum við með samlagningarandhverfur og tölugildi. Tafla 4.1 ber saman samlagningarandhverfur, tölugildi og margföldunarandhverfur.

Samlagningarandhverfa	Tölugildi	Margföldunarandhverfa
hefur gagnstætt formerki	er aldrei neikvætt	hefur sama formerki og brotinu er snúið við

Dæmi 4.30

Fyllið út töfluna fyrir hvert brot í vinstri dálkinum:

Tala	Samlagningarandhverfa	Tölugildi	Margföldunarandhverfa
− 3 8 − $\frac{3}{8}$
1 2 $\frac{1}{2}$
9 5 $\frac{9}{5}$
− 5 −5

Lausn

Til að finna samlagningarandhverfuna skiptum við um formerki. Til að finna tölugildið látum við jákvæðar tölur halda sér en finnum samlagningarandhverfu neikvæðra talna. Til að finna margföldunarandhverfuna höldum við sama formerki og snúum brotinu við.

Tala	Samlagningarandhverfa	Tölugildi	Margföldunarandhverfa
− 3 8 − $\frac{3}{8}$	3 8 $\frac{3}{8}$	3 8 $\frac{3}{8}$	− 8 3 − $\frac{8}{3}$
1 2 $\frac{1}{2}$	− 1 2 − $\frac{1}{2}$	1 2 $\frac{1}{2}$	2 2
9 5 $\frac{9}{5}$	− 9 5 − $\frac{9}{5}$	9 5 $\frac{9}{5}$	5 9 $\frac{5}{9}$
− 5 −5	5 5	5 5	− 1 5 − $\frac{1}{5}$

Deiling brota

Hvers vegna er $12 \div 3 = 4 ?$ Áður sýndum við þetta með talningarskífum. Hve marga hópa með $3$ talningarskífum má mynda úr hópi með $12$ talningarskífum?

Til eru $4$ hópar með $3$ talningarskífum. Með öðrum orðum gengur $3$ fjórum sinnum upp í $12 .$ Því er $12 \div 3 = 4 .$

En hvernig deilum við brotum? Segjum að við viljum finna kvótann $\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} .$ Við þurfum að finna hve margir $\frac{1}{6}$ -renningar komast fyrir í $\frac{1}{2} .$ Við getum sýnt deilinguna með brotarenningum. Við byrjum á að raða hálfsrenningi og sjöttuhlutarenningum upp eins og sýnt er á mynd 4.5. Takið eftir að þrír $\frac{1}{6}$ -renningar komast fyrir í $\frac{1}{2},$ þannig að $\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 3 .$

Dæmi 4.31

Sýnið með líkani: $\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} .$

Lausn

Við viljum finna hve margir $\frac{1}{8}$ -renningar komast fyrir í $\frac{1}{4} .$ Byrjið með einn $\frac{1}{4}$ -renning. Leggið $\frac{1}{8}$ -renninga undir $\frac{1}{4}$ -renninginn.

Tveir $\frac{1}{8}$ -renningar komast fyrir í $\frac{1}{4} .$

Því er $\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} = 2 .$

Dæmi 4.32

Sýnið með líkani: $2 \div \frac{1}{4} .$

Lausn

Við viljum finna hve margir $\frac{1}{4}$ -renningar komast fyrir í $2 .$ Við getum sýnt það með eftirfarandi líkani.

Þar sem átta $\frac{1}{4}$ -renningar komast fyrir í $2, 2 \div \frac{1}{4} = 8 .$

Notum peninga til að sýna $2 \div \frac{1}{4}$ með líkani á annan hátt. Á ensku er $\frac{1}{4}$ oft lesið sem „quarter“ og bandarískur fjórðungsdollari er fjórðungur dollara að verðgildi, eins og sýnt er á mynd 4.6. Við getum því hugsað um $2 \div \frac{1}{4}$ sem spurninguna: „Hve margir fjórðungsdollarar eru í tveimur dollurum?“ Einn dollari jafngildir $4$ fjórðungsdollurum og $2$ dollarar jafngilda því $8$ fjórðungsdollurum. Aftur fáum við $2 \div \frac{1}{4} = 8 .$

Mynd af bandarískum fjórðungsdollara. — **Mynd 4.6.** Bandaríski myntpeningurinn fjórðungsdollari er fjórðungur dollara að verðgildi.

