44 Brot

4.3 Margföldun og deiling blandaðra talna og flókinna brota

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Margfaldað og deilt blönduðum tölum
Umritað orðasambönd sem stæður með brotum
Einfaldað flókin brot
Einfaldað stæður sem eru ritaðar með brotastriki

Margföldun og deiling blandaðra talna

Í síðasta hluta lærðuð þið að margfalda og deila brotum. Í öllum sýnidæmunum þar voru annaðhvort eiginleg eða óeiginleg brot. Hvað gerist þegar þið eigið að margfalda eða deila blönduðum tölum? Munið að breyta má blandaðri tölu í óeiginlegt brot. Þið lærðuð það í hlutanum Brot sýnd myndrænt.

Dæmi 4.37

Multiply: 313·58 $3 \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{8}$

Lausn

	3 1 3 · 5 8 3 $\frac{1}{3}$ · $\frac{5}{8}$
Breytið 3 $\frac{1}{3}$ í óeiginlegt brot.	1 0 3 · 5 8 $\frac{10}{3}$ · $\frac{5}{8}$
Margfaldið.	1 0 · 5 3 · 8 10 · $\frac{5}{3}$ · 8
Leitið að sameiginlegum þáttum.	2 ̸ · 5 · 5 3 · 2 ̸ · 4 2̸ · 5 · $\frac{5}{3}$ · 2̸ · 4
Fellið út sameiginlega þætti.	5 · 5 3 · 4 5 · $\frac{5}{3}$ · 4
Einfaldið.	2 5 1 2 $\frac{25}{12}$

Takið eftir að við létum svarið standa sem óeiginlega brotið $\frac{25}{12},$ og breyttum því ekki í blandaða tölu. Í algebru er æskilegra að rita svör sem óeiginleg brot en blandaðar tölur. Þannig má forðast rugling milli $2 \frac{1}{12}$ og $2 \cdot \frac{1}{12} .$

Dæmi 4.38

Margfaldið og ritið svarið fullstytt: $2 \frac{4}{5} (- 1 \frac{7}{8}) .$

Lausn

	2 4 5 ⁢ ( − 1 7 8 ) 2 $\frac{4}{5}$ ⁢ ( − 1 $\frac{7}{8}$ )
Breytið blönduðu tölunum í óeiginleg brot.	1 4 5 ⁢ ( − 1 5 8 ) $\frac{14}{5}$ ⁢ ( − $\frac{15}{8}$ )
Margfaldið.	− 1 4 · 1 5 5 · 8 − 14 · $\frac{15}{5}$ · 8
Leitið að sameiginlegum þáttum.	− 2 ̸ · 7 · 5 ̸ · 3 5 ̸ · 2 ̸ · 4 − 2̸ · 7 · 5̸ · $\frac{3}{5}$ ̸ · 2̸ · 4
Fellið út sameiginlega þætti.	− 7 · 3 4 − 7 · $\frac{3}{4}$
Einfaldið.	− 2 1 4 − $\frac{21}{4}$

Dæmi 4.39

Deilið og ritið svarið fullstytt: $3 \frac{4}{7} \div 5 .$

Lausn

	3 4 7 ÷ 5 3 $\frac{4}{7}$ ÷ 5
Breytið blönduðu tölunum í óeiginleg brot.	2 5 7 ÷ 5 1 $\frac{25}{7}$ ÷ $\frac{5}{1}$
Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	2 5 7 · 1 5 $\frac{25}{7}$ · $\frac{1}{5}$
Margfaldið.	2 5 · 1 7 · 5 25 · $\frac{1}{7}$ · 5
Leitið að sameiginlegum þáttum.	5 ̸ · 5 · 1 7 · 5 ̸ 5̸ · 5 · $\frac{1}{7}$ · 5̸
Fellið út sameiginlega þætti.	5 · 1 7 5 · $\frac{1}{7}$
Einfaldið.	5 7 $\frac{5}{7}$