Með brotarenningum sýndum við að $\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 3 .$ Takið eftir að $\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1} = 3$ . Hvernig tengjast $\frac{1}{6}$ og $\frac{6}{1}$ ? Þau eru margföldunarandhverfur. Þetta leiðir til aðferðarinnar við að deila brotum.

Við verðum að gera ráð fyrir að $b \neq 0, c \neq 0$ og $d \neq 0$ til að tryggja að ekki sé deilt með núlli.

Dæmi 4.33

Deilið og ritið svarið sem fullstytt brot: $\frac{2}{5} \div (- \frac{3}{7}) .$

Lausn

	2 5 ÷ ( − 3 7 ) $\frac{2}{5}$ ÷ ( − $\frac{3}{7}$ )
Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	2 5 ⁢ ( − 7 3 ) $\frac{2}{5}$ ⁢ ( − $\frac{7}{3}$ )
Margfaldið. Margfeldið er neikvætt.	− 1 4 1 5 − $\frac{14}{15}$

Dæmi 4.34

Deilið og ritið svarið sem fullstytt brot: $\frac{2}{3} \div \frac{n}{5} .$

Lausn

	2 3 ÷ 𝑛 5 $\frac{2}{3}$ ÷ n/5
Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	2 3 · 5 𝑛 $\frac{2}{3}$ · 5/n
Margfaldið.	1 0 3 ⁢ 𝑛 $\frac{10}{3}$ ⁢ n

Dæmi 4.35

Deilið og ritið svarið sem fullstytt brot: $- \frac{3}{4} \div (- \frac{7}{8}) .$

Lausn

	− 3 4 ÷ ( − 7 8 ) − $\frac{3}{4}$ ÷ ( − $\frac{7}{8}$ )
Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	− 3 4 · ( − 8 7 ) − $\frac{3}{4}$ · ( − $\frac{8}{7}$ )
Margfaldið. Munið að ákvarða formerkið fyrst.	3 · 8 4 · 7 3 · $\frac{8}{4}$ · 7
Endurritið brotið þannig að sameiginlegir þættir sjáist.	3 · 4 · 2 4 · 7 3 · 4 · $\frac{2}{4}$ · 7
Deilið út sameiginlegum þáttum og einfaldið.	6 7 $\frac{6}{7}$

Dæmi 4.36

Deilið og ritið svarið sem fullstytt brot: $\frac{7}{18} \div \frac{14}{27} .$

Lausn

	7 1 8 ÷ 1 4 2 7 $\frac{7}{18}$ ÷ $\frac{14}{27}$
Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	7 1 8 · 2 7 1 4 $\frac{7}{18}$ · $\frac{27}{14}$
Margfaldið.	7 · 2 7 1 8 · 1 4 7 · $\frac{27}{18}$ · 14
Endurritið þannig að sameiginlegu þættirnir sjáist.
Fellið út sameiginlega þætti.	3 2 · 2 $\frac{3}{2}$ · 2
Einfaldið.	3 4 $\frac{3}{4}$

Æfingar úr kafla 4.2

Æfingin skapar meistarann

Stytting brota

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið stytta hvert brot. Ekki breyta óeiginlegum brotum í blandaðar tölur.

77.

721 $\frac{7}{21}$

78.

824 $\frac{8}{24}$

79.

1520 $\frac{15}{20}$

80.

1218 $\frac{12}{18}$

81.

−4088 $- \frac{40}{88}$

82.

−6399 $- \frac{63}{99}$

83.

−10863 $- \frac{108}{63}$

84.

−10448 $- \frac{104}{48}$

85.

120252 $\frac{120}{252}$

86.

182294 $\frac{182}{294}$

87.

−168192 $- \frac{168}{192}$

88.

−140224 $- \frac{140}{224}$

89.

11⁢𝑥11⁢𝑦 $\frac{11 x}{11 y}$

90.

15⁢𝑎15⁢𝑏 $\frac{15 a}{15 b}$

91.

−3⁢𝑥12⁢𝑦 $- \frac{3 x}{12 y}$

92.

−4⁢𝑥32⁢𝑦 $- \frac{4 x}{32 y}$

93.

14⁢𝑥221⁢𝑦 $\frac{14 x^{2}}{21 y}$

94.

24⁢𝑎32⁢𝑏2 $\frac{24 a}{32 b^{2}}$

Margföldun brota

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið sýna með mynd.

95.

12·23 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

96.

12·58 $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$

97.

13·56 $\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6}$

98.

13·25 $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið margfalda og rita svarið sem fullstytt brot.

99.

25·13 $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}$

100.