Dæmi 4.40

Deilið: $2 \frac{1}{2} \div 1 \frac{1}{4} .$

Lausn

	2 1 2 ÷ 1 1 4 2 $\frac{1}{2}$ ÷ 1 $\frac{1}{4}$
Breytið blönduðu tölunum í óeiginleg brot.	5 2 ÷ 5 4 $\frac{5}{2}$ ÷ $\frac{5}{4}$
Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	5 2 · 4 5 $\frac{5}{2}$ · $\frac{4}{5}$
Margfaldið.	5 · 4 2 · 5 5 · $\frac{4}{2}$ · 5
Leitið að sameiginlegum þáttum.	5 ̸ · 2 ̸ · 2 2 ̸ · 1 · 5 ̸ 5̸ · 2̸ · $\frac{2}{2}$ ̸ · 1 · 5̸
Fellið út sameiginlega þætti.	2 1 $\frac{2}{1}$
Einfaldið.	2 2

Umritun orðasambanda sem stæður með brotum

Orðin kvóti og hlutfall eru oft notuð til að lýsa brotum. Í hlutanum Frádráttur núlls og jákvæðra heiltalna skilgreindum við kvóta sem útkomu deilingar. Kvóti stærðanna $a$ og $b$ er útkoman þegar $a$ er deilt með $b,$ eða $\frac{a}{b} .$ Æfum okkur að umrita nokkur orðasambönd sem algebrustæður með þessum heitum.

Dæmi 4.41

Umritið orðasambandið sem algebrustæðu: „kvóti stærðanna $3 x$ og $8 .”$

Lausn

Lykilorðið er kvóti; það segir okkur að reikniaðgerðin sé deiling. Leitið að orðunum „ stærðanna “ og „ og “ til að finna stærðirnar sem á að deila.

Kvóti stærðanna 3 x og 8 .

Þetta segir okkur að deila eigi $3 x$ með $8 .$ $\frac{3 x}{8}$

Dæmi 4.42

Umritið orðasambandið sem algebrustæðu: kvóti mismunarins á $m$ og $n,$ og stærðarinnar $p .$

Lausn

Við leitum að kvótamismunarins á $m$ og $n$ , og stærðarinnar $p .$ Það merkir að deila mismuninum á $m$ og $n$ með $p .$

\frac{m - n}{p}

Einföldun flókinna brota

Hingað til höfum við unnið með eiginleg brot, óeiginleg brot og blandaðar tölur. Önnur gerð brota kallast flókið brot. Það er brot þar sem teljarinn eða nefnarinn inniheldur brot.

Hér eru nokkur dæmi um flókin brot:

\frac{\frac{6}{7}}{3} \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} \frac{\frac{x}{2}}{\frac{5}{6}}

Þegar flókið brot er einfaldað þarf að muna að brotastrikið táknar deilingu. Því má rita flókna brotið $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}$ sem $\frac{3}{4} \div \frac{5}{8} .$

Dæmi 4.43

Einfaldið: $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} .$

Lausn

	3 4 5 8 $\frac{3}{4}$ / $\frac{5}{8}$
Endurritið sem deilingu.	3 4 ÷ 5 8 $\frac{3}{4}$ ÷ $\frac{5}{8}$
Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	3 4 · 8 5 $\frac{3}{4}$ · $\frac{8}{5}$
Margfaldið.	3 · 8 4 · 5 3 · $\frac{8}{4}$ · 5
Leitið að sameiginlegum þáttum.	3 · 4 ̸ · 2 4 ̸ · 5 3 · 4̸ · $\frac{2}{4}$ ̸ · 5
Deilið út sameiginlegum þáttum og einfaldið.	6 5 $\frac{6}{5}$

Dæmi 4.44

Einfaldið: $\frac{- \frac{6}{7}}{3} .$

Lausn

	− 6 7 3 − $\frac{6}{7}$ /3
Endurritið sem deilingu.	− 6 7 ÷ 3 − $\frac{6}{7}$ ÷ 3
Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	− 6 7 · 1 3 − $\frac{6}{7}$ · $\frac{1}{3}$
Margfaldið; margfeldið verður neikvætt.	− 6 · 1 7 · 3 − 6 · $\frac{1}{7}$ · 3
Leitið að sameiginlegum þáttum.	− 3 ̸ · 2 · 1 7 · 3 ̸ − 3̸ · 2 · $\frac{1}{7}$ · 3̸
Deilið út sameiginlegum þáttum og einfaldið.	− 2 7 − $\frac{2}{7}$

Dæmi 4.45

Einfaldið: $\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x y}{6}} .$

Lausn

	𝑥 2 𝑥 ⁢ 𝑦 6 x/2/x ⁢ y/6
Endurritið sem deilingu.	𝑥 2 ÷ 𝑥 ⁢ 𝑦 6 x/2 ÷ x ⁢ y/6
Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	𝑥 2 · 6 𝑥 ⁢ 𝑦 x/2 · 6/x ⁢ y
Margfaldið.	𝑥 · 6 2 · 𝑥 ⁢ 𝑦 x · $\frac{6}{2}$ · x ⁢ y
Leitið að sameiginlegum þáttum.	𝑥 ̸ · 3 · 2 ̸ 2 ̸ · 𝑥 ̸ · 𝑦 x̸ · 3 · 2̸/2̸ · x̸ · y
Deilið út sameiginlegum þáttum og einfaldið.	3 𝑦 3/y

Dæmi 4.46

Einfaldið: $\frac{2 \frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} .$

Lausn

	2 3 4 1 8 2 $\frac{3}{4}$ / $\frac{1}{8}$
Endurritið sem deilingu.	2 3 4 ÷ 1 8 2 $\frac{3}{4}$ ÷ $\frac{1}{8}$
Breytið blönduðu tölunni í óeiginlegt brot.	1 1 4 ÷ 1 8 $\frac{11}{4}$ ÷ $\frac{1}{8}$
Margfaldið fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.	1 1 4 · 8 1 $\frac{11}{4}$ · $\frac{8}{1}$
Margfaldið.	1 1 · 8 4 · 1 11 · $\frac{8}{4}$ · 1
Leitið að sameiginlegum þáttum.	1 1 · 4 ̸ · 2 4 ̸ · 1 11 · 4̸ · $\frac{2}{4}$ ̸ · 1
Deilið út sameiginlegum þáttum og einfaldið.	2 2 22

Einföldun stæða með brotastriki

Hvar á mínusmerkið að vera í broti? Yfirleitt er það sett framan við brotið, en stundum sjáið þið brot með neikvæðum teljara eða nefnara. Munið að brot tákna deilingu. Brotið $- \frac{1}{3}$ gæti verið útkoma þess að deila $\frac{−1}{3},$ , neikvæðri tölu með jákvæðri, eða þess að deila $\frac{1}{−3},$ , jákvæðri tölu með neikvæðri. Þegar teljari og nefnari hafa ólík formerki er kvótinn neikvæður.

Ef bæði teljarinn og nefnarinn eru neikvæðir er brotið sjálft jákvætt vegna þess að neikvæðri tölu er deilt með neikvæðri.

\frac{−1}{−3} = \frac{1}{3} \frac{neikvætt}{neikvætt} = jákvætt

Dæmi 4.47

Hver af eftirfarandi brotum eru jafngild $\frac{7}{−8} ?$

\frac{−7}{−8}, \frac{−7}{8}, \frac{7}{8}, - \frac{7}{8}

Lausn

Kvóti jákvæðrar tölu og neikvæðrar tölu er neikvæður, svo $\frac{7}{−8}$ er neikvætt. Af brotunum sem talin eru upp eru $\frac{−7}{8}$ og $- \frac{7}{8}$ einnig neikvæð.

Brotastrik virka sem flokkunartákn. Meðhöndla á stæðurnar fyrir ofan og neðan brotastrikið eins og þær séu innan sviga. Til dæmis merkir $\frac{4 + 8}{5 - 3}$ það sama og $(4 + 8) \div (5 - 3) .$ Samkvæmt röð reikniaðgerða á fyrst að einfalda teljarann og nefnarann — eins og þeir væru innan sviga — áður en deilt er.

Við bætum brotastrikum við safn flokkunartákna úr hlutanum Tungumál algebrunnar og fáum þannig heildstæðara safn hér.