12·38 $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

101.

34·910 $\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{10}$

102.

45·27 $\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{7}$

103.

−23⁢(−38) $- \frac{2}{3} (- \frac{3}{8})$

104.

−34⁢(−49) $- \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

105.

−59·310 $- \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{10}$

106.

−38·415 $- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{15}$

107.

712⁢(−821) $\frac{7}{12} (- \frac{8}{21})$

108.

512⁢(−815) $\frac{5}{12} (- \frac{8}{15})$

109.

(−1415)⁢(920) $(- \frac{14}{15}) (\frac{9}{20})$

110.

(−910)⁢(2533) $(- \frac{9}{10}) (\frac{25}{33})$

111.

(−6384)⁢(−4490) $(- \frac{63}{84}) (- \frac{44}{90})$

112.

(−3360)⁢(−4088) $(- \frac{33}{60}) (- \frac{40}{88})$

113.

4·511 $4 \cdot \frac{5}{11}$

114.

5·83 $5 \cdot \frac{8}{3}$

115.

37·21⁢𝑛 $\frac{3}{7} \cdot 21 n$

116.

56·30⁢𝑚 $\frac{5}{6} \cdot 30 m$

117.

−28⁢𝑝⁡(−14) $−28 p (- \frac{1}{4})$

118.

−51⁢𝑞⁡(−13) $−51 q (- \frac{1}{3})$

119.

−8⁢(174) $−8 (\frac{17}{4})$

120.

145⁢(−15) $\frac{14}{5} (−15)$

121.

−1⁢(−38) $−1 (- \frac{3}{8})$

122.

(−1)⁢(−67) $(−1) (- \frac{6}{7})$

123.

(23)₃ ${(\frac{2}{3})}^{3}$

124.

(45)₂ ${(\frac{4}{5})}^{2}$

125.

(65)₄ ${(\frac{6}{5})}^{4}$

126.

(47)₄ ${(\frac{4}{7})}^{4}$

Margföldunarandhverfur fundnar

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna margföldunarandhverfuna.

127.

34 $\frac{3}{4}$

128.

23 $\frac{2}{3}$

129.

−517 $- \frac{5}{17}$

130.

−619 $- \frac{6}{19}$

131.

118 $\frac{11}{8}$

132.

−13 $−13$

133.

−19 $−19$

134.

−1 $−1$

135.

1 $1$

136.

Fyllið út töfluna.

	Samlagningarandhverfa	Tölugildi	Margföldunarandhverfa
− 7 1 1 − $\frac{7}{11}$
4 5 $\frac{4}{5}$
1 0 7 $\frac{10}{7}$
− 8 −8

137.

Fyllið út töfluna.

	Samlagningarandhverfa	Tölugildi	Margföldunarandhverfa
− 3 1 3 − $\frac{3}{13}$
9 1 4 $\frac{9}{14}$
1 5 7 $\frac{15}{7}$
− 9 −9

Deiling brota

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið sýna hverja deilingu brota með líkani.

138.

12÷14 $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$

139.

12÷18 $\frac{1}{2} \div \frac{1}{8}$

140.

2÷15 $2 \div \frac{1}{5}$

141.

3÷14 $3 \div \frac{1}{4}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið deila og rita svarið sem fullstytt brot.

142.

12÷14 $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$

143.

12÷18 $\frac{1}{2} \div \frac{1}{8}$

144.

34÷23 $\frac{3}{4} \div \frac{2}{3}$

145.

45÷34 $\frac{4}{5} \div \frac{3}{4}$

146.

−45÷47 $- \frac{4}{5} \div \frac{4}{7}$

147.

−34÷35 $- \frac{3}{4} \div \frac{3}{5}$

148.

−79÷(−79) $- \frac{7}{9} \div (- \frac{7}{9})$

149.

−56÷(−56) $- \frac{5}{6} \div (- \frac{5}{6})$

150.

34÷𝑥11 $\frac{3}{4} \div \frac{x}{11}$

151.

25÷𝑦9 $\frac{2}{5} \div \frac{y}{9}$

152.

58÷𝑎10 $\frac{5}{8} \div \frac{a}{10}$

153.

56÷𝑐15 $\frac{5}{6} \div \frac{c}{15}$

154.

518÷(−1524) $\frac{5}{18} \div (- \frac{15}{24})$

155.

718÷(−1427) $\frac{7}{18} \div (- \frac{14}{27})$

156.