Dæmi 4.48

Einfaldið: $\frac{4 + 8}{5 - 3} .$

Lausn

	4 + 8 5 − 3 4 + $\frac{8}{5}$ − 3
Einfaldið stæðuna í teljaranum.	1 2 5 − 3 $\frac{12}{5}$ − 3
Einfaldið stæðuna í nefnaranum.	1 2 2 $\frac{12}{2}$
Styttið brotið.	6

Dæmi 4.49

Einfaldið: $\frac{4 - 2 (3)}{2^{2} + 2} .$

Lausn

	4 − 2 ⁢ ( 3 ) 2 2 + 2 4 − 2 ⁢ ( 3 )/2 2 + 2
Fylgið röð reikniaðgerða. Margfaldið í teljaranum og reiknið veldið í nefnaranum.	4 − 6 4 + 2 4 − $\frac{6}{4}$ + 2
Einfaldið teljarann og nefnarann.	− 2 6 − $\frac{2}{6}$
Styttið brotið.	− 1 3 - $\frac{1}{3}$

Dæmi 4.50

Einfaldið: $\frac{{(8 - 4)}^{2}}{8^{2} - 4^{2}} .$

Lausn

	( 8 − 4 ) 2 8 2 − 4 2 ( 8 − 4 ) $\frac{2}{8}$ 2 − 4 2
Fylgið röð reikniaðgerða (fyrst svigar og síðan veldi).	( 4 ) 2 6 4 − 1 6 ( 4 ) $\frac{2}{64}$ − 16
Einfaldið teljarann og nefnarann.	1 6 4 8 $\frac{16}{48}$
Styttið brotið.	1 3 $\frac{1}{3}$

Dæmi 4.51

Simplify: 4⁢(−3)+6⁢(−2)−3⁢(2)⁢−2. $\frac{4 (−3) + 6 (−2)}{−3 (2) −2} .$

Lausn

	4 ⁢ ( − 3 ) + 6 ⁢ ( − 2 ) − 3 ⁢ ( 2 ) ⁢ − 2 4 ⁢ ( −3 ) + 6 ⁢ ( −2 )/−3 ⁢ ( 2 ) ⁢ −2
Margfaldið.	− 1 2 + ( − 1 2 ) − 6 − 2 −12 + ( −12 )/−6 − 2
Einfaldið.	− 2 4 − 8 −24/−8
Deilið.	3 3

Verkefni úr hluta 4.3

Æfingin skapar meistarann

Margföldun og deiling blandaðra talna

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið margfalda og rita svarið fullstytt.

176.

438·710 $4 \frac{3}{8} \cdot \frac{7}{10}$

177.

249·67 $2 \frac{4}{9} \cdot \frac{6}{7}$

178.

1522·335 $\frac{15}{22} \cdot 3 \frac{3}{5}$

179.

2536·6310 $\frac{25}{36} \cdot 6 \frac{3}{10}$

180.

423⁢(−1⁢18) $4 \frac{2}{3} (−1 \frac{1}{8})$

181.

225⁢(−2⁢29) $2 \frac{2}{5} (−2 \frac{2}{9})$

182.

−4⁢49·51316 $−4 \frac{4}{9} \cdot 5 \frac{13}{16}$

183.

−1⁢720·21112 $−1 \frac{7}{20} \cdot 2 \frac{11}{12}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið deila og rita svarið fullstytt.

184.

513÷4 $5 \frac{1}{3} \div 4$

185.

1312÷9 $13 \frac{1}{2} \div 9$

186.

−12÷3311 $−12 \div 3 \frac{3}{11}$

187.

−7÷514 $−7 \div 5 \frac{1}{4}$

188.

638÷218 $6 \frac{3}{8} \div 2 \frac{1}{8}$

189.

215÷1110 $2 \frac{1}{5} \div 1 \frac{1}{10}$

190.

−9⁢35÷(−1⁢35) $−9 \frac{3}{5} \div (−1 \frac{3}{5})$

191.

−18⁢34÷(−3⁢34) $−18 \frac{3}{4} \div (−3 \frac{3}{4})$

Umritun orðasambanda sem stæður með brotum

Þýðið hvert orðasamband yfir á algebrustæðu í eftirfarandi æfingum.

192.

kvóti stærðanna $5 u$ og $11$

193.

kvóti stærðanna $7 v$ og $13$

194.

kvóti stærðanna $p$ og $q$

195.

kvóti stærðanna $a$ og $b$

196.

kvóti stærðarinnar $r$ og summunnar af $s$ og $10$

197.

kvóti stærðarinnar $A$ og mismunarins á $3$ og $B$

Einföldun flókinna brota

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið einfalda flókna brotið.

198.

2389 $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}$

199.

45815 $\frac{\frac{4}{5}}{\frac{8}{15}}$

200.

−8211235 $\frac{- \frac{8}{21}}{\frac{12}{35}}$

201.

−9163340 $\frac{- \frac{9}{16}}{\frac{33}{40}}$

202.

−452 $\frac{- \frac{4}{5}}{2}$

203.

−9103 $\frac{- \frac{9}{10}}{3}$

204.

258 $\frac{\frac{2}{5}}{8}$

205.

5310 $\frac{\frac{5}{3}}{10}$

206.

𝑚3𝑛2 $\frac{\frac{m}{3}}{\frac{n}{2}}$

207.

𝑟5𝑠3 $\frac{\frac{r}{5}}{\frac{s}{3}}$

208.

−𝑥6−89 $\frac{- \frac{x}{6}}{- \frac{8}{9}}$

209.

−38−𝑦12 $\frac{- \frac{3}{8}}{- \frac{y}{12}}$

210.

245110 $\frac{2 \frac{4}{5}}{\frac{1}{10}}$

211.

42316 $\frac{4 \frac{2}{3}}{\frac{1}{6}}$

212.

79−2⁢45 $\frac{\frac{7}{9}}{−2 \frac{4}{5}}$

213.

38−6⁢34 $\frac{\frac{3}{8}}{−6 \frac{3}{4}}$

Einföldun stæða með brotastriki

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna jafngildu brotin.

214.

Hver af eftirfarandi brotum eru jafngild $\frac{5}{−11} ?$
$\frac{−5}{−11}, \frac{−5}{11}, \frac{5}{11}, - \frac{5}{11}$

215.

Hver af eftirfarandi brotum eru jafngild $\frac{−4}{9} ?$
$\frac{−4}{−9}, \frac{−4}{9}, \frac{4}{9}, - \frac{4}{9}$

216.

Hver af eftirfarandi brotum eru jafngild $- \frac{11}{3} ?$
$\frac{−11}{3}, \frac{11}{3}, \frac{−11}{−3}, \frac{11}{−3}$

217.

Hver af eftirfarandi brotum eru jafngild $- \frac{13}{6} ?$
$\frac{13}{6}, \frac{13}{−6}, \frac{−13}{−6}, \frac{−13}{6}$

Einfaldið í eftirfarandi dæmum.

218.

4+118 $\frac{4 + 11}{8}$

219.

9+37 $\frac{9 + 3}{7}$

220.

22+310 $\frac{22 + 3}{10}$

221.

19−46 $\frac{19 - 4}{6}$

222.

4824−15 $\frac{48}{24 - 15}$

223.

464+4 $\frac{46}{4 + 4}$

224.

−6+68+4 $\frac{−6 + 6}{8 + 4}$

225.

−6+317−8 $\frac{−6 + 3}{17 - 8}$

226.

22−1419−13 $\frac{22 - 14}{19 - 13}$

227.

15+918+12 $\frac{15 + 9}{18 + 12}$

228.

5⋅8−10 $\frac{5 \cdot 8}{−10}$

229.

3⋅4−24 $\frac{3 \cdot 4}{−24}$

230.

4⋅36⋅6 $\frac{4 \cdot 3}{6 \cdot 6}$

231.

6⋅69⋅2 $\frac{6 \cdot 6}{9 \cdot 2}$

232.

42−125 $\frac{4^{2} - 1}{25}$

233.

72+160 $\frac{7^{2} + 1}{60}$

234.