7⁢𝑝12÷21⁢𝑝8 $\frac{7 p}{12} \div \frac{21 p}{8}$

157.

5⁢𝑞12÷15⁢𝑞8 $\frac{5 q}{12} \div \frac{15 q}{8}$

158.

8⁢𝑢15÷12⁢𝑣25 $\frac{8 u}{15} \div \frac{12 v}{25}$

159.

12⁢𝑟25÷18⁢𝑠35 $\frac{12 r}{25} \div \frac{18 s}{35}$

160.

−5÷12 $−5 \div \frac{1}{2}$

161.

−3÷14 $−3 \div \frac{1}{4}$

162.

34÷(−12) $\frac{3}{4} \div (−12)$

163.

25÷(−10) $\frac{2}{5} \div (−10)$

164.

−18÷(−92) $−18 \div (- \frac{9}{2})$

165.

−15÷(−53) $−15 \div (- \frac{5}{3})$

166.

12÷(−34)÷78 $\frac{1}{2} \div (- \frac{3}{4}) \div \frac{7}{8}$

167.

112÷78·211 $\frac{11}{2} \div \frac{7}{8} \cdot \frac{2}{11}$

Stærðfræði í daglegu lífi

168.

Bakstur. Í uppskrift að súkkulaðibitakökum þarf $\frac{3}{4}$ bolla af púðursykri. Imelda vill tvöfalda uppskriftina.

ⓐ Hve mikinn púðursykur þarf Imelda? Sýnið útreikninginn. Ritið svarið bæði sem óeiginlegt brot og blandaða tölu.

ⓑ Mælibollasett innihalda yfirleitt $\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2},$ og $1$ bolla. Teiknið mynd sem sýnir tvær mismunandi leiðir sem Imelda getur notað til að mæla púðursykurinn sem þarf til að tvöfalda uppskriftina.

169.

Bakstur. Nína ætlar að útbúa súkkulaðikonfekt í $4$ formum til að bera fram eftir tónleika. Í hvert form þarf hún $\frac{2}{3}$ bolla af niðursoðinni mjólk.

ⓐ Hve mikla niðursoðna mjólk þarf Nína? Sýnið útreikninginn. Ritið svarið bæði sem óeiginlegt brot og blandaða tölu.
ⓑ Mælibollasett innihalda yfirleitt $\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2},$ og $1$ bolla. Teiknið mynd sem sýnir tvær mismunandi leiðir sem Nína getur notað til að mæla niðursoðnu mjólkina sem hún þarf.

170.

Skammtar. Don keypti stóra sælgætispakkningu sem vegur $5$ pund. Hann vill selja sælgætið í litlum pokum sem hver rúmar $\frac{1}{4}$ úr pundi. Hve marga litla sælgætispoka getur hann fyllt úr stóru pakkningunni?

171.

Skammtar. Kristen á $\frac{3}{4}$ úr jarda af borða. Hún vill skipta honum í jafna hluta og búa til hárborða fyrir $6$ dúkkur dóttur sinnar. Hve langur verður hárborði hverrar dúkku?

Ritunarverkefni

172.

Útskýrið hvernig margföldunarandhverfa brots er fundin.

173.

Útskýrið hvernig margföldunarandhverfa neikvæðs brots er fundin.

174.

Rafael vildi panta hálfa meðalstóra pítsu á veitingastað. Þjónninn sagði honum að skera mætti meðalstóra pítsu í $6$ eða $8$ sneiðar. Vildi hann frekar fá $3$ af $6$ sneiðum eða $4$ af $8$ sneiðum? Rafael svaraði að þar sem hann væri ekki mjög svangur vildi hann frekar fá $3$ af $6$ sneiðum. Útskýrið hvað er rangt við röksemdafærslu Rafaels.

175.

Nefnið dæmi úr daglegu lífi sem sýnir að $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ er $\frac{1}{3} .$

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Þegar þið hafið farið yfir gátlistann skuluð þið ákveða hvað þið ætlið að gera til að öðlast öryggi í öllum markmiðunum.

Tala	Samlagningarandhverfa	Tölugildi	Margföldunarandhverfa
− 5 8 − $\frac{5}{8}$
1 4 $\frac{1}{4}$
8 3 $\frac{8}{3}$
− 8 −8

Tala	Samlagningarandhverfa	Tölugildi	Margföldunarandhverfa
− 4 7 − $\frac{4}{7}$
1 8 $\frac{1}{8}$
9 4 $\frac{9}{4}$
− 1 −1