8⋅3+2⋅914+3 $\frac{8 \cdot 3 + 2 \cdot 9}{14 + 3}$

235.

9⋅6−4⋅722+3 $\frac{9 \cdot 6 - 4 \cdot 7}{22 + 3}$

236.

15⋅5−522⋅10 $\frac{15 \cdot 5 - 5^{2}}{2 \cdot 10}$

237.

12⋅9−323⋅18 $\frac{12 \cdot 9 - 3^{2}}{3 \cdot 18}$

238.

5⋅6−3⋅44⋅5−2⋅3 $\frac{5 \cdot 6 - 3 \cdot 4}{4 \cdot 5 - 2 \cdot 3}$

239.

8⋅9−7⋅65⋅6−9⋅2 $\frac{8 \cdot 9 - 7 \cdot 6}{5 \cdot 6 - 9 \cdot 2}$

240.

52−323−5 $\frac{5^{2} - 3^{2}}{3 - 5}$

241.

62−424−6 $\frac{6^{2} - 4^{2}}{4 - 6}$

242.

2+4⁢(3)−3−22 $\frac{2 + 4 (3)}{−3 - 2^{2}}$

243.

7+3⁢(5)−2−32 $\frac{7 + 3 (5)}{−2 - 3^{2}}$

244.

7⋅4−2⁢(8−5)₉⋅3−3⋅5 $\frac{7 \cdot 4 - 2 (8 - 5)}{9 \cdot 3 - 3 \cdot 5}$

245.

9⋅7−3⁢(12−8)₈⋅7−6⋅6 $\frac{9 \cdot 7 - 3 (12 - 8)}{8 \cdot 7 - 6 \cdot 6}$

246.

9⁢(8−2)⁢−3⁢(15−7)₆⁢(7−1)⁢−3⁢(17−9) $\frac{9 (8 - 2) −3 (15 - 7)}{6 (7 - 1) −3 (17 - 9)}$

247.

8⁢(9−2)⁢−4⁢(14−9)₇⁢(8−3)⁢−3⁢(16−9) $\frac{8 (9 - 2) −4 (14 - 9)}{7 (8 - 3) −3 (16 - 9)}$

Stærðfræði daglegs lífs

248.

Bakstur Í uppskrift að súkkulaðibitakökum þarf $2 \frac{1}{4}$ bolla af hveiti. Graciela vill tvöfalda uppskriftina.

ⓐ Hversu mikið hveiti þarf Graciela? Sýnið útreikningana. Ritið niðurstöðuna bæði sem óeiginlegt brot og blandaða tölu.
ⓑ Mælibollasett innihalda yfirleitt bolla sem rúma $\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2},$ og $1$ bolla. Teiknið mynd sem sýnir tvær mismunandi leiðir sem Graciela gæti notað til að mæla hveitið sem þarf til að tvöfalda uppskriftina.

249.

Bakstur Sölubás á sýsluhátíð selur súkkulaðikonfekt eftir þyngd. Verðlaunakonfektið „Súkkulaðiofgnótt“ inniheldur $2 \frac{2}{3}$ bolla af súkkulaðibitum í hverju pundi.

ⓐ Hversu margir bollar af súkkulaðibitum eru í hálfu pundi af konfektinu?
ⓑ Eigendur sölubássins búa til konfektið í $10$ punda skömmtum. Hversu marga bolla af súkkulaðibitum þurfa þeir í $10$ punda skammt? Ritið niðurstöðurnar bæði sem óeiginleg brot og blandaðar tölur.

Ritunarverkefni

250.

Útskýrið hvernig finna má margföldunarandhverfu blandaðrar tölu.

251.

Útskýrið hvernig blandaðar tölur eru margfaldaðar.

252.

Randy heldur að $3 \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{1}{4}$ sé $15 \frac{1}{8} .$ Útskýrið hvað er rangt við hugsun Randys.

253.

Útskýrið hvers vegna $- \frac{1}{2}, \frac{−1}{2},$ og $\frac{1}{−2}$ eru jafngild.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð námsmarkmiðum hlutans.

ⓑ Hvað segir gátlistinn ykkur um tök ykkar á efni þessa hluta? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?